13.1 轴对称
一、单选题
1．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·贵州黔东南·八年级期末）下列各环保标志是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·贵州黔南·八年级统考期末）秋天到了，小颖同学收集了一些漂亮的落叶，下面的落叶中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）在“珍爱生命，远离毒品”的禁毒标语中，下列文字是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图是一只停放在平静水面上的小船，则它在水中的倒影表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022秋·贵州贵阳·八年级统考期末）如图，是一个三角形的纸片，点D、E分别是边上的两点，将沿直线折叠，点A落在点处，则，和的关系是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022秋·贵州毕节·八年级统考期末）如图，，分别是线段，的垂直平分线，连接，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·贵州贵阳·八年级期末）在中，．下列图中用尺规作图在边上取一点D，使的是（）
A．B．C．D．
10．（2022秋·贵州遵义·八年级期末）如图所示，小兰用尺规作图作边上的高，作法如下：
①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于F；
②作射线，交边于点H；
③以B为圆心，长为半径作弧，交直线于点D和E；
④取一点K使K和B在的两侧；
所以就是所求作的高．其中顺序正确的作图步骤是（ ）
A．①②③④ B．④③①② C．②④③① D．④③②①
11．（2022秋·贵州黔南·八年级期末）如图，中，的垂直平分线交与点若，，则的周长是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
12．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，若，，则的周长为 ．
13．（2022秋·贵州黔东南·八年级统考期末）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，交AB于点E，连接AD．若的周长为12，的周长为20，则AE的长为 ．
三、解答题
14．（2022秋·贵州毕节·八年级统考期末）如图，在中，平分且平分，垂足为G，于点E，于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
15．（2022秋·贵州黔南·八年级统考期末）在△ABC中，点M，N分别在AB，AC边上．
(1)如图①，利用尺规作图，在BC边上找一点P，使得PM＝PN．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)如图②，请用画图的方式在BC边上找一点Q，使得的值最小．
16．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图，在△ABC中，小明按以下步骤进行尺规作图：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N；②作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接AE．
(1)按上述步骤完成小明的作图；
(2)若，求∠B的度数；
(3)在（2）的条件下，若，CE＝2，求△ABC的周长．
17．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）如图，A，B，C三点分别表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校到三个村庄的距离相等，请你在图中确定出学校的位置P．
18．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）如图，已知和线段a，b，求作，使，，，并作的边BC上的高AD．尺规作图，不写作法．留作图痕迹）．
19．（2022秋·贵州黔东南·八年级期末）如图，电信部门要在S区修建一座发射塔P．按照设计要求，发射塔P到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔P应建在什么位置？在图上标出它的位置．（尺规作图：只保留作图痕迹，不写作图过程）
20．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）如图，在，按下列要求作图：（不写作法，保留作图痕迹）
①边上的高；
②的平分线．
21．（2022秋·贵州黔东南·八年级期末）如图，是的角平分线，，，垂足分别是，连接，与相交于点．
(1)求证：是的垂直平分线；
(2)若，四边形的面积，求的长．
22．（2022秋·贵州贵阳·八年级期末）如图，已知△ABC，∠C=90°，AC（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数．
参考答案：
1．A
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
【详解】解：A、不是轴对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．
2．D
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
3．D
【分析】根据轴对称图形定义，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形定义，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
4．B
【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意，
B、不是轴对称图形，符合题意，
C、是轴对称图形，不符合题意，
D、是轴对称图形，不符合题意，
故答案选：B．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
5．D
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
【详解】A. 不是轴对称图形，不符合题意
B. 不是轴对称图形，不符合题意
C. 不是轴对称图形，不符合题意
D.是轴对称图形，符合题意
故选D
【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
6．A
【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
【详解】解：这两个图应关于水面对称，旗子的方向应该朝左，船头应该向左．A选项符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了镜面对称的性质，解决本题的关键是根据所给图形的特征利用轴对称得到相应图形．
7．D
【分析】由∠BDA'+∠ADA'=180°，∠CEA'+∠A'EA=180°，得∠BDA'+∠CEA'=360°-∠ADA'-∠A'EA，再利用四边形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵∠BDA'+∠ADA'=180°，∠CEA'+∠A'EA=180°，
∴∠BDA'+∠CEA'=360°-∠ADA'-∠A'EA，
∴∠BDA'+∠CEA'=∠A+∠DA'E，
∵△A'DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A=∠DA'E，
∴∠BDA'+∠CEA'=2∠A；
故选D．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理等知识，遇到折叠的问题，一定要找准相等的量，结合题目所给出的条件在图形上找出之间的联系则可．
8．B
【分析】根据线段的垂直平分线的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，分别是线段，的垂直平分线，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
9．C
【分析】由作图痕迹可知，A选项所作为为的平分线，B选项所作为选项所作为线段的垂直平分线，D选项所作为，由此可得答案．
【详解】解∶A．由作图痕迹可知，$AD$为的平分线，不能得出，
故A选项不符合题意；
B．由作图 迹可知，，
不能得出，
故B选项不符合题意；
C．由作图痕迹可知，所作为线段$AB$的垂直平分线，可得，
故C选项符合题意；
D．由作图 迹可知，，
可得，
不能得出，
故D选项不符合题意．
故选∶C．
【点睛】本题考查作图-基本作图，熟练掌握基本作图的方法是解答本题的关键．
10．B
【分析】根据直线外一点作已知直线的垂线的方法作即可．
【详解】用尺规作图作边上的高，做法如下：
④取一点使和在的两侧；
③以为圆心，长为半径作弧，交直线于点和；
①分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于；
②作射线，交边于点；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握线段垂直平分线、垂线的作法．
11．C
【分析】根据垂直平分线的性质，得出，求出的周长即可．
【详解】解：是的垂直平分线，
，
的周长为：
（cm），
故选：C．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线性质，根据题意得出，是解题的关键．
12．14
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等量代换和三角形周长公式计算即可．
【详解】解：是的垂直平分线，
∴，
∴的周长为，
故答案为：14．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13．4
【分析】根据基本作图可判断MN为AB的垂直平分线，则根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，AE=BE，则利用AC+CD+AD＝12得到AC+CD+BD＝12，即AC+BC＝12，再结合△ABC的周长即可求得答案．
【详解】解：由作法可得MN为AB的垂直平分线，
则DA＝DB，
∵△ADC的周长为12，
∴AC+CD+AD＝12，
∴AC+CD+BD＝12，
即AC+BC＝12，
又∵△ABC的周长＝AC+BC+AB＝20，
∴AB＝20－12＝8，
∵MN垂直平分AB，
∴AE=AB=4．
故答案为4．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图(作已知线段的垂直平分线)，线段垂直平分线的性质．熟练掌握垂直平分线的性质是解决本题的关键．
14．(1)见详解；
(2)见详解．
【分析】（1）连接DB，DC，根据线段垂直平分线的性质可得DB=DC，根据角平分线的性质可得DE=DF，可得Rt△BED≌Rt△CFD（HL），即可得证；
（2）易证Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），可得AE=AF，从而可得AC+2BE=AB，即可求出BE的长．
【详解】（1）证明：连接DB，DC，如图所示：
∵DG⊥BC且平分BC，
∴DB=DC，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF；
（2）在Rt△ADE和Rt△ADF中，，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，
又∵BE=CF，
∴AC+2BE=AB，
∵AB=5，AC=3，
∴BE=1．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，添加辅助线，构造全等三角形是解决本题的关键．
15．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线交于点，点即为所求．
（2）作点关于的对称点，连接交于点，连接，点即为所求．
【详解】（1）解：如图①中，点即为所求．
（2）解：如图②，线段与边BC的交点Q即为所求．
【点睛】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用线段的垂直平分线解决问题．
16．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N；②作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接AE；
（2）由DE为线段AB的垂直平分线，知∠1＝∠2＝90°，AD＝BD．根据DE＝DE，得到．根据，得到，得到∠C＝∠1＝90°，∠4＝∠3＝∠B．根据∠4＋∠3＋∠B＝90°，推出3∠B＝90°，即可得出结果；
（3）由（2）知∠1＝∠2＝∠C＝90°，∠3＝∠4＝∠B＝30°，AC＝AD＝BD，CE＝DE，根据，CE＝2，得到，BE＝2DE＝4，得到△ABC的周长．
【详解】（1）解：作图如图所示，
（2）由（1）知DE为线段AB的垂直平分线，
∴∠1＝∠2＝90°，AD＝BD．
∵DE＝DE，
∴．
又∵，
∴，
∴∠C＝∠1＝90°，∠4＝∠3＝∠B，
∵∠4＋∠3＋∠B＝90°，即3∠B＝90°，
∴∠B＝30°；
（3）由（2）知∠1＝∠2＝∠C＝90°，∠3＝∠4＝∠B＝30°，AC＝AD＝BD，CE＝DE，
∵，CE＝2，
∴，BE＝2DE＝4，
∴△ABC的周长为．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线作法和性质，全等三角形，直角三角形性质，解决问题的关键是熟练尺规作图线段的垂直平分线，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质
17．见解析
【分析】根据线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故作出AB，BC的垂直平分线相交于点P，则点P是所求的点．
【详解】解：如图，点P就是学校的位置．
【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
18．见解析
【分析】先利用作一个角等于已知角作出，然后分别作，，连接AC，再过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D，即可求解．
【详解】解：，高AD即为所求，如下图：
【点睛】本题主要考查了尺规作图——作三角形，熟练掌握作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，过一点作已知直线的垂线的作法是解题的关键．
19．AB垂直平分线与的角平分线交点P处，图见解析
【分析】根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．故如图，作的角平分线，再连接，作的垂直平分线，两线的交点即为发射塔P应建的位置．
【详解】解：如图所示，点P即为所作．
∴发射塔P应建在垂直平分线与的角平分线交点P处．
【点睛】本题考查作角平分线与作线段的垂直平分线，角平分线与线段的垂直平分线的性质的应用，掌握角平分线与线段的垂直平分线的性质是解题关键．
20．图见解析
【分析】①根据尺规作图-作垂线的方法步骤画图即可；
②根据尺规作图-作角平分线的方法步骤画图即可．
【详解】解：①如图，线段即为所求作；
②如图，射线即为所求作．
【点睛】本题考查尺规作图-作垂线、作角平分线，熟练掌握过一点作已知直线的垂线和作角平分线的方法步骤是解答的关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据角平分线的性质得到，则证明得到，然后根据线段垂直平分线的判定定理得到结论；
（2）四边形对角线垂直，利用四边形的面积等于对角线乘积的一半解题．
【详解】（1）证明：是的角平分线，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
垂直，且平分，
即是的垂直平分线；
（2）解：垂直，
，，
，
，，
，
答：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的判定，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学定理证明三角形全等．
22．（1）点D的位置如图所示（D为AB中垂线与BC的交点）．（2）16°．
【分析】（1）根据到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，作出AB的中垂线．
（2）要求∠CAD的度数，只需求出∠CAB，而由（1）可知：∠BAD=∠B
【详解】解：（1）点D的位置如图所示（D为AB中垂线与BC的交点）．
（2）∵在Rt△ABC中，∠B=37°，∴∠CAB=53°．
又∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=37°．
∴∠CAD=53°—37°=16°．13.2 画轴对称图形
一、单选题
1．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，为格点三角形，请问图中还存在（ ）个格点三角形与成轴对称图形．
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如果将三个顶点的横坐标都乘以，纵坐标不变，则画出坐标变化后的三角形与原三角形的关系是（ ）
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．将原图形沿x轴的负方向平移了1个单位
D．将原图形沿y轴的负方向平移了1个单位
3．（2022秋·贵州毕节·八年级期末）若点关于y轴的对称点是，则m＋n的值是（ ）
A．4 B．－4 C．－2 D．2
4．（2022秋·贵州黔东南·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（2，﹣3）
5．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，，，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当的周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2022秋·贵州毕节·八年级期末）已知和关于x轴对称，则的值为 ．
7．（2022秋·贵州贵阳·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，将如图所示的按照如下图所示的方式依次进行轴对称变换，若点A坐标是，则经过第2022次变换后所得的点坐标是 ．
8．（2022秋·贵州贵阳·八年级期末）在平面直角坐标系中，若点和关于y轴对称，则 ．
三、解答题
9．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)在图中作出关于y轴对称的．
(2)点的坐标为__________；的面积为__________．
(3)在x轴上找出一点P，使得的值最小．（不写作法，保留作图痕迹）
10．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）如图，已知点A（4，3），B（3，1），C（1，2），请解决下列问题：
(1)若把△ABC向下平移1个单位，再向左平移5个单位得到，请画出平移后的图形并写出，，的坐标；
(2)若是△ABC关于x轴对称的图形，请画出并写出，，的坐标．
11．（2022秋·贵州黔南·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为，，．△DEF与△ABC关于y轴对称，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F．
(1)写出点A的对应点D的坐标为______．
(2)在图中画出△DEF．
12．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点都在格点上．
(1)在图中画出与△ABC关于x轴对称的，并写出点，的坐标；
(2)连接，，计算的面积．
13．（2022秋·贵州毕节·八年级统考期末）在坐标系中，已知，如图所示
(1)将向右平移4个单位得到，请在坐标系中画出；
(2)画出关于x轴对称的．
(3)直接写出两点的坐标：（__，__．）、（__，__．）．
14．（2022秋·贵州毕节·八年级期末）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(﹣1，﹣1)，B(﹣4，﹣2)，C(﹣1，﹣4)．
（1）点A关于y轴对称的点的坐标是；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1分别写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）求△A1B1C1的面积．
15．（2022秋·贵州贵阳·八年级期末）已知:△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1;
(2)求△ABC的面积.
16．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，A、O、B三颗棋子的位置如图所示，它们的坐标分别是，，．
(1)如图添加棋子C，使A、O、B、C四颗棋子成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴．
(2)在其他格点（除点C外）位置添加一颗棋子P，使A、O、B、P四颗棋子成为一个轴对称图形，直接写出棋子P的位置坐标（写出2个即可）．
17．（2022秋·贵州毕节·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，
(1)将向上平移6个单位长度得到，请画出；
(2)请画出与关于y轴对称的；
(3)请写出点、的坐标．
参考答案：
1．C
【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可．
【详解】
如图，图中还存在6个格点三角形与成轴对称图形
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键．
2．B
【分析】根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”，可知所得的三角形与原三角形关于轴对称．
【详解】解：横坐标乘以，
变化前后横坐标互为相反数，
又纵坐标不变，
所得三角形与原三角形关于轴对称．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3．B
【分析】根据两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数列式求出m，n，即可得出结果．
【详解】解：∵点关于y轴的对称点是，
∴m－1＋2＝0，n＋2＝－1，
∴m＝－1，n＝－3，
∴m＋n＝－1－3＝－4，
故选：B．
【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
4．A
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【详解】解：点P（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣3），
故选A．
【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
5．C
【分析】作点A关于CD的对称点H，作点A关于CB的对称点G，连接GH，与CD、CB分别相交于点F、点E，此时的周长最小，通过三角形的内角和定理，可求出∠G+∠H的度数，进而求出∠AEF+∠AFE的度数．最后即可求出的度数．
【详解】
如图，作点A关于CD的对称点H，作点A关于CB的对称点G，连接GH，与CD、CB分别相交于点F、点E；
∵∠BAD=140°，
∴∠G+∠H=180°-140°=40°，
∵点G和点H为点A的对称点，
∴AD=DH，AB=GB，
∵∠EBA=∠FDA=90°，即FD⊥AH，EB⊥AG，
∴FH=FA，EA=EG，
∴∠H=∠FAD，∠G=∠EAB，
∵∠AEF=∠G+∠EAB=2∠G，∠AFE=∠H+∠FAD=2∠H，
∴=180°-（2∠G+2∠H）=100°，
故选：C
【点睛】本题主要考查了利用轴对称确定最短路径问题，熟练地掌握用轴对称图形的作法，三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质是解题的关键．
6．
【分析】根据关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，求得的值，进而代入代数式即可求解．
【详解】解：∵和关于x轴对称，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于x轴对称的两个点的坐标特征，掌握关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键．
7．
【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2022除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，据此即可解答．
【详解】解：∵点A第一次关于x轴对称后在第四象限，
点A第二次关于y轴对称后在第三象限，
点A第三次关于x轴对称后在第二象限，
点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到初始位置，
∴每四次对称为一个循环组依次循环，
∵，
∴经过第2022次变换后所得的A点与第二次变换的位置相同，在第三象限，坐标为( x, y)，
故答案为：( x, y)．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．
8．4
【分析】根据题意利用关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进行分析即可得出答案．
【详解】解：∵点和关于y轴对称，
∴，解得：，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查关于y轴对称点的性质，正确记忆横、纵坐标的关系是解题关键．注意掌握点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（-x，y）．
9．(1)见解析
(2)（ 3，2）；4；
(3)见解析
【分析】（1）根据轴对称的性质找出A'，B'，C'的位置，即可求解；
（2）由图形可得点C'的坐标；根据分割法即可求得△A'B'C'的面积；
（3）作点B关于x轴的对称点B′′，连接B′′A交x轴于点P，点P即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，△A'B'C'即为所求；
（2）解：由图形可知，C'（ 3，2），
△A'B'C'的面积为：2×5 ×1×3 ×2×2 ×1×5＝4，
故答案为：（ 3，2）；4；
（3）解：作点B关于x轴的对称点B′′，连接B′′A交x轴于点P，
则PB＝PB′′，
∴PB＋PA＝PB′′＋PA≥B′′A，
∴如图，的值最小，点P即为所求．
【点睛】本题考查了作图 轴对称变换，以及轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
10．(1)图见解析，，，，
(2)图见解析，，
【分析】（1）根据平移的性质即可在平面直角坐标系中画出点 ，顺次连接后并写出坐标即可；
（2）根据关于x轴对称的性质可标出 的坐标，顺次连接后并写出坐标即可．
【详解】（1）如图，，，，
（2）如图，，，
【点睛】本题考查了利用平移变换和轴对称变换进行作图，先找到图形的关键点，再根据平移的性质和轴对称的性质作图即可．
11．(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用轴对称的性质画出图形，写出坐标即可；
（2）利用轴对称的性质分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再顺次连接即可；
【详解】解：（1）点A的对应点D的坐标为．
（2）如图利用轴对称的性质分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再顺次连接，△DEF即为所求．
【点睛】本题主要考查作图，轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质．
12．(1)见解析，，
(2)
【分析】（1）分别求出点A、B、C关于x轴对称的点，，的坐标并在坐标系中描出点，依次连接这三个点即可，从而可写出点，的坐标；
（2）由图知：根据即可求得结果．
【详解】（1）点A、B、C关于x轴对称的点，，的坐标分别为( 2， 1)，( 1， 3)，(1， 2)，描出三点并依次连接起来得到与△ABC关于x轴对称的，如下图所示，此时点，的坐标分别为 ( 1， 3)，(1， 2)；
（2）如图，
【点睛】本题考查了坐标与图形：作轴对称图形，求图形面积，关键是确定各特征点的坐标是作图的关键．
13．(1)见解析
(2)见解析
(3)1，-3，-1，3
【分析】（1）根据平移规律找出点A、B、C的对应点A1，B1，C1，再顺次连接即可；
（2）分别作出点A、B、C关于x轴的对称点A2，B2，C2，再顺次连接即可；
（3）根据点C1和点C2在坐标平面内的位置可直接写出它们的坐标．
【详解】（1）如图所示，即为所作；
（2）如图，即为所作：
（3）由（1）、（2）可知点C1的坐标为（3，-3），点C2的坐标为（-1，3），
故答案为：3，-3，-1，3．
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换、作图-平移变换，解决本题的关键是准确画图．
14．（1）（1，﹣1）（2）作图见解析；点A1（﹣1，1），B1（﹣4，2），C1（﹣1，4）（3）
【分析】(1)根据关于y轴对称的点的坐标特点，即可完成解答;
(2)先根据关于y轴对称的点的坐标特点确定A1，B1，C1的坐标，然后连接即可;
（3）在方格纸上确定△A1B1C1的底和高，直接计算即可;
【详解】（1）点A关于y轴对称的点的坐标是：（1，﹣1），故答案为（1，﹣1）；
（2）点A1（﹣1，1），B1（﹣4，2），C1（﹣1，4），作出的△A1B1C1如图所示：
（3）△A1B1C1的面积为：×3×3＝．
【点睛】本题考查了轴对称图形与坐标的关系，理解点关于x轴、y轴对称的点的坐标特点是解答本题的关键.
15．（1）见解析；（2）2.
【分析】（1）分别作A、B、C三点关于y轴的对应点，再顺次连接；
（2）把△ABC放在一个矩形内，用矩形的面积减去四周三角形的面积即可.
【详解】（1）如图所示，
(2) △ABC的面积==2.
【点睛】考查的是作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质．
基本作法：①先确定图形的关键点；
②利用轴对称性质作出关键点的对称点；
③按原图形中的方式顺次连接对称点．
16．(1)作图见解析
(2)（1，-1）、（0，-1）、（-2，1）（写出2个即可）
【分析】（1）根据A，B，O，C的位置，结合轴对称图形的性质进而画出对称轴即可；
（2）利用轴对称图形的性质得出P点位置．
【详解】（1）如图所示，C点的位置为（1，2），A，O，B，C四颗棋子组成等腰梯形，直线l为该图形的对称轴；
（2）如图所示：都符合题意，
【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．
17．(1)见解析
(2)见解析
(3)C1（5，3），B2（－1，2）
【分析】（1）将向上平移6个单位长度得到，顺次连接，得到，则即为所求；
（2）找到关于y轴的对称点，顺次连接，得到，则即为所求；
（3）根据坐标系写出点、的坐标．
【详解】（1）如图所示：△A1B1C1为所作的图形
（2）如图所示：△A2B2C2，为所作的图形
（3）C1（5，3），B2（－1，2）
【点睛】本题考查了坐标与图形，画平移图形，画轴对称图形，掌握平移和轴对称的性质是解题的关键．13.3.1 等腰三角形
一、单选题
1．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图，在中，，．点P为直线上一动点，并沿直线从右向左移动，若点P与三个顶点中的至少两个顶点构造成等腰三角形时，则将点P在直线上进行标记．那么满足条件的点P（不与点B、C重合）的位置有（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．8个
2．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）等腰三角形的两边长为，则该等腰三角形的周长为（ ）
A． B．或 C． D．或
3．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图，在中，点D在上，点E在上，且，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·贵州毕节·八年级统考期末）如图，直线，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·贵州贵阳·八年级统考期末）如图，直线垂直平分线段，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）等腰三角形两边长分别为3和5，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．11 B．13 C．15 D．11或13
7．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠BAC=105°，则∠C的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
8．（2022秋·贵州黔东南·八年级统考期末）已知等腰三角形中的一边长为，另一边长为，则它的周长为（ ）
A． B． C． D．或
9．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF，给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
10．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）如图，在中，的垂直平分线交于点E，垂足为点D，连接，则的度数为 ．
11．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧，压平后可以得到如图2的正五边形ABCDE．则图2中∠EAC的度数为 ．
12．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成了12和18两部分，这个三角形的底边长为 ．
13．（2022秋·贵州黔南·八年级统考期末）如图，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，若∠FAC＝65°，则∠B的度数为 ．
三、解答题
14．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图，在中，，点D是边上的动点（点D不与点B，C重合），连接，作，，相交于点E．
(1)当时，求证：；
(2)当是等腰三角形时，求的度数．
15．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得，，求从海岛B到灯塔C的距离．
16．（2022秋·贵州贵阳·八年级统考期末）（1）阅读理解：如图①，在中，，，，垂足分别为，，且，与交于点，图中与全等的三角形是______，与全等的三角形是______；
（2）问题探究：如图②，在中，，，平分，，垂足为，探究线段，，之间的关系，并证明；
（3）问题解决：如图③，在中，，，平分，交的延长线于点，求证：．
17．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图，在中，，BD平分，DE//AB，若，试求的值．
18．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到，“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题．
(1)【模型探究】如图1，和中，，，且连接，．这一图形称“手拉手模型”．
求证，请你完善下列过程．
证明：∵，
∴（ ）①
即
在和中
∴（ ）④
(2)【模型指引】如图2，中，，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求：的度数．
小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点E，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程．
(3)【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点B向右下方延伸．仍在射线上取点D，使，试判断与有何数量关系？并写出简要过程．
19．（2022秋·贵州六盘水·八年级统考期末）平面直角坐标系的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．例如：、都是格点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，
要求：保留连线痕迹，不必说明理由．
（1）在图1中画出一个以为边且与全等的三角形；
（2）在图2中画出的高线；
（3）在图2中，在轴正半轴上找一点，使；
（4）在图2中，找格点使为等腰三角形，并指出：图中这样的点共有_______个．
20．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）[方法呈现]
（1）如图①，△ABC中，AD为中线，已知AB＝3，AC＝5，求中线AD长的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：
延长AD至点E，使DE＝AD，连结CE，则易证△DEC≌△DAB，得到EC＝AB＝3，则可得AC﹣CE＜AE＜AC+CE，从而可得中线AD长的取值范围是 ．
[探究应用]
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系，并写出完整的证明过程．
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．
21．（2022秋·贵州黔南·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若△ABC 、△AMN周长分别为13cm和8cm.
（1）求证：△MBE为等腰三角形；
（2）线段BC的长.
22．（2022秋·贵州贵阳·八年级统考期末）已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC．
求证：AD∥BC．
参考答案：
1．C
【分析】利用等腰三角形的判定方法，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数．
【详解】解：如图：
中，，，
，
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当与重合时，为等腰三角形（舍去）；
当与重合时，为等腰三角形（舍去）；
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形；
综上，满足条件的点的位置有6个．
故选：C．
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．
2．C
【分析】分边长为的边为腰长和底边长两种情况结合构成三角形的条件进行求解即可．
【详解】解：当边长为的边为腰长时，则此时三角形三边长分别为，此时不能构成三角形，不符合题意；
当边长为的边为底边时，则此时三角形三边长分别为，此时能构成三角形，符合题意，
∴此时三角形的周长为，
故选C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
3．D
【分析】设，根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，最后根据三角形内角和定理进行计算即可解答．
【详解】解：设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，灵活运用相关性质是解题的关键．
4．B
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACB=∠1，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
【详解】解：∵ab，
∴∠ACB=∠1=35°，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ACB，
∴∠BAC=180°-2∠ACB=180°-35°×2=110°．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
5．B
【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：直线垂直平分线段，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
6．D
【分析】分3为腰长和5为腰长两种情况，结合三角形的三边关系讨论求解即可．
【详解】解：当3为腰长时，三角形的三边长为3，3，5，满足3+3＞5，
∴这个等腰三角形的周长为3+3+5=11；
当5为腰长时，三角形的三边长为3，5，5，满足3+5＞5，
∴这个等腰三角形的周长为3+5+5=13，
综上，这个等腰三角形的周长为11或13，
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，运用分类讨论思想求解是解答的关键．
7．C
【分析】根据等边对等角结合三角形外角的性质可证明，再根据三角形内角和定理即可求出∠C的大小．
【详解】∵AB=AD=DC，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理．掌握等腰三角形的两个底角相等是解题关键．
8．B
【分析】分情况结合三角形三边条件分析三角形三边长，从而求得周长．
【详解】当等腰三角形的腰为5时，5+5=10，所以不能构成三角形；
当等腰三角形的腰为10时，5+10＞10，所以能构成三角形，周长是：10+10+5=25cm．
故选：B．
【点睛】考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；解题关键是在没有明确腰和底边时，要分类进行讨论，再根据三角形三边关系进行判断能否构成三角形．
9．A
【详解】解：∵，∴∠C=∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC=∠CBF，
∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴BD=CD，AD⊥BC，故②，③正确，
在△CDE与△DBF中，
，
∴△CDE≌△DBF，
∴DE=DF，CE=BF，故①正确；
∵AE=2BF，
∴AC=3BF，故④正确．
故选A．
10．15°/15度
【分析】先利用线段垂直平分线的性质得到EA=EB，则根据等腰三角形的性质得∠ABE=∠A=50°，再利用三角形内角和计算出∠ABC的度数，然后计算∠ABC-∠ABE即可．
【详解】解：∵DE垂直平分AB，
∴EA=EB，
∴∠ABE=∠A=50°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠ABC=（180°-50°）=65°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=65°-50°=15°．
故答案为：15°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．也考查了线段垂直平分线的性质．
11．
【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：，
，
是等腰三角形，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质．边形的内角和为：．
12．14或6
【分析】结合题意画出图形，再根据等腰三角形的性质和已知条件求出底边长和腰长，然后根据三边关系（两边之和大于第三边与两边之差小于第三边）进行讨论，即可得到结果．
【详解】解：如图所示．
设AD=DC=x，BC=y，
由题意得或
解得 或
当时，等腰三角形的三边为8，8，14，符合三角形的三边关系，
当时，等腰三角形的三边为12，12，6，符合三角形的三边关系，
∴这个等腰三角形的底边长是14或6，
故答案为14或6
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题时根据等腰三角形腰上的中线把三角形分成两个三角线的周长的不同，关键是把上下两个三角形的周长，分类讨论，分别求出即可．
13．65°
【分析】根据角平分线的定义得出∠CAD＝∠BAD，根据线段垂直平分线的性质得出FA＝FD，推出∠FDA＝∠FAD，根据三角形的外角性质得出∠FDA＝∠B+∠BAD，代入求出即可．
【详解】解：∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
设∠CAD＝∠BAD＝x°，
∵EF垂直平分AD，
∴FA＝FD，
∴∠FDA＝∠FAD，
∵∠FAC＝65°，
∴∠FAD＝∠FAC+∠CAD＝65°+x°，
∵∠FDA＝∠B+∠BAD＝∠B+x°，
∴65°+x°＝∠B+x°，
∴∠B＝65°，
故答案为：65°．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能求出∠FDA＝∠FAD是解此题的关键．
14．(1)见解析
(2)或
【分析】（1）利用三角形外角的性质说明，再利用说明；
（2）分，，三种情形，分别利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得答案．
【详解】（1）解：，，
，
在和中，
，
；
（2）当时，，
，
，
当时，，
，
当时，则，
此时点与重合，不符合题意，故舍去，
综上：的度数为或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，三角形内角和等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
15．30海里
【分析】由上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里的时速向正北航行，10时到达海岛B处，可求得AB的长，又由，，可得∠C=∠NAC，即可证得BC=AB，则可得从海岛B到灯塔C的距离．
【详解】解：根据题意得：AB=2×15=30（海里），
∵，，
∴∠C=∠NBC-∠NAC=42°，
∴∠C=∠NAC，
∴BC=AB=30海里，
即从海岛B到灯塔C的距离是30海里．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，注意掌数形结合思想，应用三角形的外角性质是解题关键．
16．（1）；（2），见解析；（3）见解析
【分析】（1）由HL证明≌，结合同角的余角相等可得，继而由ASA证明≌，据此解答；
（2）利用AAS证明≌，根据全等三角形对应边相等的性质结合线段的和差即可解答；
（3）延长，交于点，由ASA证明≌，≌，再根据全等三角形对应边相等的性质．
【详解】解：（1），
，
，，
≌，
，
，
，
，
又，
≌，
故答案为：，；
（2），理由如下：
，，
，
，
，
，
平分，
，
又，，
≌，
，，
；
（3）如图，延长，交于点，
平分，
，
又，，
≌，
，
，
，
，
又，，
≌，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17．
【分析】先根据角平分线和平行的条件得到相等的角，推出线段BE＝DE，再利用三角形外角和等腰三角形底角相等可推出DE＝DC，最后进行等量代换即可．
【详解】解：如图所示：
∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∵DE∥AB，
∴∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∴BE＝DE，
∵∠DEC是△BED的外角，
∴∠DEC＝∠2＋∠3＝2∠1，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝2∠1，
∴∠DEC＝∠C，
∴DE＝DC，
∴BE＝DE＝DC，
∴BE＋AD＝DC＋AD＝AC＝AB＝8．
【点睛】本题主要考查角平分线和平行结合的角度推导以及等腰三角形的性质，最后求解线段的和要学会等量代换．
18．(1)等量代换，，，SAS
(2)
(3)
【分析】（1）根据已知条件可知，采用“边角边”的方法证明；
（2）通过等腰三角形等边对等角的性质，先证，再利用“边角边”证明，推出，即，由此得出；
（3）在的延长线上找一点E，使，设，同（2）证明，推出，，由此得出．
【详解】（1）证明：∵，
∴（等量代换）①
即，
在和中
∴（SAS）④
故答案为：等量代换，，，SAS．
（2）解：∵中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
．
（3）解：如图，在的延长线上找一点E，使，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，属于规律探究题，难度逐步加大，解题的关键是充分利用类比方法，参考上一问的方法步骤找到解题方向．
19．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）10
【分析】（1）在取点即可；
（2）取点，连交直线于即可；
（3）取点，连交轴于即可；
（4）分别以为腰或底寻找符合情况的格点即可．
【详解】解：（1）如图，；
（2）取点，连交直线于；
（3）取点，连交轴于；
（4）如图：符合题意的点P有10个．
【点睛】本题考查了复杂作图，涉及到的知识点，全等三角形的性质，三角形的高，作相等的角，等腰三角形的性质，熟知以上图形的性质特点是解本题的关键．
20．（1）1＜AD＜4；（2）DC+AB＝AD，证明见解析；（3）AF+CF＝AB，理由见解析
【分析】（1）由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣3＜AE＜5+3，据此可得答案；
（2）如图②，延长AE，DC交于点F，先证△ABE≌△FEC得CF＝AB，再由AE是∠BAD的平分线知∠BAF＝∠FAD，从而得∠FAD＝∠F，据此知AD＝DF，结合DC+CF＝DF可得答案；
（3）如图③，延长AE，DF交于点G，同（2）可得：AF＝FG，△ABE≌△GEC，据此知AB＝CG，继而得出答案．
【详解】（1）由题意知AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣3＜AE＜5+3，
∴1＜AD＜4，
故答案为：1＜AD＜4；
（2）如图②，延长AE，DC交于点F，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠F，
在△ABE和△FCE中
CE＝BE，∠BAF＝∠F，∠AEB＝∠FEC，
∴△ABE≌△FEC（AAS），
∴CF＝AB，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴∠FAD＝∠F，
∴AD＝DF，
∵DC+CF＝DF，
∴DC+AB＝AD．
（3）如图③，延长AE，DF交于点G，
同（2）可得：AF＝FG，△ABE≌△GEC，
∴AB＝CG，
∴AF+CF＝AB．
【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点．
21．（1）详见解析；（2）5cm
【分析】（1）由BE平分∠ABC，得∠MBE=∠EBC，再由MN∥BC得∠MEB=∠EBC，所以∠MBE=∠MEB，由等角对等边可得MB=ME；
（2）同理可证NE=NC，△ABC的周长为AB+AC+BC，通过等量代换可得△AMN的周长为AB+AC，两者之差即为BC的长.
【详解】解：（1）∵BE平分∠ABC
∴∠MBE=∠EBC，
∵MN∥BC
∴∠MEB=∠EBC
∴∠MBE=∠MEB，
∴MB=ME
∴△MBE为等腰三角形
（2）同理可证NE=NC，
∴△AMN的周长=AM+ME+EN+AN=(AM+MB)+(NC+AN)=AB+AC=8cm
又∵△ABC的周长=AB+AC+BC=13cm
∴BC=13-8=5cm
【点睛】本题主要考查等腰三角形的证明，熟练运用角平分线性质和平行线的性质推出角相等是本题的关键.
22．证明见解析
【分析】由角平分线的定义可知：∠EAD=∠EAC，再由三角形的外角的性质可得∠EAD=∠B，然后利用平行线的判定定理可证明出结论．
【详解】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠EAC，
又∵∠B=∠C，∠EAC=∠B+∠C，
∴∠B=∠EAC，
∴∠EAD=∠B，
∴AD∥BC．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，三角形的外角性质，熟练掌握平行线的判定，三角形的外角性质是解题的关键．13.3.2 等边三角形
一、单选题
1．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）在中，，，点D为的中点，E、F分别为直线、上两点，若满足，，则的长为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．1或5
2．（2022秋·贵州黔南·八年级统考期末）如图，在△ABC中，，，AD平分∠BAC交BC于点D，于点E．若，，则△ACD的周长为（ ）
A．3 B． C． D．4
3．（2022秋·贵州黔南·八年级统考期末）如图，将一个等边三角形剪去一个角后，的度数是（ ）
A．120° B．180° C．240° D．270°
4．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）三个等边三角形的摆放位置如图，若，则的度数为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
5．（2022秋·贵州黔东南·八年级统考期末）如图，在中，，，交BC于点D，，则BC的长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．（2022秋·贵州黔西·八年级统考期末）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A．1 B．1.8 C．2 D．2.5
二、填空题
7．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图，等边中，为边上的高，点M、N分别在上，且，连，当最小时， ．
8．（2022春·贵州贵阳·八年级统考期末）如图，是直角三角形，，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交边的延长线于点，则长为 ．
9．（2022秋·贵州黔南·八年级统考期末）如图，P是∠AOB内的一点，C，D分别是点P关于射线OA，OB的对称点，连接CD分别交OA，OB于点E，F，连接PE，PF．若，△PEF的周长为8cm，则线段OP的长为 cm．
10．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）如图，已知∠MON=30点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=1，则△A2021B2021A2022的边长为 ．
11．（2022秋·贵州黔西·八年级统考期末）如图，已知∠MON＝30°，点，…在射线ON上，点，…在射线OM上，△，△，△，…均为等边三角形．若O＝2，则△的边长为 ．
三、解答题
12．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）数学课上，陈老师出示了如下框中的题目．小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
教材呈现：
(1)当点E为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请直接写出结论：__________．（填“>”“<”或“=”）．
(2)变换探究：当点E为上任意一点时，如图2，探索线段、之间的数量关系？请证明你的结论．
(3)拓展应用：如图3，若点E在线段的延长线上，试判断与的大小关系，并说明理由．
13．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
(1)求证：△ABQ≌△CAP；
(2)当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
14．（2022秋·贵州黔东南·八年级期末）如图，将图1的正方形纸片沿对角线剪开，得到图2的两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成图3所示的图形，使得点B（E）重合．
(1)求证：△ABD≌△CBF；
(2)猜测AD与CF的位置关系，并说明理由；
(3)若∠ABF=120°请判断△BGH的形状，并说明理由．
15．（2022秋·贵州黔东南·八年级期末）在△ABC中，AB＝20cm，BC＝16cm，点D为线段AB的中点，动点P以2cm/s的速度从B点出发在射线BC上运动，同时点Q以α cm/s（α＞0且α≠2）的速度从C点出发在线段CA上运动，设运动时间为秒．
(1)若AB＝AC，P在线段BC上，求当α为何值时，能够使△BPD和△CQP全等？
(2)若∠B＝60°，求出发几秒后，△BDP为直角三角形？
(3)若∠B＝60°，求出发几秒后，△BDP为等边三角形？
16．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）如图，在等边中，点E在上，点D在的延长线上．
(1)如图1，，求证：；
(2)如图2，若E为上异于A、C的任一点，，（1）中结论是否仍然成立？为什么？
17．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图，已知为等边三角形，DE//AC，且．
(1)求证：；
(2)若，G为CE的中点，求的度数．
18．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）已知△ABC是等边三角形，D是射线CA上一动点（不与点A，C重合），E是BA延长线上一点，且DE＝BD．
(1)如图1，若D是线段AC的中点，则CD______AE．（填“>”“<”或“＝”）
(2)如图2，若D是线段AC上一动点，（1）中的结论还成立吗？请说明理由
(3)在点D运动的过程中，线段AD，AB，AE之间有怎样的数量关系？请在备用图中画出图形，并说明理由．
19．（2022秋·贵州黔西·八年级统考期末）如图△ABC是等边三角形，P是△ABC的角平分线BD上的一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为Q．
（1）若BQ=2，求PE的长；
（2）连接PF，EF，试判断△EFP的形状，并说明理由．
20．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图，∠MON60°，点A是OM边上一点，点B，C是ON边上两点，且ABAC，作点B关于OM的对称点点D，连接AD，CD，OD.
（1）依题意补全图形；
（2）猜想∠DAC °，并证明；
（3）猜想线段OA、OD、OC的数量关系，并证明.
参考答案：
1．D
【分析】分两种情况：当点在线段上时或当点在延长线上时，取的中点，连接，同理证明，得到，从而求解．
【详解】解：当点在线段上时，
如图，取的中点，连接，此时在的延长线上，
∵，点D为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，，
∵，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵是中点，
∴，
∴；
当点在延长线上时，如图，
同理可得：；
综上：的长为1或5，
故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是适当添加辅助线，构造全等三角形，从而得到线段之间的关系．
2．C
【分析】由题中条件易得，根据全等三角形的判定易得△ACD、△AED与△BED全等，求得△BDE的周长即可得到△ACD的周长．
【详解】解：∵，，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC交BC于点D，
∴∠CAD=∠BAD =30°，CD=DE，
在△ACD与△BED中，
∴△ACD≌△BED，
在△ACD与△AED中，
∴△ACD≌△AED，
∴AC=AE=BE，
∵，
∴BE=，，
C△BDE=DE+BE+BD=3+，
∴C△ACD= 3+，
故答案选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和全等三角形的应用，以及30°角所对的直角边长度是斜边的一半，牢记定义并灵活运用是解题的关键．
3．C
【分析】利用三角形的内角和是180°，和外角的性质即可求得．
【详解】解：等边三角形的各个内角都是60°，
根据三角形的外角的性质得∠1＝∠3+∠5，∠2＝∠3+∠4，
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4+∠3＋∠5=180°+60°
则∠1＋∠2＝240°．
故答案选：C．
【点睛】此题运用了等边三角形的性质和三角形的外角的性质．比较简单，要求学生应熟练掌握．
4．B
【分析】根据题意可得∠1+∠5+60°=180°，∠2+∠4+60°=180°，∠3+∠6+60°=180°，从而得到∠1+∠2+∠3=180°，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：∠1+∠5+60°=180°，∠2+∠4+60°=180°，∠3+∠6+60°=180°，
∴∠1+∠5+∠2+∠4+∠3+∠6=360°，
∵∠4+∠5+∠6=180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°，
∵，
∴∠3=70°．
故选：B
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平角的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
5．B
【分析】根据三角形内角和定理，等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，根据直角三角形的性质求出BD，根据等腰三角形的性质求出CD，计算即可．
【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵AD⊥AB，
∴∠DAB=90°，又∠B=30°，
∴BD=2AD=6，
∵∠BAC=120°，∠DAC=90°，
∴∠DAC=30°，
∴∠DAC=∠C，
∴CD=AD=3，
∴BC=BD+CD=9，
故选 B．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，直角三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
6．C
【分析】过作的平行线交于，通过证明≌，得，再由是等边三角形，即可得出．
【详解】解：过作的平行线交于，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，
∵CQ＝PA，
∴
在中和中，
，
≌，
，
于，是等边三角形，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
7．/度
【分析】如图1中，过点C作，使得，连接．证明，推出，由，可知B，N，H共线时，值最小，求出此时的度数即可解决问题．
【详解】解：如图1中，过点C作，使得，连接．
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴B，N，H共线时，的值最小，
如图2中，当B，N，H共线时，
∵，
∴，
∴
∴当的值最小时，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
8．10
【分析】利用含角的直角三角形的性质求得，利用同圆的半径相等求得．
【详解】解：，，，
∴，
以点A为圆心，长为半径画弧，交边的延长线于点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，同圆的半径相等，正确利用上述性质解答，是解题的关键．
9．8
【分析】首先根据对称性得出△DOC是等边三角形，进而得出答案．
【详解】解：连接OD，OC，
∵∠AOB=30°；点C、D分别是点P关于直线OA、OB的对称点，
∴∠DOC=60°，DO=OP=OC，PF=DF，PE=CE，
∴△DOC是等边三角形，
∵△PEF的周长的为8，
∴OP=8．
故选：8．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出等边三角形是解题的关键．
10．
【分析】根据△A1B1A2为等边三角形，可知∠A1B1A2=60°，A1B1= A1A2，根据∠MON=30°，进而可得∠A1B1O=30°，由此可知△OA1B1为等腰三角形，同理可证△OA2B2为等腰三角形，OA2 =A2B2= A2A3=2，依次类推可知△OA3B3为等腰三角形，则OA3 =A3B3= A3A4=，同理可知△OA4B4为等腰三角形，则OA4 =A4B4= A4A5=，由此可找到边长的变化规律推导出边长即可．
【详解】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠A1B1A2=60°，A1B1= A1A2，
∵∠MON=30°，
∴∠A1B1O=30°，
∴△OA1B1为等腰三角形，
∴A1B1= OA1，
∴A1B1= A1A2= OA1，
∵OA1=1 ，
同理可知△OA2B2为等腰三角形，
∴OA2 =A2B2= A2A3=2，
同理可知△OA3B3为等腰三角形，
∴OA3 =A3B3= A3A4=，
同理可知△OA4B4为等腰三角形，
∴OA4 =A4B4= A4A5=，
依次类推：OAn=AnBn= AnAn+1=,
∴△A2021B2021A2022的边长为：=，
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，归纳，总结，验证，应用的能力，能够发现规律并应用规律是解决本题的关键．
11．
【分析】根据∠MON＝30°，△是等边三角形，确定=2，依次计算，，，确定规律计算即可．
【详解】∵∠MON＝30°，△是等边三角形，
∴=2，
同理可得，，，
∴=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，等边三角形的性质，图形中的规律，利用枚举法确定规律是解题的关键．
12．(1)=
(2)，证明见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据点E为的中点，得到， ，通过证明得到，最终证得；
（2）过点E做且交于点F，得到是等边三角形，通过证明得到，再根据得到；
（3）过点E做且交的延长线于点F，，得到是等边三角形，通过证明得到，再根据得到．
【详解】（1）解：∵点E为的中点，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如下图所示，过点E做且交于点F，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴；
（3）解：如下图所示，过点E做且交的延长线于点F，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形和全等三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形．
13．(1)证明见解析
(2)点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．∠QMC＝60°
(3)点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．∠QMC＝120°
【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；
（2）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=；
（3）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP＝BQ，
在△ABQ与△CAP中，
∵，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC；
（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变化．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
14．(1)见解析
(2)AD⊥CF ，理由见解析
(3)△BGH是等边三角形，理由见解析
【分析】（1）通过正方形的性质可以快速得到两个三角形全等
（2）由第一问的手拉手模型得到的三角形全等得到∠ADB=∠CFB，再通过对顶角得到∠BHF=∠PHD，最后通过互余的关系得出结论．
（3）由第一问的全等得出∠BAD=∠BFC，进而得出△ABG≌△FBH，BG=BH，求出∠GBH=60°即可得出结论．
【详解】（1）由题意，得 AB=CB=DB=FB， ∠ABC=∠DBF=90°，
∴∠ABC+∠CBD=∠DBF+∠CBD ，
∴∠ABD=∠CBF ，
∴△ABD≌△CBF．
（2）AD⊥CF ，理由： ∵△ABD≌△CBF ，
∴∠ADB=∠CFB ，又∠DBF=90°，
∴∠CFB+∠BHF=90°，
又∠BHF=∠PHD ，
∴∠ADB+∠PHD=90°，
即∠APF=90°，∴AD⊥CF．
（3）△BGH是等边三角形．
理由：∵△ABD≌△CBF ，
∴∠BAD=∠BFC ，
∵AB=FB ，∠ABG=∠FBG=90°，
∴△ABG≌△FBH ，
∴BG=BH ，
又∠GBH=360°-120°-90°-90°=60° ，
∴△BGH是等边三角形
【点睛】本题考查三角形全等中的手拉手模型的证明与运用，等边三角形的证明方法等，熟练掌握三角形全等的判定方法及等边三角形的判定方法是解题关键．
15．(1)2.5（cm/s）
(2)出发2.5S或10S时，△BPD为直角三角形
(3)当时，△BPD为等边三角形
【分析】（1）分当△BPD≌△CQP，即BP=CQ时，当△BPD≌△CPQ，即BP=CP，BD=CQ时，两种情况讨论求解即可；
（2）分当∠BPD=90°时，当∠BDP=90°时，两种情况讨论求解即可 ．
（3）当BD=BP时，又∠B=，即，即可求解．
【详解】（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又点P与点Q同时出发，但速度不同，
∴
∴当BP=CP，BD=CQ时，△BPD≌△CQP，则
2=16-2，
解得．
又点D是AB的中点，
∴CQ=BD=10，
∴4α=10，
解得α=2.5（cm/s）
（2）分两种情况讨论：
①当∠BPD=90°时，又∠B=60°，∴∠BDP=30°
∴
②当∠BDP=90°时，又∠B=60°，
∴∠BPD=30°
∴，解得：
∴出发2.5S或10S时，△BPD为直角三角形．
（3）当BD=BP时，又∠B=，△BPD为等边三角形
∴，
解得
∴当时，△BPD为等边三角形
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
16．(1)证明见解析
(2)成立，理由见解析
【分析】（1）根据等边三角形的三线合一性质由得到BE平分，则可求出，再由得到，利用外角的性质求出，最后利用等角对等边即可证明；
（2）过点E作EF//BD交AB于点F，如图（见详解），根据平行得到同位角相等继而得到是等边三角形，利用边角边证明，最后根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，，
∴BE平分，．
∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
∵是等边三角形，过点E作EF//BD交AB于点F，如图所示，
则，，
∴是等边三角形．
∵，
∴，
∴，
即．
∵是的外角，是的外角，
∴，
在和中，，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形和等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质和判定以及外角的性质等，解题的关键是要熟练掌握相关的性质和判定定理，并能够在图中作出适当的辅助线解决问题．
17．(1)见解析；
(2)的度数是．
【分析】（1）由是等边三角形得出，由得，，能证明是等边三角形，则，再由，得，，可证明；
（2）由的性质得，则，得，由为的中点得，则，可求得，则．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，，
，
，
在中，
，
；
（2）解：，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
，
的度数是．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余，解题的关键是证明，利用性质求解．
18．(1)=
(2)成立，理由见解析
(3)AB＝AD＋AE或AE＝AB＋AD，图见解析，理由见解析
【分析】（1）由题意可得∠DBE=∠ABC=30°，AD=CD，从而可得到∠E=∠DBE==30°，通过外角的性质得到∠E=∠EA=30°，最后可得CD=AE；
（2）过点D作，交BC于点F，则∠FDB＝∠DBA，从而得出CD＝DF，∠2＝180°－∠CFD＝120°，∠1＝180°－∠CAB＝120°，得出∠1＝∠2．可以推出，最后得出CD＝AE；
（3）分当点D在线段AC上时及当点D在线段CA的延长线上时两种情况进行讨论．
【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，D是线段AC的中点，
∴∠DBE=∠ABC=30°，AD=CD，
∵DE=BD，
∴∠E=∠DBE==30°，
∵∠E+∠EDA=∠CAB=60°，
∴∠E=∠EDA=30°，
∴AE=AD，
∴CD=AE，
故答案为：=；
（2）成立．
理由：如图1，过点D作，交BC于点F，则∠FDB＝∠DBA．
∵△ABC是等边三角形，
∴易得△DFC是等边三角形，且∠CAB＝60°，
∴CD＝DF，∠2＝180°－∠CFD＝120°，∠1＝180°－∠CAB＝120°，
∴∠1＝∠2．
又∵DE＝BD，
∴∠E＝∠DBA，
∴∠E＝∠FDB，
∴，
∴AE＝DF，
∴CD＝AE．
（3）AB＝AD＋AE或AE＝AB＋AD．
①AB＝AD＋AE．
如图1，当点D在线段AC上时，
由（2）知AB＝AC＝AD＋CD＝AD＋AE，
即AB＝AD＋AE．
②AE＝AB＋AD．
如图2，当点D在线段CA的延长线上时，过点D作，交CB的延长线与点M，
∴易得△CDM是等边三角形，∠ABD＝∠BDM，
∴∠M＝60°，DM＝CD．
∵BD＝DE，
∴∠ABD＝∠E，
∴∠E＝∠BDM．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠5＝∠6＝60°，AC＝AB，
∴∠5＝∠M，
∴，
∴AE＝DM．
又∵DM＝CD＝AC＋AD＝AB＋AD，
∴AE＝AB＋AD．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线，利用等边三角形的性质找出全等的条件是解题的关键．
19．（1）PE = 2；（2）△EFP的形状是直角三角形；理由见解析．
【分析】（1）先根据△ABC是等边三角形，BP是∠ABC的平分线，可知∠EBP＝30°，由PE⊥AB于点E，进而可得，然后由线段BP的垂直平分线交BC于点F，可得BP＝2BQ＝4，进而可求PE的长；
（2）由等边三角形的性质得出∠ABC＝60°，∠ABP＝∠CBD＝30°，求出∠BPE＝60°，由线段垂直平分线的性质得出FB＝FP，由等腰三角形的性质得出∠FBQ＝∠FPQ＝30°，得出∠EPF＝∠EPB＋∠BPF＝90°即可．
【详解】（1）是等边三角形，BP是的平分线，
，
于点E，
，
，
为线段BP的垂直平分线，
，
；
（2）是直角三角形，理由如下：
连接PF、EF，如图所示：
是等边三角形，BD平分，
，
，
，
，
垂直平分线段BP，
，
，
，
是直角三角形．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、角平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，熟知等边三角形的性质和等腰三角形的性质是解答此题的关键．
20．（1）见解析；（2）60，证明见解析；（3）猜想：AO=OC+OD，证明见解析.
【分析】（1）根据题意作图即可补全图形；
（2）连接BD，如图2，由点B与点D关于AO对称，可得AD＝AB，∠DAO＝∠BAO，然后利用三角形的外角性质和三角形的内角和可得∠BAC与∠OAB的关系，而∠DAC＝∠DAO+∠BAO+∠BAC，进一步即可得出∠DAC的度数；
（3）在射线CN上截取CF=BO，连接AF，如图3，先根据SAS证明△ABO≌△ACF，可得∠AFO＝∠AOB＝60°，进而可证得△AOF是等边三角形，于是AO=OF，而点B与点D关于AO对称，于是有OB=OD，进一步即可得出线段OA、OD、OC的数量关系.
【详解】解：（1）补全图形如图1：
（2）∠DAC =60°；
证明：连接BD，如图2，∵点B与点D关于AO对称，
∴BD被AO垂直平分，∴AD＝AB，∠DAO＝∠BAO，
∵AB＝AC，∴AD＝AC，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠AOB+∠OAB=60°+∠OAB，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣2(60°+∠OAB)= 60°－2∠OAB，
∴∠DAC＝∠DAO+∠BAO+∠BAC＝2∠OAB+60°－2∠OAB=60°；
故答案为：60；
（3）猜想：AO=OC+OD.
证明：在射线CN上截取CF=BO，连接AF，如图3，
∵AB=AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABO＝∠ACF，
∴△ABO≌△ACF（SAS），
∴∠AFO＝∠AOB＝60°，
∴△AOF是等边三角形，∴AO=OF，
∵点B与点D关于AO对称，
∴OB=OD，∴OD=CF，
∴AO=OF=OC+CF=OC+OD.
【点睛】本题考查了依题意作图、轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质等知识，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题关键.
