23.2.3 关于原点对称的点的坐标一课一练（含解析）

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23.2.3 关于原点对称的点的坐标一课一练
一、填空题
1．如图，将等边放在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在第一象限，将等边绕点O顺时针旋转得到，则点的坐标是　 　．
二、单选题
2．若点关于原点对称的点在第一象限，则a的整数解有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图所示，边长为2的正三角形ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转30°得到三角形OA1B1，则点A1的坐标为（　　）
A．（ ，1） B．（ ，-1） C．（1，- ） D．（2，-1）
4．在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
5．已知点A（a，2013）与点A′（﹣2014，b）是关于原点O的对称点，则a+b的值为（　　）
A．1 B．5 C．6 D．4
6．如图，正方形ABCD对角线的交点刚好在坐标原点，其中点D坐标为（1，1），若将对角线BD绕点B逆时针旋转30°后所在的直线交y轴于点E，连接AE．下列4个结论：
①点O到直线BE的距离为；②OE的长为；③AB=AE；④直线AE的解析
式为y=x++1．其中正确的是（　　）
A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④
三、解答题
7．如图所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（Ⅰ）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；
（Ⅱ）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
四、计算题
8．已知点P(2x，y2+4)与Q(x2+1，-4y)关于原点对称，求x+y的值。
五、作图题
9．如图，△ABC的顶点坐标分别为（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（2，﹣1）.
（ 1 ）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1，直接写出点C1的坐标为 ▲ .
（ 2 ）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2，直接写出点C2的坐标为 ▲ .
（ 3 ）若△ABC内一点P（m，n）绕原点O逆时针旋转180°的对应点为Q，则Q的坐标为 ▲ .
六、综合题
10．如图，在平面直角坐标系中， 、 均在边长为1的正方形网格格点上．
（1）在网格的格点中，找一点C，使△ABC是直角三角形，且三边长均为无理数（只画出一个，并涂上阴影）；
（2）若点P在图中所给网格中的格点上，△APB是等腰三角形，满足条件的点P共有个；
（3）若将线段AB绕点A顺时针旋转90°，写出旋转后点B的坐标．
答案解析部分
1．【答案】
【解析】【解答】解：作B′H⊥x轴于H，如图
∵△OA′B′为等边三角形，
∴OH=A′H=2，∠B′OA′=60°，
∴B′H=
OH=
，
∴B′点坐标为（2，
），
故答案为：（2，
）．
【分析】作B′H⊥x轴于H，求出OH=A′H=2，B′H=
OH=
，可得B′点坐标为（2，
）。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意得点A在第三象限，
，
解得
＜a＜3，
则a的整数解是1，2．
故答案为：B．
【分析】根据关于原点对称的点坐标的特征及点坐标与象限的关系可得
，再求出a的取值范围即可。
3．【答案】B
【解析】【解答】如图，设A1B1与x轴相交于C，
∵△ABO是等边三角形，旋转角为30°，
∴∠A1OC=60°-30°=30°，
∴A1B1⊥x轴，
∵等边△ABO的边长为2，
∴OC= ×2= ，
A1C= ×2=1，
又∵A1在第四象限，
∴点A1的坐标为（ ，-1）．
故答案为：B．
【分析】由点A1在坐标系上的位置，排除A；再根据等边三角形的性质求出OC、A1C的长度，再又根据A1在第四象限可得答案。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：点 关于原点对称的点的坐标是
故答案为：D．
【分析】关于原点对称的点的坐标特征：横纵坐标分别互为相反数，据此解答即可.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵点A（a，2013）与点A′（﹣2014，b）是关于原点O的对称点，
∴a=2014，b=﹣2013，
则a+b的值为：2014﹣2013=1．
故选：A．
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
6．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，过点O作OH⊥BE于点H，BC交y轴于点F，AD与y轴交于点G，
∴∠OHB=90°，
∵正方形ABCD，D（1，1），
∴GO=1，B（-1，-1），
∴BF=OF=1，BO=，BD=2，
∵∠OBH=30°，
∴OH=BO=，BH=OH=，
∴点O到直线BE的距离为，
∴①说法符合题意；
在Rt△OHE中和Rt△BFE中，
∵∠OEH=∠FEB，
∴△OHE∽△BFE，
∴OH：BF=：1=OE：BE，
设OE=x（x＞1），则BE=x，
在Rt△EFB中，BE2=BF2+EF2，
∴2x2=1+（x+1）2，整理得：（x-1）2=3，
解得：x=+1或x=-1（不符合，舍去），
∴OE＝+1，
∴②说法不符合题意；
在Rt△AEG中，AG＝1，EG＝OE-OG＝ ，
∴AE＝＝2，
又∵AB=2，
∴AB=AE，
∴③说法符合题意；
设直线AE的关系式为y＝kx+b，
∵A（-1，1），E（0，+1），
∴
解得 ：
∴直线AE的关系式为y＝x++1，
∴④说法符合题意，
∴正确的结论有：①③④.
故答案为：D.
【分析】过点O作OH⊥BE于点H，设BC交y轴于点F，AD与y轴交于点G，由正方形性质可得GO=1，B（-1，-1），从而得BF=OF=1，BO=，BD=2，由含30°角直角三角形性质得OH=BO=，BH=OH=，即点O到直线BE的距离为；易证出△OHE∽△BFE，由相似三角形对应比成比例得：1=OE：BE，设OE=x（x＞1），则BE=x，由勾股定理得2x2=1+（x+1）2，整理得：（x-1）2=3，解得：x=+1或x=-1（不符合，舍去），即得OE＝+1，；在Rt△AEG中，AG＝1，EG＝OE-OG＝ ，由勾股定理得AE＝2，得AB=AE；设直线AE关系式为y＝kx+b，利用待定系数法求得，即得直线AE的关系式为y＝x++1. 据此逐项分析，即可得出符合题意的选项.
7．【答案】（Ⅰ）所作图形如图所示：
，
（Ⅱ）点B'的坐标为：（0，-6）；
当以AB为对角线时，点D坐标为（-7，3）；
当以AC为对角线时，点D坐标为（3，3）；
当以BC为对角线时，点D坐标为（-5，-3）．
【解析】【分析】（Ⅰ）分别作出点A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°后的点，然后顺次连接，并写出点B的对应点的坐标；（Ⅱ）分别以AB、BC、AC为对角线，写出第四个顶点D的坐标．
8．【答案】解：依题意：
且
【解析】【分析】利用关于原点对称的点的坐标特征列出方程，求解即可。
9．【答案】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标为（﹣2，1）.
故答案为：（﹣2，1）.
（2）如图，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（1，2），
故答案为：（1，2）.
（3）（﹣m，﹣n）
【解析】【解答】解：（3）若△ABC内一点P（m，n）绕原点O逆时针旋转180°的对应点为Q，则Q的坐标为（﹣m，﹣n）.
故答案为：（﹣m，﹣n）.
【分析】（1）利用关于原点对称点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，可得到点A，B，C关于原点对称的点A1，B1，C1，画出 △A1B1C1，写出点C1的坐标.
（2）利用旋转的性质将△ABC绕原点O逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2，写出点C2的坐标.
（3）将△ABC内一点P（m，n）绕原点O逆时针旋转180°的对应点为Q，可知点P和点Q关于原点对称，可得到点Q的坐标.
10．【答案】（1）解：直角△ABC如图1所示
（2）解：如图，点P共有4个；
（3）解：点B的对应点的坐标为（3，1）
【解析】【分析】（1）根据网格结构及勾股定理作出以点B为直角顶点作边即可解决；
（2）根据等腰三角形的性质，分别以点A,B为顶点作图即可；
（3）根据网格结构找出点B的对应点的位置，然后写出坐标即可。
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