3.1从算式到方程
一、单选题
1．（2022秋·贵州毕节·七年级期末）下列方程是一元一次方程的是（ ）
A．5x＋1＝2 B．3x﹣2y＝0 C．x2﹣4＝0 D．＝5
2．（2022秋·贵州毕节·七年级期末）若是方程的解，则的值是（ ）
A．-1 B．1 C．-3 D．3
3．（2022秋·贵州遵义·七年级统考期末）已知3是关于x的方程的解，则a的值是（ ）
A． B．5 C．7 D．2
4．（2022秋·贵州遵义·七年级统考期末）x=2是下列方程（ ）的解．
A．2x=6 B．（x﹣3）（x+2）=0 C．x2=3 D．3x﹣6=0
5．（2022秋·贵州遵义·七年级统考期末）下列各等式变形中，不一定成立的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
6．（2022秋·贵州贵阳·七年级统考期末）下列变形，其中不正确的为（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
7．（2022秋·贵州铜仁·七年级期末）下列等式变形错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．（2022秋·贵州毕节·七年级期末）设x，y，c是实数，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
9．（2022秋·贵州铜仁·七年级统考期末）下列运用等式的性质进行的变形，正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么． C．如果，那么 D．如果，那么
10．（2022秋·贵州铜仁·七年级统考期末）已知等式a＝b，则下列变形错误的是（ ）
A．|a|＝|b| B．a+b＝0 C．a2＝b2 D．2a﹣2b＝0
11．（2022秋·贵州黔东南·七年级统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
12．（2022秋·贵州遵义·七年级统考期末）如果代数式的值是5，那么的值为（ ）
A． B．2 C．1 D．
13．（2022秋·贵州遵义·七年级统考期末）下列等式变形正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、填空题
14．（2022秋·贵州黔西·七年级期末）若关于的方程是一元一次方程，则 ．
15．（2022秋·贵州铜仁·七年级统考期末）已知方程是一元一次方程，则m = ．
16．（2022秋·贵州毕节·七年级期末）如果x=1是方程2x+m=3的解，那么m的值为 ．
17．（2022秋·贵州铜仁·七年级统考期末）已知x＝1是方程3x﹣m＝x+2n的一个解，则整式m+2n+2020的值为 ．
18．（2022秋·贵州铜仁·七年级统考期末）已知关于x的方程的解是，则的值为 ．
19．（2022秋·贵州黔东南·七年级统考期末）已知关于的一元一次方程的解是，则的值为 ．
参考答案：
1．A
【分析】根据一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的指数是1的整式方程．进行判断即可．
【详解】解：A、5x＋1＝2是一元一次方程，故A正确；
B、3x﹣2y＝0，不是一元一次方程，故B错误；
C、x2﹣4＝0，不是一元一次方程，故C错误；
D、，不是一元一次方程，故D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的概念，解题的关键是熟记一元一次方程的概念进行判断．
2．B
【分析】根据方程的解的概念，将x=1代入原方程，得到关于a的一元一次方程，解方程可得a的值．
【详解】根据题意，将x=1代入方程，得：
a+2=3，
移项得： a=3－2，
即a=1.
故选B．
【点睛】本题主要考查方程的解的定义及解一元一次方程的能力，将方程的解代入原方程是关键．
3．B
【分析】将x＝3代入方程计算即可求出a的值
【详解】解：将x＝3代入方程2x﹣a＝1得：6﹣a＝1，
解得：a＝5．
故选：B．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
4．D
【分析】方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，把x＝2代入各个方程进行进行检验，看能否使方程的左右两边相等．
【详解】解：将x＝2代入各个方程得：
A．2x＝2×2＝4≠6，所以，A错误；
B．（x﹣3）（x+2）＝（2﹣3）（2+2）＝﹣4≠0，所以，B错误；
C．x2＝22＝4≠3，所以，C错误；
D．3x﹣6＝3×2﹣6＝0，所以，D正确；
故选：D．
【点睛】此题考查的是一元一次方程的解，只要把x的值代入看方程左边的值是否与右边的值相等，即可知道x是否是方程的解．
5．D
【分析】根据等式基本性质，逐项进行判断即可．
【详解】解：A．如果，那么一定成立，故A不符合题意；
B．如果，那么一定成立，故B不符合题意；
C．如果，那么一定成立，故C不符合题意；
D．如果，当时不一定成立，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质，1、等式两边同时加上(或减去)同一个整式,等式仍然成立；2、等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式等式仍然成立．
6．D
【分析】根据等式的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、如果，那么，故本选项正确，不符合题意；
B、如果，那么，故本选项正确，不符合题意；
C、如果，那么，故本选项正确，不符合题意；
D、如果，且，那么，故本选项错误，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式两边同时加上（或减去）同一个数（或整式），等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数（或整式），等式仍然成立是解题的关键．
7．D
【分析】根据等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解: A、两边都乘以3得,选项正确，不符合题意；
B、两边都除以2得，选项正确，不符合题意；
C、两边都加上5减去得，选项正确，不符合题意；
D、 两边都乘以6得，选项错误，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质：等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母，等式仍成立；掌握等式的基本性质是解题关键．
8．B
【分析】根据等式的性质，可得答案．
【详解】解：A．两边加不同的数，故A不符合题意；
B．两边都乘以c，故B符合题意；
C．时，两边都除以c无意义，故C不符合题意；
D．两边乘6c，得到，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟记等式的性质并根据等式的性质求解是解题关键．
9．C
【分析】利用等式的性质对每个等式进行变形即可找出答案．
【详解】A.如果，那么，本选项错误，不符合题意；
B.如果，那么，本选项错误，不符合题意；
C.如果，那么，选项正确，符合题意；
D.如果，那么，本选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
10．B
【分析】根据绝对值和等式的性质分别进行判定求解．
【详解】解：A．根据绝对值的性质可知，若a＝b，则|a|＝|b|，原变形正确，故此选项不符合题意；
B．根据等式性质，若a＝b，则a﹣b＝0，原变形错误，故此选项符合题意；
C．根据等式性质，若a＝b，则a2＝b2，原变形正确，故此选项不符合题意；
D．根据等式性质，若a＝b，则2a﹣2b＝0，原变形正确，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，等式的性质，理解等式的性质是解答关键．
11．C
【分析】根据等式的基本性质逐一判断即可．
【详解】A. 如果ab=bc，且b≠0,那么a=c，故不能选；
B. 如果a=b，那么a+c=b c，故不能选；
C. 如果，那么，∵原等式有意义，∴c≠0，∴a=b；
D. 如果a=b+1，那么2a=a+b+1，故不能选．
故选C
【点睛】本题考查了等式的两个基本性质，熟练运用等式的基本性质1、2，是解决此类问题的关键．
12．A
【分析】由=5根据等式的性质得到，代入求值即可．
【详解】解：∵=5，
∴，
∴，
∴=1-3=-2，
故选：A．
【点睛】此题考查了已知式子的值求代数式的值，正确掌握等式的性质是解题的关键．
13．D
【分析】根据等式的性质逐项分析判断即可．
【详解】解：A. 若，则，故该选项不正确，不符合题意；
B. 若，且，则，故该选项不正确，不符合题意；
C. 若，且，则，故该选项不正确，不符合题意；
D. 若，则，故该选项正确，符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．
14．
【分析】含有一个未知数，并且未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程．据此可得出关于k的方程，继而可求出k的值．
【详解】解：由题意得：
解得：k=0.
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，未知数的指数是1，一次项系数不能为0，特别容易忽视的一点就是系数不是0的条件．这是这类题目考查的重点.
15．3
【详解】试题分析：根据一元一次方程的概念可知未知数x的指数为1，即m－2＝1，解得m＝3，
故答案为3．
16．1.
【详解】试题分析：方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．根据方程解得定义可得，把x=1代入方程得2+m=3，解得m=1.
考点：一元一次方程的解．
17．
【分析】先把代入原方程可得：再整体代入代数式求值即可．
【详解】解：把代入原方程可得：
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解的含义，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键．
18．5
【分析】首先将代入得到关于的等式，然后整体代入到求解即可．
【详解】解：∵关于x的方程的解是，
∴将代入得：，即．
∴．
故答案为：5．
【点睛】此题考查了方程的解的含义，代数式求值问题，解题的关键是正确理解方程的解的含义以及整体代入思想的运用．
19．2
【分析】此题可将代入方程，得出关于的一元一次方程，解方程即可得出的值．
【详解】解：把代入原方程得：
解得：．
故答案为：2．
【点睛】此题考查的是一元一次方程的解法，解题的关键是将已知的的值代入得到关于的方程．3.2 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
一、单选题
1．（2022秋·贵州黔西·七年级期末）下列解方程的变形过程正确的是（ ）
A．由移项得：
B．由移项得：
C．由去分母得：
D．由去括号得：
2．（2022秋·贵州毕节·七年级统考期末）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·贵州六盘水·七年级统考期末）已知是方程的解，则a的值为（ ）
A． B． C． D．1
4．（2022秋·贵州六盘水·七年级期末）点在数轴上，点所对应的数用表示，且点到原点的距离等于，则的值为( )
A．或 B．或 C． D．
5．（2022秋·贵州铜仁·七年级期末）下列方程变形正确的是（ ）
A．由得 B．由得
C．由得 D．由得
6．（2022秋·贵州铜仁·七年级统考期末）已知为自然数，关于的一元一次方程的解也是自然数，则满足条件的自然数共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
7．（2022秋·贵州铜仁·七年级统考期末）若是方程的解，则 ．
8．（2022秋·贵州贵阳·七年级统考期末）已知是关于x的一元一次方程的解，则m的值是 ．
9．（2022秋·贵州贵阳·七年级统考期末）当 时，．
10．（2022秋·贵州六盘水·七年级统考期末）若与是同类项，则的值是 ．
11．（2022秋·贵州遵义·七年级统考期末）观察下列表格中的每组数，根据规律得出的值为 ．
第一组数 6 8 10
第二组数 8 15 17
第三组数 10 24 26
第四组数 12 35 37
… … … …
… 24 a b
三、解答题
12．（2022秋·贵州黔南·七年级统考期末）已知：，．
(1)计算：；
(2)若的值与y的取值无关，求x的值．
13．（2022秋·贵州铜仁·七年级统考期末）定义：对于一个有理数x，我们把称作x的对称数：
若，则，若，则：例：．
(1)求的值；
(2)若时，解方程：
14．（2022秋·贵州毕节·七年级期末）解方程及计算
(1)
(2)①，
②
15．（2022秋·贵州黔西·七年级期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：．
(1)求的值；
(2)若，求a的值．
16．（2022秋·贵州六盘水·七年级统考期末）已知含字母，的多项式：
(1)化简这个多项式；
(2)若，互为倒数，且多项式的值为0，求的值．
参考答案：
1．D
【分析】对于本题，我们可以根据解方程式的变形过程逐项去检查，必须符合变形规则，移项要变号．
【详解】解析：A．由移项得：，故A错误；
B．由移项得：，故B错误；
C.由去分母得：，故C错误；
D.由去括号得： 故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程变形化简求值，解题关键是：必须熟练运用移项法则．
2．B
【分析】直接将x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：将x系数化为1得：x=﹣3，
解得：x=﹣3，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并同类项，将未知数系数化为1，求出解．
3．A
【分析】将代入求解即可．
【详解】解：将代入，可得
解得
故选：A
【点睛】此题考查了方程解的含义，使方程成立的未知数的值为方程的解，掌握方程解的概念是解题的关键．
4．A
【分析】先求出点表示的数是或，结合题意列出方程或，求出的值即可．
【详解】解：点到原点的距离等于，
点表示的数是或，
点所对应的数用表示，
或，
解得或，
故选：．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的意义是解题的关键．
5．D
【分析】分别对所给的四个方程利用等式性质进行变形，可以找出正确答案．
【详解】A、由得；故A选项错误；
B、由得；故B选项错误；
C、由得；故C选项错误；
D、由得，故D选项正确；
故选D．
【点睛】主要考查了方程的变形，也就是解方程的基本步骤的分解，解此类题型要熟悉各项计算的方法，掌握等式的基本性质．
6．B
【分析】解此题可先将一元一次方程进行移项、合并同类项等转换，得出的解，再根据题意判断的值．
【详解】解：，
，
，
，
因为和均为自然数，
所以可以被6整除，且不等于0，
分解质因数得，所以只可能等于1、2、3、6，
即可能等于4、3、2，
故只有选项B符合题意，
故选：B．
【点睛】此题考查了自然数的定义，以及一元一次方程的解法，熟练掌握即可解答．
7．7
【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得．
【详解】解：由题意，将代入方程得：，
解得，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了解一元一次方程、一元一次方程的解，熟练掌握方程的解的概念（使方程两边相等的未知数的值是这个方程的解）是解题关键．
8．11
【分析】把代入，即可求解．
【详解】解：把代入得：
，
解得：．
故答案为：11
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
9．
【分析】解方程就可以得出的值．
【详解】解：，
移项，得，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，属于基础题，注意移项时要改变正负号．
10．4
【分析】根据所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，可得，进而得出的值．
【详解】解：与是同类项，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了同类项，解一元一次方程，关键是掌握同类项定义．
11．288
【分析】根据每一列数据可得第一列第n组数是：4+2n，第二列第n组数是：（n+2）2-1，第三列第n组数是：（n+2）2+1，进而可得结果．
【详解】解：根据题意可知：第一列第n组数是：4+2n，
第二列第n组数是：（n+2）2-1，
第三列第n组数是：（n+2）2+1，
所以4+2n=24，
所以n=10，
所以a=（n+2）2-1=144-1=143，
b=143+2=145．
所以a+b=143+145=288，
故答案为：288．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，通过观察分析找出规律是解题的关键．
12．(1)
(2)
【分析】（1）根据整式的加减运算可进行求解；
（2）把A、B两个代数式代入进行求解，然后根据与y的取值无关可求解x的值．
【详解】（1）解：
=
=；
（2）解：，
∴由（1）可知：，
∵的值与y的取值无关，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查整式的加减运算及一元一次方程的解法，熟练掌握整式的加减运算及一元一次方程的解法是解题的关键．
13．(1)1；
(2)x=-．
【分析】（1）根据对称数的定义求得即可；
（2）根据对称数的定义化简方程，然后解方程即可．
【详解】（1）解：[2]=2-2=0，[-1]=-1+2=1；
∴[2]+ [-1]=0+1=1；
（2）解：当x＜-1时，方程为：2x+2+x+1+2=1，
解得：x=-；
故方程的解为：x=-．
【点睛】本题考查了对称数的定义，代数式求值以及解一元一次方程，能够根据对称数的概念化简是解题的关键．
14．(1)；
(2)①11，②10.
【分析】（1）按照解一元一次方程的过程进行即可；（2）先算乘方，再算乘除，最后算加减．
【详解】（1）解：
移项得，
合并得，
系数化为1得，；
（2）解：①
原式=
=，
②
原式=
=
=10
【点睛】本题考查了解一元一次方程、含乘方的有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则和解一元一次方程的过程是解题的关键．
15．(1)
(2)0
【分析】（1）根据新运算的法则，进行计算即可．
（2）根据新运算的法则，进行求解即可．
【详解】（1）；
（2），
解得：．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，理解并掌握新运算的法则是解本题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可化简原式；
（2）由倒数定义知，从而得出原式，再由代数式的值为0知，解之可得．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵，互为倒数，多项式的的值为0，
∴
则，
∴
∴；
【点睛】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号和合并同类项法则及倒数的定义、解一元一次方程．3.3 解一元一次方程（二）——去括号与去分母
一、单选题
1．（2022秋·贵州贵阳·七年级统考期末）下列解一元一次方程的步骤中，正确的是（ ）
A．方程，移项得
B．方程，去分母得
C．方程，去括号得
D．方程，系数化为，得
2．（2022秋·贵州遵义·七年级统考期末）已知代数式8x﹣7与6﹣2x的值互为相反数，那么x的值等于（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
3．（2022秋·贵州铜仁·七年级期末）解方程，去分母正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·贵州贵阳·七年级统考期末）小南在解关于的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得为，请根据以上已知条件求出原方程正确的解为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·贵州黔西·七年级统考期末）将方程去分母，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·贵州铜仁·七年级统考期末）解方程时，去分母后得到的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022秋·贵州贵阳·七年级统考期末）解方程时，去分母正确的是（ ）
A．2x﹣1﹣3x＋2＝12 B．8x﹣4﹣9x＋6＝12
C．8x﹣4﹣9x﹣6＝1 D．8x﹣4﹣9x﹣6＝12
二、填空题
8．（2022秋·贵州黔西·七年级期末）对于实数a、b、c、d，我们定义运算＝ad﹣bc，例如：＝2×5﹣1×3＝7，上述记号就叫做二阶行列式．若＝4，则x＝ ．
9．（2022秋·贵州黔西·七年级期末）若关于x的方程﹣x＝1的解是正整数，则符合条件的所有整数a的和为 ．
10．（2022秋·贵州遵义·七年级统考期末）定义：对于任意两个有理数，，可以组成一个有理数对，我们规定．例如．
根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对 ；
（2）当满足等式的是正整数时，则的正整数值为 ．
11．（2022秋·贵州铜仁·七年级统考期末）定义符号“*”表示的运算法则为，若，则x= ．
三、解答题
12．（2022秋·贵州遵义·七年级统考期末）解方程：
(1)；
(2)．
13．（2022秋·贵州遵义·七年级统考期末）解方程：
(1)
(2)．
14．（2022秋·贵州六盘水·七年级统考期末）小聪做作业时解方程的步骤如下：
解：去分母得： ①
去括号得： ②
移项得： ③
合并同类项得： ④
系数化为1得： ⑤
(1)小聪的解答过程在第__________________步出现错误．
(2)请写出正确的解答过程．
15．（2022秋·贵州遵义·七年级统考期末）解方程：
(1)2x＋2＝7－8x；
(2)
16．（2022秋·贵州黔东南·七年级统考期末）解方程：
17．（2022秋·贵州铜仁·七年级统考期末）方程的解与方程的解相同，求的值．
18．（2022秋·贵州铜仁·七年级统考期末）方程的解与方程的解相同，求m值．
参考答案：
1．A
【分析】根据解一元一次方程的步骤，去分母，移项，合并同类项，系数化为，即可．
【详解】A、方程，移项得，A正确，符合题意；
B、方程，去分母得，B错误，不符合题意；
C、，去括号得，C错误，不符合题意；
D、方程，系数化为，得，D错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查解一元一次方程的知识，解题的关键是掌握解一元一次方程的一般步骤．
2．A
【分析】两个式子互为相反数，就是已知两个式子的和是0，这样就可以得到一个关于x的方程，解方程就可以求得x的值．
【详解】根据题意得：（8x﹣7）+（6﹣2x）=0，
解得：x=．
故选A.
【点睛】本题考查了相反数的定义及一元一次方程的解法，由相反数的定义列出方程是解答本题的关键.
3．D
【分析】根据等式的基本性质，等式两边都乘以6去分母即可．
【详解】解：等式两边都乘以6得：，
即．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，注意等式的基本性质的应用，在去分母时要注意保留括号，且等式两边的每一项都要乘最小公分母．
4．A
【分析】先根据题意求出的值，然后代入原方程即可求出答案．
【详解】由题意可知：是方程的解，
∴，
∴．
∴原方程，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查一元一次方程，正确理解一元一次方程的解的定义和一元一次方程的解法是解本题的关键．
5．D
【分析】方程两边同时乘以4，即可完成变形．
【详解】解：
故选：D．
【点睛】此题考查了方程的变形，解题的关键是掌握方程去分母的法则．
6．D
【分析】方程两边同乘以4即可得．
【详解】解：，
方程两边同乘以4去分母，得，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握去分母的方法是解题关键．
7．D
【分析】根据等式的性质，方程两边都乘以分母的最小公倍数12，整理即可．
【详解】解：方程两边都乘以12得，
4（2x-1）-3（3x+2）=12，
8x-4-9x-6=12．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．
8．18
【分析】直接利用新定义得出一元一次方程，进而解方程得出答案．
【详解】解：由题意可得：7（x﹣2）﹣6x＝4，
解得：x＝18．
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查了实数运算以及解一元一次方程，正确得出一元一次方程是解题关键．
9．
【分析】先解一元一次方程，根据解为正整数，求得的整数解，再求其和即可
【详解】﹣x＝1
是正整数，
或或
或或
符合条件的所有整数a的和为
故答案为：
【点睛】本题考查了解一元一次方程，数的整除，找到4的因数是解题的关键．
10． 0 1或4
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，根据与都为整数，确定出的值即可．
【详解】（1）解：根据题中的新定义得：原式．
故答案为：0；
（2）已知等式化简得：，
解得：，
由、都是正整数，得到或，
解得：或4．
故答案为：1或4．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及有理数，弄清题中的新定义是解本题的关键．
11．/
【分析】根据题意可得：，然后解一元一次方即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
去括号，得：，
移项，合并同类项，得：，
系数化为1，得：
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次方程，解题的关键是根据新定义正确列出方程，并熟练掌握运用解一元一次方程的步骤．
12．(1)；
(2)．
【分析】（）先移项再合并同类项即可得结果；
（）按照解一元一次方程的步骤即可得出结果．
【详解】（1）解：，
，
，
（2）解：，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，掌握一元一次方程的求解步骤是解题的关键．
13．(1)；
(2)．
【分析】（1）先移项，再合并同类项，最后化系数为1；
（2）先去分母，再去括号，然后移项，最后合并同类项，据此解题．
【详解】（1）解：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握“一元一次方程的解法与步骤”是解本题的关键．
14．(1)②
(2)
【分析】（1）根据去括号法则即可判断；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1进行解方程即可．
【详解】（1）解：根据去括号法则可知第②步出现错误，
故答案为：②；
（2）
解：去分母得：
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
系数化为1得：.
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
15．(1)
(2)x＝4
【分析】（1）移项、合并同类项，系数化为1即可；
（2）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1即可．
【详解】（1）解：2x＋2＝7－8x
2x＋8x＝7－2
10x＝5
；
（2）
2x＋2－8＝4＋2－x
2x＋x＝4＋2＋8－2
3x＝12
x＝4．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键在于正确的进行去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1．
16．
【分析】先去分母，再去括号，再移项、合并同类项，最后依据等式的基本性质即可解方程．
【详解】解方程：
解：
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
17．
【分析】求出方程方程的解，代入方程求解即可．
【详解】解：
，
∵方程的解与方程的解相同，
∴把代入方程，
得：
．
【点睛】此题考查了同解方程，掌握同解方程的解题思路及运算法则是解题的关键．
18．m的值是-．
【分析】因为两个方程的解相同，所以解出第一个方程后，把x的值代入第二个方程中，进行解答即可．
【详解】解：解方程2(1-x)=x+1得x=，
∵方程2(1-x)=x+1的解与方程的解相同，
把x=代入，
得：，
∴m=-．
故m的值是-．
【点睛】本题考查了同解方程，解一元一次方程和一元一次方程的解等知识点，能得出关于m的一元一次方程是解此题的关键．3.4 实际问题与一元一次方程
一、单选题
1．（2022秋·贵州铜仁·七年级统考期末）沿河县为进一步提升旅游业质量和档次，满足游客消费需求，开通了沿河——洪渡古镇的乌江水上旅游航线，已知游艇在乌江河中来往航行于沿河、洪渡古镇两码头之间，顺流航行全程需3小时，逆流航行全程需4小时，已知水流速度为每小时3km，求沿河、洪渡古镇两码头间的距离，若设沿河、洪渡古镇两码头间距离为x，则所列方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·贵州贵阳·七年级统考期末）2022年9月，花溪区抗击新冠病毒期间，为保障一线医护人员及抗疫自愿者的安全，需要大批防护服及防护面罩，为此某工厂加班生产防护服和防护面罩，已知工厂共40人，每人每天可加工防护服60件或防护面罩100个，已知一件防护服配一个防护面罩，为了使每天生产的防护服与防护面罩正好配套，需要安排生产防护服的人数是（ ）
A．25人 B．30人 C．35人 D．40人
3．（2022秋·贵州遵义·七年级统考期末）某商店将一件进价为100元的商品A涨价后，刚好与一件进价为m元的商品B降价后售价一样，现将这两件商品同时售出，则该商店这次销售的盈亏情况是（ ）
A．盈利了 B．亏损了 C．不盈不亏 D．无法确定
4．（2022秋·贵州黔西·七年级期末）某商场周年庆期间，对销售的某种商品按成本价提高30%后标价，又以9折优惠卖出，结果每件商品仍可获利85元，设这种商品每件的成本是元，根据题意，可得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022秋·贵州毕节·七年级统考期末）一件衣服标价132元，若以9折降价出售，仍可获利10%，则这件衣服的进价
A．106元 B．105元 C．118元 D．108元
6．（2022秋·贵州六盘水·七年级统考期末）寒假期间，小刚组织同学一起去看科幻电影《流浪地球》，票价每张45元，20张以上（不含20张）打八折，他们一共花了900元，则他们买到的电影票的张数是（ ）
A．20 B．22 C．25 D．20或25
7．（2022秋·贵州贵阳·七年级统考期末）如图，数轴上点A和点B表示的数分别是-6和4，动点M从A点以每秒3cm的速度匀速向右移动，动点N同时从B点以每秒1cm的速度匀速向右移动.设移动时间为t秒，当动点N到原点的距离是动点M到原点的距离的2倍时，t的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
二、填空题
8．（2022秋·贵州遵义·七年级统考期末）由于受到库存货的积压，老板将原价为元瓶的老酒打折出售，还能获得一半的利润，这种老酒的成本价是 元瓶．
9．（2022春·贵州黔东南·七年级统考期末）某班思政课上举行了普法知识竞赛，共有30道题，规定答对一题得4分，答错或者不答扣1分，在这次竞赛中小明要不低于90分，则他至少需要答对 道题．
10．（2022秋·贵州黔西·七年级统考期末）观察下表，从左向右依次在每个小格子中填入一个有理数，使得其中任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15．已知第3个数为7，第5个数为，第8个数为2，第10个数为，则第2022个数为 ．
7 2
11．（2022秋·贵州遵义·七年级统考期末）如图是由四个相同的长方形拼成的一个大正方形EFCH和一个小正方形ABCD，设小正方形ABCD的面积为，大正方形EFGH的面积为，每个长方形的面积为．若，且，则 ．
12．（2022秋·贵州遵义·七年级统考期末）数学家丢番图的墓上记截着：他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了．根据以上信息，请你算出丢番图的寿命是 岁．
13．（2022秋·贵州遵义·七年级统考期末）某市为了增强居民节约用水的意识，避免水资源的浪费，全面实行“阶梯收费”，收费标准如下表，某用户12月份缴水费63元，则所用水为 立方米．
月用水量 不超过18立方米部分 超过18立方米但不超过24立方米部分 超过24立方米部分
收费标准 2.8元/立方米 4.2元/立方米 8.4元/立方米
三、解答题
14．（2022秋·贵州贵阳·七年级统考期末）2022年12月8日，贵州高速公路第一长隧（桐梓隧道）正式贯通，该隧道全长10.5千米，张师傅和黄师傅同时骑自行车从隧道两端对隧道进行路况检测，张师傅的速度是15千米/时，黄师傅的速度是20千米/时，张师傅和黄师傅经过多少时间相距3.5千米？
15．（2022秋·贵州六盘水·七年级统考期末）已知二项式中，含字母的项的系数为，二项式的次数为，常数项为，且，，分别是点，，在数轴上所表示的数．
(1)求，，的值，并在数轴上标出点，，；
(2)若甲、乙、丙三个动点分别从，，三个点同时出发沿数轴负方向运动，它们的速度分别是，2，（单位长度/秒），运动多长时间时乙追上丙，此时乙与甲相距多远？
(3)在数轴上是否存在一点，使点到点，，的距离之和等于10，若存在，请直接指出点对应的数；若不存在，请说明理由．
16．（2022春·贵州毕节·七年级统考期末）修建中的贵阳经金沙至古蔺高速公路是《贵州省交通运输“十三五”发展规划》重点实施项目，项目全长约，其中古蔺至金沙段全长近，设计时速的双向六车道高速公路，它的建成将加快金沙经济的快速发展．建成后若一辆小轿车以的速度从古蔺匀速行驶，15分钟后一辆客车以的速度从金沙匀速出发．问：小轿车能否在到达贵阳之前追上客车？若不能追上说明理由；若能追上则追上时距离目的地贵阳还有多远？（列一元一次方程解）
17．（2022秋·贵州遵义·七年级统考期末）某酒厂因仓库不够，今年生产的酒没有存放的地方，于是决定将已存放五年的一种酒进行勾兑并包装装箱后出售，特请了19名工人，其中1人为质量检查员，专门负责质量检查，已知每个工人每天装箱可以装400箱或包装酒可以包装300瓶，6瓶酒装1箱．
(1)请问安排多少人包装酒，多少人装箱才能使得每天包装的酒刚好装箱？
(2)这些工人将这种酒包装和装箱完毕恰好用时4天，根据统计计算可知这种酒每箱成本为300元（包含工人工资），从包装开始到销售结束，还需花费其它各种费用44800元．厂长为了腾出仓库存放新酒，将这种酒以每箱450元的价格售出60%后，余下的酒打折出售，该厂长想售出这种酒后获得320000元利润，则余下的酒应打多少折出售？
18．（2022秋·贵州铜仁·七年级统考期末）某校新进了一批课桌椅，七年（2）班的学生利用活动课时间帮助学校搬运部分课桌椅，已知七年（2）班共有学生45人，其中男生的人数比女生人数的2倍少24人，要求每个学生搬运60张桌子或者搬运150张椅子．请解答下列问题：
(1)七年（2）班有男生、女生各多少人？
(2)一张桌子配两把椅子，为了使搬运的桌子和椅子刚好配套，应该分配多少个学生搬运桌子，多少个学生搬运椅子？
19．（2022秋·贵州黔西·七年级统考期末）小商品批发市场内，某商品的价格按如下优惠：购买不超过300件时，每件3元；超过300件但不超过500件时，每件2.5元；超过500件时，每件2元．某客户欲采购这种小商品700件．
(1)现有两种购买方案：①分两次购买，第一次购买200件，第二次购买500件；②一次性购买700件．按哪种方案购买更省钱？说明理由．
(2)若该客户分两次购买该商品共700件（第一次购买不超过300件），共付费1860元，求第一次和第二次分别购买该商品多少件．
20．（2022秋·贵州毕节·七年级统考期末）椰岛文具店的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元．该店为了促销该种毛笔和书法练习本，制定了两种优惠方案．
方案一：买一支毛笔赠送一本书法练习本；
方案二：按购买金额的九折付款．
某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本x(x＞10)本．
(1)请你用含x的式子表示每种优惠方案的付款金额；
(2)购买多少本书法练习本时，两种优惠方案的实际付款数一样多？
21．（2022秋·贵州铜仁·七年级统考期末）（1）阅读思考：
小迪在学习过程中，发现“数轴上两点间的距离”可以用“表示这两点数的差”来表示．
探索过程如下：
如图1所示，线段，，的长度可以表示为：，，，于是，他归纳出这样的结论：如果点A表示a，点B表示的数是b，当时，，（较大数-较小数）
（2）尝试应用：
①如图2，计算___________，_________．
②把数轴在数处对折，使表示和2022两数的点恰好互相重合，则_________．
（3）问题解决：
①如图3，点Р表示数x，点M表示数，点N表示数，且，求出点Р和点N分别表示的数．
②在上述①的条件下，点Q以每秒1个单位长度的速度从О点向左运动时，点Р以每秒5个单位长度向左运动，点N以每秒16个单位长度向左运动，当它们同时出发时，求几秒后Q点到点P、点N的距离相等？
22．（2022秋·贵州毕节·七年级统考期末）如图，的边OA上有一动点P，从距离O点18cm的点M处出发，沿线段MO，射线OB运动，速度为2cm/s；动点Q从点O出发，沿射线OB运动，速度为1cm/s．P、Q同时出发，设运动时间是．
(1)当点P在MO上运动时，______cm（用含t的代数式表示）；
(2)当点P在MO上运动时，t为何值，能使？
(3)当t为何值时，点P追上点Q？
23．（2022秋·贵州黔东南·七年级统考期末）假期来临，某班班主任杨老师带领该班三好学生去旅游，甲旅行社说：“如果教师买全票一张，其余学生享受半价优惠；”乙旅行社说：“教师在内全部按票价的6折优惠；”若全票价是200元；
(1)如果有5名学生，应参加哪个旅行社，并说出理由；
(2)当学生人数是多少时，两家旅行社收费一样多？
24．（2022秋·贵州铜仁·七年级统考期末）为鼓励民众节约用电，城镇居民生活用电电费目前实行梯度收费，具体标准如下表：
月用电量（单位：度） 单价（单位：元）
200以内（含200） 0.5
超过200但不超过300的部分（含300） 0.6
300以上（不含300）的部分 0.8
(1)若月用电150度，应交电费多少元？若月用电280度，应交电费多少元？
(2)若某用户12月应交电费220元，该用户12月的用电量是多少？
25．（2022秋·贵州遵义·七年级统考期末）如图（1）是2021年8月的月历，图（2）（3）都是它的其中一部分，请观察图（1）中被框起来的数之间的关系，总结规律，解答问题：
(1)在图（2）中，用含m的式子表示被框起来的五个数的和为______；
(2)在图（3）中，表示a，b，c，d四个数之间的关系式中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
(3)图（4）是同年9月月历的一部分，在图（4）中，若被框起来的三个数之和为33，求x所表示的这一天是星期几？
26．（2022秋·贵州遵义·七年级统考期末）在教育部“双减”政策背景下的校园课后服务，既解决了家长对孩子课后托管难的问题，又强化了学校的教育综合服务主体功能．为了促进学生的身心健康，某校七年级有学生1260人，八年级有学生1200人．现计划在七、八年级开展足球课后服务活动，分别给这两个年级购买并投放一批足球，这些足球有A，B两种品牌，请根据材料解答下列问题：
(1)投放分配：
七年级每60人投放m个足球，八年级每40人投放个足球．
①应投放七年级足球______个（用含m的式子表示）；
②若七，八年级共投放足球204个，求m的值．
(2)投放经费：
经市场调查发现：每个A品牌足球的价格比每个B品牌足球的价格低15元，购买A品牌足球4个和B品牌足球3个，刚好需付费500元．
①求每个A品牌，B品牌足球的单价各是多少元？
②若将A品牌足球投放到七年级，B品牌足球投放到八年级，则共需投放经费多少元？
27．（2022秋·贵州毕节·七年级统考期末）为发展校园足球运动，某城区四校决定联合购买一批足球运动装备．市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折．
(1)求每套队服和每个足球的价格是多少元；
(2)若城区四校联合购买100套队服和个足球，请用含a的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用；
(3)在（2）的条件下，若，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？
28．（2022秋·贵州六盘水·七年级统考期末）某中学有一个长为的长方形电子显示屏，学校的有关活动标语都会在电子显示屏显示，由于各次活动的名称不同，字数也就不等，负责电子显示屏的老师发现：边空宽：字宽：字距时，显示最美观，因此每次电子显示屏都按照以上比例进行设计显示，如下图所示．请用列方程的方法解决下列问题：
(1)某次活动标语的字数为17个，求这条标语的字距是多少？
(2)如果某次活动标语的字宽为，那么这条标语字数是多少个？
29．（2022秋·贵州黔西·七年级统考期末）在某新区的建设中，要把176吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆恰好能一次性运完这批物资．已知大、小货车的载重量分别为12吨/辆和8吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
甲地（元/辆） 乙地（元/辆）
大货车 640 680
小货车 500 560
(1)大、小货车各用了多少辆？
(2)如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地．设前往甲地的大货车有a辆，请用含a的代数式表示运往甲、乙两地的总运费．
(3)在（2）的条件下，若运往甲地的物资为100吨，请求出a的值及运往甲、乙两地的总运费．
30．（2022春·贵州黔南·七年级统考期末）《算法统宗》中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇，醇酒一瓢醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”其意思是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，那么他们总共饮下了19瓶酒，问饮下醇酒，薄酒分别多少瓶？
参考答案：
1．A
【分析】设出路程，然后表示出逆水航行速度和顺水航行速度，然后利用静水速度相同列出方程即可；
【详解】解：若设A、B两个码头问的路程为x千米，根据题意得：
，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是表示出顺水、逆水行驶时候的速度，难度一般．
2．A
【分析】设需要安排x人生产防护服，则安排人生产防护面罩，根据生产的防护服的总数量=生产的防护面罩的总数量，即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：设需要安排x人生产防护服，则安排人生产防护面罩，
依题意得：，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
3．B
【分析】先求出商品B的进价和售价，然后进行比较即可．
【详解】解：商品B的售价为（元），
设商品B的进价为x元，根据题意得：
，
解得：，
总进价为（元），
总售价为：（元），
∵，
∴该商店这次销售亏损了，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了销售盈亏问题，解题的关键是求出商品B的进价和售价．
4．A
【分析】由题意可知：成本+利润=售价，设这种商品每件的成本是元，则提高30%后的标价为元；打9折出售，则售价为，列出方程即可.
【详解】解：由题意可知：售价=成本+利润，
设这种商品每件的成本是元，则提高30%后的标价为元；
打9折出售，则售价为；
根据：售价=成本+利润，列出方程：
故选：A.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握等量关系：“成本+利润=售价”是解答本题的关键.
5．D
【详解】设这件衣服的进价为x元，则
132×0.9=x+10%x
解得：x=108
故选D．
6．D
【分析】本题分票价每张45元和票价每张45元的八折两种情况讨论，根据数量＝总价÷单价，列式计算即可求解．
【详解】①若购买的电影票不超过20张，则其数量为900÷45＝20（张）；
②若购买的电影票超过20张，
设购买了x张电影票，
根据题意，得：45×x×80%＝900，
解得：x＝25；
综上，共购买了20张或25张电影票；
故选D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，注意分类思想的实际运用，同时熟练掌握数量，总价和单价之间的关系．
7．C
【分析】分点M原点左边或右边两种情况讨论，由题意列出方程可求解．
【详解】解：当点M在原点左边，
由题意得：2（6-3t）=4+t，
解得：t=；
当点M在原点右边，
由题意得：2（3t-6）=4+t，
∴t=，
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键．
8．
【分析】根据“售价进价利润”列出方程，求解即可．
【详解】解：设成本价为，
根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，掌握“售价标价折数、利润售价进价”是解决本题的关键．
9．24
【分析】设需要答对x道题，根据小明要不低于90分得：4x （30 x）≥90，解得他至少需要答对24道题．
【详解】解：设需要答对x道题，
根据题意得：4x （30 x）≥90，
解得x≥24，
∴他至少需要答对24道题，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
10．11
【分析】根据题意，任意四个相邻格子中的和等于15，即4个数为1组循环，根据规律列出等式，计算出第2022个数即可．
【详解】解：任意四个相邻格子中的和等于15，即4个数为一组循环，
所以第3个数、第5个数、第8个数、第10个数分别对应一组循环中的第3个数、第1个数、第4个数、第2个数，
∴根据题意得：，
解得，
第2022个数是：
故答案为：11．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解一元一次方程，解决此题的关键是根据题意，列出等式，求出字母的值．
11．3
【分析】由图可得：大正方形EFGH的面积=小正方形ABCD的面积+4×小长方形的面积，即S2=S1+4S3，再由S1=S3可得S3=S1，则S1+S2=22，可得S2=22-S1，依此得到关于S1的方程，解方程即可求解．
【详解】解：由图可得：大正方形EFGH的面积=小正方形ABCD的面积+4×小长方形的面积，即S2=S1+4S3，
∵S1=S3，
∴S3=S1，
∵S1+S2=22，
∴S2=22-S1，
∴22-S1=S1+4×S1，
解得S1=3．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了列代数式、一元一次方程的应用，正方形和长方形的面积，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．84
【分析】设丢番图的寿命为x岁，根据丢番图的墓碑上的记载，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
【详解】解：设丢番图的寿命为x岁，
依题意得：，
解得：x=84．
答：丢番图的寿命为84岁．
故答案为：84．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
13．21
【分析】由水费63元，可知用水量超过18立方米但不超过24立方米，设所用水为x立方米，根据表格列方程求解即可．
【详解】(元)
(元)
(元)
用水量超过18立方米但不超过24立方米
设所用水为x立方米，由题意得
解得
所以，所用水为21立方米
故答案为：21．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确理解题意，找准数量关系是解题的关键．
14．小时或小时
【分析】分相遇前相距3.5千米和相遇后相距3.5千米求解即可．
【详解】解：设张师傅和黄师傅经过x小时相距3.5千米．
当相遇前相距3.5千米时，由题意得，
，
解得．
当相遇后相距3.5千米时，由题意得，
，
解得．
综上可知，设张师傅和黄师傅经过小时或小时相距3.5千米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键．
15．(1)，，，数轴上表示见解析
(2)4秒，当乙追上丙时，乙也刚好追上甲，乙与甲之间的距离为0
(3)当点对应的数是或2时，
【分析】（1）根据多项式的系数、次数、常数项的对应求出a、b、c的值，在数轴上画出点A、B、C即可．
（2）设t秒后当乙追上丙，列出方程即可解决问题．
（3）分四种情形讨论：①当点P在点C左边时，②当点P在A、C之间时，，不存在．③当点P在A、B之间时，④当点P在点B右侧时，列出方程即可解决问题．
【详解】（1）解：根据题意，
∵，
∴，，，
点A、B、C如图所示：
（2）解：设秒后乙追上丙，依题意得：
解得：
此时，乙与甲相距：，
所以，当乙追上丙时，乙也刚好追上甲，乙与甲之间的距离为0；
（3）解：设点对应的数为，
①当点在点左边时
解得：
②当点在、之间时
此时点不存在
③当点在、之间时
解得：；
④当点在点右边时
解得：（不合题意，舍去）；
综上，当点对应的数是或2时，；
【点睛】本题考查一元一次方程的应用、数轴、行程问题等知识，解题的关键是学会利用方程解决问题，属于中考常考题型．
16．能，追上时距离贵阳还有60km
【分析】根据题意列一元一次方程进行求解即可．
【详解】解：能追上
理由：设客车出发x小时后小轿车追上客车，由题意得：
解得
(km)
160－100=60(km)
答：到达贵阳之前小轿车能追上客车，追上时距离贵阳还有60km．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用：行程问题，根据题意正确的列出方程是解题的关键．
17．(1)安排16人包装酒，2人装箱才能使得每天包装的酒刚好装箱
(2)余下的酒应打八折出售
【分析】（1）可设安排x人包装酒，则（19-1-x）人装箱，从而可列出方程求解；
（2）根据利润=售价-成本，结合题意列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设安排x人包装酒，则（19-1-x）人装箱，依题意得：
300x=400（19-1-x）×6，
解得：x=16，
19-1-16=2（人），
答：安排16人包装酒，2人装箱才能使得每天包装的酒刚好装箱；
（2）解：包装的酒的总数为：400×2×4=3200（箱），
设余下的酒应打y折出售，依题意得：
（450-300）×3200×60%+（450y×0.1-300）×3200×（1-60%）-44800=320000，
解得：y=8，
答：余下的酒应打8折出售．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系．
18．(1)七年（2）班有男生22人、女生23人
(2)应该分配25名学生搬运桌子，20名学生搬运椅子
【分析】(1) 设女生有x人，则男生有(2x-24)人，根据七年（2）班共有学生45人，列出相应的方程即可求解；
(2) 设分配y名学生搬运桌子，则有（45-y）名学生搬运椅子,根据搬运的桌子和椅子刚好配套列出相应的方程，从而可以解答本题．
【详解】（1）解：设女生有x人，则男生有(2x-24)人，
由题意得：．
解得，
.
答：七年（2）班有男生22人、女生23人．
（2）解：设分配y名学生搬运桌子，则有（45-y）名学生搬运椅子,
由题意得：
解得,
.
答：应该分配25名学生搬运桌子，20名学生搬运椅子．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，其中第二问是典型的配套问题．
19．(1)方案②，理由见解析
(2)第一次购买该商品220件，第二次购买该商品480件
【分析】（1）依据费用计算方式，分别计算两种方案的费用，比较即可；
（2）分当时，当时，两种情况讨论，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：（1）按方案①购买所需费用为（元）；
按方案②购买所需费用为（元）
因为，
所以按方案②购买更省钱．
（2）（2）设第一次购买该商品x件，则第二次购买该商品件．
①当，即时，
，
解得（不合题意，舍去）；
②当，即时，
，
解得，
∴．
故第一次购买该商品220件，第二次购买该商品480件．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．能读懂题意，根据题中的费用计算方式，分情况讨论是解题关键．
20．（1）方案一：5x＋200(x＞10)，方案二：4.5x＋225(x＞10)；（2）50本.
【分析】（1）方案1：10支毛笔的总价+除去10本练习本的总价；
方案2：（10支毛笔总价+x本练习本总价）×0.9．
（2）让两个方案的代数式相等，求解即可．
【详解】解：(1)方案一：25×10＋5(x－10)＝5x＋200(x＞10)；
方案二：(25×10＋5x)×0.9＝4.5x＋225(x＞10).
(2)由题意，得5x＋200＝4.5x＋225，
解得x＝50.
故购买50本书法练习本时，两种优惠方案的实际付款数一样多.
【点睛】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系.
21．（2）①5，8；②1000；（3）①点表示的数为，点表示的数为5；②秒或秒
【分析】（2）①利用得出的结论直接计算即可；②利用对称的性质列方程解答即可；
（3）①根据图表示的数，利用，建立方程求得答案；②求出点Q，点P，点N表示的数，根据Q点到点P、点N的距离相等列出绝对值方程，解之即可．
【详解】解：（2）①，，
故答案为：5，8；
②，
解得：；
（3）①，，
，
，
，
，
点表示的数为，点表示的数为5；
②设t秒后，Q点到点P、点N的距离相等，
由题意可得：t秒后，点Q表示的数为，点P表示的数为，点N表示的数为，
∴，
解得：或，
∴秒或秒后，Q点到点P、点N的距离相等．
【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，利用数形结合的思想和数轴上求两点之间距离的方法解决问题．
22．(1)
(2)6
(3)18
【分析】（1）由题意可知，．再根据即可求出答案；
（2）根据题意可用t表示出OQ的长，即可列出关于t的等式，解出t即可；
（3）根据P走的路程=Q走的路程+OM，即可列出关于t的等式，解出t即可．
【详解】（1）根据题意可知，
∴．
故答案为：．
（2）根据题意可知．
∵，即，
解得：．
故当点P在MO上运动时，t的值为6时，能使．
（3）根据题意可知，
解得：．
故当t的值为18时，点P追上点Q．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用．根据题意结合图形得到线段长度之间的关系，再列出关于t的等式是解题关键．
23．(1)应参加甲旅行社，见解析
(2)当学生人数为4人时，两家旅行社收费一样
【分析】（1）分别计算出当有5名学生参加时两旅行险分别收取的费用，然后比较即可；
（2）设当学生人数为人时，根据两家旅行社收费一样列方程求解．
【详解】（1）解：当有5名学生时，甲旅行社费用：元，
乙旅行社费用：元，
，
∴应参加甲旅行社；
（2）解：设当学生人数为人时，两家旅行社收费一样．
，
解得，
答：当学生人数为4人时，两家旅行社收费一样．
【点睛】本题考查了有理数四则运算的应用，以及一元一次方程的应用，根据两家旅行社收费一样列方程是解（2）的关键．
24．(1)若月用电150度，应交电费75元；若月用电280度，应交电费148元
(2)375度
【分析】（1）根据电费标准表格列出式子，计算有理数的乘法与加减法即可得；
（2）设该用户12月的用电量是度，先求出的取值范围，再根据“12月应交电费220元”建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：若月用电150度，应交电费为（元），
若月用电280度，应交电费为（元），
答：若月用电150度，应交电费75元；若月用电280度，应交电费148元．
（2）解：设该用户12月的用电量是度，
因为，，
所以，
则，
解得，
答：该用户12月的用电量是375度．
【点睛】本题考查了有理数四则运算的应用、一元一次方程的应用，正确列出运算式子和建立方程是解题关键．
25．(1)
(2)B
(3)星期六
【分析】（1）根据日历中数字规律，用m表示出其他4个数，然后求出被框起来的五个数的和即可；
（2）用a表示出其他几个数，然后再逐项进行判断即可；
（3）先求出x的值，然后根据8月份的日历推算出x所表示的这一天是星期几即可．
【详解】（1）解：其他四个数分别为：，，，，
被框起来的五个数的和为：
．
故答案为：．
（2）解：根据图可知，；，；
A．∵，
，
∴，故A正确，不符合题意；
B．∵，
，
∴，故B不正确，符合题意；
C．∵，
，
∴，故C正确，不符合题意；
D．∵，
，
∴，故D正确，不符合题意；
综上分析可知，不正确的是B．
（3）解：其他两个数分别为，，根据题意得：
，
解得：，
∵8月的最后一天是星期二，
∴9月11日是星期六，
即x所表示的这一天是星期六．
【点睛】本题主要考查了日历中的数，一元一次方程的应用，列代数式，解题的关键是熟练掌握日历中的数字规律．
26．(1)①；②
(2)①每个A品牌足球的价格为65元，则每个B品牌足球的价格为80元；②共需投放经费15060元
【分析】（1）①根据题意列出代数式即可；
②根据题意列出方程，解方程即可；
（2）①设每个A品牌足球的价格为x元，则每个B品牌足球的价格为元，根据购买A品牌足球4个和B品牌足球3个，刚好需付费500元，列出方程，解方程即可；
②根据题意列式计算即可．
【详解】（1）解：①应投放七年级足球个；
故答案为：；
②根据题意得：，
解得：；
（2）解：①设每个A品牌足球的价格为x元，则每个B品牌足球的价格为元，根据题意得：
，
解得：，
（元），
答：每个A品牌足球的价格为65元，则每个B品牌足球的价格为80元；
②（元），
答：共需投放经费15060元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式，有理数混合运算的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程．
27．(1)每套队服150元，每个足球100元
(2)甲：元；乙：元
(3)在乙商场购买比较合算，理由见解析
【分析】（1）设每个足球的定价是x元，则每套队服是元，根据两套队服与三个足球的费用相等列出方程，解方程即可；
（2）根据题意列出算式即可；
（3）把代入求值，然后比较大小即可．
【详解】（1）解：设每个足球的定价是x元，则每套队服是元，
根据题意得：，
解得：，
，
答：每套队服150元，每个足球100元．
（2）解：到甲商场购买所花的费用为：
元；
到乙商场购买所花的费用为：
元．
（3）解：在乙商场购买比较合算；理由如下：
将代入得：
(元)，
(元)，
∵，
∴在乙商场购买比较合算．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是根据题目中等量关系列出方程，准确解方程．
28．(1)字数为17个时字距是
(2)字数总共是15个
【分析】（1）设字距为，则边空宽为，字宽为，根据显示屏的总长度为，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据边空宽：字宽：字距可找出边空宽及字距，设字数为y个，根据显示屏的总长度为，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设字距是，则边空宽为，字宽为；依题意得：
整理得：
解得：
所以字数为17个时字距是；
（2）解：由字宽为可知：
边空距为：，字距为：
设字数总共是个，依题意得：
整理得：
解得：
则字数总共是15个；
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据显示屏的总长度为，列出关于x的一元一次方程；（2）根据显示屏的总长度为，列出关于y的一元一次方程．
29．(1)大货车用了8辆，小货车用了10辆
(2)元
(3)5，10540元
【分析】（1）根据题意可设大货车用了x辆，则小货车用了辆，利用所运物资为176吨可列方程，解之即可；
（2）根据安排10辆货车前往甲地，前往甲地的大货车为a辆，可得小货车的数量，也可表示前往乙地的大货车和小货车的数量，从而可以表示总运费；
（3）根据运往甲地的物资为100吨，列出方程即可求出a的值，从而求出总费用．
【详解】（1）解：设大货车用了x辆，则小货车用了辆．
由题意，得：，
解得：，
则．
∴大货车用了8辆，小货车用了10辆．
（2）解：∵前往甲地的大货车有a辆，所以前往乙地的大货车有辆．
又∵有10辆货车前往甲地，所以前往甲地的小货车有辆，前往乙地的小货车有（辆），
∴运往甲、乙两地的总运费为元．
（3）解：由（2）知，前往甲地的大货车有a辆，前往甲地的小货车有辆．
根据题意，可得：，
解得：，
则运往甲、乙两地的总运费为（元）．
∴a的值为5，运往甲、乙两地的总运费为10540元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程式解决本题的关键．
30．醇酒有10瓶，薄酒有 9瓶
【分析】设醇酒有瓶，则薄酒有瓶，根据“醇酒瓶醉了位客人，薄酒瓶醉了位客人，且共醉了位客人”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出醇酒的瓶数，再将其代入中即可求出薄酒的瓶数．
【详解】解：设醇酒有瓶，则薄酒有瓶，，
依题意得：，
解得：，
∴，
答：醇酒有瓶，薄酒有瓶．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
