21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系一课一练（含解析）

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21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系一课一练
一、单选题
1．已知一元二次方程x2+6x+c＝0有一个根为﹣2，则另一个根为（　　）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣8
2．一元二次方程 的两根为 、 ，则 的值是（　　）
A． B． C． D．
3．一元二次方程的两实数根之和等于（　　）
A．-2 B．2 C．-5 D．5
4．已知方程 的两个根为 、 ，那么 的值（　　）
A．3 B．1 C．－1 D．－6
5．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
二、填空题
6．设m、n分别为一元二次方程的两个实数根，则m+n+mn的值为　 　．
三、计算题
7．若x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根，求代数式（x1﹣x2）2的值.
四、解答题
8．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．
五、作图题
9．关于x的一元二次方程 的一个根是2，另一个根 .
（1）若直线 经过点 ， ，求直线 的解析式；
（2）在平面直角坐标系中画出直线 的图象，P是x轴上一动点，是否存在点P，使 是直角三角形，若存在，直接写出点P坐标，若不存在，说明理由.
六、实践探究题
10．阅读材料：如果，是一元二次方程的两根，那么有，．这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例，是方程的两根，求的值．解法可以这样：
∵，，则．
请你根据以上解法解答下题：
已知，是方程的两根，求：
（1）的值；
（2）的值．
（3）试求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2+6x+c＝0有一个根为﹣2，
∴设另一个根为m，则有m﹣2＝﹣6，
∴m＝﹣4，
故答案为：C.
【分析】设另一个根为m，根据两根系数关系可知m﹣2＝-6，求出m的值即可求出.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：由一元二次方程根与系数的关系得：
= = =-2.
故答案为：C.
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可知， = ，据此求解即可.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：设方程的两根为x1与x2，则x1+x2=.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程两根之间的关系即可直接得出答案.
4．【答案】C
【解析】【解答】根据题意得 ，∴ ．
【分析】利用根与系数的关系可以简化计算．
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
故答案为：A
【分析】先根据一元二次方程根的定义结合一元二次方程根与系数的关系即可得到，再代入求值即可求解。
6．【答案】-15
【解析】【解答】解：∵m，n分别为一元二次方程x2+2x-13=0的两个实数根，
∴m+n=-2，mn=-13，
则m+n+mn=-2-13=-15．
故答案为：-15．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得m+n=-2，mn=-13，再将其代入m+n+mn计算即可。
7．【答案】解：根据题意得x1+x2＝ ，x1x2＝﹣ ，
（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（ ）2﹣4×（﹣ ）＝
【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0 （a≠0）的根与系数的关系 x1+x2＝ ，x1x2＝﹣,求出 x1+x2与 x1x2的值，再根据完全平方公式的恒等变形将代数式变形后整体代入即可算出答案.
8．【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根，
∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，
∴m≥﹣；
（2）根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，
∵x12+x22=31+|x1x2|，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|，
即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2，
解得m=2，m=﹣14（舍去），
∴m=2．
【解析】【分析】（1）根据根的判别式的意义得到△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，再变形已知条件得到（x1+x2）2﹣4x1x2=31+|x1x2|，代入即可得到结果．
9．【答案】（1）解：当x=2时，方程为 ，解得k=8，
∵2+ =6，
∴一元二次方程为 的另一个根 =4.
设直线AB的解析式为y=kx+b（ ），
∵直线AB经过点A（2，0），B（0，4），
∴ ，
解得k=-2，b=4，
直线AB的解析式：y=-2x+4；
（2）存在，点P的坐标为 或
【解析】【解答】（2）解：第一种：AB是斜边，∠APB＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴当点P与原点O重合时，∠APB＝90°，
∴当点P的坐标为（0，0），△ABP是直角三角形.
第二种：设AB是直角边，点B为直角顶点，即∠ABP＝90°，
∵线段AB在第一象限，
∴这时点P在x轴负半轴.
设P的坐标为（x，0），
∵A（2，0）， B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，OP＝-x，
∴ ，
，
.
∵ ，
∴ ，
解得x=-8，
∴当点P的坐标为（―8，0），△ABP是直角三角形.
第三种：设AB是直角边，点A为直角顶点，即∠BAP＝90°.
∵点A在x轴上，点P是x轴上的动点，
∴∠BAP＞90°，
∴∠BAP＝90°的情况不存在.
∴当点P的坐标为（―8，0）或（0，0）时，△ABP是直角三角形.
【分析】（1）将x=2代入方程求出k=8，根据根与系数的关系求出 =4，设直线AB的解析式为y=kx+b（ ），利用待定系数法求出解析式；
（2）分情况求解：第一种：AB是斜边，∠APB＝90°，得到点P与原点O重合；第二种：设AB是直角边，点B为直角顶点，即∠ABP＝90°，设P的坐标为（x，0），根据 建立方程，求解得出x的值，求出点P的坐标；第三种：设AB是直角边，点A为直角顶点，即∠BAP＝90°，由点P是x轴上的动点，得到∠BAP＞90°，情况不存在.
10．【答案】（1）解：∵，是方程的两根，
∴，，
则；
（2）解：；
（3）解：∵（x1-x2）2=5，
∴x1-x2=± ，
则x22-x12=-（x12-x22）
=-（x1+x2）（x1-x2）
=-1×（-1）×（±）
=±．
【解析】【分析】（1）根据题干的方法求出x1+x2和x1x2的值，再把待求式子通分计算化简，然后代值计算即可；
（2）利用完全平方式把待求式子化为：，然后代值计算即可；
（3）利用（2）的结果先求出 x1-x2 的值，利用平方差公式把原式化为 -（x1+x2）（x1-x2），再代值计算即可.
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