23.1 图形的旋转一课一练（含解析）

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23.1 图形的旋转一课一练
一、单选题
1．如图,在正方形网格中,将△ABC绕点A旋转后得到△ADE,则下列旋转方式中,符合题意的是（　　）
A．逆时针旋转90° B．顺时针旋转90°
C．逆时针旋转45° D．顺时针旋转45°
2．如图所示，可以看作是正方形ABCD绕点O分别旋转多少度前后的图形共同组成的（　　）
A．30°，45° B．60°，45°
C．45°，90° D．22.5°，67.5°
3．下列图形绕某点旋转后，不能与原来图形重合的是（旋转度数不超过180°）（　　）
A． B． C． D．
4．如图， 是由 绕点O逆时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（　　）.
A．45° B．35° C．50° D．40°
5．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O逆时针旋转，点B的对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，P是正方形ABCD内一点，且点P到点B、C、D的距离分别为、、4，则的度数为　 　
三、计算题
7．如图，正方形 中， 经顺时针旋转后与 重合.
（1）旋转中心是点　 　，旋转了　 　度；
（2）如果 ， ，求 的长.
四、解答题
8．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转50后得到△A′BC′．已知A′C′∥BC，求∠A的度数．
五、综合题
9．
（1）如图①，在 中， ， 为 边上一点(不与点 ， 重合)，将线段 绕点 逆时针旋转90°得到 ，连接 ，试探索线段 ， ， 之间满足的等量关系，并证明你的结论．
（2）如图②，在 与 中， ， ，将 绕点 旋转，使点 落在 边上，试探索线段 ， ， 之间满足的等量关系，并证明你的结论．
六、实践探究题
10．问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．
（1）【发现证明】
小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．
（2）【类比引申】
如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足　 　关系时，仍有EF=BE+FD．
（3）【探究应用】
如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（ ﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据： =1.41， =1.73）
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】根据图形可知：将△ABC绕点A逆时针旋转90°可得到△ADE，
故答案为：A.
【分析】根据给出的图形先确定出旋转中心，再确定出旋转的方向和度数即可求出答案.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：观察图形可知把正方形ABCD绕点O旋转： =22.5°即可得到E点位置，
把正方形ABCD绕点O旋转：22.5°×3=67.5°即可得到F点位置．
故答案为：D．
【分析】旋转的性质：旋转前、后的图形全等。由旋转的性质和正方形的性质可知：图形被分成16个小角，则每一个小角的度数=360÷16，则由图可知图形分别旋转了一个小角和3个小角的度数即22.5度和67.5度。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A、绕它的中心旋转72°能与原图形重合，故本选项不合题意；B、绕它的中心旋转120°能与原图形重合，故本选项不合题意；C、绕它的中心旋转90°能与原图形重合，故本选项不合题意；D、绕它的中心旋转不能与原图形重合，故本选项符合题意．故选：D．
【分析】根据旋转对称图形的概念作答．
4．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得，∠AOD=∠BOC=30°，
∵∠AOC=100°，
∴∠BOD=∠AOC-∠AOD-∠BOC=40°.
故答案为：D.
【分析】根据旋转的性质可得∠AOD=∠BOC=30°，由∠BOD=∠AOC-∠AOD-∠BOC即可求出结论.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，作轴于H．
由题意：，，
，
，，
，
，
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出OH=3，最后求点的坐标即可。
6．【答案】135°
【解析】【解答】解：如图，将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△DCM，连接PM，如图所示：
∵CP=CM=，∠PCM=90°，
∴，，
∵PB=DM=2，
∴，
∵，，
∴，
∴∠PMD=90°，
∴∠DMC=∠PMD+∠CPM=90°+45°=135°，
∴∠BPC=∠DMC=135°．
故答案为：135°．
【分析】将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△DCM，连接PM，利用勾股定理可得，再利用勾股定理的逆定理可得∠PMD=90°，最后利用角的运算可得∠BPC=∠DMC=135°。
7．【答案】（1）A；90
（2）解：∵△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合，
∴BF=DE，S△ABF=S△ADE，
而CF=CB+BF=8，
∴BC+DE=8，
∵CE=CD-DE=BC-DE=4，
∴BC=6，
∴AC= BC=6 .
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合，
即旋转中心是点A，旋转了90度；
故答案为A，90；
【分析】（1）根据正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，则根据旋转的定义得到△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合；（2）根据旋转的性质得BF=DE，S△ABF=S△ADE，利用CF=CB+BF=8得到BC+DE=8，再加上CE=CD-DE=BC-DE=4，于是可计算出BC=6，于是得到结论.
8．【答案】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转50后得到△A′BC′，
∴ , △ABC≌△A′BC′，
∵△ABC≌△A′BC′，
∴ ，
∴ ；
∵A′C′∥BC，
∴ ，
∴ ，
∴ ;
故答案为100°.
【解析】【分析】根据△ABC绕点B旋转后得到△A′BC′，可得△ABC≌△A′BC′， ；因为旋转了50°，所以 ，可得到 ，再根据A′C′∥BC，可得 ,即可得出 .
9．【答案】（1）解： BC＝DC＋EC，证明如下：
∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝DC＋BD＝DC＋EC；
（2）BD2＋CD2＝2AD2，证明如下：
连接CE，
由（1）得，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ACE＝∠B，
∴∠DCE＝90°，
∴CE2＋CD2＝ED2，
在Rt△ADE中，AD2＋AE2＝ED2，又AD＝AE，
∴BD2＋CD2＝2AD2．
【解析】【分析】（1）将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，得出AD＝AE，∠DAE＝90°，由∠BAC＝∠DAE＝90°，得出∠BAD＝∠CAE，利用全等三角形的性质得出△BAD≌△CAE（SAS），得出BD＝CE，由此得出结论；
（2）连接CE，由（1）得，△BAD≌△CAE，得出BD＝CE，∠ACE＝∠B，CE2＋CD2＝ED2，在Rt△ADE中，AD2＋AE2＝ED2，又AD＝AE，即可得出结论。
10．【答案】（1）证明：如图（1），
∵△ADG≌△ABE，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，
又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°，
∴∠GAF=∠FAE，
在△GAF和△FAE中，
，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴GF=EF，
又∵DG=BE，
∴GF=BE+DF，
∴BE+DF=EF
（2）∠BAD=2∠EAF
（3）如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF，过A作AH⊥GD，垂足为H．
∵∠BAD=150°，∠DAE=90°，
∴∠BAE=60°．
又∵∠B=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=80米．
根据旋转的性质得到：∠ADG=∠B=60°，
又∵∠ADF=120°，
∴∠GDF=180°，即点G在 CD的延长线上．
易得，△ADG≌△ABE，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，
又∵AH=80× =40 ，HF=HD+DF=40+40（ ﹣1）=40
故∠HAF=45°，
∴∠DAF=∠HAF﹣∠HAD=45°﹣30°=15°
从而∠EAF=∠EAD﹣∠DAF=90°﹣15°=75°
又∵∠BAD=150°=2×75°=2∠EAF
∴根据上述推论有：EF=BE+DF=80+40（ ﹣1）≈109（米），即这条道路EF的长约为109米．
【解析】【解答】【类比引申】延长CB至M，使BM=DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△FAE≌△MAE，即可得出答案；
【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到△ABE是等边三角形，则BE=AB=80米．把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，只要再证明∠BAD=2∠EAF即可得出EF=BE+FD．
【类比引申】∠BAD=2∠EAF．
理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM=DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，
∴∠D=∠ABM，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，
∵∠BAD=2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，
即EF=BE+DF．
故答案是：∠BAD=2∠EAF．
【分析】【发现证明】根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF=BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可．
23.1 图形的旋转一课一练
一、单选题
1．如图,在正方形网格中,将△ABC绕点A旋转后得到△ADE,则下列旋转方式中,符合题意的是（　　）
A．逆时针旋转90° B．顺时针旋转90°
C．逆时针旋转45° D．顺时针旋转45°
2．如图所示，可以看作是正方形ABCD绕点O分别旋转多少度前后的图形共同组成的（　　）
A．30°，45° B．60°，45°
C．45°，90° D．22.5°，67.5°
3．下列图形绕某点旋转后，不能与原来图形重合的是（旋转度数不超过180°）（　　）
A． B． C． D．
4．如图， 是由 绕点O逆时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（　　）.
A．45° B．35° C．50° D．40°
5．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O逆时针旋转，点B的对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，P是正方形ABCD内一点，且点P到点B、C、D的距离分别为、、4，则的度数为　 　
三、计算题
7．如图，正方形 中， 经顺时针旋转后与 重合.
（1）旋转中心是点　 　，旋转了　 　度；
（2）如果 ， ，求 的长.
四、解答题
8．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转50后得到△A′BC′．已知A′C′∥BC，求∠A的度数．
五、综合题
9．
（1）如图①，在 中， ， 为 边上一点(不与点 ， 重合)，将线段 绕点 逆时针旋转90°得到 ，连接 ，试探索线段 ， ， 之间满足的等量关系，并证明你的结论．
（2）如图②，在 与 中， ， ，将 绕点 旋转，使点 落在 边上，试探索线段 ， ， 之间满足的等量关系，并证明你的结论．
六、实践探究题
10．问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．
（1）【发现证明】
小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．
（2）【类比引申】
如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足　 　关系时，仍有EF=BE+FD．
（3）【探究应用】
如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（ ﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据： =1.41， =1.73）
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】根据图形可知：将△ABC绕点A逆时针旋转90°可得到△ADE，
故答案为：A.
【分析】根据给出的图形先确定出旋转中心，再确定出旋转的方向和度数即可求出答案.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：观察图形可知把正方形ABCD绕点O旋转： =22.5°即可得到E点位置，
把正方形ABCD绕点O旋转：22.5°×3=67.5°即可得到F点位置．
故答案为：D．
【分析】旋转的性质：旋转前、后的图形全等。由旋转的性质和正方形的性质可知：图形被分成16个小角，则每一个小角的度数=360÷16，则由图可知图形分别旋转了一个小角和3个小角的度数即22.5度和67.5度。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A、绕它的中心旋转72°能与原图形重合，故本选项不合题意；B、绕它的中心旋转120°能与原图形重合，故本选项不合题意；C、绕它的中心旋转90°能与原图形重合，故本选项不合题意；D、绕它的中心旋转不能与原图形重合，故本选项符合题意．故选：D．
【分析】根据旋转对称图形的概念作答．
4．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得，∠AOD=∠BOC=30°，
∵∠AOC=100°，
∴∠BOD=∠AOC-∠AOD-∠BOC=40°.
故答案为：D.
【分析】根据旋转的性质可得∠AOD=∠BOC=30°，由∠BOD=∠AOC-∠AOD-∠BOC即可求出结论.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，作轴于H．
由题意：，，
，
，，
，
，
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出OH=3，最后求点的坐标即可。
6．【答案】135°
【解析】【解答】解：如图，将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△DCM，连接PM，如图所示：
∵CP=CM=，∠PCM=90°，
∴，，
∵PB=DM=2，
∴，
∵，，
∴，
∴∠PMD=90°，
∴∠DMC=∠PMD+∠CPM=90°+45°=135°，
∴∠BPC=∠DMC=135°．
故答案为：135°．
【分析】将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△DCM，连接PM，利用勾股定理可得，再利用勾股定理的逆定理可得∠PMD=90°，最后利用角的运算可得∠BPC=∠DMC=135°。
7．【答案】（1）A；90
（2）解：∵△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合，
∴BF=DE，S△ABF=S△ADE，
而CF=CB+BF=8，
∴BC+DE=8，
∵CE=CD-DE=BC-DE=4，
∴BC=6，
∴AC= BC=6 .
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合，
即旋转中心是点A，旋转了90度；
故答案为A，90；
【分析】（1）根据正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，则根据旋转的定义得到△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合；（2）根据旋转的性质得BF=DE，S△ABF=S△ADE，利用CF=CB+BF=8得到BC+DE=8，再加上CE=CD-DE=BC-DE=4，于是可计算出BC=6，于是得到结论.
8．【答案】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转50后得到△A′BC′，
∴ , △ABC≌△A′BC′，
∵△ABC≌△A′BC′，
∴ ，
∴ ；
∵A′C′∥BC，
∴ ，
∴ ，
∴ ;
故答案为100°.
【解析】【分析】根据△ABC绕点B旋转后得到△A′BC′，可得△ABC≌△A′BC′， ；因为旋转了50°，所以 ，可得到 ，再根据A′C′∥BC，可得 ,即可得出 .
9．【答案】（1）解： BC＝DC＋EC，证明如下：
∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝DC＋BD＝DC＋EC；
（2）BD2＋CD2＝2AD2，证明如下：
连接CE，
由（1）得，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ACE＝∠B，
∴∠DCE＝90°，
∴CE2＋CD2＝ED2，
在Rt△ADE中，AD2＋AE2＝ED2，又AD＝AE，
∴BD2＋CD2＝2AD2．
【解析】【分析】（1）将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，得出AD＝AE，∠DAE＝90°，由∠BAC＝∠DAE＝90°，得出∠BAD＝∠CAE，利用全等三角形的性质得出△BAD≌△CAE（SAS），得出BD＝CE，由此得出结论；
（2）连接CE，由（1）得，△BAD≌△CAE，得出BD＝CE，∠ACE＝∠B，CE2＋CD2＝ED2，在Rt△ADE中，AD2＋AE2＝ED2，又AD＝AE，即可得出结论。
10．【答案】（1）证明：如图（1），
∵△ADG≌△ABE，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，
又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°，
∴∠GAF=∠FAE，
在△GAF和△FAE中，
，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴GF=EF，
又∵DG=BE，
∴GF=BE+DF，
∴BE+DF=EF
（2）∠BAD=2∠EAF
（3）如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF，过A作AH⊥GD，垂足为H．
∵∠BAD=150°，∠DAE=90°，
∴∠BAE=60°．
又∵∠B=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=80米．
根据旋转的性质得到：∠ADG=∠B=60°，
又∵∠ADF=120°，
∴∠GDF=180°，即点G在 CD的延长线上．
易得，△ADG≌△ABE，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，
又∵AH=80× =40 ，HF=HD+DF=40+40（ ﹣1）=40
故∠HAF=45°，
∴∠DAF=∠HAF﹣∠HAD=45°﹣30°=15°
从而∠EAF=∠EAD﹣∠DAF=90°﹣15°=75°
又∵∠BAD=150°=2×75°=2∠EAF
∴根据上述推论有：EF=BE+DF=80+40（ ﹣1）≈109（米），即这条道路EF的长约为109米．
【解析】【解答】【类比引申】延长CB至M，使BM=DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△FAE≌△MAE，即可得出答案；
【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到△ABE是等边三角形，则BE=AB=80米．把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，只要再证明∠BAD=2∠EAF即可得出EF=BE+FD．
【类比引申】∠BAD=2∠EAF．
理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM=DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，
∴∠D=∠ABM，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，
∵∠BAD=2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，
即EF=BE+DF．
故答案是：∠BAD=2∠EAF．
【分析】【发现证明】根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF=BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可．
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