25.1 随机事件与概率
一、单选题
1．（2022秋·贵州安顺·九年级统考期末）从，0，1，2中任取一个数作为a的值，既要使关于x的方程有实数根，又要满足，则a符合条件的概率为（ ）
A． B． C． D．1
2．（2022秋·贵州安顺·九年级统考期末）下列事件为随机事件的是（ ）
A．一个图形旋转后所得的图形与原图形全等
B．直径是圆中最长的弦
C．方程是关于x的一元二次方程
D．任意画一个三角形，其内角和为
3．（2022秋·贵州黔西·九年级统考期末）若随意向如图所示的正方形内抛一粒石子，则石子落在阴影部分的概率是（ ）
A．1 B．1 C． D．1
4．（2022秋·贵州黔西·九年级统考期末）下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）
A．偷天换日 B．水涨船高 C．守株待兔 D．旭日东升
5．（2022秋·贵州黔南·九年级统考期末）一只不透明的袋子里装有个黑球，个白球，每个球除颜色外都相同，则事件“从中任意摸出个球，至少有个球是黑球”的事件类型是（ ）
A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．无法确定
6．（2022秋·贵州安顺·九年级统考期末）如图所示，一个大正方形的面上，编号为1,2,3,4的地块，是四个全等的等腰直角三角形空地，中间是小正方形绿色草坪，一名训练有素的跳伞运动员，每次跳伞都能落在大正方形地面上，则跳伞运动员一次跳伞落在草坪上的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·贵州贵阳·九年级统考期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，则它落地时向上一面的点数为2的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·贵州安顺·九年级期末）如图，电路图上有个开关、、、和个小灯泡，同时闭合开关、或同时闭合开关、都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）
A．只闭合个开关 B．只闭合个开关 C．只闭合个开关 D．闭合个开关
9．（2022秋·贵州安顺·九年级期末）如图，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·贵州贵阳·九年级期末）如图，A、B是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，其余的格点中任意放置点C（不包含点A、点B所在的格点），恰好能使△ABC构成等腰三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022秋·贵州黔东南·九年级期末）“一个不透明的袋中装有三个球，分别标有1，2，这三个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球，摸出球上的号码小于6”是必然事件，则的值可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
12．（2022秋·贵州铜仁·九年级期末）在六张卡片上分别写有5，，3.1415，，，0.1010010001…六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022秋·贵州毕节·九年级期末）如图，过圆心且互相垂直的两条直线将两个同心圆分成了若干部分，在该图形区域内任取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
14．（2022秋·贵州遵义·九年级统考期末）袋子中装有4个黑球、3个白球，除颜色外无其他差别，在看不到球的情况下，随机从袋子中摸出1个球，这个球是白球的概率为 ．
15．（2022秋·贵州贵阳·九年级统考期末）在用模拟试验估计40名同学中有两个同学是同一天生日的概率中，将小球每次搅匀的目的是 ．
16．（2022秋·贵州黔南·九年级期末）在一个不透明的盒子里有形状、大小完全相同的黄球个，红球个，白球个，从盒子里任意摸出一个球，摸到红球的概率是，则为 ．
17．（2022秋·贵州贵阳·九年级期末）一只不透明的袋中装有个白球和个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出个球．摸到白球的概率是 ．
三、解答题
18．（2022秋·贵州·九年级统考期末）在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，九（2）班21学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小、形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下面是全班各小组的汇总数据统计表：
摸球次数 150 300 600 900 1200 1500
摸到白球的频数 63 123 247 365 484 603
摸到白球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403
(1)表中的 ；
(2)请估计当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.1）；
(3)试估算这个不透明的口袋中红球的个数．
19．（2022秋·贵州遵义·九年级期末）北京冬奥会吸引了世界各地选手参加，冬奥会含七个大项，15个分项．现对某校初中1000名学生就“冬奥会项目”的了解程度进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调查结果绘制出以下两幅不完整的统计图表，请根据统计图表回答下列问题：
北京冬奥会项目了解情况统计表 类别频数频率不了解10了解很少160.32基本了解很了解4合计1
北京冬奥会项目了解情况条形统计图
(1)根据以上信息可知：______，______，______，______．
(2)补全条形统计图；
(3)估计该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有______人；
(4)“很了解”的4名学生是三男一女，现从这4人中随机抽取两人去参加全市举办的“冬奥会项目”知识竞赛，请用画树状图或列表的方法说明，求抽到两名学生为一男一女的概率．
参考答案：
1．A
【分析】由方程有实数根知，求出解集，再解，得到解集，得到符合此条件的a的值为0，由此求出概率．
【详解】解：由关于x的方程有实数根知，，
解得a，
由，得：，
则a＜1，
∴，0，1，2中符合此条件的a的值为0，
∴a符合条件的概率为，
故选：A．
【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元一次不等式，概率的计算公式，熟练掌握各知识点是解题的关键．
2．C
【分析】可能发生也可能不发生的事件是随机事件，根据定义判断．
【详解】解：A，一个图形旋转后所得的图形与原来的图形全等，是必然事件；
B、直径是圆中最长的弦，是必然事件；
C、当时，方程是一元二次方程，当时，不是一元二次方程，
∴方程是一元二次方程，是随机事件；
D、任意画一个三角形，其内角和是，是不可能事件；
故选：C．
【点睛】此题考查了随机事件的定义，熟练掌握定义即旋转图形的性质，直径的定义，一元二次方程的定义，三角形内角和定理是解题的关键．
3．A
【分析】设正方形ABCD的边长为a，然后根据石子落在阴影部分的概率即为阴影部分面积与正方形面积的比，由此进行求解即可．
【详解】解：如图所示，设正方形ABCD的边长为a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=90°，
∴
，
∴，
∴石子落在阴影部分的概率是，
故选A．
【点睛】本题主要考查了几何概率，正方形的性质，扇形面积公式，解题的关键在于能够根据题意得到石子落在阴影部分的概率即为阴影部分面积与正方形面积的比．
4．C
【分析】根据随机事件的定义：在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，叫做随机事件，进行求解即可．
【详解】解：A、偷天换日，是不可能发生的，不是随机事件，不符合题意；
B、水涨必定船高，是必然会发生，不是随机事件，不符合题意；
C、守株待兔，可能发生，也可能不发生，是随机事件，符合题意；
D、旭日东升，是必然会发生的，不是随机事件，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了随机事件的定义，熟知定义是解题的关键．
5．C
【分析】直接利用必然事件的定义得出答案．
【详解】解：∵一只不透明的袋子里装有4个黑球，2个白球，每个球除颜色外都相同，
∴事件“从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球”的事件类型是必然事件．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了随机事件，正确掌握相关定义是解题关键．
6．A
【分析】设大正方形的边长为，从而可得大正方形的面积为，先求出小正方形绿色草坪的面积，再根据简单事件的几何概率公式即可得．
【详解】设大正方形的边长为，则大正方形的面积为，
编号为的地块是四个全等的等腰直角三角形空地，
等腰直角三角形的直角边均相等，且长为，
由勾股定理得：等腰直角三角形的斜边长为，
即小正方形绿色草坪的边长为，
小正方形绿色草坪的面积为，
则跳伞运动员一次跳伞落在草坪上的概率是，
故选：A．
【点睛】本题考查了简单事件的几何概率计算公式、全等三角形的性质、勾股定理等知识点，根据全等三角形的性质和勾股定理求出小正方形绿色草坪的边长是解题关键．
7．D
【分析】骰子有六个面，有六种可能，“2”只有1个，即可得．
【详解】解：根据题意知，骰子有六个面，有六种可能，“2”只有1个，
即掷得点数为“2”的概率为，
故选：D．
【点睛】本题考查了概率，解题的关键是理解题意．
8．B
【分析】观察电路发现，闭合或闭合或闭合三个或四个，则小灯泡一定发光，从而可得答案．
【详解】解：由小灯泡要发光，则电路一定是一个闭合的回路，
只闭合个开关，小灯泡不发光，所以是一个不可能事件，所以A不符合题意；
闭合个开关，小灯泡发光是必然事件，所以D不符合题意；
只闭合个开关，小灯泡有可能发光，也有可能不发光，所以B符合题意；
只闭合个开关，小灯泡一定发光，是必然事件，所以C不符合题意．
故选B．
【点睛】本题结合物理知识考查的是必然事件，不可能事件，随机事件的概念，掌握以上知识是解题的关键．
9．C
【分析】先设阴影部分的面积是3x，得出整个图形的面积是7x，再根据几何概率的求法即可得出答案．
【详解】解：设阴影部分的面积是3x，
根据图形的性质可得整个图形的面积是7x，
则这个点取在阴影部分的概率是=．
故选：C．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
10．C
【分析】除了点A、点B以外，共有23个点，再在其中找出顶点C使其能构成等腰三角形，由概率的定义可求出答案．
【详解】解：如图所示，一共有23个符合条件的点，其中能与点A，点B构成等腰三角形的顶点C有9个，
所以恰好能使△ABC构成等腰三角形的概率为，
故选C．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，概率的计算，理解概率的定义是正确解答的前提，掌握等腰三角形的判定是得出正确答案的关键．
11．A
【分析】根据必然事件的意义，进行解答即可．
【详解】根据题意可得，的值可能是5，如果是6，7，8，那么与“摸出球上的号码小于6”是必然事件相违背．
【点睛】本题考查的是随机事件，必然事件，理解必然事件的意义是正确判断的前提，也是解本题的关键．
12．B
【分析】根据概率的公式进行计算即可．
【详解】5，，3.1415，，，0.1010010001…六个数无理数有，，0.1010010001…共3个，
卡片上的数为无理数的概率是，
故答案为：B．
【点睛】本题考查了无理数及概率公式，即无限不循环小数是无理数；一般地，如果一个试验有n次等可能的结果，事件A包含其中的m个结果，那么事件A发生的概率为．
13．B
【分析】由于题中所求概率是与几何面积有关，根据概率公式计算面积比求解即可．
【详解】解：观察图形可知，阴影部分面积是大圆面积的一半，
则该点取自阴影部分的概率是，
故选：B．
【点睛】本题主要考查几何概率模型的概率求解，在求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率，计算方法是长度比，面积比，体积比等．
14．
【分析】用白球的个数除以袋子中小球的总数即可得到摸到白球的概率．
【详解】解：根据题意可得：袋子中4个黑球、3个白球共7个，
所以从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为：．
故答案为：．
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
15．使每个球出现的机会均等
【分析】根据概率的等可能性判断即可．
【详解】解：每次模拟试验后将小球每次搅匀是为了使每个球出现的机会均等，
故答案为：使每个球出现的机会均等．
【点睛】本题考查了概率的等可能性，确保等可能性是解题的关键．
16．2
【分析】根据概率公式用白球的个数除以总的球数个数，即可得出答案．
【详解】解：袋子中装有黄球个，红球个，白球个，
袋子中共有个球，
从中随机摸出一个球，若摸到红球的概率为，
，
，
经检验是原方程的解，
该盒子中装有黄球的个数是个．
故答案为：
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
17．
【分析】直接根据概率计算公式计算求解即可．
【详解】解：一只不透明的袋中装有个白球和个黑球，
搅匀后从中任意摸出个球摸到白球的概率为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，熟知概率计算公式是解题的关键．
18．(1)
(2)
(3)这个不透明的口袋中红球有15个
【分析】（1）根据题目表中的数据，直接计算摸到白球的频率即可得到答案；
（2）由题中表格计算的频率过程可知，当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近即可得到答案；
（3）由（2）中得到的摸到白球的频率将会接近，设红球的个数为，根据题意得到方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：由表中数据可知摸到白球的频率，即，
故答案为：；
（2）解：由表格中计算的频率过程可知，当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近，
故答案为：；
（3）解：设红球的个数为，根据题意，
得，解得，
经检验是原方程的解，
答：这个不透明的口袋中红球有15个．
【点睛】本题考查频率的计算以及运用，读懂题意，熟练掌握频率相关问题的求解方法是解决问题的关键．
19．(1)50，20，0.2，0.08
(2)图见解析
(3)400
(4)
【分析】（1）由“了解很少”的人数除以对应频率可得被调查的总人数，再根据频数之和等于总人数可得b的值，然后由频率＝频数÷总人数可得m、n的值；
（2）根据以上所求结果即可补全条形图；
（3）总人数乘以样本中“基本了解”人数所占比例即可；
（4）画树状图，其中抽到一男一女的结果有6种，再由概率公式求出概率即可．
【详解】（1）由题意得：a＝16÷0.32＝50，
则b＝50 （10＋16＋4）＝20，m＝10÷50＝0.2，n＝4÷50＝0.08，
故答案为：50，20，0.2，0.08；
（2）补全条形图如下：
（3）估计该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有1000×＝400（人），
故答案为：400；
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到一男一女的结果有6种，
∴抽到一男一女的概率＝＝．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．25.2 用列举法求概率
一、单选题
1．（2022秋·贵州毕节·九年级期末）一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝下的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·贵州黔东南·九年级统考期末）某电视台举行的歌手大奖赛,每场比赛都有编号为1～10号共10道综合素质测试题供选手随机抽取作答.在某场比赛中,前两位选手已分别抽走了2号,7号题,第3位选手抽中8号题的概率是( )
A． B． C． D．
3．（2022秋·贵州黔东南·九年级统考期末）有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次能打开锁的概率是（ ）
A．0 B． C． D．1
4．（2022秋·贵州六盘水·九年级统考期末）如图所示的电路图中，随机闭合开关、、中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·贵州毕节·九年级统考期末）有4张背面相同的卡片，正面分别印有平行四边形、矩形、菱形、正方形，现将4张卡片正面朝下一字摆开，从中随机抽取两张，抽到的两张卡片上都恰好印的既是中心对称又是轴对称的图形的概率为（ ）
A．1 B． C． D．
6．（2022秋·贵州毕节·九年级统考期末）如图，有两个可以自由转动的转盘（每个转盘均被等分），同时转动这两个转盘，待转盘停止后，两个指针同时指在偶数上的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2022秋·贵州黔东南·九年级统考期末）不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和不为3的概率是 ．
三、解答题
8．（2022秋·贵州贵阳·九年级统考期末）第24届北京冬奥会开幕式二十四节气倒计时惊艳亮相，从“雨水”开始，倒数最终行至“立春”，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．李老师将每个节气的名称写在完全相同且不透明的小卡片上，洗匀后邀请同学随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上对应节气的含义．
(1)若随机抽取一张卡片，则上面写有“立夏”的概率为______；
(2)老师选出写有“立春、立夏、立秋、立冬”的四张卡片洗匀后背面朝上放在桌面上，请小星从中抽取一张卡片记下节气名称不放回，再洗匀后从中随机抽取一张卡片记下节气名称．请利用列表或画树状图的方法，求两次抽到的卡片上分别写有立春、立冬节气名称的概率．
9．（2022秋·贵州毕节·九年级期末）“除夕”是我国最重要的传统佳节，成都市民历来有“除夕”夜吃“饺子”的习俗，我市某食品厂为了解市民对去年销售较好的猪肉馅饺、素菜馅饺、羊肉馅饺、牛肉馅饺（以下分别用、、、表示）这四种不用口味饺子的喜爱情况，在节前对某居民区进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答：
(1)本次参加抽样调查的居民有______人？
(2)将两幅不完整的图补充完整；
(3)若有外型完全相同的、、、饺子各一个，煮熟后，小王吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他两个都吃到肉馅饺（、、）的概率．
10．（2022秋·贵州六盘水·九年级统考期末）2021年2月1日教育部办公厅印发了《关于加强中小学生手机管理工作的通知》明确要求中小学生原则上不得将个人手机带入校园．某校针对有手机的学生开展了“你能否有效管控手机”的问卷调查活动，并随机抽取200名学生的问卷调查表作为样本，数据列表如下：
性别 能有效管控手机 不能有效管控手机 合计
男 a b 100
女 72 c 100
合计 96 104 200
(1)请计算列表中的a＝___，b＝___，c＝___；若在“不能有效管控手机”的学生中随机抽取1名，求抽到“不能有效管控手机”的学生是女生的概率．
(2)若学生因特殊原因需带手机进入校园的，必须首先告知所在班级的班主任，由班主任暂时保管．该校为做好这部分学生的手机管理工作，政教处从“能有效管控手机”的学生中，按样本中的男、女比例随机抽取4名学生组成一个团队，并从其中任选2名同学作手机管理的个人经验交流．请用列表法或树状图求出任选的2人中是一男一女的概率．
11．（2022秋·贵州安顺·九年级统考期末）中华人民共和国第十四届全运会将于2021年9月份在陕西举行，“全民全运同心同行”是本届全运会主题口号．某中学为加深对全运会的了解，组织学生玩抽卡片的游戏，游戏规则如下：
a．如图，、、、四张卡片（形状、大小和质地都相同），正面分别写有“全民全运”“同心同行”“相约西安”“筑梦全运”；
b．将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张；
c．若抽取的两张卡片能组成本届全运会主题口号“全民全运同心同行”，则获得一次成为“文明倡导者”的机会．
(1)第一次抽取的卡片上写的是“全民全运”的概率为________；
(2)请用列表法或画树状图法求乐乐抽取完两张卡片后，能获得成为“文明倡导者”机会的概率．
12．（2022秋·贵州黔南·九年级统考期末）小明，小颖和小凡都想去看电影《长津湖》，但只有一张电影票．三人决定通过抓阄来确定谁获得电影票．他们准备了三张纸片，其中一张上写了“YES”，另两张上写了“NO”，团成外观一致的三个纸团，抓中写有“YES”的人才能得到电影票．刚要抓阄，小明说：“我觉得先抓的人抓中的机会比别人大”你认为他的说法正确吗？用所学过的概率知识说明理由．
13．（2022秋·贵州毕节·九年级统考期末）“一方有难，八方支援”．2020年初，武汉发现多起新冠肺炎病例，牵动着全国人民的心，威宁县人民医院准备从甲、乙、丙三位医生和、两名护士中选取一位医生和一名护士支援武汉参与疫情防控救援工作．
(1)若随机选一位医生和一名护士，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果．
(2)求恰好选中医生甲和护士的概率．
14．（2022秋·贵州遵义·九年级统考期末）为庆祝伟大的中国共产党建党100周年，我市某校组织学生开展以“学党史，感党恩”为主题的系列活动A：学红色历史，传承“红色基因”；B：读红色经典，领悟“红色精神”；C：讲红色故事续“红色血脉”；D：唱红色歌曲，重温“红色岁月”．学校为了解“学党史，感党恩”系列活动开展情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并绘制出如下不完整的统计图．
(1)本次调查的总人数为 人，扇形统计图中B部分的圆心角是 度，请补全条形统计图；
(2)根据本次调查，估计该校800名学生中，参加活动A的学生有多少人？
(3)参加活动D的5名学生中，有两名男生和三名女生，若从这5名学生中随机抽取2名学生参加市级唱红歌比赛，请用画树状图或列表的方法，求正好抽到1男1女的概率．
15．（2022秋·贵州毕节·九年级统考期末）某校为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级800名学生每天的自主学习情况，该校领导随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题
(1)本次调查的学生人数是_______人；
(2)将条形统计图图1和扇形统计图图2补充完整；
(3)请估算，该校九年级自主学习时间不少于1.5小时的学生有________人；
(4)老师想从学习效果较好的3位同学（分别记为，其中B为小华）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小华B的概率．
16．（2022秋·贵州黔西·九年级统考期末）黔西南州山川秀美、景色迷人，是中国西部一个黄金旅游区．为了奖励员工，某公司计划组织一次旅游活动，有以下四个地点供选择：A．花江铁索桥；B．马玲河峡谷；C．二十四道拐；D．万峰林．现随机调查了部分员工最想去的旅游地点，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图中的信息，解决下列问题：
（1）这次调查一共抽取了 名员工；扇形统计图中，旅游地点D所对应的扇形圆心角的度数为 ．
（2）请补全条形统计图．
（3）在选择旅游地点C的员工中，甲、乙、丙、丁4人表现最为积极，现打算从这4人中任选2人作为本次旅游活动的策划员，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙的概率．
17．（2022秋·贵州安顺·九年级统考期末）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次统计共抽查了 名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．说明：设“微信，QQ和电话”三种沟通方式分别用字母W，Q和D表示．）
18．（2022秋·贵州黔南·九年级统考期末）2021年是中国共产党成立100周年，为普及党史知识，培养爱国主义精神，今年五月份，某市党校举行党史知识竞赛，每个班级各选派15名学员参加了网上测试，现对甲、乙两班学员的分数进行整理分析如下：
甲班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：
87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98．
乙班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：
77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89．
（1）按如下分数段整理两班测试成绩
班级 70.5~75.5 75.5~80.5 80.5~85.5 85.5~90.5 90.5~95.5 95.5~100.5
甲 1 2 a 5 1 2
乙 0 3 3 6 2 1
表中______________；
（2）补全甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图；
（3）两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如表所示：
班级 平均数 众数 中位数 方差
甲 86 86 44.8
乙 86 88 y 36.7
表中______________，____________．
（4）以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是_________班；
（5）本次测试两班的最高分都是98分，其中甲班2人，乙班1人．现从以上三人中随机抽取两人代表党校参加全市党史知识竞赛，利用树状图或表格求出恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的概率．
19．（2022秋·贵州毕节·九年级统考期末）已知甲同学手中藏有三张分别标有数字的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有数字1，3，2的卡片，卡片外形相同.现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为.
(1)请你用树形图或列表法列出所有可能的结果.
(2)现制定这样一个游戏规则：若所选出的能使得有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜.请问这样的游戏规则公平吗？请你用概率知识解释
参考答案：
1．D
【分析】先列举出同时掷两枚质地均匀的硬币一次所有等可能的结果，然后根据概率的公式，即可得到两枚硬币都是正面朝下的概率．
【详解】解：同时掷两枚质地均匀的硬币一次，
共有：正正、反反、正反、反正4种等可能的结果，
其中两枚硬币都是正面朝下的占1种，
所以，两枚硬币都是正面朝下的概率，
故选：D．
【点睛】本题考查了用列举法求概率的方法：先列出所有等可能的结果n，然后找出某事件出现的结果数m，最后计算．
2．B
【分析】先求出题的总号数及8号的个数，再根据概率公式解答即可．
【详解】前两位选手抽走2号、7号题，第3位选手从1、3、4、5、6、8、9、10共8位中抽一个号，共有8种可能，每个数字被抽到的机会相等，所以抽中8号的概率为．
故选B
【点睛】考查概率的求法，关键是真正理解概率的意义，正确认识到本题是八选一的问题，不受前面叙述的影响．
3．B
【分析】列表得出共有6种等可能的结果，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意列表如下：
锁1 锁2
钥匙1 （锁1，钥匙 （锁2，钥匙
钥匙2 （锁1，钥匙 （锁2，钥匙
钥匙3 （锁1，钥匙 （锁2，钥匙
共有6种等可能的结果，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的结果有2种，
随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次能打开锁的概率是，
故选：B．
【点睛】本题考查的是用列表求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
4．C
【分析】画树状图展示所以6种等可能的结果，再找出能让灯泡L2发光的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中能让灯泡L2发光的结果数为2，
所以能让灯泡L2发光的概率==．
故选：C．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数目，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
5．D
【分析】先根据题意得列出表格，可得共有12种等可能结果，抽到的两张卡片上都恰好印的既是中心对称又是轴对称的图形的有6种，再根据概率公式，即可求解．
【详解】解： 根据题意得列出表格如下：
平行四边形 矩形 菱形 正方形
平行四边形 矩形、平行四边形 菱形、平行四边形 正方形、平行四边形
矩形 平行四边形、矩形 菱形、矩形 正方形、矩形
菱形 平行四边形、菱形 矩形、菱形 正方形、菱形
正方形 平行四边形、正方形 矩形、正方形 菱形、正方形
∵不平行四边形是中心对称图形，矩形、菱形、正方形既是中心对称又是轴对称的图形，
∴共有12种等可能结果，抽到的两张卡片上都恰好印的既是中心对称又是轴对称的图形的有6种，
∴抽到的两张卡片上都恰好印的既是中心对称又是轴对称的图形的概率为．
故选：D
【点睛】本题主要考查了利用画树状图或列表格求概率，能根据题意画出树状图或列出表格是解题的关键．
6．B
【分析】根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有可能的结果与两个指针同时指在偶数上的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】根据题意列树状图得：
∵共有25可能出现的情况，两个指针同时指在偶数上的情况有6种，
∴两个指针同时指在偶数上的概率为： ，
故选B
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率的知识，概率=所求情况数与总情况数之比.熟练掌握列表法与树状图法及概率公式是解题关键.
7．/
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次记录的数字之和不为3的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：列表如下：
1 2
1 2 3
2 3 4
由表可知，共有4种等可能结果，其中两次记录的数字之和为3的有2种结果，不为3的有2种结果，
所以两次记录的数字之和不为3的概率=．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．解题的关键是列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
8．(1)
(2)
【分析】（1）将数据代入概率公式计算即可．
（2）第一次不放回，第二次抽取就会少一种，根据信息画出树状图，选出符合情况的种类，代入公式计算概率即可．
【详解】（1）解：“立夏”只占二十四节气中的一个，
（2）解：将“立春、立夏、立秋、立冬”分别用“1，2，3，4”表示，画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果，其中抽中立春、立冬的结果有两种：
∴P（抽中立春，立冬）．
【点睛】本题考查了概率的计算，熟练提取数据是解题关键．
9．(1)600人
(2)见解析
(3)
【分析】（1）用B小组的频数除以B小组所占的百分比即可求得结论；
（2）分别求得C小组的频数及其所占的百分比即可补全统计图．
（3）列表即可求得结论．
【详解】（1）（人）；
（2），，
将两幅不完整的图补充完整如下：
（3）列表如下
从上表可知：共有12种可能，符合条件的有6种
所以：．
【点睛】本题考查了两种统计图及概率的知识，解题的关键是从统计图中整理出进一步解题的有关信息．
10．(1)24，76，28，
(2)
【分析】（1）根据统计表完成填空，根据概率公式直接求概率；
（2）根据列表法求概率即可求解．
【详解】（1）解：a＝96-72=24，b＝100-24=76，c＝100-72=28
＝＝
故答案为：24，76，28，
（2）A表示男生，B表示女生，列表如下：
共有12种等可能的结果，其中满足条件的有6种．
∴＝＝．
【点睛】本题考查了统计，公式法求概率，列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
11．(1)
(2)
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）第一次抽取的卡片上写的是“全民全运”的概率为；
故答案为：；
（2）列表如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中抽取完两张卡片后，能获得成为“文明倡导者”机会的有2种结果，
所以抽取完两张卡片后，能获得成为“文明倡导者”机会的概率是．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12．错误，理由见解析
【分析】抓中“YES”的纸团记作“Y”，抓中“NO”的纸团记作“N1”、 “N2”，画树状图展示6种可能的结果，小明，小颖和小凡抓到“YES”的结果各有2种,由概率公式求出各个概率即可判断．
【详解】解：小明的说法是错误的．
理由：抓中“YES”的纸团记作“Y”，抓中“NO”的纸团记作“N1”、 “N2”，画树状图如下：
，
从图中发现，共有6种可能的结果，小明，小颖和小凡抓到“YES”的结果各有2种,
∴P（小明抓中），P（小颖抓中），P（小凡抓中），
无论三人谁先抓阄，抓到“YES”的概率都是一样的，各为．
故小明的说法是错误的，每个人抓中的概率相同，与抓的顺序无关．
【点睛】本题考查游戏的公平性、画树状图或列表格法求概率，判断游戏是否公平，要看概率是否相等，概率性等，游戏就公平；否则，游戏不公平，解题的关键是正确画出树状图或者列表格．
13．(1)见解析
(2)
【分析】列举出所有情况，让恰好选中医生甲和护士A的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】（1）解：用列表法或树状图表示所有可能结果如下：
护士 医生 A B
甲 （甲，A） （甲，B）
乙 （乙，A） （乙，B）
丙 （丙，A） （丙，B）
（2）解：
因为共有6种等可能的结果，其中恰好选中医生甲和护士A的有1种，
所以P（恰好选中医生甲和护士A）=．
【点睛】本题考查了概率的相关知识，掌握利用列表法或画树状图法求概率是解题的关键
14．(1)50；；统计图见解析
(2)参加活动A的学生有192人
(3)
【分析】（1）由D项目人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以B项目人数所占比例可得其对应圆心角度数，总人数减去A、B、D人数求出C的人数即可补全图形；
（2）用总人数乘以样本中A项目人数所占比例即可；
（3）列表求概率，共有20种等可能的结果，刚好抽到1男1女的有12种情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）本次调查的总人数为5÷10%＝50（人），扇形统计图中B部分的圆心角是360°×＝108°，
C活动项目的人数为50 （12＋15＋5）＝18（人），
补全图形如下：
故答案为：50、108；
（2）800×＝192（人），
答：估计该校800名学生中，参加活动A的学生有192人；
（3）列表如下：设B表示男生，G表示女生
--
--
--
--
--
共有20种等可能的结果，其中正好抽到1男1女的结果数为12，
所以正好抽到1男1女的概率为
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．(1)50人
(2)见解析
(3)400
(4)
【分析】（1）根据两个统计图可得：每天自主学校0.5小时的人数为5人，扇形统计图中此部分的比例为10%，利用满足条件的人数除以相应比例即可得出；
（2）由总人数及各部分人数可得每天自主学习1.5小时的人数，求出每天自主学习2小时所占的比例，然后补全两个统计图即可；
（3）由扇形统计图可得：每天自主学习不少于1.5小时的人数的比例为，用总人数乘以满足条件的比例即可得；
（4）利用列表法找出满足条件的结果，然后除以总的出现的结果即可得．
【详解】（1）解：根据两个图可得：每天自主学习0.5小时的人数为5人，扇形统计图中此部分的比例为10%，
∴抽取的总人数为：（人），
故答案为：50；
（2）解：每天自主学习1.5小时的人数为：（人），
每天自主学习2小时所占的比例为：，
补全条形统计图和扇形统计图如下：
（3）解：由扇形统计图可得：每天自主学习不少于1.5小时的人数的比例为：，
∴（人），
故答案为：400；
（4）解：列表如下：
A B C
A
B
C
由列表法可得，共有6种等可能的结果，选中小华B的有4种，
∴P（选中小华B）．
【点睛】题目主要考查根据条形统计图和扇形统计图获取信息，补全条形统计图和扇形统计图，根据列表法或树状图法求概率，用部分估计总体等，理解题意，从两个统计图中获取相关信息是解题关键．
16．（1）50，108°；（2）见解析；（3）
【分析】（1）先用旅游地点B的人数除以百分比得到总人数，再利用360度×旅游地点D的百分比即可得到其圆心角度数；
（2）先求出旅游地点C的人数，然后补全统计图即可；
（3）画出树状图得到所有的等可能性的结果，然后找到恰好选中甲和乙的结果数，最后利用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）由题意得：这次调查一共抽取了名员工，
∴旅游地点D所对应的扇形圆心角的度数为，
故答案为：50，108°；
（2）由（1）得最想去旅游地点C的人数=50-13-15-4=18人，
∴补全统计图如下所示：
（3）画树状图如下所示：
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好选中甲和乙的结果数有两种，
∴P恰好选中甲和乙=．
【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，画树状图或列表法求解概率，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
17．（1）100，108°；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由20÷20%可得这次统计共抽查人数，根据圆心角公式可得结果；
（2）先求喜欢用微信和短信的人数，再画图；
（3）用列表法求概率即可.
【详解】解：（1）20÷20%＝100；
所以这次统计共抽查了100名学生；
在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数＝360°×＝108°；
故答案为：100，108°；
（2）喜欢用短信的人数为：100×5%＝5（人）
喜欢用微信的人数为：100 20 5 30 5＝40（人），
补充图形，如图所示：
（3）列表如下为：
甲\乙 W Q D
W WW WQ WD
Q QW QQ QD
D DW DQ DD
共有9种等可能的结果数，甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的结果数为3，
所以甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为＝．
【点睛】本题考查了列表法与树状图，也考查了统计图和用样本估计总体，求扇形统计图的圆心角的度数，掌握统计的基本知识，利用列表法或树状图法展示所有可能的结果n，从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．．
18．（1）4；（2）见详解；（3）87；88；（4）乙；（5）
【分析】（1）用总人数减去其它组的测试成绩即可求得a的值；
（2）根据（1）中数据补全直方图即可；
（3）根据众数和中位数的定义取值即可；
（4）从中位数及方差的数据分析即可；
（5）画树状图列出所有等可能的结果，找出符合题意的情况数，再用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）(人)，
故答案为：4，
（2）补全甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图如下：
（3）甲班出现次数的最多的为87，所以众数为87；
乙班15名学员测试成绩从小到大排列为：
，
所以中位数为88，
故答案为：87，88；
（4）从中位数看，乙班整体成绩偏高，
从方差看，乙班方差小于甲班，则乙班成绩较为稳定，
综上，乙班成绩较好，
故答案为：乙；
（5）设甲班两位同学分别为A1、A2，乙班学员为B，
画树状图如下：
共有6种等可能的情况出现，其中甲、乙两班各一人的
情况有4种，故甲、乙两班各一人参加全市党史知识
竞赛的概率为．
【点睛】本题主要考查频数分布直方图，中位数，众数，方差，列表或树状图法求概率，明确题意，清楚题中各数据代表的意义是解题关键．
19．（1）列表见解析；（2）不公平，理由见解析．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果；
（2）利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求解即可求得甲、乙获胜的概率，比较概率大小，即可确定这样的游戏规是否公平．
【详解】（1）列表如下：
a b 1 2 3
(，1) （，2） （，3）
（，1） （，2） (，3)
1 （1，1） （1，2） （1，3）
（2）要使方程有两个不相等的实根，即△=，满足条件的有5种可能：
∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
即此游戏不公平．25.3 用频率估计概率
一、单选题
1．（2022秋·贵州贵阳·九年级统考期末）在一个不透明的口袋中有红球、白球共60个，它们除颜色外，其余完全相同．通过大量的摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在附近，估算口袋中红球的个数是（ ）
A．12 B．20 C．30 D．48
2．（2022秋·贵州黔南·九年级统考期末）某校九年级学生，在学习“用频率估计概率”时，五个班级的同学做抛掷一枚硬币的试验，并将所得的试验数据整理如下表：
试验班级 抛掷次数n “正面向上”的次数m “正面向上”的频率
九年级（1）班 2048 1061 0.5181
九年级（2）班 4040 2048 0.5069
九年级（3）班 10000 4979 0.4979
九年级（4）班 12000 6019 0.5016
九年级（5）班 24000 12012 0.5005
下面有四个推断：
①当抛掷次数是10000时，“正面向上”的次数是4979，所以“正面向上”的概率是0.4979；
②当抛掷次数是12000时，“正面向上”的次数是6019，所以“正面向上”的概率是0.5016；
③随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5005附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5005；
④若再次做此试验，则当抛掷次数为30000时，“正面向上”的频率一定是0.5005．
其中合理的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
3．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期末）为保障人民的身体健康，卫生部门对某医药店进行检查，抽查了某品牌的口罩5包(每包10只)，其中合格口罩的只数分别是：9、10、9、10、10，则估计该品牌口罩的合格率约是 ( )
A．95％ B．96％ C．97％ D．98％
4．（2022秋·贵州·九年级统考期末）在一个不透明的口袋中，放置了3个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了蓝球出现的频率（如图所示），则n的值最可能是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
5．（2022秋·贵州遵义·三模）在一个不透明的盒子中装有 a 个黑白颜色的球，小明又放入了5个红球，这些球大小相同．若每次将球充分搅匀后，任意摸出个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则 a的值大约为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
6．（2022秋·贵州贵阳·九年级期末）小明将自己的核酸检测二维码打印在面积为的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的面积约为( )
A． B． C． D．
7．（2022秋·贵州贵阳·九年级期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
C．袋子中有除颜色外其余都相同的1个红球和2个黄球，从中任取一球是黄球
D．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃
8．（2022秋·贵州贵阳·九年级期末）如图，小红在一张长为6m，宽为5m的长方形纸上画了一个老虎图案，他想知道该图案的面积大小，于是想了这样一个办法，朝长方形的纸上扔小球，并记录小球落在老虎图案上的次数（球扔在界线上或长方形纸外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果整理成统计表，由此他估计此图案的面积大约为（ ）
试验次数m 60 120 180 240 300 360 420 480
小球落在图案内的次数n 22 38 65 83 102 126 151 168
小球落在图案内的频率 0.37 0.32 0.36 0.35 0.34 0.35 0.36 0.35
A． B． C． D．
9．（2022秋·贵州六盘水·九年级期末）某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，在不透明的口袋中放有6个除颜色外均相同的小球，其中有3个红球，2个白球和1个黑球．用折线统计图统计了某一结果出现的频率，则符合这一结果的试验最有可能是（ ）
A．从中随机摸出1个球是红球 B．从中随机摸出1个球是白球
C．从中随机摸出1个球是黑球 D．从中随机摸出1个球是黄球
10．（2022秋·贵州贵阳·九年级期末）某鱼塘里养了若干条草鱼、100条鲤鱼和50条罗非鱼，通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右．可估计该鱼塘中鱼的总数量为（ ）．
A．300 B．200 C．150 D．250
二、填空题
11．（2022秋·贵州毕节·九年级统考期末）一个不透明的袋子中有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，摸了100次后，发现有30次摸到红球，请你估计这个袋中红球约有 个．
12．（2022秋·贵州黔西·九年级统考期末）在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外其余都相同．小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在0.3左右，则袋子里可能有 个红球．
13．（2022秋·贵州安顺·九年级统考期末）在一个暗箱里放有m个大小相同、质地均匀的白球，为了估计白球的个数，再放入3个同白球大小、质地均相同，只有颜色不同的黄球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在25%，推算m的值大约是 ．
14．（2022秋·贵州安顺·九年级统考期末）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为 ．
15．（2022秋·贵州铜仁·九年级期末）在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中白球大约有 个．
16．（2022秋·贵州贵阳·九年级期末）在一个不透明的袋子中装有4个红球和若干个白球，这些球除颜色外，其余都相同，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，经过大量重复实验后，摸到红球的频率稳定在0.2，则可估计袋中大约有 个白球．
17．（2022秋·贵州遵义·九年级期末）某林业部门对某种树苗在一定条件下的移植成活率进行了统计，结果如下表：
移植总数/棵 50 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000
成活的频率 0.940 0.870 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.900
若要有18000棵树苗成活，估计需要移植 棵树苗较为合适．
18．（2022秋·贵州贵阳·九年级期末）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色，黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是 个．
三、解答题
19．（2022秋·贵州黔东南·九年级统考期末）黔东南州某校数学兴趣小组开展摸球试验，具体操作如下：在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的小球共4个，这些球除颜色外无其它差别，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后再把它放回盒子里搅匀，再随机摸出一球记下颜色，不断重复摸球实验．下表是这次活动的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 26 38 50 127 197 251
摸到白球的频率 0.260 0.253 0.250 0.254 0.246 0.251
(1)请你根据上表统计数据估计：从不透明的盒子里随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率约为___________（精确到0.01）；
(2)试估算盒子里有多少个白球？
(3)根据第（2）题的估算结果，若从盒子里随机摸出两球，请画树状图或列表求“摸到两个颜色相同小球”的概率．
20．（2022秋·贵州黔东南·九年级统考期末）如图，两个转盘A、B都被分成3个全等的扇形，每个扇形内均标有不同的自然数，固定指针，同时转动转盘A、B，两个转盘停止后观察两个指针所指的数字（若指针指在扇形的分界线上时，视为指向分界线左边的扇形）．
(1)用列表法（或树状图）表示两个转盘停止转动后指针所指扇形内的数字的所有可能结果．
(2)小明每转动一次就记录数据，并算出两数之和，其中“和为7”的频数和频率如下表：
转动转盘总次数 10 20 30 50 100 150 180 240 330 450
“和为7”出现的频数 2 7 10 16 34 50 59 80 110 150
“和为7”出现的频率 0.2 0.35 0.33 0.32 0.34 0.33 0.33 0.33 0.33 0.33
请你根据上表数据，估计“和为7”的概率是多少？
(3)根据（1）（2），若，试求出x和y的值．
21．（2022秋·贵州贵阳·九年级期末）某水果公司新进一批柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中．
柑橘总质量n/kg … 300 350 400 450 500
损坏柑橘质量m/kg … 30.93 35.32 40.36 45.02 51.05
柑橘损坏的频率（精确到0.001） … 0.103 0.101 0.101 0.100 0.102
(1)柑橘损坏的概率约为______（精确到0.1）；
(2)当抽取柑橘的总质量n＝2000kg时，损坏柑橘质量m最有可能是______．
A．99.32kg B．203.45kg C．486.76kg D．894.82kg
(3)若水果公司新进柑橘的总质量为10000kg，成本价是1.8元/kg，公司希望这些柑橘能够获得利润5400元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？
22．（2022秋·贵州六盘水·九年级统考期末）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的组统计数据：
摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数 66 128 171 302 481 599 1806
摸到白球的频率 0.66 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602
（1）若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为____________；（精确到0.1）
（2）估算盒子里约有白球__________个；
（3）若向盒子里再放入个除颜色以外其它完全相同的球，这个球中白球只有1个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在50%，请你推测可能是多少？
参考答案：
1．A
【分析】根据频率、频数、总数的关系求解即可．
【详解】解：由题意得，个．
故选A．
【点睛】本题考查了用频率估计概率，熟练掌握频率=频数÷总数是解答本题的关键．
2．C
【分析】根据用频率估计概率以及频率和概率的概念判断．
【详解】解：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的次数是4979，“正面向上”的频率是0.4979，但“正面向上”的概率不一定是0.4979，故本小题推断不合理；
②当抛掷次数是1200时，“正面向上”的次数是6019，“正面向上”的频率是0.5016，但“正面向上”的概率不一定是0.5016，故本小题推断不合理；
③随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5005附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5005，故本小题推断合理；
④若再次做此试验，则当抛掷次数为30000时，“正面向上”的频率不一定是0.5005，故本小题推断不合理；
故选：C．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
3．B
【详解】解：由题意得：.
故选：B.
4．C
【分析】根据图知，经过大量实验，蓝球出现的频率稳定在0.6附近，再根据频率公式逐项判断即可．
【详解】解：根据图知，经过大量实验，蓝球出现的频率稳定在0.6附近，
则，
当n=4时，，故A不符合题意；
当n=5时，，故B不符合题意；
当n=6时，，故C符合题意；
当n=7时，，故D不符合题意；
∴的值最可能是6，
故选：C．
【点睛】本题考查频数与频率，能从图中获取到蓝球出现的频率稳定在0.6附近是解答的关键．
5．B
【分析】根据题意可得摸到红球的概率为，然后根据概率公式计算即可．
【详解】由题意可得，摸到红球的概率为，则有，
，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了频率与概率，熟练列式计算是解题的关键．
6．D
【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率进行求解即可．
【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴可以估计黑色部分的面积约为，
故选D．
【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，熟知大量反复试验下，频率的稳定值即为概率是解题的关键．
7．A
【分析】利用概率公式求出各选项中事件的概率，根据用频率估计概率和折线统计图作出选择即可．
【详解】解：由折线统计图可知，该实验中事件发生的概率约为0.5，
A、一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数的概率为=0.5，符合题意；
B、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意；
C、袋子中有除颜色外其余都相同的1个红球和2个黄球，从中任取一球是黄球的概率为，不符合题意；
D、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃的概率为= ，不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查简单的概率计算、用频率估计概率，能从所给折线统计图中的频率估计概率，并且正确求得各选项中事件的概率是解答的关键．
8．B
【分析】先假设老虎图案的面积为，根据几何概率知识求解老虎图案占长方形面积的大小；再根据实验数据，用频率估计概率，综合以上列方程求解即可．
【详解】解：设老虎图案的面积为，由已知条件，可知长方形纸张的面积为，
根据几何概率公式，小球落在老虎图案上的概率为，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率的估计值，
小球落在老虎图案上的概率大约为0.35，
所以，解得．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了几何概率以及用频率估计概率的知识，解题关键是在于理解题意，能从复杂的数据中找到所需要的信息．
9．C
【分析】先由折线统计图得出随着试验次数的增加，频率逐渐稳定于0.17，即附近，再分别求出每个选项中随机事件的概率，从而得出答案．
【详解】解：由折线统计图知，此试验最终的频率接近于0.17，即约为，
A、从中随机摸出1个球是红球的概率为，故此选项不符合题意；
B、从中随机摸出1个球是白球的概率为，故此选项不符合题意；
C、从中随机摸出1个球是黑球的概率为，故此选项符合题意；
D、从中随机摸出1个球是黄球的概率为=0，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】考查了利用频率估计概率，折线统计图，解题的关键是能够分别求得每个选项的概率，难度不大．
10．A
【分析】根据大量重复试验中的频率估计出概率，利用概率公式求得草鱼的数量即可．
【详解】∵通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，
∴捕捞到草鱼的概率约为0.5，
设有草鱼x条，根据题意得：
＝0.5，
解得：x＝150，
该鱼塘中鱼的总数量为(条)，
故选：A．
【点睛】本题考查用样本估计总体，解题的关键是明确题意，由草鱼出现的频率可以计算出鱼的数量．
11．6
【分析】首先求出摸到的红球的频率，用频率去估计概率即可求出袋中红球的个数．
【详解】解：∵摸了100次后，发现有30次摸到红球，
∴摸到红球的频率是．
∵袋子中有红球、白球共20个，
∴这个袋子中红球约有（个）．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值此即概率，同时也考查了概率公式的应用．用到的知识点为：根据=所求情况数与总情况数之比．
12．21
【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率，即可用球的总数乘以白球的频率，可求得白球数量，从而得到红球的熟练．
【详解】解：∵小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在0.3左右，
∴白球的个数=30×0.3=9个，
∴红球的个数=30-9=21个，
故答案为：21．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
13．9
【分析】由题意可得摸到一个黄球的概率为，把摸到黄球的频率作为摸到黄球的概率，即可求得m的值．
【详解】由题意，摸到一个黄球的概率为
则
解得：m=9
即m的值大约是9
故答案为：9
【点睛】本题考查了用频率估计概率，大量重复的试验中，频率是一个比较稳定的值，它可以估计事件的概率．
14．
【分析】首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【详解】解：假设不规则图案面积为x m2，
由已知得：长方形面积为20m2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：；
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
∴，解得x=7．
故答案为： ．
【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．
15．
【分析】由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．
【详解】解：设白球个数为个
∵摸到红球的频率稳定在0.25附近
∴口袋中得到红色球的概率为0.25
∴
解得：
经检验，符合题意
即白球的个数为15个
故答案为：15
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题关键是大量反复试验下频率稳定值即概率．
16．16
【分析】设袋子中白球的个数为x，用红球的个数除以球的总个数等于摸到红球的频率列出方程，解之可得．
【详解】解：设袋子中白球的个数为x，
根据题意，得： ，
解得：x＝16，
经检验：x＝16是分式方程的解，
∴袋子中白球的个数是16，
故答案为：16．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率和解分式方程，解答此题的关键是了解红球的频率稳定在0.2附近即为概率约为0.2．
17．20000
【分析】用成活的数量除以成活的频率估计值即可．
【详解】解：若要有18000棵树苗成活，估计需要移植树苗18000÷0.9＝20000（棵），
故答案为：20000．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
18．24
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，先求得白球的频率，再乘以总球数求解．
【详解】解：小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在和，
口袋中白色球的个数很可能是个．
故答案为：24．
【点睛】本题考查了利用用频率估计概率，解题的关键是要计算出口袋中白色球所占的比例，再计算其个数．
19．(1)
(2)1
(3)
【分析】（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得．
（2）设盒子里有个白球，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案；
（3）先利用列表法展示所有12种等可能的结果数，再找出“摸到两个颜色相同小球”的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）从不透明的盒子里随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率约为0.25；
故答案为：0.25；
（2）设盒子里有个白球，根据题意，得：，
解得：，
盒子里有1个白球．
（3）随机摸出两球的树状图如下：
共有12种等可能结果，而“摸到的两个球是颜色相同的小球”6种结果，
“摸到两个颜色相同小球”的概率是．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
20．(1)见解析；
(2)0.33；
(3)x=1，y=6
【分析】（1）由于是两步操作，适合用列表法或树状图法，用列表法表示即可；
（2）用“和为7”的频率估计概率；
（3）根据“和为7”的概率估算出表中和为7的数字的个数，再推出x、y的值．
【详解】（1）解：列表为：
（2）解：由于出现“和为7”的频率稳定在0.33附近，
故出现“和为7”的概率为0.33．
（3）解：“和为7”的概率为0.33，表中共九种情况，
“和为7”的情况有9×0.33≈3种，
由于2、5；3、4；之和为7，
所以x、5；x、4；x、y；2、y；3、y中有一组“和为7”即可．
又由于0＜x＜y，所以
①x+5=7，x=2，y=3，6，7，8，9
②x+4=7，x=3，y=6，7，8，9
③x+y=7，x=1，y=6；
④2+y=7，y=5，x=4，1；
⑤3+y=7，y=4，x=1．
由于在每一个扇形内均标有不同的自然数，故只有③成立，
故x=1，y=6．
【点睛】本题考查了列表法、利用频率估计概率等知识，掌握列表法、频率与概率的关系及用频率估计出事件的个数是解题的关键．
21．(1)0.1
(2)B
(3)2.6元
【分析】（1）根据随着总质量的增加，频率的稳定值可得答案；
（2）总质量乘以柑橘损坏的概率即可得出答案；
（3）设每千克定价为x元，根据“销售额-总成本=利润”列方程求解即可．
【详解】（1）根据表格信息，柑橘损坏的概率约为0.1，
故答案为：0.1；
（2）当抽取柑橘总质量n=2000kg时，损坏柑橘质量m约为2000×0.1=200（kg），
故选：B．
（3）根据柑橘损坏的概率约为0.1，可得能够出售的柑橘为：
（kg）
则定价为：（元）
答：每千克大约定价2.6元比较合适．
【点睛】本题考查了用频率估计概率的知识，用到的知识点为：频率等于所求情况数与总情况数之比．得到售价的等量关系是解决问题的关键．
22．（1）0.6；（2）24；（3）10
【分析】（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得;
（2）用总球数乘以摸到白球的概率即可得出答案；
（3）根据概率公式和摸到白球的个数，即可求出x的值．
【详解】（1）若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为0.6，
故答案为：0.6；
（2）估算盒子里约有白球40×0.6＝24（个），
故答案为：24；
（3）根据题意知，24＋1＝0.5（40＋x），
解得x＝10，
答：推测x可能是10．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
