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新人教九年级数学下
第二十七章 相似三角形
27.3 位似（二）
小松中学 温光洪
新人教九年级数学下
1、会用图形坐标的变化来表示图形的位似变换
2、知道把一个图形按一定大小比例放大和缩小后，点的坐标变化规律 。
3、知道四种变换（位似、轴对称、平移、旋转）的异同，能在复杂图形中找出这些变换。
用图形坐标的变化来表示图形的位似变换
理解四种变换（位似、轴对称、平移、旋转）的异同，能在复杂图形中找出这些变换
学习目标
学习重点
学习难点
新人教九年级数学下
一、阅读本课时中的“探究”,回答下列问题
自主学习 基础过关
1、线段AB以原点为位似中心，相似比为 的位似图形有几个？对应端点的坐标有何变化？
2、△AOC以原点为位似中心，相似比为2的位似图形有几个？对应该顶点的坐标有什么变化？
二、阅读本课时中的“例题”,回答下列问题
4、当△ABO与其位似图形位于位似中心两侧时，写出各顶点的对应点的坐标。
3、当△ABO与其位似图形位于位似中心O同侧时，怎样确定A点的对应点A′的坐标？按照同样的方法分别写出B、O两点的对应点B′、O′的坐标。
A’
B’
位似中心在哪？位似比是多少？
如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB的顶点坐标分别为A（2,4）, O（0,0）, B（6,0）.
将各个顶点坐标分别缩小为原来的 ，所得到的图形与原图形是位似图形吗？
新人教九年级数学下
将各顶点的坐标都乘 ，依次得点A′（1，2），O（0，0），B′（3，0），依次连接点A′，O，B′，得△A′OB′，如图所示.
将各顶点的坐标都乘2，依次得点A″
（4， 8），O（0， 0），B″（12， 0），依次连接点A″，O，B″，得到
△A″OB″， 如图所示.
位似中心在哪？位似比是多少？
将各个顶点坐标分别扩大为原来的2倍，所得到的图形与原图形是位似图形吗？
如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB的顶点坐标分别为A（2,4）, O（0,0）, B（6,0）.
新人教九年级数学下
如图，在平面直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0）．以原点O为位似中心，相似比为 ，把线段AB缩小，观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？
位似变换后A，B的对应点为A ' （ ， ），B'（ ， ）；
A"（ ， ），B" （ ， ）．
2
1
2
0
－ 2
－ 1
－ 2
0
2
4
6
8
2
4
6
8
-2
-4
-6
-8
-2
-4
-6
-8
O
A
B
A'
B'
A"
B"
新人教九年级数学下
2
4
6
8
2
4
6
8
-2
-4
-6
-8
-2
-4
-6
-8
O
9
10
11
12
-9
-10
-12
如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（2，3），B（2，1），C（6，2），以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
A
B
C
位似变换后A，B，C的对应点为
A '（ ， ），B ' （ ， ），C ' （ ， ）；
A" （ ， ），B" （ ， ），C" （ ， ）．
4
6
4
2
12
4
－4
－6
－4
－2
－4
－12
C'
B"
A"
C"
B'
A'
思与悟：①图形间有什么规律？
②坐标变化中有什么规律？
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梳理
数学上可以证明，一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同的倍数，所得到的图形与原图形是以坐标原点为位似中心的位似图形.
在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k.
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2、如图E（-4,2）F（-1,-1）,以O为位似中心，按位似比1:2，把△EOF缩小，则点E的对应点E′的坐标为（ ）
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1、把△ABC三点坐标A(0，1)、B(2，0)、C(3，2)分别乘以3得△A＇B＇C＇，的坐标A＇，(0，3)、B＇(6，0)、C(9，6)，那么△ABC与△A＇B＇C＇是______图形，位似中心是_______，相似比为________
自主学习 小测试
A.(2,-1)或(-2,1) B.(8,-4)或 (-8,4) C(2,-1) D.(8,-4)
3．两个图形关于原点位似，且一对对应点的坐标分别
为(3，－4)，(－2，b)，则b的的取值为( )
A．－9 B．9 C. D．
A
C
位似
原点O
1∶3
例1、如图，四边形ABCD的坐标分别为A（－6，6），B（－8，2），C（－4，0），D（－2，4），画出它的一个以原点O为位似中心，相似比为 的位似图形．
分析：确定位似图形各个顶点的坐标．根据前面的规律，点A的对应点A′的坐标为 ,即（－3,3）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．
2
4
6
8
2
4
6
8
-2
-4
-6
-8
-2
-4
-6
-8
A
B
C
D
例题解析
点拔：①作图的关键是什么？
②如何确定顶点的坐标？
新人教九年级数学下
例1、如图，四边形ABCD的坐标分别为A（－6，6），B（－8，2），C（－4，0），D（－2，4），画出它的一个以原点O为位似中心，相似比为 的位似图形．
解：如图，利用位似变换中对应点的坐标的变化规律．分别取点
A'（ ， ），B ' （ ， ），
C ' （ ， ），D'（ ， ）．
2
4
6
8
2
4
6
8
-2
-4
-6
-8
-2
-4
-6
-8
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
－ 3
3
－ 4
1
－2
0
－1
2
依次连接点A'B'C'D'就是要求的四边形ABCD的位似图形．
例题解析
还有其它办法吗？同学们自己讨论作图。
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核心梳理
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上.
（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
（3）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，得到的图形与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）.
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1．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的 后得到线段CD，则端点C的坐标为( )
A．(3，3) B．(4，3) C．(3，1) D．(4，1)
2.位似图形上某一对对应顶点到位中心的距离分别为5 cm和15 cm，则它们的相似比为_________
3.在任意一个三角形内部，画一个小三角形，使其各边与原三角形各边平行，则它们的位似中心是( )
A.一定点
B.原三角形三边垂直平分线的交点
C.原三角形角平分线的交点
D.位置不定的一点
A
D
1∶3
新人教九年级数学下
6．如图，以原点O为位似中心，将ΔABC扩大到原来的2倍，则与点A对应的点A’的坐标可以为( )
A．(4， 2) B．( 2，4) C．(2，4) D．(4，2)
5.如图所示，矩形AOBC与DOEF是位似图形，且O为位似中心，相似比为1∶ ，若A(0，1)、B(2，0)，则F点的坐标为_ _ .
A
4.如图所示，点O是等边△PQR的中心，P，Q＇，R＇分别是OP、OQ、OR的中点，则△P＇Q＇R＇与△PQR是 ________ ，点O是_ _ __，相似比是________.
4题
5题
6题
位似图形
位似中心
1∶2
（2 ， ）
2
4
6
8
2
4
6
8
-2
-4
-6
-8
-2
-4
-6
-8
O
9
10
11
12
-9
-10
-12
7. 如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（2，－2），B（4，－5），C（5，－2），以原点O为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍．
A
B
C
解：
A'（ ， ），B ' （ ， ），C ' （ ， ），
4
－ 4
－ 10
8
－4
10
A" （ ， ），B" （ ， ），C" （ ， ），
4
－ 4
－ 8
10
－10
4
A'
B '
C '
A"
B"
C"
新人教九年级数学下
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1、如图,已知正方形OABC的顶点坐标依次为
O（0，0），A（3，0），B（3，3），C（0，3）.
（1）在平面直角坐标系中，以坐标原点Ｏ为位似中心，将正方形OABC放大为原图形的2倍；
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（2）在平面直角坐标系中，以坐标原点Ｏ为位似中心， 将正方形OABC缩小为原图形的 .
2、如图，在平面直角坐标系中有两点A(6，2)，B(6，0)，以原点为位似中心，相似比为1∶3，把线段AB缩小，则过A点对应点的反比例函数的解析式为( )
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A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
3．如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C′，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是( )
A．－1/2a B．－1/2(a＋1)C．－1/2(a－1) D．－1/2(a＋3)
B
D
2题
3题
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4、如图，原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，点A(1，0)与A′(－2，0)是对应点，△ABC的面积是2(3)，则△A′B′C′的面积是 _．
5、如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为(1，1)，点C的坐标为(4，2)，则这两个正方形位似中心的坐标是_ _．
6
4题
5题
6．在10×14的网格中，已知△ABC和点M(1，2)．
(1)以点M为位似中心，位似比为2，画出△ABC的位似图形△A′B′C′；
(2)写出△A′B′C′的各顶点坐标．
新人教九年级数学下
解：(1)如图所示．
(2)A′(3，6)，B′(5，2)，C′(11，4)．
新人教九年级数学下
1、(2014·绥化)已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)．
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是_ _；
(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2∶1，点C2的坐标是_ _；
(3)△A2B2C2的面积是_ _平方单位
C2(1，0)
C1(2，－2)
解（1）右图△A1B1C1就是所作图形，坐标根据平移规律得到C1。
解（2）右图△A2B2C2就是所作图形，根据位似坐标规律得到C2。
新人教九年级数学下
1、(2014·绥化)已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)．
(3)△A2B2C2的面积是_ _平方单位
解（3）∵A2C2＝20，
B2C2＝20，A2B2＝40，∴△A2B2C2是等腰直角三角形
∴ =：
10
新人教九年级数学下
把知识留给自己，把困惑告诉老师和同学。共同帮助进步。
作业：导学测评登陆21世纪教育 助您教考全无忧
人教版九年级数学下27.3位似（2）同步练习
一、基础训练
1. 用作位似形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心 （ ）
A．只能选在原图形的外部 B．只能选在原图形的内部
C．只能选在原图形的边上 D．可以选择任意位置
2. 已知△ABC ， 以点A为位似中心，作出△ADE ， 使△ADE是△ABC放大2倍的图形，这样的图形可以作出 个 （ ）21cnjy.com
A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个
3. 两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线____ ____，那么这样的两个图形叫做位似图形．
4. 如图，△ABO与△A′B′O′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 .
5. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O.若点A的坐标是(1，2)，则点A′的坐标是( )
2·1·c·n·j·y
A．(2，4) B．(－1，－2)
C．(－2，－4) D．(－2，－1)
.
二、能力培优
6. 如图在Rt△AOB中，∠ABO=90°， O为坐标原点，直角边OB在x轴上且A(4，2) ，以O为位似中心，在y轴右侧将△ABO放大两倍，则放大后，点A的对应点A′坐标为 ．
7. 下图中的两个四边形是位似图形，它们的位似中心是
A．点M B．点P C．点O D．点N
8. 如图，已知△EFH和△MNK是位似图形，那么其位似中心是 （ ）
A．点A B．点 B C．点C D．点D
9. 如图，以A为位似中心，将△ADE放大2倍后，得位似图形△ABC，若 表示△ADE的面积，表示四边形DBCE的面积，则= （ ）
21教育网
A．1︰2 B．1︰3 C．1︰4 D．2︰3
10. 如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 21·cn·jy·com
11. 如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为l： ， 点A的坐标为（2，0），则E点的坐标为__________________。
12.如图，在的正方形网格中，△OAB的顶点分别为O（0，0），A（1，2），B（2，-1）．
（1）以点O（0，0）为位似中心，按比例尺（OA︰OA’）1:3在位似中心的同侧将△OAB放大为△OA’B’，放大后点A、B的对应点分别为A’、B’ ．画出△OA’B’，并写出点A’、B’的坐标：A’（ ），B’（ ）；
（2）在（1）中，若为线段上任一点，写出变化后点的对应点的坐标（ ）．21世纪教育网版权所有
三、拓展提升
13. 在13×13的网格图中，已知△ABC和点M（1，2）．
（1）以点M为位似中心，位似比为2，画出△ABC的位似图形△A′B′C′；
（2）写出△A′B′C′的各顶点坐标．【来源：21·世纪·教育·网】
知识点：位似变换
答案：D
2.知识点：位似变换
答案：B
3.知识点：位似变换
答案：相交于一点
5.知识点：位似变换
答案：C
6.知识点：位似变换
答案：(8,4)
解析：试题分析：由题意知图形放大两倍，得到的新图形的面积将放大4倍，依题意则有其边长两直角边长分别是原来的2倍，所以得到的新坐标A′（8,4）
考点：坐标和图形的变化
点评：本题涉及图形旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心O，旋转方向顺时针，图形面积和边长的关系
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8.知识点：位似变换
答案：B
解析：试题分析：根据位似中心是对应点连线的交点即可判断.
由图可知位似中心是点 B，故选B.
考点：位似图形
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握位似中心的特点，即可完成.
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9.知识点：相似三角形的性质、位似变换、作图-位似变换
答案：B
10.知识点：坐标与图形性质、位似变换
答案：（9，0）
11.知识点：正方形的性质、位似变换
答案：（ ， ）
解析：试题分析：因为正方形OABC与ODEF是位似图形，O为位似中心，比例是
即：OA:OD=
因为点A的坐标为（2，0），即OA=2，OD=2
因为四边形ODEF是正方形
所以DE=OD=2,所以E点的坐标（ ， ）
考点：位似图形，正方形性质
点评：位似图形的基本定义是解题的关键：如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，【对应边互相平行（或共线）】，那么这样的两个图形叫做位似图形
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12. 知识点：位似变换
答案：（1）如下图，（3，1），（6，-3）；（2）（3a，3b）
解析：试题分析：（1）利用已知画出位似图形，进而得出A′，B′的坐标即可；
（2）利用（1）中点的坐标变化规律得出即可.
（1）如图所示：2-1-c-n-j-y
A’（3，1），B’（6，-3）；
（2）根据（1）中规律可以得出：若点C（a，b）为线段AB上任一点，
故变化后点C的对应点C′的坐标为（3a，3b）；
考点：位似变换
点评：作图能力是初中数学学习中的重要能力，在中考中比较常见，一般难度不大，需熟练掌握.
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人教版九年级数学下27.3位似（2）同步练习
一、基础训练
1. 用作位似形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心 （ ）
A．只能选在原图形的外部 B．只能选在原图形的内部
C．只能选在原图形的边上 D．可以选择任意位置
1.知识点：位似变换
答案：D
2. 已知△ABC ， 以点A为位似中心，作出△ADE ， 使△ADE是△ABC放大2倍的图形，这样的图形可以作出 个 （ ）21教育网
A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个
2.知识点：位似变换
答案：B
3. 两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线____ ____，那么这样的两个图形叫做位似图形．
3.知识点：位似变换
答案：相交于一点
4. 如图，△ABO与△A′B′O′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 .
5. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O.若点A的坐标是(1，2)，则点A′的坐标是( )
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A．(2，4) B．(－1，－2)
C．(－2，－4) D．(－2，－1)
.
5.知识点：位似变换
答案：C
二、能力培优
6. 如图在Rt△AOB中，∠ABO=90°， O为坐标原点，直角边OB在x轴上且A(4，2) ，以O为位似中心，在y轴右侧将△ABO放大两倍，则放大后，点A的对应点A′坐标为 ．
6.知识点：位似变换
答案：(8,4)
解析：试题分析：由题意知图形放大两倍，得到的新图形的面积将放大4倍，依题意则有其边长两直角边长分别是原来的2倍，所以得到的新坐标A′（8,4）
考点：坐标和图形的变化
点评：本题涉及图形旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心O，旋转方向顺时针，图形面积和边长的关系
7. 下图中的两个四边形是位似图形，它们的位似中心是
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A．点M B．点P C．点O D．点N
8. 如图，已知△EFH和△MNK是位似图形，那么其位似中心是 （ ）
A．点A B．点 B C．点C D．点D
8.知识点：位似变换
答案：B
解析：试题分析：根据位似中心是对应点连线的交点即可判断.
由图可知位似中心是点 B，故选B.
考点：位似图形
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握位似中心的特点，即可完成.
9. 如图，以A为位似中心，将△ADE放大2倍后，得位似图形△ABC，若 表示△ADE的面积，表示四边形DBCE的面积，则= （ ）
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A．1︰2 B．1︰3 C．1︰4 D．2︰3
9.知识点：相似三角形的性质、位似变换、作图-位似变换
答案：B
10. 如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 21世纪教育网版权所有
10.知识点：坐标与图形性质、位似变换
答案：（9，0）
11. 如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为l： ， 点A的坐标为（2，0），则E点的坐标为__________________。
11.知识点：正方形的性质、位似变换
答案：（ ， ）
解析：试题分析：因为正方形OABC与ODEF是位似图形，O为位似中心，比例是
即：OA:OD=
因为点A的坐标为（2，0），即OA=2，OD=2
因为四边形ODEF是正方形
所以DE=OD=2,所以E点的坐标（ ， ）
考点：位似图形，正方形性质
点评：位似图形的基本定义是解题的关键：如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，【对应边互相平行（或共线）】，那么这样的两个图形叫做位似图形
12.如图，在的正方形网格中，△OAB的顶点分别为O（0，0），A（1，2），B（2，-1）．
（1）以点O（0，0）为位似中心，按比例尺（OA︰OA’）1:3在位似中心的同侧将△OAB放大为△OA’B’，放大后点A、B的对应点分别为A’、B’ ．画出△OA’B’，并写出点A’、B’的坐标：A’（ ），B’（ ）；
（2）在（1）中，若为线段上任一点，写出变化后点的对应点的坐标（ ）．www.21-cn-jy.com
12. 知识点：位似变换
答案：（1）如下图，（3，1），（6，-3）；（2）（3a，3b）
解析：试题分析：（1）利用已知画出位似图形，进而得出A′，B′的坐标即可；
（2）利用（1）中点的坐标变化规律得出即可.
（1）如图所示：
A’（3，1），B’（6，-3）；
（2）根据（1）中规律可以得出：若点C（a，b）为线段AB上任一点，
故变化后点C的对应点C′的坐标为（3a，3b）；
考点：位似变换
点评：作图能力是初中数学学习中的重要能力，在中考中比较常见，一般难度不大，需熟练掌握.
三、拓展提升
13. 在13×13的网格图中，已知△ABC和点M（1，2）．
（1）以点M为位似中心，位似比为2，画出△ABC的位似图形△A′B′C′；
（2）写出△A′B′C′的各顶点坐标．【来源：21·世纪·教育·网】
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