高二（上）期中数学试卷（含答案）

高二（上）期中数学试卷
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）已知空间向量，则向量在坐标平面Oyz上的投影向量是（　　）
A．（0，2，3） B．（0，2，﹣3） C．（1，2，0） D．（1，2，﹣3）
2．（5分）已知过坐标原点的直线l经过点，直线n的倾斜角是直线l的2倍，则直线n的斜率是（　　）
A． B． C． D．
3．（5分）平面α的法向量＝（1，2，﹣1），平面β的法向量＝（λ2，2，8），若α⊥β，则λ的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．不存在
4．（5分）过A（0，1），B（0，3）两点，且与直线y＝x﹣1相切的圆的方程可以是（　　）
A．（x+1）2+（y﹣2）2＝2 B．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5
C．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝2 D．（x+2）2+（y﹣2）2＝5
5．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点．若＝，＝，＝，则等于（　　）
A．++ B．﹣+ C．++ D．﹣+
6．（5分）已知直线l与圆C：x2+y2﹣6x+5＝0交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为D（2，），则|AB|＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（5分）如图1，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O．点E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合得到一个四棱锥P﹣ABCD（如图2）．当四棱锥P﹣ABCD的侧面积是底面积的2倍时，异面直线PB与CD所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）直线x+y+4＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，P在圆（x﹣4）2+y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（　　）
A．[8，12] B．[8，12] C．[12，20] D．[12，20]
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）下列命题正确的有（　　）
A．若空间向量，与任意一个向量都不能构成基底，则∥
B．若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面
C．若构成空间的一组基底，则也是空间的一组基底
D．若构成空间的一组基底，则，，共面
（多选）10．（5分）已知圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2+4x﹣2y+4＝0相交于A，B两点，则（　　）
A．直线AB的方程为y＝2x+2
B．两圆有两条公切线
C．线段AB的长为
D．圆O上点E，圆M上点F，则|EF|的最大值为
（多选）11．（5分）已知直线l：xsinα﹣ycosα﹣1＝0与圆O：x2+y2＝6相交于A，B两点，则（　　）
A．△AOB的面积为定值
B．cos∠AOB＝﹣
C．圆O上总存在3个点到直线l的距离为2
D．线段AB中点的轨迹方程是x2+y2＝1
（多选）12．（5分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长，侧棱长，P为底面ABCD内的动点，且A1P与BB1所成角为30°，则下列命题正确的是（　　）
A．动点P的轨迹长度为
B．当B1P∥平面A1C1D时，B1P与平面A1C1D的距离为
C．直线C1P与底面ABCD所成角的最大值为
D．二面角P﹣A1C1﹣D的范围是
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）已知直线l1：ax+2y+3a﹣2＝0与l2：x+（a+1）y+4＝0平行，则实数a的值为 　 　．
14．（5分）给出以下命题：
①空间任意两个共起点的向量是共面的；
②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量；
③空间向量的加法满足结合律：（+）+＝+（+）；
④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．
上述命题中，真命题的序号是 　 　．
15．（5分）已知直线l1与直线l2：3x+4y﹣6＝0平行，且与圆x2+y2+2y＝0相切，则直线l1的方程是 　 　．
16．（5分）中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒（cuán）尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此四棱锥的侧棱长为米，侧面与底面的夹角为30°，则此四棱锥相邻两个侧面的夹角的余弦值为 　 　．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知圆W经过点A（﹣3，0），B（﹣1，2），C（0，﹣）．
（1）求圆W的标准方程；
（2）设直线l：y＝x+m与圆W交于M，N两点，求△WMN面积的最大值及取得最大值时m的值．
18．（12分）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，PD⊥平面ABCD，PD∥BQ，且PD＝2BQ＝2．
（1）求证：PQ⊥AC；
（2）求直线AD与平面PAQ所成角的大小．
19．（12分）如图，AB，CD是圆柱的上、下底面圆的直径，四边形ABCD是边长为2的正方形，E是底面圆周上不同于A，B两点的一点，AE＝1．
（1）求证：BE⊥平面DAE．
（2）求点A到平面DBE的距离．
（3）求二面角C﹣DB﹣E的余弦值．
20．（12分）已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0．
（1）若圆C与圆x2+y2﹣8x﹣12y+36＝0外切，求m的值；
（2）当m＝1时，由直线l：x﹣y+4＝0上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB（A，B为切点），试探究四边形PACB的外接圆是否过定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．
21．（12分）如图，四棱锥E﹣ABCD，，CD＝CB＝1，AC＝2，平面EAC⊥平面ABCD，平面ABE∩平面CDE＝l．
（1）若点M为线段AE中点，求证：BM∥l；
（2）若∠ACE＝60°，CE＝1，求直线BC与平面ADE所成角的正弦值．
22．（12分）已知圆C过点A（6，0），B（1，5），且圆心在直线l：2x﹣7y+8＝0上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点D（0，5）且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M，N，若，其中O为坐标原点，求直线l的方程．
高二（上）期中数学试卷
参考答案与解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．B．
2．A．
3．C．
4．C．
5．A．
6．A．
7．A．
8．C．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．AC．
10．BD．
11．ABD．
12．AC．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．1．
14．①③④．
15．3x+4y﹣1＝0或3x+4y+9＝0．
16．．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．解：（1）设圆W的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），
则有，解得，
所以圆W的标准方程为（x+1）2+y2＝4；
（2）圆W的圆心W（﹣1，0），半径r＝2，圆心W到直线l的距离d＝，
因为直线1：y＝x+m与圆W交于M，N两点，
所以0＜＜2，解得﹣2+1＜m＜2+1且m≠1，
|MN|＝2＝2，
则S△WMN＝d|MN|＝d ＝，
所以令t＝d2，t∈（0，4），
则S△WMN＝＝≤2，
所以当t＝2时，即d＝，此时＝，即m＝3或﹣1时，
△WMN面积取得最大值2，
所以当m＝3或﹣1时，△WMN面积取得最大值2．
18．（1）证明：连接BD，因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD，
又因为PD⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
所以AC⊥PD，
又BD∩PD＝D，所以AC⊥平面PDBQ，
因为PQ 平面PDBQ，所以PQ⊥AC．
解：（2）设AC∩BD＝O，取PQ的中点M，则OM∥PD，
由（1）知，AC⊥BD，AC⊥OM．
以O为坐标原点，以OA，OB，OM所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则．
所以，，
设平面PAQ的一个法向量，则，所以，
所以，取．
设直线AD与平面PAQ夹角为α，
所以，，
所以，
即直线AD与平面PAQ夹角的大小为．
19．解：（1）证明：AB，CD是圆柱的上、下底面圆的直径，四边形ABCD是边长为2的正方形，
E是底面圆周上不同于A，B两点的一点，AE＝1．
∴BE⊥AE，BE⊥AD，
∵AE∩AD＝A，∴BE⊥平面DAE．
（2）解法一：∵边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝1．
∴BE＝＝，DE＝＝，
设点A到平面DBE的距离为h，
∵VD﹣ABE＝VA﹣BDE，∴＝，
∴h＝＝＝．
∴点A到平面DBE的距离．
解法二：∵BE⊥平面DAE，∴AE⊥BE，
∴点A到DE的距离即点A到平面BDE的距离，
在Rt△ADE中，点A到BD的距离为：
d＝＝＝，
∴点A到平面DBE的距离为．
（3）解：以E为原点，EB为x轴，EA为y轴，过点E作平面ABE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
B（，0，0），D（0，1，2），C（，0，2），E（0，0，0），
＝（﹣，1，2），＝（0，0，2），＝（，0，0），＝（0，1，2），
设平面BCD的法向量为＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，，0），
设平面BDE的法向量＝（a，b，c），
则，取b＝2，得＝（0，2，﹣1），
设二面角C﹣DB﹣E的平面角为θ，
则cosθ＝＝＝．
∴二面角C﹣DB﹣E的余弦值为．
20．解：（1）∵圆C方程可化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，（m＜5），
∴圆心C（1，2），半径r＝，
又圆D：x2+y2﹣8x﹣12y+36＝0可化为：（x﹣4）2+（y﹣6）2＝16，
∴圆心D（4，6），半径R＝4，又两圆外切，
∴|CD|＝r+R，
∴，（m＜5），
解得m＝4；
（2）当m＝1时，圆C方程可化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，
由圆的切线的性质易得：四边形PACB的外接圆为以PC为直径的圆，
∴四边形PACB的外接圆是过定点C（1，2）．
21．解：（1）证明：如图，设AD，AC中点分别为F，G，连接MF，FG，GB，又点M为线段AE中点，
∴MF∥ED，FG∥DC，又GC＝AC＝1＝BC，又由，CD＝CB＝1，AC＝2，得cos∠ACD＝cos，∴∠ACD＝，
∴△BCG为等边三角形，∴，又∠AGF＝∠ACD＝，∴∠AGF＝CGB＝，∴F，G，B三点共线，
∴MF∥ED，FB∥DC，又MF∩FB＝B，∴平面MBG∥平面EDC，又MB 平面MBG，
∴MB∥平面EDC，又MB 平面ABE，且平面ABE∩平面CDE＝l，
∴BM∥l；
（2）如图，由题意知AC⊥BD，又平面EAC⊥平面ABCD，过E作EO垂直AC于点O，则EO⊥平面ABCD，
又∠ACE＝60°，CE＝1，∴OE＝CE sin60°＝，OC＝CE cos60°＝＝，∴O为GC的中点，易知四边形GBCD为一个角为60°的菱形，∴O在BD上，
且AO＝AC﹣OC＝2﹣＝，OD＝OB＝，
分别以直线DB，AC，OE为x，y，z轴建立空间右手直角坐标系，则B（，0，0），C（0，，0），A（0，，0），D（，0，0），E（0，0，），
∴＝（，，0），＝（0，，），＝（，，0），设平面ADE的一个法向量为：，
则，令，则y＝2，，∴，设直线BC与平面ADE所成角为θ，
∴sinθ＝＝＝，
∴直线BC与平面ADE所成角的正弦值为．
22．解：（1）∵A（6，0），B（1，5），
∴AB的中点为（，），AB的斜率为＝﹣1，
∴AB的垂直平分线方程为：y﹣＝x﹣，即x﹣y﹣1＝0，
联立，解得，
∴圆心C为（3，2），半径r＝CA＝＝，
∴圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝13；
（2）根据题意可设直线l方程为y＝kx+5，
联立圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝13可得：
（k2+1）x2+6（k﹣1）x+5＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，，
∴y1y2＝（kx1+5）（kx2+5）＝k2x1x2+5k（x1+x2）+25，
∴＝x1x2+y1y2＝（k2+1）x1x2+5k（x1+x2）+25＝30，
∴，
解得k＝0或k＝1，经检验k＝1时，直线与圆相切，不满足题意，
∴k＝0，
∴直线l的方程为y＝5