22.1 二次函数的图象和性质本节基础知识测试题（含解析）

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22.1 二次函数的图象和性质本节基础知识测试题
一、填空题
1．如图，一元二次方程ax2+bx+c=3的解为　 　．
二、单选题
2．将抛物线 向左平移3个单位后的新抛物线解析式为（　　）
A． B． C． D．
3．下列函数是二次函数的是（　　）.
A．y＝2x B．y= +x
C．y＝x+5 D．y＝(x+1)(x﹣3)
4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），自变量x与函数y的对应值如下表：
下列说法正确的是（　　）
A．抛物线的开口向下 B．当x＞-3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是-2 D．抛物线的对称轴是直线x=-2.5
5．将抛物线y＝x2+3向右平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（　　）
A．y＝（x+5）2+3 B．y＝（x﹣5）2+3
C．y＝x2+8 D．y＝x2﹣2
6．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（　　）
A．y＝4x+2 B．y＝（x﹣1）2﹣x2
C．y＝3x2+5﹣4x D．y
7．将二次函数向左平移5个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线表达式为（　　）
A． B．
C． D．
8．抛物线y=3（x﹣5）2的顶点坐标是（　　）
A．（5，0） B．（3，5） C．（-3，5） D．（﹣5，0）
9．把抛物线y=-x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　）
A．y=-（x-1）2-3 B．y=-（x+1）2-3
C．y=-（x-1）2+3 D．y=-（x+1）2+3
10．将抛物线 向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（　　）
A． B．
C． D．
11．在同一坐标系中，二次函数 与一次函数 的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
12．抛物线y=2（x﹣3）2可以看作是由抛物线y=2x2按下列何种变换得到的（　　）
A．向左平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度
C．向上平移3个单位长度 D．向下平移3个单位长度
13．已知非负数a，b，c满足a+b＝3且c﹣3a＝﹣6，设y＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值是（　　）
A．16 B．15 C．9 D．7
14．已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（　　）
A．y=2 （x+1）2 B．y=2 （x﹣1）2
C．y=﹣2 （x+1）2 D．y=﹣2 （x﹣1）2
15．二次函数y＝x2+x﹣2的图象与x轴交点的横坐标是（　　）
A．2和﹣1 B．﹣2和1 C．2和1 D．﹣2和﹣1
16．抛物线 （a，b，c为常数， ）与x轴交于 两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．有下列结论：
① ；
② ；
③当 是等腰三角形时，a的值有2个；
④当 是直角三角形时， ．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
三、解答题
17．已知抛物线 的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和（5，0），试求该抛物线的表达式。
四、计算题
18．求二次函数y=x2+4x﹣5的最小值．
五、作图题
19．已知二次函数y=x2-2x-3.
（1）在平面直角坐标系中画出这个函数图象草图.
（2）结合图象回答：
①当 时，y有随着x的增大而 .
②不等式 的解集是 .
六、综合题
20．已知抛物线 经过点（1，0），（0， ）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）抛物线 可以由抛物线 怎样平移得到？请写出一种平移的方法．
七、实践探究题
21．阅读材料：若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上（点A与点B不重合），我们称这样的两条抛物线L1、L2互为“友好”抛物线，如图1.
解决问题：如图2，已知抛物线L3：y＝2x2－8x＋4与y轴交于点C.
（1）若点D与点C关于抛物线L3的对称轴对称，求点D的坐标；
（2）求出以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式；
（3）直接写出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量x的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】0和2
【解析】【解答】解：由图形可知，二次函数y=ax2+bx+c与y=3交点的横坐标分别为0和2，
即一元二次方程ax2+bx+c=3的解为0和2，
故答案为0和2．
【分析】直接根据图象可知一元二次方程ax2+bx+c=3的解．
2．【答案】B
【解析】【解答】解：将抛物线 向左平移 个单位后，得到的抛物线的解析式 .
故答案为：B.
【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”可求解.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A、y＝2x，是一次函数，故此选项错误；
B、y＝ +x，不是整式，故此选项错误；
C、y＝x+5，是一次函数，故此选项错误；
D、y＝(x+1)(x﹣3)，是二次函数，故此选项正确．
故选：D．
【分析】直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．
4．【答案】D
【解析】【解答】由题意可设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0）.
把x=-1时y=0，x=0时y=4，x=-2时y=-2，分别代入得a b+c=0，4a 2b= 2，c=4，
解方程组得a=1，b=5，c=4，
所以二次函数解析式为：y=x2+5x+4，
配方得y=(x+2.5)2- .
所以a=1＞0，抛物线开口向上，A不符合题意；
当x＞-2.5时，y随x的增大而增大，B不符合题意；
二次函数的最小值是- ，C不符合题意；
抛物线的对称轴是直线x=-2.5，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0）,利用待定系数法求出a、b、c的值，可得y=x2+5x+4，然后将其化为顶点式，根据二次函数的性质逐一判断即可.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：将抛物线y＝x2+3向右平移5个单位，得到新抛物线的表达式是y＝（x﹣5）2+3.
故答案为：B.
【分析】二次函数y=ax2+bx+c向右平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c，据此解答.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：A、是一次函数，故A错误，不符合题意；
B、是一次函数，故B错误，不符合题意；
C、是二次函数，故C正确，符合题意；
D、不是二次函数，故D错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】形如“y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c是常数）”的函数为二次函数，根据定义分别判断，即可作答.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：将二次函数向左平移5个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线表达式为，
故答案为：B．
【分析】根据抛物线平移的规律“左加右减、上加下减”可求解.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：抛物线y=3（x﹣5）2的顶点坐标是（5，0）．
故选A．
【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．
9．【答案】D
【解析】【分析】利用二次函数平移的性质．
【解答】当y=-x2向左平移1个单位时，顶点由原来的（0，0)变为（-1，0)，
当向上平移3个单位时，顶点变为（-1，3)，
则平移后抛物线的解析式为y=-（x+1)2+3．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数y=ax2、y=a（x-h)2、y=a（x-h)2+k的关系问题．
10．【答案】B
【解析】【解答】由题意，得平移后的抛物线为 ，
故答案为：B．
【分析】易得到新抛物线的顶点，根据平移不改变二次项的系数及顶点式得新抛物线解析式。
11．【答案】C
【解析】【解答】解：由方程组 得ax2＝ a，
∵a≠0
∴x2＝ 1，该方程无实数根，
故二次函数与一次函数图象无交点，排除B.
A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；
C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；
D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错.
故答案为：C.
【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点；根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a大于0时开口向上，当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴.如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案.
12．【答案】A
【解析】【解答】解：∵抛物线y=2（x﹣3）2顶点坐标为（3，0），
抛物线y=2x2顶点坐标为（0，0），
∴抛物线y=2（x﹣3）2可以看作由抛物线y=2x2向左平移3个单位长度得到的，
故选A．
【分析】抛物线的平移可看作顶点的平移，比较前后两个抛物线的顶点坐标即可．
13．【答案】D
【解析】【解答】解：∵a+b=3，c-3a=-6，
∴b=3-a，c=3a-6，
∵b，c都是非负数，
∴，
∴2≤a≤3，
∵y＝a2+b+c= a2+（3-a）+3a-6=a2+2a-3=（a+1）2-4，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线a=-1，
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∴a=2时，最小值n=5，
a=3时，最大值m=12，
∴m-n=12-5=7.
故答案为：D.
【分析】用a表示出b、c并求出a的取值范围，再代入y=a2+b+c整理成关于a的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出m、n的值，即可得出m-n的值.
14．【答案】B
【解析】【解答】解:当x<1时,y随的增大而减小;当x>1时, y随z的增大而增大,
抛物线开口向上, 对称轴为直线x=1,
抛物线y=2 （x﹣1）2满足条件.
故答案为：B.
【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线开口向上, 对称轴为直线x=1, 然后对各选项进行判断.
15．【答案】B
【解析】【解答】解：令 ，则 ，
，
解得 或1，
二次函数 的图象与 轴交点的横坐标是 和1；
故答案为：B.
【分析】令y=0，求出x的值，据此可得二次函数图象与x轴交点的横坐标.
16．【答案】D
【解析】【解答】解： 二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，
对称轴为直线 ，
，
，故①符合题意，
二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，且与y轴的正半轴交于点C，
∴抛物线开口向下，
∴a<0，
当 时， ，
，
，
，故②符合题意；
二次函数 ，
点 ，
当 时， ，
，
当 时， ，
，
当 是等腰三角形时， 的值有2个，故③符合题意；
二次函数 ，
顶点 ，
， ， ，
若 ，可得 ，
，
，
若 ，可得 ，
，
，
当 是直角三角形时， 或 ，故④不符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的图象和性质判断得到答案即可。
17．【答案】解：根据抛物线对称轴为直线x=2，且抛物线过点（5，0），可知抛物线与x轴另一交点为（-1，0），则设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），将点（1，4）代入，得4=a×2×（-4），解得a=- ，则抛物线解析式为y=- （x+1）（x-5）=- x2+2x+
【解析】【分析】根据抛物线的对称轴及点（5，0），可得出抛物线与x轴的另一个交点坐标，因此可设函数解析式为y=a（x+1）（x-5），再将点（1，4）代入，可得出函数解析式。
18．【答案】解：y=x2+4x﹣5
=（x+2）2﹣9，
则二次函数y=x2+4x﹣5的最小值为﹣9
【解析】【分析】直接利用配方法得出二次函数顶点式，进而得出二次函数最值．
19．【答案】（1）解：由已知解析式可知：顶点坐标为 ，与x轴的交点时 ， ，
函数图象如下：
（2）x＞1|-1＜x＜3
【解析】【解答】解：（2）①由函数图象可知，当x＞1时，y随x的增大而增大；
②不等式x2-2x-3＜0的解集是-1＜x＜3.
【分析】（1）根据已知式子求出顶点坐标和与x轴的交点坐标，即可确定；（2）①根据函数图象性质判断即可；②根据函数图象判断即可；
20．【答案】（1）解：把 ， 代入抛物线解析式得：
，
解得： ，
则抛物线解析式为
（2）解：抛物线解析式为 ，
抛物线 可以由抛物线 先向左平移1单位，再向上平移2个单位．
【解析】【分析】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b与c的值即可；（2）先将抛物线的一般式转化为顶点式，然后指出满足题意的平移方法即可．
21．【答案】（1）解：∵抛物线L3：y=2x2-8x+4 =2(x -2)2-4
∴顶点为（2，-4），对称轴为直线x=2
设x=0，则y=4，∴C（0，4）
∴点D的坐标为：(4，4)
（2）解：设L4的解析式为y=a(x–h)2+k (a ≠ 0)
∵L4的顶点为(4，4)，且过点（2，-4），
∴a(2-4)2=-4 ∴a=-2
∴L4的解析式为
即
（3）解：当2≤x≤4时，抛物线L3与L4中y同时随x增大而增大
【解析】【分析】（1）先利用配方法求出抛物线L3的顶点坐标和对称轴，然后求出抛物线L3与y轴的交点坐标，即可利用轴对称的性质求出点D的坐标；
（2）利用顶点式设出抛物线L4的解析式，再将抛物线L3的顶点坐标代入即可利用待定系数法求出L4的解析式；
（3）先在同一个坐标系中画出抛物线L4的的图象，然后结合图象直接写出满足条件的自变量x的取值范围即可。
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