21.3 实际问题与一元二次方程一课一练（含解析）

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21.3 实际问题与一元二次方程一课一练
一、单选题
1．若两个连续整数的积是56，则它们的和为（　　）
A．11 B．15 C．﹣15 D．±15
2．2008年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机，受金融危机的影响，某商品原价为200元，连续两次降价a%后售价为148元，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是(　　)
A．289(1-)2=256 B．256(1-)2=289
C．289(1-2)=256 D．256(1-2)=289
4．已知长方形的面积为48 ，若它的长比宽多2cm，则它的宽为（　　）
A．8cm B．6cm C． 4cm D．2cm
5．某品牌洗衣机经过两次降价，由每台1000元降至每台810元，则平均每次降价的百分率为（　　）
A．10% B．15% C．20% D．25%
二、计算题
6．如果 ，求代数式 的值.
三、解答题
7．某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？
四、作图题
8．如图，小明所在学校的旗杆BD高约为13米，距离旗杆20米处刚好有一棵高约为3米的香樟树AE．活动课上，小明有意在旗杆与香樟树之间的连线上来回踱步，发现有一个位置C到旗杆顶部与树顶的距离相等．请你求位置C与旗杆之间的距离.
五、综合题
9．如图，某建筑工程队利用一面墙（墙的长度不限），用40米长的篱笆围成一个长方形的仓库．
（1）求长方形的面积是150平方米，求出长方形两邻边的长；
（2）能否围成面积220平方米的长方形？请说明理由．
六、实践探究题
10．阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，，则有，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n．求的值．
解：∵方程的两个实数根分别为m，n，则，，
∴．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：若一元二次方程的两个实数根分别为．，，则　 　，　 　．
（2）类比应用：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
（3）思维拓展：已知实数m，n满足，，且，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：设这两个连续整数为x，x+1．
则x（x+1）=56，
解之得，x1=7或x2=﹣8，
则x+1=8或﹣7，
则它们的和为±15．
故选D
【分析】设这两个连续整数中较小的一个是为x，则较大的是x+1．根据两个连续整数的积是x（x+1），根据关键描述语“两个连续整数的积是56”，即可列出方程求得x的值，进而求得这两个数的和．
2．【答案】B
【解析】【解答】经两次调价后，价格为 ，∴方程为 ．
【分析】本题的基本数量关系为：第一次调价后每件 元；第二次调价后每 元．
3．【答案】A
【解析】【分析】本题的等量关系：降价后的售价=降价前的售价×（1-平均每次降价的百分率）.
由题意可列方程为.
选A
4．【答案】B
【解析】【解答】设小长方形的宽为 cm，则它的长为 cm，由题意可得 ，解得 ， 不符合题意舍去，故答案应选择B．
【分析】本题也可由每个选项中的“宽”，算出“长”，然后用“长比宽多2cm”进行验证得到答案
5．【答案】A
【解析】【解答】设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得：1000×（1﹣x）2=810，解得x1=0.1，x2=1.9（不符合题意，舍去）．所以平均每次降价的百分率为10%．故选：A
【分析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的单价是原来的（1﹣x），那么第二次降价后的单价是原来的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可．
6．【答案】解： ，
=
=
=
=
当 ，即 时，
原式= .
【解析】【分析】先根据分式的混合运算得到 ，再把 变形为 ，再代入到化简结果中计算即可.
7．【答案】解：根据题意，得 ．
整理得 ．
解得 ， ．
∵ 不符合题意，舍去，
．
答：人行通道的宽度是2米．
【解析】【分析】设人行道的宽度为x米，则矩形绿地的长度为： 21-3x ，宽度为：8-2x，根据两块绿地的面积之和为60 平方米，列方程求解.
8．【答案】解：根据题意可得：AE＝3m，AB＝20m，BD＝13m.
如图，设该位置为点C，且AC＝ m.
由AC＝ m得：BC＝(20－ )m.
由题意得：CE＝CD，则CE2＝CD2.
∴ ，解得： ＝14.
∴ CB＝20－ ＝6.
由0＜14＜20可知，该位置是存在的.
答：该位置与旗杆之间的距离为6米.
【解析】【分析】根据题意设AC＝,再中分别用勾股定理将CE和CD表示出来，根据题意CE＝CD，即解一元二次方程可得出答案。
9．【答案】（1）解：设垂直于墙的一边长为xm，得：x（40﹣2x）=150，
即x2﹣20x+75=0，
解得：x1=5，x2=15，
当x=5时，40﹣2x=30，
当x=15时，40﹣2x=10，
∴长方形两邻边的长为5m，30m或15m，10m
（2）解：设垂直于墙的一边长为ym，得：y（40﹣2y）=220，
即y2﹣20y+110=0，
∵△＜0，
该方程无解
∴不能围成面积是220平方米的长方形
【解析】【分析】（1）首先设垂直于墙的一边长为xm，得：长方形面积=150，进而求出即可；（2）利用一元二次方程的根的判别式判断得出即可．
10．【答案】（1）；
（2）解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，
∴，，
∴
；
（3）解：∵实数、满足，，
∴与看作是方程的两个实数根，
∴，，
∴
．
【解析】【解答】（1）解：由题意可得：
故答案为：第1空、
第2空、
【分析】（1）根据一元二次方程的韦达定理即可求出答案。
（2）根据韦达定理求出，，将代数式提公因式化简，代入值即可求出答案。
（3）与看作是方程的两个实数根，根据韦达定理求出，，将代数式通分化简，代入值即可求出答案。
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