15.1 分式
一、单选题
1．（2022秋·贵州黔东南·八年级期末）若分式的值为0 ，则的值为（ ）．
A．3 B． C． D．9
2．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·贵州黔南·八年级统考期末）使代数式有意义的的值是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且且
4．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）在中，是分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）在中，分式的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）使分式等于0的x的值是（ ）
A．1 B． C． D．不存在
7．（2022秋·贵州黔南·八年级统考期末）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．2 C．±2 D．﹣2
8．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）已知（且），，，……，，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）分式与的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）如果把的x与y都扩大到原来的5倍，那么这个代数式的值将（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．扩大25倍
13．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）在计算通分时，分母确定为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
14．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）若分式的值为0，则a的值为 ．
15．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）当x ，分式无意义．
16．（2022春·贵州贵阳·八年级统考期末）要使分式有意义，则的取值应满足 ．
17．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）若有意义，则x的取值范围是 ．
18．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）若分式的值为零，则x的值为 ．
三、解答题
19．（2022春·贵州安顺·八年级统考期末）如图，图①是一个边长为a的正方形减去一个边长为1的小正方形，图②是一个边长为的正方形，记图①和图②中阴影部分的面积分别为，请化简．
参考答案：
1．C
【分析】根据分式的意义分母不为0，结合分式值为0，则可得的值．
【详解】解：分式的值为0 ，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查分式值为0的意义．熟练掌握分式有意义的条件：分母不为0是解题的关键，也是本题的易错点．
2．B
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0，即可求出答案．
【详解】解：由分式有意义的条件可知：，
，
故选：B．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．
3．D
【分析】根据使分式有意义的条件列出关于x的不等式进行计算即可．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，
解得：且且，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了使分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式的分母不等于0，另外0不能做除数．
4．B
【分析】利用分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，进行解答即可．
【详解】解：的分母中含有字母，属于分式，其他的属于整式．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义∶ 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式是解题的关键．
5．B
【分析】根据分式的定义，即可求解．
【详解】解∶分式有，共3个．
故选：B
【点睛】本题主要考查了分式的定义，熟练掌握形如（其中A、B都是整式，且B≠0）的式子叫做分式是解题的关键．
6．A
【分析】根据分式值为零的条件可得：x2﹣1＝0且x+1≠0，再求解即可．
【详解】解：由题意得：x2﹣1＝0且x+1≠0，
解得：x＝1．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
7．B
【分析】先根据分式为0的条件列式求解即可．
【详解】解：由题意得，
解得：x＝2．
故选B．
【点睛】本题主要考查的是分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子为0，分母不为0．
8．D
【分析】根据题中所给已知等式先求出前4个数，发现每3个数一个循环，进而可得则a2021等于a2的值．
【详解】解：由于a1=x+1（x≠0或x≠-1），
所以， ，
因为2021÷3=673，
所以a2021=．
故选：D．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律．
9．C
【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．当各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里，据此求解即可．
【详解】解：分式与的最简公分母是，
故选C．
【点睛】本题主要考查了求最简公分母，解题的关键是需要掌握最简公分母的定义．
10．C
【分析】根据最简分式的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
C、是最简分式，故本选项符合题意；
D、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除了1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．
11．C
【分析】根据分式的基本性质进行计算逐一判断即可．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
12．B
【分析】将x、y分别换成5x、5y，根据分式的基本性质化简，和比较即可得到结论．
【详解】解：把的x与y都扩大到原来的5倍，
则，比扩大了5倍
故选：B
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟记分式的基本性质是解题的关键．
13．B
【分析】先将分母因式分解，进而确定公分母即可．
【详解】，
计算通分时，分母确定为．
故选B
【点睛】本题考查了找最简公分母，先将分母因式分解是解题的关键．
14．
【分析】根据分子等于0且分母不等于0列式求解即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴且，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可．
15．/等于2
【分析】根据分式无意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了分式无意义的条件，熟练掌握分式无意义的条件——分式的分母等于0是解题的关键．
16．
【分析】直接利用分式有意义则其分母不为零，进而得出答案．
【详解】解：分式有意义，
的取值范围是：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
17．x≠
【分析】根据使分式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：要使有意义，则，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了使分式有意义的条件，熟练掌握要使分式有意义则分母不能等于零，是解题的关键．
18．5
【分析】根据分式值为零的条件列式计算即可．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴5-=0，x+5≠0，
解得：x=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
19．
【分析】先利用正方形的面积公式分别求出，再利用平方差公式进行化简即可得．
【详解】解：由图可知，，，
则
．
【点睛】本题考查了平方差公式、分式的化简，熟记平方差公式是解题关键．15.2 分式的运算
一、单选题
1．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）已知m2+3m-4=0，则代数式值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·贵州贵阳·八年级统考期末）计算的结果是（ ）
A． B． C．1 D．
4．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）细胞的直径只有1微米，即米，用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）某红外线遥控器发出的红外线波长为，用科学记数法表示这个数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·贵州黔南·八年级统考期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2022秋·贵州黔南·八年级统考期末）如果两种灯泡的额定功率分别是，，那么第一只灯泡的额定功率是第二只灯泡额定功率的 倍
8．（2022秋·贵州黔南·八年级统考期末）计算：= ．
9．（2022春·贵州毕节·八年级统考期末）若不等式组的解集为，则代数式的值为 ．
10．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）若，则xy= ．
11．（2022秋·贵州毕节·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，若点和关于y轴对称，则 ．
12．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）把用科学记数法表示成的形式，则a+n的值是 ．
三、解答题
13．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）先化简，再从的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
14．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）先化简，再从中选一个适合的整数代入求值．
15．（2022春·贵州毕节·八年级统考期末）先化简再求值：，其中．
16．（2022春·贵州贵阳·八年级统考期末）计算：．
17．（2022春·贵州铜仁·八年级统考期末）（1）解不等式组：
（2）先化简，再求值：，若从－1，－2，1，2四个数中选择一个你喜欢的数作为a的值，并求出代数式的值．
18．（2022秋·贵州黔南·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
19．（2022秋·贵州黔东南·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中
20．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）先化简，再求值：，然后从中，选择一个合适的整数作为x的值代入求值．
21．（2022秋·贵州黔南·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
22．（2022秋·贵州黔东南·八年级期末）先化简（）÷，再从﹣2、﹣1、0、1中选一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
23．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）计算：
(1)；
(2)．
24．（2022秋·贵州黔东南·八年级期末）计算
(1)
(2)
25．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）计算：
26．（2022秋·贵州黔西·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中a＝．
参考答案：
1．D
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【详解】解：
∵
∴
∴原式
故选：D
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．C
【分析】根据分式的运算、完全平方公式的变形即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形应用．
3．C
【分析】根据同分母分式的加法法则，即可求解．
【详解】解：原式=，
故选C．
【点睛】本题主要考查同分母分式的加法法则，掌握”同分母分式相加，分母不变，分子相加“是解题的关键．
4．D
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：
故选D．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
5．B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：=9.4×10-7m，
故选：B．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
6．C
【分析】直接利用整式的除法，单项式除以单项式法则进行计算．
【详解】解： m3n2÷n2 = m3
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的除法，正确利用整式除法法则计算是解题关键．
7．5
【分析】分析题意可得，然后利用分式的除法转化为乘法，约分后即可求解．
【详解】解：
故答案为：5
【点睛】本题考查了分式的运算，解题的关键是要掌握分式 除法运算法则．
8．1．
【详解】解：因为分式的分母相同，所以只要将分母不变，分子相加即可：．
故答案为：1
9．/0.25
【分析】先解一元一次不等式组，可得b＜x＜1＋a，从而可得b＝ 1，1＋a＝2，求出a，b的值，最后代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：x＜1＋a，
解不等式②得：x＞b，
∴不等式组的解集为：b＜x＜1＋a，
∵不等式组的解集为 1＜x＜2，
∴b＝ 1，1＋a＝2，
∴b＝ 1，a＝1，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，负整数指数幂，求出不等式组的解集得到a，b的值是解题的关键．
10．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x，y的值进而得出答案．
【详解】解：∵，都有意义，
∴2﹣x≥0，且x﹣2≥0，
解得：x＝2，
∴y＝-3，
∴．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件和负指数幂法则，正确得出x的值是解题关键．
11．1
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：∵点和关于y轴对称，
得
解得
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，零指数幂的运算，代数式求值，解决本题的关键是掌握对称点的坐标规律：
12．-3
【分析】用科学记数法表示绝对值小于1的数，其中，即；为负整数，其值等于原数中左起第一个非零数字前面所有零的个数的相反数，即，然后计算求解即可．
【详解】解：写成的形式，其中，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法表示绝对值小于1的数．解题的关键在于熟练掌握科学记数法．
13．，当时，原式；当时，原式
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，再根据分式有意义的条件结合且x是整数，选取合适的值代值计算即可．
【详解】解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
∵且x为整数，
∴或，
当时，原式；
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，求一元一次不等式组的整数解，分式有意义的条件，正确化简分式是解题的关键．
14．，
【分析】先算小括号里面的，然后算括号外面的，再结合分式成立的条件选取适合的整数代入求值．
【详解】解：
∵当，0或4时原分式无意义，
∴中使得原分式有意义的整数是或2，
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的混合运算，掌握运算法则及分式成立的条件（分母不能为零）是解题关键．
15．， 1
【分析】先算括号内的减法，同时利用除法法则变形，分子、分母能因式分解的进行因式分解，再进行约分化简，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：原式
，
当a＝2时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则及因式分解的方法是解题的关键．
16．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简即可求出答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则是解题关键．
17．（1）5≤x＜8；（2），
【分析】（1）将两个不等式算出未知数范围，将分式不等式去分母再求范围即可
（2）先去分母，后去括号，利用完全平方与平方差公式即可求解．
【详解】（1）解不等式 得，x≥5；
解不等式 得，；
所以原不等式组的解集为5≤x＜8；
（2）
；
∵由题意可知取1，2，-2时，
题中分式分母为0，无意义
只能取-1；
当时, 原式
【点睛】本题考查解分式不等式与利用完全平方与平方差公式进行化简，注意化简前分式有意义的条件，进而排除 的多余取值为关键．
18．，
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
【详解】解：原式．
当时，
原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19．，-4
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将m的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则，注意先化简后代入计算．
20．，当时，原式=
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后从-1≤x≤1中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：
，
∵，
∴整数，0，1，
∵，，
∴x不能取0和1，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
21．；x=3时，原式=，x=-3时，原式=．
【分析】先把括号内的分式通分，再根据分式除法法则化简出最简结果，根据可得x=±3，分别代入化简后的式子，即可得答案．
【详解】
=
=
=，
∵，
∴x=±3，
得x=3时，原式=，
当x=-3时，原式=．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．
22．
【分析】先算括号里面的，再算除法，最后选出合适的x的值代入进行计算即可．
【详解】解：原式=
=
=，
由x（x2﹣1）≠0得，x≠ 0，1，﹣1
当x=﹣2时，原式=
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，注意分式的分母不为0．
23．(1)
(2)1
【分析】（1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可；
（2）先计算零指数幂和负整数指数幂和绝对值，再根据有理数加减计算法则求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了单项式乘以多项式，零指数幂，负整数指数幂，绝对值等计算，熟知相关计算法则是解题的关键，注意负数的负偶次幂的结果为正．
24．(1)7
(2)
【分析】（1）先计算有理数的乘方、零指数幂、化简绝对值、负整数指数幂和算术平方根，再进行加减运算即可；
（2）根据整式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查实数的混合运算和整式的混合运算，掌握各运算法则是解题的关键．
25．
【分析】先计算乘方开方，再计算加减即可．
【详解】解：原式＝3－＋2－2＋1－3
＝
【点睛】本题考查实数混合运算，熟练掌握负整指数幂与零指数幂运算法则是解题的关键．
26．
【分析】先对括号进行通分，后对除式分子，分母进行因式分解，化除为乘，进行化简，计算a值后，代入计算．
【详解】∵
=
=；
a＝=，
∴原式=
=．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练进行通分，因式分解，约分是解题的关键．15.3 分式方程
一、单选题
1．（2022春·贵州毕节·八年级统考期末）如图，在解分式方程的4个步骤中，是根据等式的基本性质得到的是（ ）
……① ……② ……③ ……④
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
2．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）若关于x的方程的解为，则a等于（ ）
A． B．4 C． D．
3．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A．0 B．2或3 C．2 D．3
4．（2022秋·贵州黔南·八年级统考期末）若关于的方程无解，则的值为（ ）
A．或 B． C． D．或
5．（2022秋·贵州黔南·八年级统考期末）若分式方程有增根，则m的值是（ ）
A．4 B．1 C．－1 D．－3
6．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）“某学校改造过程中整修门口的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（ ）
A．每天比原计划多修，结果延期20天完成
B．每天比原计划多修，结果提前20天完成
C．每天比原计划少修，结果延期20天完成
D．每天比原计划少修，结果提前20天完成
7．（2022秋·贵州黔东南·八年级期末）小明家距离学1500米，一天，小明从家出发去学校上学，出发8分钟后，爸爸发现他的数学作业忘记拿了，立即带上作业去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是小明速度的2倍，若设小明的速度为米/秒，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）已知水流速度为3千米/时，轮船顺水航行120千米所需的时间与逆水航行90千米所需的时间相同，求轮船在静水中的速度，设轮船在静水中的速度为x千米/时，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）九年级（3）班小王和小张两人练习跳绳，小王每分钟比小张少跳60个，小王跳120个所用的时间和小张跳180个所用的时间相等．设小王跳绳速度为x个每分钟，则列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022秋·贵州黔南·八年级统考期末）暑假期间，某科幻小说的销售量急剧上升．某书店分别用600元和800元两次购进该小说，第二次购进的数量比第一次多40套，且两次购书时，每套书的进价相同．若设书店第一次购进该科幻小说x套，由题意列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022秋·贵州黔西·八年级统考期末）为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点18km，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少10km．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的，小王乘公交车上班平均每小时行驶（ ）
A．30km B．36km C．40km D．46km
二、填空题
12．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）分式方程的解为 ．
13．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）对于实数，定义一种新运算“*”为：，这里等式右边是实数运算．例如．则方程的解是 ．
14．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围为 ．
15．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？设乙种消毒液零售价元/桶，则列方程为： ．
三、解答题
16．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）阅读下列材料，并回答问题：
我们把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫“单位分数”．单位分数又叫埃及分数，在很早以前，埃及人就研究如何把一个单位分数表示成两个或几个单位分数的和或差．今天我们来研究如何拆分一个单位分数．请观察下列各式：
；，，．
(1)由此可推测__________；请你猜想出拆分一个单位分数的一般规律，并用含字母m的等式表示出来（m表示正整数）__________；
(2)请用简便方法计算：；
(3)请用观察到的规律解方程．
17．（2022秋·贵州黔东南·八年级期末）解方程：
18．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）解方程
(1)
(2)
19．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）学习了分式方程的解法后，老师布置了解方程．小强同学的解法如下
解：方程两边同乘，得：
……①
……②
……③
检验：当时，……④
∴原分式方程的解为……⑤
同桌把答案代入原方程，发现这个解有误．
(1)小强解方程的过程中，第______，______步出现错误．原因是：______．
(2)请你写出正确的解答．
20．（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）疫情防控，人人有责．某公司为了解决员工的口罩问题上，准备采购A、B两种型号的口罩，A种口罩每件单价比B种口罩每件多100元，用2000元购进A种口罩和用1200元购进B种口罩的数量相同．
(1)A种口罩每件的单价和B种口罩的单价各是多少元？
(2)公司计划用4000元的资金购进A、B两种型号的口罩共20件，其中A种口罩数量不得低于B种口罩数量的一半，该公司有几种采购方案，哪种购买方式最划算？
21．（2022春·贵州贵阳·八年级统考期末）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际，用元采购种粽子与元采购种粽子的个数相同．已知种粽子的单价比种粽子单价多元．
(1)求，两种粽子的单价；
(2)商场计划用不超过元的资金采购，两种粽子共个，已知，两种粽子的进价不变．求种粽子最多能采购多少个？
22．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）为支援灾区，某学校献爱心活动小组准备用筹集的资金购买甲、乙两种型号的学习用品共1000件．已知乙型学习用品的单价比甲型学习用品的单价多20元，用180元购买乙型学习用品与用120元购买甲型学习用品的件数相同．
(1)求甲，乙两种学习用品的单价各是多少元；
(2)若购买这批学习用品的费用不超过48000元，则最多购买乙型学习用品多少件？
23．（2022秋·贵州黔东南·八年级期末）某开发公司生产的960件新产品需要精加工后才能投放市场．现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲厂单独加工这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工数量的，公司需付甲工厂加工费用每天80元，需付乙工厂加工费用每天120元．
（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少个新产品？
（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成，在加工过程中，公司派一名工程师到厂进行技术指导，并负担每天10元的午餐补助费，请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．
24．（2022秋·贵州黔南·八年级统考期末）某县要修筑一条长为6000米的乡村旅游公路，准备承包给甲、乙两个工程队来合作完成，已知甲队每天筑路的长度是乙队的2倍，前期两队各完成了400米时，甲比乙少用了5天．
（1）求甲、乙两个工程队每天各筑路多少米？
（2）若甲队每天的工程费用为1.5万元，乙队每天的工程费用为0.9万元，要使完成全部工程的总费用不超过120万元，则至少要安排甲队筑路多少天？
25．（2022春·贵州安顺·八年级统考期末）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗，某商场在端午节来临之际用3000元购进、两种粽子1100个，购买种粽子与购买种粽子的费用相同，已知粽子的单价是种粽子单价的1.2倍.
（1）求、两种粽子的单价各是多少？
（2）若计划用不超过7000元的资金再次购买、两种粽子共2600个，已知、两种粽子的进价不变，求中粽子最多能购进多少个？
参考答案：
1．B
【分析】观察4个步骤，逐项分析即可．
【详解】解：x （3 x）＝x 2……①（等式的基本性质），
x 3＋x＝x 2……②（去括号法则），
x＋x x＝ 2＋3……③（等式的基本性质），
∴x＝1……④（合并同类项法则）．
所以是根据等式的基本性质得到的是①③，
故选：B．
【点睛】此题考查了解分式方程，等式的基本性质，熟知等式两边同时加上或减去同一个整式，等式两边依然相等；等式两边同时乘或除同一个数或整式，等式两边依然相等是解本题的关键．
2．D
【分析】根据方程的解的定义，把x＝1代入原方程，原方程左右两边相等，从而原方程转化为含a的新方程，解此新方程可以求得a的值．
【详解】解：把x＝1代入方程得：，
解得：a＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的解，关键是要掌握方程的解的定义，由已知解代入原方程得到新方程，然后再解答．
3．D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根得到x－2=0，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．
【详解】解：去分母得：，
∴，
∵关于x的方程有增根，
∴x－2=0，
解得：x＝2
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查根据分式方程根的情况求参数的值．根据分式方程有增根求出x的值，并代入去分母后转化的整式方程中求m的值是解题的关键．
4．A
【分析】等式两边同时乘以公倍数：，去分母；然后根据方程无解，求出；当时，方程无解，求出，综合的值，即可．
【详解】，
解：，
等式两边同时乘以：，
∴，
∴，
∴，
∵方程无解，
∴；
当时，方程无解，
∴把代入方程，得；
∴的值为：或．
故选：A．
【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程无解的性质．
5．B
【分析】将方程两边同时乘以（x-4），去分母转化为整式方程，表示出方程的解，令方程的解为4，即可求出此时m的值．
【详解】解：将方程两边同时乘以（x-4），方程变形得：，
解得：，
由方程有增根，得到x=4，即＝4，
则m的值为1，
故答案选：B．,
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
6．B
【分析】由代表的含义找出代表的含义，再分析所列方程选用的等量关系，即可找出结论．
【详解】解：设实际每天整修道路，则表示：实际施工时，每天比原计划多修，
方程，其中表示原计划施工所需时间，表示实际施工所需时间，
原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前20天完成．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据所列分式方程，找出选用的等量关系是解题的关键．
7．D
【分析】若设小明的速度为x米/秒，则爸爸的速度是2x米/分，依据等量关系：小明走1300米的时间-爸爸走1500米的时间=8×60秒．
【详解】解：若设小明的速度为x米/秒，则爸爸的速度是2x米/分，
依题意，得，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
8．A
【分析】设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据轮船顺水航行120千米所需的时间与逆水航行90千米所需的时间相同，列方程即可．
【详解】解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，
由题意得，
；
故选：A
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．
9．C
【分析】设小王跳绳速度为x个每分钟，根据所用的时间相等列出分式方程即可．
【详解】解：由题意可得，，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
10．C
【分析】根据第一次进书的总钱数÷第一次购进套数＝第二次进书的总钱数÷第二次购进套数列方程可得．
【详解】若设书店第一次购进该科幻小说x套，
由题意列方程正确的是，
故选：C．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系．
11．A
【分析】设王乘公交车上班平均每小时行驶x千米，则他自驾车平均每小时行驶（x+10）千米，然后根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设王乘公交车上班平均每小时行驶x千米，则他自驾车平均每小时行驶（x+10）千米，
由题意得： ，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴小王乘公交车上班平均每小时行驶30km，
故选A．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键在于能够准确理解题意列出方程求解．
12．x＝1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：1+x+1＝3，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：x+1≠0，
∴分式方程的解为x＝1．
故答案为：x＝1．
【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
13．
【分析】根据题目中新定义的运算得出方程求解，然后检验即可．
【详解】解：∵x*4= 1，a*b=，
∴x*4==-1，
解得：x=2，
检验：当x=2时，x-4≠0，
∴x=2是原方程的解，
故答案为：x=2．
【点睛】题目主要考查解分式方程，理解题目中新定义的运算是解题关键．
14．m<且m≠
【分析】解分式方程，得到含有m得方程的解，根据“方程的解是负数”，结合分式方程的分母不等于零，得到两个关于m得不等式，解之即可．
【详解】解：方程两边同时乘以x+2得：2mx-1=x+2，
解得：，
又∵方程的解是负数，且x≠-2，
∴＜0，≠-2，
解不等式得：m<且m≠，
故答案为：m<且m≠．
【点睛】本题主要考查了分式的方程的解以及解一元一次不等式，正确表示出x的值是解题关键．
15．
【分析】设乙种消毒液零售价元/桶，则甲种消毒液零售价元/桶，然后根据用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液列出方程即可．
【详解】解：设乙种消毒液零售价元/桶，则甲种消毒液零售价元/桶，
由题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
16．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据题中所给式子，对照可得结果；
（2）首先把分数裂项，然后进行抵消即可算出结果；
（3）首先提取，再把分数裂项，然后进行抵消即可得到最简分式方程，解之即可．
【详解】（1）解：根据已知条件可得：，
则一般规律为：；
（2）解：
；
（3）解：，
∴，
∴，
解得：，
经检验：是原方程的解．
【点睛】本题考查了裂项法解规律计算的问题，涉及了解分式方程，掌握裂项法是解决本类问题的前提．
17．
【分析】方程两边都乘，化为整式方程，解方程即可求解，最后检验．
【详解】解：原方程可变为，
方程两边都乘，得
，
，
解得，
经检验：是分式方程的解，
∴分式方程的解为．
【点睛】本题考查了解分式方程，正确的计算是解题的关键，最后要检验．
18．(1)
(2)无解
【分析】（1）根据解分式方程的一般步骤求解即可；
（2）根据解分式方程的一般步骤求解即可．
【详解】（1）解：方程两边同乘以公分母，得
解得
经检验，是原方程的解，
因此，原方程的解为：
（2）解：方程两边同乘以最简公分母，
得
解得：
经检验不是原方程的解，
所以原方程无解．
【点睛】题目主要考查解分式方程的一般方法步骤，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．
19．(1)①；②；利用等式的性质漏乘；，分子分母是互为相反数直接约分了；
(2)见解析
【分析】检查小强同学的解题过程，找出出错的步骤，以及错误的原因，写出正确的解题过程即可．
【详解】（1）第①、②步出现错误，错误的原因是利用等式的性质漏乘，分子分母是互为相反数直接约分了；
故答案为：①；②；利用等式的性质漏乘；，分子分母是互为相反数直接约分了；
（2）解：方程两边同乘，得：
检验：当时，
∴原分式方程的解为
【点睛】此题考查了解分式方程，解方程去分母时注意各项都乘以各项的最简公分母．
20．(1)种口罩每件的单价为250元，则种口罩的单价为150元
(2)4种方案，种口罩购进7件，种口罩购进13件最划算
【分析】（1）设种口罩每件的单价为元，则种口罩的单价为元．由题意：用2000元购进种口罩和用1200元购进种口罩的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设种口罩购进件，则种口罩购进件．由题意：公司计划用4000元的资金购进、两种型号的口罩共20件，其中种口罩数量不得低于种口罩数量的一半，列出一元一次不等式组，解不等式组，取正整数解，再计算结果．
【详解】（1）解：设种口罩每件的单价为元，则种口罩的单价为元．
由题意，得：，
解得：．
经检验：是原方程的解，且符合题意，
则（元）．
答：种口罩每件的单价为250元，则种口罩的单价为150元．
（2）设种口罩购进件，则种口罩购进件．
由题意，得：
解得：．
为正整数，
或8或9或10．
该公司4种采购方案：
方案一：种口罩购进7件，种口罩购进13件，费用为：元；
方案二：种口罩购进8件，种口罩购进12件，费用为：元；
方案三：种口罩购进9件，种口罩购进11件，费用为：元；
方案四：种口罩购进10件，种口罩购进10件，费用为：元；
∴共有4种方案，其中方案一：种口罩购进7件，种口罩购进13件最划算．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．
21．(1)种粽子单价为元，种粽子单价为元
(2)种粽子最多能购进个
【分析】（1）设种粽子单价为元，则种粽子单价为元，由题意：用元采购种粽子与元采购种粽子的个数相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设种粽子能采购个，则种粽子能采购个，由题意：商场计划用不超过元的资金采购，两种粽子，列出一元一次不等式，解不等式即可．
（1）解：设种粽子单价为元，则种粽子单价为元，根据题意，得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，．答：种粽子单价为元，种粽子单价为元．
（2）解：设种粽子能采购个，则种粽子能采购个，依题意，得：，解得：，答：种粽子最多能购进个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．(1)甲种学习用品的单价是40元，则乙种种学习用品的单价是60元
(2)400件
【分析】（1）设甲种学习用品的单价是x元，则乙种种学习用品的单价是（x+20）元．利用“用180元购买乙型学习用品与用120元购买甲型学习用品的件数相同”列分式方程求解即可；
（2）设购买乙型学习用品y件，则购买甲型学习用品（1000﹣y）件，根据“购买这批学习用品的费用不超过48000元”建立不等式求出其解即可．
【详解】（1）解：设甲种学习用品的单价是x元，则乙种种学习用品的单价是（x＋20）元．根据题意得．
＝
解得，x＝40．经检验，x＝40是原方程的解
x＋20＝40＋20＝60
答：甲种学习用品的单价是40元，则乙种种学习用品的单价是60元．
（2）解：设最多购买乙型学习用品y件，由题意得
60y＋40（1000－y）
解得：y400
因此，最多购买乙型学习用品400件符合要求．
【点睛】本题考查了列分式方程解应用题和一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到等量关系是建立方程的关键．
23．（1）甲、乙两个工厂每天各能加工16个、24个新产品；（2）甲、乙合作，理由见解析
【分析】（1）设乙每天加工新产品件，则甲每天加工新产品件，甲单独加工完这批产品需天，乙单独加工完这批产品需天，根据题意找出等量关系：甲厂单独加工这批产品所需天数乙工厂单独加工完这批产品所需天数=20，由等量关系列出方程求解．
（2）分别计算出甲单独加工完成、乙单独加工完成、甲、乙合作完成需要的时间和费用，比较大小，选择既省时又省钱的加工方案即可．
【详解】解：（1）设乙每天加工新产品件，则甲每天加工新产品件．
根据题意得，
解得，
经检验，符合题意，则，
所以甲、乙两个工厂每天各能加工16个、24个新产品；
（2）甲单独加工完成需要天，费用为：元，
乙单独加工完成需要天，费用为：元；
甲、乙合作完成需要天，费用为：元．
所以既省时又省钱的加工方案是甲、乙合作．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．需要注意：①分式方程求解后，应注意检验其结果是否符合题意；②选择最优方案时，需将求各个方案所需时间和所需费用，经过比较后选择最优的那个方案．
24．（1）甲每天筑路80米，乙每天筑路40米；（2）甲至少要筑路50天
【分析】（1）设乙队每天筑路x米，则甲每天筑路2x米．由题意列出分式方程，解方程即可；
（2）设甲筑路t天，则乙筑路天数为（150﹣2t）天，由题意列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：（1）设乙队每天筑路x米，则甲每天筑路2x米．
依题意，得：，
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原分式方程的解，
则2x＝80，
答：甲每天筑路80米，乙每天筑路40米；
（2）设甲筑路t天，则乙筑路天数为天，
依题意：，
解得：，
∴甲至少要筑路50天．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的数量关系列出方程或不等式是解决问题的关键．
25．（l）种粽子的单价是3元，种粽子的单价是2.5元；（2）种粽子最多能购进1000个.
【分析】（1）根据题意列出分式方程计算即可，注意根的验证.
（2）根据题意列出不等式即可，根据不等式的性质求解.
【详解】（l）设种粽子的单价为元，则种粽子的单价为元
根据题意，得
解得：
经检验，是原方程的根
所以种粽子的单价是3元，种粽子的单价是2.5元
（2）设种粽子购进个，则购进种粽子个
根据题意，得
解得
所以，种粽子最多能购进1000个
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，关键在于分式方程的解需要验证.
