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新人教九年级数学下第二十七章 相似三角形 27.3 位似（一）小松中学 温光洪新人教九年级数学下1、知道位似图形的有关概念，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小。位似图形的有关概念利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小新人教九年级数学下阅读本课时的教材,回答下列问题1、如果两个多边形不仅 ，而且 ，对应边互相 ，像这样的两个图形叫做位似图形，这点叫做 ，这时我们说这两个图形关于这点位似.相似对应顶点的连线相交于一点平行位似中心位似中心位似中心无数位似中心不同，位似图形就不一样请同学们仔细观察下列两幅图有什么共同特点？ 两个图形不仅形状相同，而且每组对应点所在的直线都经过同一点,这一点叫做位似中心。新人教九年级数学下如图,任意五边形ABCDE，你能将它放大到原来的1.5倍吗?1.任取一点O2.以O为端点,作射线OA,OB,OC,OD,OE3.分别在射线OA,OB,OC,OD,OE上,取点A’,B’,C’,D’,E’,使 OA’:OA=OB’:OB=OC’:OC=OD’:OD=OE’:OE=1.5 A’B’C’D’E’4.连结A’B’,B’C’,C’D’,D’E’,E’A’,得五边形A’B’C’D’E’所以,五边形A’B’C’D’E’就是所求作的五边形.新人教九年级数学下2、由位似变换得到的图形与原图形是（ ）
A.全等 B .相似 C.不一定相似 D .定不全等。新人教九年级数学下1、下列图形中的两个图形不是位似图形的是 （ ）ABBB3.下列运动形式中：
（1）传动带上的电视机（2）电梯上的人的升降。
（3）照相时底片上的投影与站在照相机前的人 。
（4）国旗上的红五角星。
上述运动形式中不是位似变换的有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个。CC同侧例1:画四边形ABCD的相似图形,使得所画图形与原图形的相似比为 2:1,且位于位似中心的两侧.A’B’C’D’新人教九年级数学下位似中心是 取的,那么除了把位似中心取在形外,还可以取在那里?
任意(1)位似点在△ABC内；(将△ABC放大两倍)(2)位似点在△ABC的一边上；(3)位似点为△ABC的一个顶点。以上图形还可以怎么画?如果要将△ABC缩小到原来的一半,该怎么画?新人教九年级数学下例2、下图是运用幻灯机（点Ｏ表示光源）把幻灯片上的一只小狗放映到屏幕上的示意图，这两个图形之间有什么关系？o 这两个图形的形状相同，但大小不同， 它们是相似图形.新人教九年级数学下 分别在左、右两个小狗的头顶上取一点A,A′;再分别在狗尾巴尖上取一点B,B′.oB′BA′A点A,A′与点O在一条直线上吗？点B,B′与点O在一条直线上吗？
这种相似有什么特征？考虑对应点，从特殊点入手新人教九年级数学下 分别量出线段OA，OA′, OB，OB′的长度，
计算(精确到0.1)： 继续在左、右两只小狗上找出一些对应点，考察每一对对应点是否都与点Ｏ在一条直线上； 计算每一对对应点与点O所连的线段比，看它们是否与上述 ， 相等.新人教九年级数学下一般地，取定一个点O，如果一个图形G上每一个点P对应
于另一个图形G′上的点P′，且满足：
（1）直线PP′经过同一点O，
（2） ，其中k 是非零常数，当k>0 时，点P′在射线
OP 上，当k<0时，点P′在射线OP的反向延长线上. 那么称图形G与图形G′是位似图形．这个点Ｏ叫作位似中心，常数ｋ叫作位似比.新人教九年级数学下oBA连接AB，A′B′，可以得到下图，则AB∥A′B′吗？B′A′ ∵ ， ∠AOB =∠A′OB′，
∴ △OAB∽△OA′B′.
∴ ∠OAB =∠OA′B′.
∴ AB∥A′B′.两个位似图形
具有哪些特征？ 两个图形位似，则这两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行.如何证明？利用位似，可以把一个图形进行放大或缩小.新人教九年级数学下新人教九年级数学下【达标测评之自我尝试】2．已知：△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC与△A′B′C′不存在位似关系的是( )D1．下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比．
其中正确命题的序号是( )
A．②③ B．①② C．③④ D．②③④
A新人教九年级数学下【达标测评之自我尝试】3．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝10cm，OA′＝20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是_ _．4．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，若OA＝2AA′，S△ABC＝8，则S△A′B′C′＝_ _．5．如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC∶AF＝2∶3，则下列结论不正确的是( )
A．四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形
B．AD与AE的比是2∶3
C．四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2∶3
D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4∶918B【达标测评之自我展示】新人教九年级数学下6．如左下图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为( )
A．P1 B．P2 C．P3 D．P47.[2014?钦州]在右上图中的两个四边形是位似图形，它们的位似中心是( )
A．点M B．点N C．点O D．点PDA新人教九年级数学下【自我展示之归纳小结】请谈谈你的收获小组合作讨论1．[2014·防城港] △ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的相似比是1∶2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是( )
A．3 B．6 C．9 D．12【达标测评之自我提升】3．下列由位似变换得到的图形中，面积比是1∶9的是( )
A．OA＝1.2OA′ B．OA＝AA′ C．OA＝2AA′ D．OA＝0.5AA′BDD新人教九年级数学下2．小张用手机拍摄得到图7－31－21甲，经放大后得到图乙，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是( )
A．FG B．EF
C．EH D．FH【达标测评之自我提升】4．如图，矩形ABCD与矩形A′B′C′D′是位似图形，A是位似中心，已知矩形ABCD的周长为24，BB′＝4，DD′＝2，求AB和AD的长．解：∵矩形ABCD的周长为24∴AB＋AD＝12设AB＝x，则AD＝12－x∴AB′＝x＋4，AD′＝14－x∵矩形ABCD与矩形A′B′C′D′是位似图形∴矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′解得x＝8，∴AB＝8，AD＝12－x＝4.新人教九年级数学下 5．如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点上．
(1)以O为位似中心, 在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且相似比为1∶2；
(2)连接(1)中的AA′,求四边形AA′C′C的周长．(结果保留根号)新人教九年级数学下【达标测评之自我提升】解：(1)小组合作作图。(2)AA′＝CC′＝2在Rt△OA′C′中
OA′＝OC′＝2【自我提升之中考链接】新人教九年级数学下[2013·南宁] 如图7－31－24，△ABC三个顶点坐标分别为A(－1，3)，B(－1，1)，C(－3，2)．
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出S△A1B1C1∶S△A2B2C2的值．
解：(1)△A1B1C1如右下图所示．【自我提升之中考链接】新人教九年级数学下[2013·南宁] 如图7－31－24，△ABC三个顶点坐标分别为A(－1，3)，B(－1，1)，C(－3，2)．
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出S△A1B1C1∶S△A2B2C2的值．
新人教九年级数学下【自我提升之反思总结】把知识留给自己，把困惑告诉老师和同学。共同帮助进步。作业：导学测评人教版九年级数学下27.3位似（1）同步练习
一、基础训练 ? 1. 如图，从图甲到图乙的变换是（ ）
A．轴对称变换
B．平移变换
C．旋转变换
D．相似变换
2. 如图，与是位似图形，点是位似中心，若OA=2AA′,S△ABC=8，则=（???）
A．18
B．12
C．32
D．16
3. 两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线____????____，那么这样的两个图形叫做位似图形． 4. △ABC与△DEF是位似比为1:3的位似图形，若 ， 则△DEF的面积为??????????. 5. 如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC＝3 ， 若点A′的坐标为(1，2)，则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是( ) 21教育网
A．
B．
C．
D．
二、能力培优? 6. 如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D ， E ， F分别是OA ， OB ， OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是 ( ) 21cnjy.com
A．
B．
C．
D．
7. 若把△ABC的各边扩大到原来的3倍后，得△A′B′C′，则下列结论错误的是（ ）
A．△ABC∽△A′B′C′
B．△ABC与△A′B′C′的相似比为
C．△ABC与△A′B′C′的对应角相等
D．△ABC与△A′B′C′的相似比为
8. 下图中的两个四边形是位似图形，它们的位似中心是 ( )
A．点M
B．点P
C．点O
D．点N
9. 如图， ， 则与的位似比是________．
10. 如图，点是四边形与的位似中心，则________＝________＝________；?________，?________． 21世纪教育网版权所有
11. 已知，如图，A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′∶A′A=4∶3，则△ABC与________是位似图形，位似比为________；△OAB与________是位似图形，位似比为________. 21·cn·jy·com
12.如图所示，直角坐标系内，A(－4，3)，B（－2，0），C（－1，2），请你在图中画出△ABC关于原点O的对称的图形即△A′B′C′,并写出A′、B′、C′的坐标，求出△A′B′C′的面积. www.21-cn-jy.com
13.按下列要求正确画出图形： （1）已知和直线PQ，画出关于直线PQ对称的； （2）已知和点O，画出关于点O成中心对称的. 三、拓展提升? 14.如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以?点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.? （1）画出位似中心点O；? （2）直接写出△ABC与△A’B’C’的位似比????????????；? （3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点?O中心对称的△A"B"C"，如果△ABC内部一点M的坐标为（x，y），写出△A"B"C"中M的对应点M"的坐标?????????????。 2·1·c·n·j·y
参考答案
2.知识点：相似三角形的性质、位似变换 答案：A
3.知识点：位似变换 答案：相交于一点 4.知识点：相似三角形的性质、位似变换 答案： 解析：试题分析：△ABC与△DEF是位似比为1:3的位似图形，那么△ABC与△DEF的相应边之比，相应高之比等于1:3；若 ， 即 ， 那么 考点：相似三角形 点评：本题考查相似三角形，解决本题的关键是掌握相似三角形的面积与它们边及高的关系，本题难度一般 5.知识点：正方形的性质、相似多边形的性质、位似变换 答案：B 6.知识点：相似三角形的性质、位似变换 答案：B 解析：试题分析：∵△DEF是由△ABC经过位似变换得到，∴△DEF～△ABC又∵D，F分别是OA，OC的中点，∴DF=AC，∴△DEF与△ABC的相似比是1：2，∴△DEF与△ABC的面积比是1：4．考点：图形的位似、相似比 点评：此题难度不大，主要考察学生对图形的位似和相似比的理解和运用。 7.知识点：位似变换 答案：B 解析：试题分析：根据相似三角形的性质逐个进行判断可知A、C、D正确，B错误． 解：A、因为两个三角形的三条对应边的比相等，都为3，所以△ABC∽△A′B′C′，正确； B、可知△ABC与△A′B′C′的相似比为 ， 错误； C、所以△ABC与△A′B′C′的对应角相等，正确； D、因为相似比即是对应边的比，所以△ABC与△A′B′C′的相似比为 ， 正确． 故选B． 考点：相似图形． 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，若对应边的比都相等，则两个三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
9.知识点：位似变换 答案： 解析：试题分析：先根据可得∽ ， 再根据位似图形的相似比也叫做位似比即可得到结果. ∵ ∴∽ ∴与的位似比是 ． 考点：位似图形的判定和性质 点评：相似三角形全等的判定和性质的应用是初中数学极为重要的知识，与各个知识点联系极为容易，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意. 10.知识点：位似变换 答案： ， ， ； ， 解析：试题分析：位似图形的性质：位似图形的对应边成比例，对应角相等. ∵点是四边形与的位似中心 ∴＝＝； ， ． 考点：位似图形的性质 点评：本题是位似图形的性质的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般. 【来源：21·世纪·教育·网】
知识点：位似变换 答案：△A′B′C′，7∶4，△OA′B′，7∶4 解析：试题分析：根据位似图形的定义得到△ABC与△A′B′C′；△OAB与△OA′B′是位似图形，再根据位似图形的性质即可得到结果． 由题意得△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比为7：4；△OAB与△OA′B′是位似图形，位似比为7：4． 考点：位似图形的定义 点评：本题是位似图形的性质的基础应用题，难度一般，主要考查学生对位似图形与相似图形的认识. 21·世纪*教育网
12. 知识点：作图-位似变换 答案：作图见解析,A′(4,-3)、B′(2,0)、C′(1,-2),. 解析：试题分析： 试题解析：作图如下: www-2-1-cnjy-com
A′(4,-3)、B′(2,0)、C′(1,-2). △A′B′C′的面积=3×3-×1×2-×1×3-×2×3=. 考点：1.作图-中心对称变换；2.转换思想的应用.2-1-c-n-j-y
13. 知识点：作图-轴对称变换、作图-位似变换 答案：如图所示：
解析：试题分析：根据轴对称变换和中心对称变换的作图方法作图即可.
考点：基本作图 点评：基本作图是初中数学的重点，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握. 21*cnjy*com
14. 知识点：作图-位似变换 答案：（1）如下图；（2）2:1；（3）如下图，（ ， ） ? 【来源：21cnj*y.co*m】
人教版九年级数学下27.3位似（1）同步练习
一、基础训练 ? 1. 如图，从图甲到图乙的变换是（ ）
A．轴对称变换
B．平移变换
C．旋转变换
D．相似变换
2. 如图，与是位似图形，点是位似中心，若OA=2AA′,S△ABC=8，则=（???）21·世纪*教育网
A．18
B．12
C．32
D．16
2.知识点：相似三角形的性质、位似变换 答案：A 3. 两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线____????____，那么这样的两个图形叫做位似图形． 3.知识点：位似变换 答案：相交于一点 4. △ABC与△DEF是位似比为1:3的位似图形，若 ， 则△DEF的面积为??????????. 4.知识点：相似三角形的性质、位似变换 答案： 解析：试题分析：△ABC与△DEF是位似比为1:3的位似图形，那么△ABC与△DEF的相应边之比，相应高之比等于1:3；若 ， 即 ， 那么 考点：相似三角形 点评：本题考查相似三角形，解决本题的关键是掌握相似三角形的面积与它们边及高的关系，本题难度一般 5. 如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC＝3 ， 若点A′的坐标为(1，2)，则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是( ) 2-1-c-n-j-y
A．
B．
C．
D．
5.知识点：正方形的性质、相似多边形的性质、位似变换 答案：B 二、能力培优? 6. 如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D ， E ， F分别是OA ， OB ， OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是 ( ) 21cnjy.com
A．
B．
C．
D．
6.知识点：相似三角形的性质、位似变换 答案：B 解析：试题分析：∵△DEF是由△ABC经过位似变换得到，∴△DEF～△ABC又∵D，F分别是OA，OC的中点，∴DF=AC，∴△DEF与△ABC的相似比是1：2，∴△DEF与△ABC的面积比是1：4．考点：图形的位似、相似比 点评：此题难度不大，主要考察学生对图形的位似和相似比的理解和运用。 7. 若把△ABC的各边扩大到原来的3倍后，得△A′B′C′，则下列结论错误的是（ ）
A．△ABC∽△A′B′C′
B．△ABC与△A′B′C′的相似比为
C．△ABC与△A′B′C′的对应角相等
D．△ABC与△A′B′C′的相似比为
7.知识点：位似变换 答案：B 解析：试题分析：根据相似三角形的性质逐个进行判断可知A、C、D正确，B错误． 解：A、因为两个三角形的三条对应边的比相等，都为3，所以△ABC∽△A′B′C′，正确； B、可知△ABC与△A′B′C′的相似比为 ， 错误； C、所以△ABC与△A′B′C′的对应角相等，正确； D、因为相似比即是对应边的比，所以△ABC与△A′B′C′的相似比为 ， 正确． 故选B． 考点：相似图形． 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，若对应边的比都相等，则两个三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． 8. 下图中的两个四边形是位似图形，它们的位似中心是 ( ) 21世纪教育网版权所有
A．点M
B．点P
C．点O
D．点N
9. 如图， ， 则与的位似比是________．
9.知识点：位似变换 答案： 解析：试题分析：先根据可得∽ ， 再根据位似图形的相似比也叫做位似比即可得到结果. ∵ ∴∽ ∴与的位似比是 ． 考点：位似图形的判定和性质 点评：相似三角形全等的判定和性质的应用是初中数学极为重要的知识，与各个知识点联系极为容易，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意. 10. 如图，点是四边形与的位似中心，则________＝________＝________；?________，?________． 21教育网
10.知识点：位似变换 答案： ， ， ； ， 解析：试题分析：位似图形的性质：位似图形的对应边成比例，对应角相等. ∵点是四边形与的位似中心 ∴＝＝； ， ． 考点：位似图形的性质 点评：本题是位似图形的性质的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般. 11. 已知，如图，A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′∶A′A=4∶3，则△ABC与________是位似图形，位似比为________；△OAB与________是位似图形，位似比为________. 21·cn·jy·com
知识点：位似变换 答案：△A′B′C′，7∶4，△OA′B′，7∶4 解析：试题分析：根据位似图形的定义得到△ABC与△A′B′C′；△OAB与△OA′B′是位似图形，再根据位似图形的性质即可得到结果． 由题意得△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比为7：4；△OAB与△OA′B′是位似图形，位似比为7：4． 考点：位似图形的定义 点评：本题是位似图形的性质的基础应用题，难度一般，主要考查学生对位似图形与相似图形的认识. 12.如图所示，直角坐标系内，A(－4，3)，B（－2，0），C（－1，2），请你在图中画出△ABC关于原点O的对称的图形即△A′B′C′,并写出A′、B′、C′的坐标，求出△A′B′C′的面积. www.21-cn-jy.com
12. 知识点：作图-位似变换 答案：作图见解析,A′(4,-3)、B′(2,0)、C′(1,-2),. 解析：试题分析： 试题解析：作图如下: 2·1·c·n·j·y
A′(4,-3)、B′(2,0)、C′(1,-2). △A′B′C′的面积=3×3-×1×2-×1×3-×2×3=. 考点：1.作图-中心对称变换；2.转换思想的应用. 13.按下列要求正确画出图形： （1）已知和直线PQ，画出关于直线PQ对称的； （2）已知和点O，画出关于点O成中心对称的. 13. 知识点：作图-轴对称变换、作图-位似变换 答案：如图所示：
解析：试题分析：根据轴对称变换和中心对称变换的作图方法作图即可.
考点：基本作图 点评：基本作图是初中数学的重点，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握. 三、拓展提升? 14.如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以?点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.? （1）画出位似中心点O；? （2）直接写出△ABC与△A’B’C’的位似比????????????；? （3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点?O中心对称的△A"B"C"，如果△ABC内部一点M的坐标为（x，y），写出△A"B"C"中M的对应点M"的坐标?????????????。 【来源：21·世纪·教育·网】
14. 知识点：作图-位似变换 答案：（1）如下图；（2）2:1；（3）如下图，（ ， ） ? www-2-1-cnjy-com
