文科参考答案
1-5 BADBC 6-10 BBDDC 11-12 DA
a ln a 112、A. 由 2，得 a 2 ln3 ln a 1 ，于是 a ln a 1 2 ln3．
3
b 1
同理由b ln 3，可得b ln b 1 3 ln 4．
4
对于 c 2ec 1 1，可得 c 1 2ec 1，
两边同时取对数得 ln c 1 ln 2 c 1，于是 c ln c 1 1 ln 2．
构造函数 f x x ln x 1 ，则 f a f 2 ， f b f 3 ， f c f 1 ．
因为 f x x x 1 ，
x 1
所以当 1 x 0时， f x 0， f x 在 1,0 内单调递减，
当 x 0时， f (x) > 0， f x 在 0, 内单调递增，
所以 f 1 f 2 f 3 ，又 a<0，b 0，c 0，
如图所示，故b a c．
13、 14、 15、4
16 、 ,
1
-
e3
【详解】因为 f x x 3 3 x 3sin x x 3 3x 3sinx f x ，
所以 f x 为奇函数，
因为 f x 3x2 3 3cos x 3x2 3 1 cos x 0，所以 f x 为R 上的增函数，
由 f (ln x 2) f (ax) 0得 f (ln x 2) f (ax) f ( ax)，则 ln x 2 ax，
因为 x (0, ) a
ln x 2
，所以 ．
x
g(x) ln x 2 (x 0) g x 3 ln x令 ，则 2 ，令 g x 0，得x x x e
3，
当0 x e3时， g x 0， g x 单调递增，当 x e3时， g x 0， g x 单调递减，
g x g e3 1 a 1 1 1故 3 ，所以 a max 3 ，即 3 ，所以实数 a的取值范围为 , .e e e e3
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17、(1) 4sin ， x 3y 3 1 0； (2)8 2 3 .
x
3
1 t
【详解】（1 2）直线 l的参数方程 （ t为参数），消去参数 t得：x 3y 3 1 0，
y 1 1 t 2
所以直线 l的普通方程为 x 3y 3 1 0；
由 x cos ， y sin 得，点C 0,2 ，M 3,3 ，半径 CM 2，
2
于是曲线C的的普通方程为 x2 y 2 4，即 x2 y2 4y 0，
所以曲线C的极坐标方程为 4sin .
（2）由（1）知，曲线C的的普通方程为 x2 y2 4y 0，
x 1
3
t
将直线 l的参数方程 2 （ t为参数）代入曲线 C的的普通方程，整理得
y 1 1 t 2
t 2 3 t t 1 3 1 t 2 0设 A，B两点对应的参数分别为 t1， t 2 ，则有 1 2 ，
t1t2 2
2 2 2 2 2 2PA PB t1 t2 t1 t2 2t所以 1t2 1 3 2 2 8 2 3
18、(1)a 2,b 9 (2) 0,4
【详解】（1） f x x3 3ax2 bx a2，可得 f x 3x2 6ax b，
f 1 0, 3 6a b 0,
由题 x= 1
时有极值 0.可得：
f
即
1 0, 1 3a b a
2 0,
a 1, a 2,
解得： b 3,或 b 9.
，
a 1
当 时， f x 3x2 6x 9 0，y f x b 3 单调，不会有极值，故舍去.
经验证 a 2,b 9成立；
（2）由（1）可知 f x x3 6x2 9x 4，
f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 ， x 4,0 ，
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x 4 4, 3 3 3, 1 1 1,0 0
f x 0 0
f x 0 增 4 减 0 增 4
所以函数 y f x 在 4, 3 和 1,0 递增， 3, 1 递减.
且 f 4 0， f 3 4， f 1 0， f 0 4，
可得值域为 0,4 .
8
19、(1) 29；32.5 (2)
15
【详解】（1）根据频率分布直方图可估计平均数 x为：
x 5 0.01 15 0.02 25 0.01 35 0.04 45 0.02 10 29．
根据频率分布直方图可估计中位数为：
0.5 0.1 0.2 0.130 10 32.5
0.4
（2）由频率分布直方图可知：桑树未存活数量凡超过 30棵的班级在 30,40 的路口有 4个，
记为 A,B,C,D；桑树未存活数量凡超过 30棵的班级在 40,50 的路口有 2个，记为 a,b；
从“重点教授劳动技术班级”中随机抽取两个班级，则有 AB， AC， AD， Aa， Ab， BC，
BD， Ba， Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db， ab，共15种情况；
其中有且仅有一个桑树未存活数量凡超过 30棵的班级在 40,50 的情况有 Aa，Ab，Ba，Bb，
8
Ca，Cb，Da，Db，共8种情况；所以所求概率 P ．
15
20、（I）见解析;（II 3） .
3
【详解】（I）∵AB为圆 O的直径，点 F在圆 O上
∴AF⊥BF
又矩形 ABCD所在平面和圆 O所在平面垂直且它们的交线为 AB，CB⊥AB
∴CB⊥圆 O所在平面 ∴AF⊥BC
又 BC、 BF为平面 CBF上两相交直线
∴AF⊥平面 CBF 又 AF 面DAF
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∴平面 DAF⊥平面 CBF．
（II）连接 OE
∵AB＝2，EF＝1，AB / / EF
∴OA＝OE＝1，即四边形 OEFA为菱形
∴AF＝OA＝OF＝1
∴等边三角形 OAF中，点 F 3到边 OA的距离为
2
又矩形 ABCD所在平面和圆 O所在平面垂直
∴点 F到边 OA的距离即为四棱锥 F－ABCD的高
3
∴四棱锥 F－ABCD的高 h
2
又 BC＝1
∴矩形的 ABCD的面积 SABCD＝ AB BC 2 1 2
V 1 3 3∴ F ABCD 2 3 2 3
2 24
21 x、(1) y2 1；(2) ；
4 25
c 3
a 2 a 2
2
2 2 2 x
【详解】（1）由题意知： a b c ，可得： b 1 ，则椭圆C的标准方程为 y2 1.
1 4 4 1 c 3
a
2 b2
（2）当直线 l的斜率不存在时，设 l : x m，
x2 m2 2
与 y2 1联立得： P m, 1 ,Q m, 1
m
4 4 4
.
m2 2 由 AP AQ m 2 1 0 m
6
，解得 或m 2（舍去）.
4 5
PQ 8 OPQ 24此时 ，则△ 的面积为 .
5 25
当直线 l的斜率不存在时，设 l : y kx m，
x2
与 y2 1 2联立得：(4k +1)x2 +8kmx +4 (m2 -1)= 0 .4
4 m2 1
由 0得： 4k 2 m2 1 0，且 x1 x
8km
2 4k 2
，
1 x1x2 2 * .4k 1
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由 AP AQ x1 2 x2 2 y1y2 k 2 1 x1x2 km 2 x1 x2 m2 4 0 .
代入 * 6式得：12k 2 5m2 16km 0，即m k或m 2k（此时直线 l过A，舍）.5
PQ 4 1 k 2 x 21 x2 4x1x 22 2 1 k4k 1 4k
2 m2 1 ，
m 2 m 4k2 m2 1
点O到直线 l的距离为： d ，则△OPQ的面积为 ，
k 2 1 4k 2 1
2
6
将m k代入得：△OPQ 24 9 1 7 1的面积为
5 1 1 1
24
.
25 256 k 2 64 k 2 25
4 4
综上，△OPQ
24
面积的最大值为 .
25
22、（1） 15, 15 ；（2） 2,3 .
【详解】（1） f x k sin x cos x 4，
因为函数 f x 在 R上单调递增，
所以 f x k sin x cos x 4 0在 R上恒成立，
即 k sin x cos x 4在 R上恒成立，
所以 k 2 1sin x 4（其中， sin
1
， cos
k
，
k 2 1 k 2 1
所以 k 2 1 4，解得 15 k 15，
故 k的取值范围是 15, 15 ．
（2）当 k 2时， g x xsin x k cos x x，
则 g x 1 k sin x xcos x 1，
设 h x g x ，则 h x 2 k cos x xsin x．
k 2 x
因为 ， 0, 2
，
所以 h x 0， h x 在区间 0, 上单调递减， 2
因为 h 0 1 0 h ， 1 k 1 2 k 0 ．
2
所以存在唯一的 x0 0, ，使得h x0 0，即 g x 0， 2 0
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所以 g x 在区间 0, x0
上单调递增，在区间 x0 , 上单调递减， 2
因为 g 0 k， g ，
2
又因为方程 g x 3在区间 0, 上有唯一解， 2
所以 2 k 3．
即 k的取值范围是 2,3 ．
{#{QQABRQSEogiAAABAAQgCQQXACAGQkAGACCoGABAAMAAAwBFABCA=}#}南充市重点中学2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试题（文科）
（时间：120分钟；总分：150分）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．已知点的直角坐标为，则它的极坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
3．准线方程为的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
4．已知在内连续可导，且是的导数，，在处取到
极值，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．下列叙述中，错误的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．命题“若，则”的逆否命题是真命题
C．命题“不等式恒成立”等价于“”
D．已知三角形中，若角为钝角，则
6．设函数，则（ ）
A． B． C． D．
7．函数的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
8．在花语中，四叶草象征幸运. 已知在极坐标系下，方程
对应的曲线如图所示，我们把这条曲线形象地称为“四叶草”.
已知为“四叶草”上的点，则点到直线距离
的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
9．已知圆与圆外切，直线与圆C相交于A，B
两点，则（ ）
A．4 B．2 C． D．
10．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．设双曲线的焦距为，离心率为，且成等比数列，
A是的一个顶点，是与A不在轴同侧的焦点，是的虚轴的一个端点，为的
任意一条不过原点且斜率为的弦，为中点，为坐标原点，则下列判断错误
的是（ ）
A．的一条渐近线的斜率为
B．
C．（分别为直线的斜率）
D．若，则恒成立
12．已知a，b，c均为负实数，且，，，则（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．曲线在点处的切线方程为_________.
14．在区间内随机取一个数x，使得成立的概率为__________．
15．已知抛物线的焦点为为抛物线上任意一点，点，则的最小值
为__________．
16．已知函数，若对任意的，不等式
恒成立，则实数的取值范围为___________.
三、解答题（70分）
17.（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线是以为圆心，且过点的圆.
（1）求曲线的极坐标方程与直线的普通方程；
（2）直线过点且与曲线交于A，B两点，求的值.
18.（12分）已知曲线在时有极值0．
（1）求常数、的值；
（2）求曲线在区间上的值域．
19．（12分）为全面贯彻落实习近平总书记“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”的指示精神和中共中央国务院印发的《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件要求。南充高中建成以“种桑养蚕”为主题的学生劳动实践基地，该基地于2023年4月在南充高中高坪校区完工，基地包括桑树基地和养蚕基地。现学校给高中10个班每班划分一块实践基地用于种植桑树，经过一段时间的维护，根据这10个班桑树未存活的数量绘制如下频率分布直方图，桑树未存活数量凡超过30棵的班级，设为需“重点教授劳动技术班级”。
（1）根据直方图估计这10个班级的未存活桑树的平均数和中位数；
（2）现从“重点教授劳动技术班级”中随机抽取两个班级调查其劳动课上课情况，求抽出来的班级中有且仅有一个“重点教授劳动技术班级”在的概率．
20.（12分）如图所示，为圆的直径，点，在圆上，，矩形所在平面和圆所在平面垂直.
（1）求证：平面平面；
（2）若，，求四棱锥的体积.
21.（12分）已知椭圆：经过点，离心率为，点为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于不同于点的两个点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当时，求面积的最大值；
22.（12分）已知函数．
（1）若函数在上单调递增，求的取值范围：
（2）设，当时，若方程在区间上有唯一解，求的取值范围.
