2023-2024学年人教版九年级数学上册第24章圆单元综合练习题（含解析）

2023-2024学年人教版九年级数学上册《第24章圆》单元综合练习题（附答案）
一、选择题（共30分）
1．下面说法正确的是（　　）
A．经过三点有且只有一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦且平分弦所对的两条弧
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．相等的弧所对的圆心角相等
2．半径为4cm，120°的圆心角所对的弦长为（　　）
A．5cm B．4cm C．6cm D．3cm
3．如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，P为上的任一点，则图中等于60°的角有（　　）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
4．结合各自对应图形，给出的相应推理中，其中正确的是（　　）
A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4）
5．如图，△ABC与它的内切圆⊙O分别相切于点D、E、F．若△ABC周长为20，BC＝6，则AD长为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．无法计算
6．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、3为半径的圆，一定（　　）
A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交
7．△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则△ABC的外接圆和内切圆的半径分别（　　）
A．，1 B．5，2 C．，2.4 D．，2
8．如图所示，⊙M与x轴相切于原点，平行于y轴的直线交圆于P，Q两点，P点在Q点的下方，若P点坐标是（2，1），则圆心M的坐标是（　　）
A．（0，3） B．（0，） C．（0，2） D．（0，）
9．如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点，若两圆的半径分别是10cm、6cm，则弦AB的长为（　　）
A．16cm B．12cm C．8cm D．6cm
10．如图，AB，AC与⊙O相切于BC两点，∠A＝50°，若点P是圆上异于B，C的一个动点，则∠BPC等于（　　）
A．65° B．115° C．65°或115° D．130°或150°
二、填空题（共24分）
11．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠A＝36°，则∠C＝　 　．
12．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，连PO交⊙O于点A，PA＝2，PO＝5，则PB的长为　 　．
13．如图，⊙O的半径是10，弦AB垂直平分OC于P，则AB＝　 　．
14．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是 　 　．
15．如图，CD为⊙O直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝10，则CD长为　 　．
16．如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为2，∠A＝45°，则BC的长为　 　．
17．如图，平面直角坐标系中有一段弧经过格点（正方形网格交点）A、B、C，其中B（2，3），则圆弧所在圆的圆心坐标为 　 　．
18．直径为10cm的⊙O中，弦AB＝5cm，则弦AB所对的圆周角是　 　．
三、解答题（共66分）
19．如图，在 ABCD中，以A为圆心，以AB为半径作圆交AD于F，交BC于G，BA的延长线交⊙A于E，求证：．
20．如图，∠PAC＝30°，在射线AC上顺次截取AD＝3，DB＝10，以DB为直径的⊙O交射线AP于E、F两点，求EF的长．
21．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC到点D，使CD＝BC，延长DA交⊙O于点E，连接CE．求证：CE＝CD．
22．如图，AB是⊙O的直径，P是直径AB上的一点（P不与A、B重合），QP⊥AB于P，直线QA交⊙O于点C，过C作⊙O切线交直线QP于点D．求证：△CDQ为等腰三角形．
23．如图，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的半圆交AB于D，过点D作DE⊥AC于E．求证：DE为⊙O的切线．
24．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以BC上的一点O为圆心作⊙O与AB切于点E，与AC切于点C，⊙O与BC的另一交为D．求BD长．
25．如图，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O切线，C是⊙O上的点且AC∥OP．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，AB＝4，求PC长．
26．如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD，连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）当OB＝6cm，OC＝8cm时，求⊙O的半径．
27．如图，点O是弧的圆心，OA＝OB＝2，且∠AOB＝90°，C是上的一个动点，且不与A、B重合，OE⊥AC于E，OD⊥BC于D．
（1）若BC＝1，求OD长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边，若存在，求出该边的长；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题（共30分）
1．解：经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，A不符合题意；
平分弦的直径垂直于这条弦（此弦不能是直径），B不符合题意；
相等的圆心角所对的弧不一定相等，C不符合题意；
等弧所对的圆心角相等，D正确；
故选：D．
2．解：连接OA，OB，过O作OC⊥AB于C，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠A＝∠B＝30°，
∵OA＝4，
∴ACAO＝2，
∴AB＝4cm，
故选：B．
3．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴∠BPA＝∠BCA＝60°，∠APC＝∠ABC＝60°，
∴图中等于60°的角一共有5个，
故选：C．
4．解：A、由AB＝AC，得到，（1）正确，在同圆或等圆中，∠AOB＝∠COD才能得到，（2）错误，故A不符合题意；
B、由，得到，因此AB＝CD，（3）正确，在同圆或等圆中，AB＝CD才能得到∠AOB＝∠COD，（4）错误，故B不符合题意；
C、由A、B知C符合题意；
D、由A、B知D不符合题意．
故选：C．
5．解：设AD＝a，
∵△ABC与它的内切圆⊙O分别相切于点D、E、F，
∴AD＝AF＝a，CE＝CF，BE＝BD，
则BC＝BE+CE＝BD+CF＝6，
∵△ABC周长为20，
∴AD+AF+CF+BC+BD＝20，即：a+a+6+6＝20，
解得：a＝4，即AD＝4．
故选：C．
6．解：∵点（3，2）到x轴的距离是2，小于半径，
到y轴的距离是3，等于半径，
∴圆与x轴相交，与y轴相切．故选C．
7．解：∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
则△ABC为直角三角形，
即：∠ACB＝90°，
设△ABC的外接圆和内切圆的半径分别为r1，r2，
∵∠ACB＝90°，
∴AB为△ABC的外接圆的直径，
则：，△ABC的面积，
即：，
解得：r2＝1．
故选：A．
8．解：连MP，过M作MA⊥PQ于A，则PB＝MA＝2，
设⊙M的半径为R，则MP2＝MA2+PA2，
即R2＝22+（R﹣1）2，
解得R，
故选：B．
9．解：连接OC、OA，
∵AB切⊙O于C，
∴OC⊥AB，
∴AB＝2AC；
∵在Rt△OAC中，OA＝10cm，OC＝6cm，
∴AC8cm，
∴AB＝2AC＝16cm．
故选：A．
10．解：连接OC，OB，则∠ACO＝∠ABO＝90°，∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
应分为两种情况：
①当点P在优弧BC上时，∠P∠BOC＝65°；
②当点P在劣弧BC上时，∠BPC＝180°﹣65°＝115°；
故选：C．
二、填空题（共24分）
11．解：
连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO＝90°，
∵∠A＝36°，
∴∠BOA＝54°，
∴由圆周角定理得：∠C∠BOA＝27°，
故答案为：27°．
12．解：延长PA交⊙O于C．
∵PA＝2，PO＝5，
∴OA＝3．
∵PB为⊙O的切线，
∴PB2＝PA PC＝2×8＝16，
则PB＝±4（负值舍去）．
∴PB＝4．
13．解：如图所示，连接OA，设AB与OC的交点为D，
∵⊙O的半径是10，弦AB垂直平分OC于P，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．解：∵PA，PB都是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵∠APB＝60°，
∴△PAB是等边三角形，
∵PA＝8，
∴AB＝8．
故答案为：8．
15．解：连接OA，AB⊥CD，
由垂径定理知，点E是AB的中点，AEAB＝5，OE＝OC﹣CE＝OA﹣CE，
设半径为r，由勾股定理得，OA2＝AE2+OE2＝AE2+（OA﹣CE）2，即r2＝52+（r﹣1）2，
解得：r＝13，
所以CD＝2r＝26，
故答案为：26．
16．解：连接OB、OC，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠A＝90°，
∴BCOB＝2，
故答案为：2．
17．解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可知弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（1，0）．
故答案为：（1，0）．
18．解：连接OA、OB，
∵AB＝OB＝OA，
∴∠AOB＝60°，
∴∠C＝30°，
∴∠D＝180°﹣30°＝150°．
故答案为：30°或150°．
三、解答题（共66分）
19．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF＝∠EBG，
∴，
∴．
20．解：过点O作OG⊥AP于点G，连接OF，
∵DB＝10，
∴OD＝5，
∴AO＝AD+OD＝3+5＝8，
∵∠PAC＝30°，
∴，
∵OG⊥EF，
∴EG＝GF，
∵，
∴EF＝6．
21．证明：连接AC，
∵AB是直径，
∴AC⊥BD，
∵CD＝BC，
∵AD＝AB，
∴∠D＝∠B，
∵∠E＝∠B，
∴∠D＝∠E，
∴CE＝CD．
22．证明：连接OC．
∵DC是⊙O的切线，
∴OC⊥DC，
∴∠DCO＝90°，
即：∠QCD+∠ACO＝90°．
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠A．
∴∠QCD+∠A＝90°．
∵QP⊥AB，
∴∠Q+∠A＝90°．
∴∠Q＝∠QCD，
∴DQ＝DC，即△CDQ是等腰三角形．
23．解：连接OD，
则OB＝OD，
∴∠B＝∠BDO，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，则∠BDO＝60°，
∵DE⊥AC，
∴∠A+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝30°，
由平角可知：∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，OD为半径，
∴DE为⊙O的切线．
24．解：如图所示，连接OE，
∵AB是⊙O的切线，
∴OE⊥AB，OE＝OC，
∵AC是⊙O的切线，
∴AC⊥BC，
∴∠OEB＝∠ACB＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△OEB∽△ACB，
∴，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
25．（1）证明：连接OC，如图所示：
∵BP是圆的切线，
∴BP⊥OB，
∴∠OBP＝90°，
∵AC∥OP，
∴∠OAC＝∠BOP，∠ACO＝∠COP，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACO，
∴∠COP＝∠BOP，
在△OCP和△OBP中，，
∴△OCP≌△OBP（SAS），
∴∠OCP＝∠OBP＝90°，
∴PC⊥OC，
∴PC是圆的切线；
（2）解：由（1）得△OCP≌△OBP（SAS），
∴CP＝BP，
∵BP是圆的切线，
∴BP⊥OB，
∴∠OBP＝90°，
∵AC∥OP，
∴∠A＝∠BOP＝60°，
∴∠BPO＝30°，
∵AB＝4，
∴OB＝2，
∴OP＝4，
∴．
26．（1）证明：如图，连接OE、OF、OG，
∵AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，
∵OE＝OF＝OG，
∴∠OBA∠OBC，∠OCB＝∠OCD，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB∠BCD，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠BCD）＝90°，
∴∠BOM＝∠OBC+∠OCB＝90°，
∵MN∥OB，
∴∠OMN＝∠BOM＝90°，
又OM为半径，
∴MN是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BOM＝90°，
∴∠BOC＝90°，
在Rt△BOC中，OB＝6cm，OC＝8cm，
∴BC10cm，
∵OF⊥BC，
∴S△BOCBC×OFOB×OC，
即10 OF6×8，
∴OF＝4.8cm，
故⊙O的半径为4.8cm．
27．解：（1）∵OD⊥BC，
∴，
∵∠BDO＝90°，OB＝2，，
∴；
（2）存在，保持不变，理由如下：
理由：连接AB，如图所示，
∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，
∴，
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D和E分别是线段BC和AC的中点，
∴，
∴DE保持不变．