第二十二章 二次函数 基础知识测试题（含解析）

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第二十二章 二次函数基础知识测试题
一、单选题
1．抛物线
与
轴的交点坐标为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．一元二次方程3x2-2x-1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）．
A．3，2，1 B．-3，2，1 C．3，-2，-1 D．-3，-2，-1
3．下列关系式中，属于二次函数的是（x为自变量）（　　）.
A． B． C． D．
4．在下列函数表达式中，一定为二次函数的是（　　）
A．y=x+3 B．y=ax2+bx+c C．y=t2－2t+2 D．y=x2+
5．下列各式中，y是x的二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
6．将抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2x2+1 B．y＝2x2﹣3
C．y＝2（x﹣8）2+1 D．y＝2（x﹣8）2﹣3
7．如图，水平线l1∥l2，铅垂线l3∥l4，l1⊥l3，若选择l1、l2其中一条当成x轴，且向右为正方向，再选择l3、l4其中一条当成y轴，且向上为正方向，并在此平面直角坐标系中画出二次函数y=ax2﹣ax﹣a的图象，则下列关于x、y轴的叙述，正确的是（　　）
A．l1为x轴，l3为y轴 B．l1为x轴，l4为y轴
C．l2为x轴，l3为y轴 D．l2为x轴，l4为y轴
8．已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大序排列是（　　）
A． B． C． D．
9．已知 的图像如图所示，则 的方程的两实根 ，则满足（　　）
A． B．
C． D．
10．下表记录了二次函数中两个变量与的5组对应值，其中．
… -5 1 3 …
… 0 2 0 …
根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
11．二次函数 的顶点和对称轴分别是（　　）
A． ，直线x=1 B． ，直线x=4
C． ，直线 D． ，直线
12．如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于点O，A，顶点为B，连接AB并延长，交y轴于点C，则图中阴影部分的面积和为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标是（1，n），与y轴的交点在（0，3）和（0，6）之间（包含端点），则下列结论不正确是（　　）
A．3a+b＜0 B．﹣2≤a≤﹣1 C．abc＞0 D．9a+3b+2c＞0
14．如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：①；②是等边三角形；③；④当时，，其中正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．已知二次函数 的图象如图所示，有下列4个结论：
① ；② ；③ ；④ ；⑤2c<3b
其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
16．将抛物线 向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的函数表达式是　 　．
17．抛物线 与直线 交于（1， ），则 = 　 　 ；抛物线的解析式为　 　
三、计算题
18． 计算题
（1）解方程：2x2﹣4x﹣6=0．
（2）①直接写出函数y=2x2﹣4x﹣6的图象与x轴交点坐标；
②求函数y=2x2﹣4x﹣6的图象的顶点坐标．
四、解答题
19．已知二次函数y=k（x+1）（x﹣）的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．
（1）写出点C的坐标；
（2）若△ABC为等腰三角形，求k的值．
五、作图题
20．已知抛物线y1=x2+2（m+2）x+m-2与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），对称轴为直线x=-1．
（1）求m的值；在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
x … …
y … …
（2）若直线y2=kx+b过点B且与抛物线交于点P（-2，-3），根据图象直接写出当x取什么值时，y2≤y1．
六、综合题
21．
（1）解方程：x2-4x-5=0
（2）二次函数图象经过点A(4，-3)，当x=3时，函数有最大值-1，求二次函数的解析式。
七、实践探究题
22．阅读材料：小明同学在平面直角坐标系中研究中点时，发现了一个有趣的结论：若，是平面直角坐标系内两点，是的中点，则有结论，.这其实就是中点坐标公式，有了这个公式可以解决很多坐标系中求中点坐标的问题.
已知：二次函数的函数图象上分别有A，B两点，其中，A，B分别在对称轴的异侧，C是中点，D是中点.利用阅读材料解决如下问题：
（1） 概念理解：
如图1，若，求出C，D的坐标.
（2） 解决问题：
如图2，点A是B关于y轴的对称点，作轴交抛物线于点E.延长至F，使得.试判断F是否在x轴上，并说明理由.
（3） 拓展探究：
如图3，是一个动点，作轴交抛物线于点E.延长至F，使得.
①令，试探究值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
②在①条件下，y轴上一点，抛物线上任意一点H，连接，，直接写出的最小值.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：因为抛物线
与y轴交点的横坐标为
，所以
，即交点坐标为（0，7）
故答案为：C.
【分析】若函数图象与y轴相交，则x=0，因此将x=0代入函数解析式，可求出对应的y的值，即可求解.
2．【答案】C
【解析】【解答】观察数字因数，给出的方程二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，-2，-1．
故答案为：C．
【分析】利用二次函数的解析式直接写出二次项系数、一次项系数、常数项。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A选项没说明a，b，c是常数，故A不是二次函数；
B选项等号右边不是整式，也不是二次函数；
C选项等号右边不是整式也不是二次函数；
D选项符合定义，故D选项所给关系式是二次函数.
故答案为：D.
【分析】我们把形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，据此进行判断.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：A、y=x+3此函数是一次函数，故A不符合题意；
B、y=ax2+bx+c，当a=0，b≠0时，此函数是一次函数，当a≠0时，此函数是二次函数，故B不符合题意
C、y=t2－2t+2，此函数是二次函数，故C符合题意；
D、，此函数不是二次函数，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）则y是x的二次函数，再对各选项逐一判断。
5．【答案】B
【解析】【解答】解：A． 是一次函数，不符合题意；
B． 是二次函数，符合题意；
C． 不是二次函数，不符合题意；
D． 含有分式，不是二次函数，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的定义逐项判定即可。
6．【答案】A
【解析】【详解】抛物线y=2（x-4）2-1先向左平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为y=2（x-4+4）2-1，即y=2x2-1，再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为y=2x2-1+2，即y=2x2+1；
故答案为：A
【分析】根据抛物线平移的规律:左右平移在h后左加右减，上下平移在k后上加下减即可求出.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∴﹣a＜0，
∴抛物线与y轴的负半轴相交，
∴l1为x轴，l3为y轴．
故选A．
【分析】根据抛物线的开口向上，可得a＞0，则﹣a＜0，可确定l1为x轴，再根据左同右异的法则，可得出l3为y轴，即可得出答案．
8．【答案】B
9．【答案】D
【解析】【解答】根据题意画出图形，如图所示：
在图形中作出y=n（0＜n＜2），两交点的横坐标分别为x1，x2，
则0＜x1＜1，且x2＞3．
故答案为：D.
【分析】根据题意知，方程ax2+bx+c=n ( a ≠ 0 ， 0 n 2 ) 的两实根 x1 ， x2分别代表了二次函数 y=ax2+bx+c( a ≠ 0 ) 和y=n（0＜n＜2）的图像的交点的x坐标，故画出大致图像，可直接判断出答案为D。
10．【答案】C
【解析】【解答】解：由可得抛物线对称轴，
又由以及对称轴可得，
，则设抛物线交点式为，
与对比可得，解得，
二次函数表达式为，
当时，；
当时，；
当时，，
，当时，直线y=k与该二次函数图象有两个公共点，
，
故答案为：C
【分析】先利用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可。
11．【答案】C
【解析】【解答】解： ,
∴抛物线的顶点坐标为（-1，4），对称轴为x=-1．
故答案为：C．
【分析】将二次函数的一般式配方为顶点式，可求顶点坐标及对称轴．
12．【答案】B
【解析】【解答】解：当y=0时，x2﹣4x=0，解得x1=0，x2=4，则A（4，0），
∵y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，
∴B（2，﹣4），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（4，0），B（2，﹣4）代入得 ，解得 ，
∴直线AB的解析式为y=2x﹣8；
当x=0时，y=2x﹣8=﹣8，则C（0，﹣8），
∴图中阴影部分的面积和=S△OBC= ×8×2=8．
故选B．
【分析】先通过解方程x2﹣4x=0得到A（4，0），再把解析式配成顶点式得到B（2，﹣4），接着利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=2x﹣8，则可得到C（0，﹣8），然后利用抛物线的对称性得到图中阴影部分的面积和=S△OBC，最后根据三角形面积公式求解．
13．【答案】C
【解析】【解答】解：A．根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．
∵对称轴x＝ ＝1，
∴b＝﹣2a，
∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，即3a+b＜0．
故A不符合题意；
B．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x＝1，
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），
∴﹣1×3＝﹣3，
∴ ＝﹣3，则a＝﹣ ．
∵抛物线与y轴的交点在（0，3）、（0，6）之间（包含端点），
∴3≤c≤6，
∴﹣2≤﹣ ≤﹣1，即﹣2≤a≤﹣1．
故B不符合题意；
C．∵抛物线开口方向向下，则a＜0，
∵与y轴的交点在（0，3）和（0，6）之间，则c＞0，
∵对称轴直线是x＝1，则a与b异号，即b＞0，
∴abc＜0，
故C符合题意；
D．∵则a＝﹣ ，即c＝﹣3a，b＝﹣2a，
∴9a+3b+2c＝9a+（﹣6a）+（﹣6a）＝﹣3a，、
∵a＜0，
∴9a+3b+2c＝﹣3a＞0
故D不符合题意，
故答案为：C
【分析】根据二次函数图象的性质进行判断即可．
14．【答案】B
【解析】【解答】将点代入可得：，
解得：，故①正确；
∵D、E分别为顶点，
∴，，
又∵过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，
设，代入中可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，故②错误；
设直线AD的解析式为，
∵，，
∴，解得：，
∴；
设直线CE的解析式为，
∵，，
∴，解得：，
∴；
∵，
∴AD与CE不平行，故③错误；
令，
解得：，，
∴当或时，，故④正确；
故正确的是①④；
故答案为：B．
【分析】将点代入y2中可求出a值，即可判断①；先分别求出顶点D、E的坐标，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，将y=3代入y2中求出x值，即得，然后分别求出AC、AE的长，即可判断②；利用待定系数法分求出直线AD、CE的解析式，根据“k相同，线平行”即可判断③；先令y1=y2求出x值，即得量抛物线交点的横坐标，利用图象可得时所对应的x范围，从而判断④.
15．【答案】B
【解析】【解答】解： ①∵图象的开口向下，∴a<0, 又∵图象与y轴的交点在y正半轴，∴c>0, ∵对称轴x==1, ∴b=-2a>0, ∴abc<0, 错误；
② 如图，当x=-1时，y=a-b+c<0, ∴b>a+c, 错误；
③ ∵，∴当x=0时y>0, 当x=2时，y=4a+2b+c>0，正确；
④ 当x=1时，y=a+b+c，函数有最大值，而x=m时，y=am2+bm+c，则a+b+c>am2+bm+c,
∴a+b>m(am+b)，正确；
⑤当x=3时，y=9a+3b+c<0, 且x==2, 得a=-, 代入得9(-)+3b+c<0, 得2c<3b, 正确.
综上，正确的有3项.
故答案为：B.
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴的交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.
16．【答案】
【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标为（0，0），再利用点的平移规律得到点（0，0）平移后对应的点的坐标为（2，1），所以平移后的抛物线解析式为： ．
故答案为： ．
【分析】利用平移规律“上加下减，左加右减”即可得到结论。
17．【答案】-1；y=-x2
【解析】【解答】解：根据题意，m=-1
抛物线y=ax2过（1，-1）
所以a=-1
抛物线的解析式为y=-x2．
故答案为：-1；y=-x2
【分析】根据点（1，m）在直线y=-x上可求得m的值，由题意将点（1， m ）代入抛物线的解析式即可求得a的值。
18．【答案】（1）解：解方程2x2﹣4x﹣6=0，
整理得x2﹣2x﹣3=0，
（x﹣3）（x+1）=0，
x﹣3=0或x+1=0，
所以x1=3，x2=﹣1；
（2）解：①函数y=2x2﹣4x﹣6的图象与x轴交点坐标（3，0），（﹣1，0）；
②y=2（x2﹣2x）﹣6
=2（x2﹣2x+1﹣1）﹣6
=2（x﹣1）2﹣8，
所以抛物线的顶点（1，﹣8）．
【解析】【分析】（1）根据因式分解法求出x的值；（2）根据（1）中的解直接写出函数的图象与x轴交点坐标；由顶点式得到抛物线的顶点坐标.
19．【答案】解：（1）当x=0时，y=k（x+1）（x﹣）=k （﹣）=﹣3，
所以C点坐标为（0，﹣3）；
（2）当y=0时，k（x+1）（x﹣）=0，解得x1=﹣1，x2=，
设A（﹣1，0），B（，0），
AC= =
若k＞0，
当CA=CB，则OA=OB，即=1，解得k=3；
当AB=AC，解+1=，解得k= ；
当BA=BC时，即+1= ，解得k=；
若k＜0时，AB=AC，即﹣1﹣=，解得k=﹣，
综上所述，k的值为3或或﹣或．
【解析】【分析】（1）计算自变量为0时的函数值即可得到C点坐标；
（2）先通过解方程k（x+1）（x﹣）=0得点A、B坐标，讨论：若k＞0，当CA=CB，则OA=OB；当AB=AC；当BA=BC时；若k＜0时，AB=AC，利用两点间的距离公式分别得到关于k的方程，然后解方程求出对应的k的值．
20．【答案】（1）解：抛物线对称轴为直线x=- =-1，
解得m=-1
函数解析式为y=x2+2x-3，
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … 0 -3 -4 -3 0 …
（2）解：∵直线y2=kx+b过点B且与抛物线交于点P（-2，-3），
∴x＜-2或x＞1时，y2≤y1．
【解析】【分析】（1）由抛物线的对称轴x=1，可以求得m的值，取x与y的值分别填入表中，然后再描点，连线，画出函数的图象；
（2）由图可知，直线y2过点B（1，0）与P（-2，-3），利用待定系数法可以求得k与b的值，画出图像，即可写出y2≤y1时，x的取值。
21．【答案】（1）解：(x-5)(x+1)=0
x1=5，x2=1
（2）解：由题意可知此抛顶点坐标为(a，-1)
设其解析式为=a(x-3)2-1
将点(4，-3)代入得：-3=a-1
解得：a=-2
∴此抛物线解析式为y=-2(x-3)2-1
【解析】【分析】（1）根据解方程的步骤进行计算即可；
（2）根据题意，设出抛物线的解析式，根据待定系数法，得到答案即可。
22．【答案】（1）解：∵，，C是中点，
∴，，
；
，，D是中点
，，
；
（2）解：F是在x轴上，理由如下：
，点A是B关于y轴的对称点，
，
是中点，D是中点，
，则；
轴交抛物线于点，
，
把代入得，，，
，，
轴，且，
是在x轴上；
（3）解：①，，C是中点，
；
是中点，
；
轴交抛物线于点E，
，
把代入得，，
轴交抛物线于点E.延长至F，使得，
，，
，即，
，，
，
点在上，，
，
轴，，
即，，，
综上是一个定值；
②
【解析】【解答】解：（3）②∵是y轴上一点，H是抛物线上任意一点，，
∴当点G、H、F共线时，最小，最小值为的长度，
∵，
∴
，
∵，
∴当时，最小，最小值为，
此时，最小为，
故的最小值为.
【分析】（1）根据中点坐标公式进行解答；
（2）关于y轴对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得点A的坐标，由C是AB的中点，D是BC的中点可得点C、D的坐标，由DE∥y轴可得xE=xD=1，将xE=1代入抛物线解析式中求出yE，得到点E的坐标，然后求出DE、EF的值，据此解答；
（3）①根据中点坐标公式可得点C、D的坐标，由DE∥y轴可得xE=xD，将xE代入抛物线解析式中求出yE，表示出点E的坐标，然后表示出yF，根据点A（m，n）在抛物线上可得n=m2，据此解答；
②由题意可得：当点G、H、F共线时，GH+HF最小，最小值为GF的长度，根据勾股定理表示出GF2，然后根据二次函数的性质进行解答.
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