26.1 反比例函数
一、单选题
1．（2022秋·贵州黔南·九年级统考期末）下列函数是y关于x的反比例函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝﹣ D．y＝﹣
2．（2022秋·贵州毕节·九年级统考期末）已知点（3，﹣4）在反比例函数的图象上，则下列各点也在该反比例函数图象上的是（ ）
A．（3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（﹣2，6） D．（2，6）
3．（2022秋·贵州毕节·九年级统考期末）若反比例函数的图象经过点（5，﹣1）．则实数k的值是
A． B． C． D．5
4．（2022秋·贵州贵阳·九年级统考期末）若反比例函数图象上有两点，，若，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5．（2022秋·贵州毕节·九年级期末）已知一次函数与反比例函数，它们的图象在同一直角坐标平面内可能是（ ）．
A．B． C． D．
6．（2022秋·贵州毕节·九年级期末）已知点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·贵州毕节·九年级统考期末）在同一直角坐标系中，函数y=kx-k与（k≠0）的图象大致是（ ）
A．B．C． D．
8．（2022秋·贵州黔南·九年级统考期末）已知反比例函数与的部分图象如图所示，点C是y轴正半轴上一点，过点C作轴分别交两个图象于点A，B．若．则k的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
9．（2022秋·贵州六盘水·九年级统考期末）在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
二、填空题
10．（2022秋·贵州铜仁·九年级期末）已知y=（m+1）是反比例函数，则m= ．
11．（2022秋·贵州贵阳·九年级统考期末）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，则反比例函数的表达式为 ．
12．（2022秋·贵州毕节·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中．的顶点A，C在坐标轴上，，，，反比例函数的图象经过点B．则k的值为 ．
13．（2022秋·贵州黔南·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知函数和，点为轴正半轴上一点，为轴上一点，过作轴的垂线分别交，的图象于，两点，连接，，则的面积为 ．
14．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期末）如图，、、、都是等边三角形，顶点、、、、在反比例函数 （x>0）的图象上，则B2020的坐标是 ．
15．（2022秋·贵州毕节·九年级统考期末）如图，点是反比例函数图象上的两点，过点分别作轴于点轴于点B，连接，已知点，则 ．
16．（2022秋·贵州毕节·九年级统考期末）（2016湖北省孝感市）如图，已知双曲线与直线y=﹣x+6相交于A，B两点，过点A作x轴的垂线与过点B作y轴的垂线相交于点C，若△ABC的面积为8，则k的值为 ．
三、解答题
17．（2022秋·贵州贵阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上一点，轴，垂足为点B，若，一次函数与x轴交于点．
(1)求k，m的值；
(2)有一点，过点P作x轴的平行线，分别交和的图象于点M，N．判断线段与的数量关系，并说明理由；
18．（2022秋·贵州铜仁·九年级期末）如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x＋b上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．
(1)求a和k的值；
(2)将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．
①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值；
②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m的值．
19．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期末）如图，一次函数y=kx＋b与反比例函数y = （x>0）的图象交于A（m，6）、B（3，n）两点．
(1)求一次函数的解析式
(2)根据图象写出k x＋b<的x的取值范围
20．（2022秋·贵州六盘水·九年级统考期末）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A（－1，2），B两点．
(1)求正比例函数及反比例函数的表达式．
(2)点P是第四象限内反比例函数图象上的点，过点P作x轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，当时，求点P的坐标．
(3)当时，请直接写出x的取值范围．
21．（2022秋·贵州黔南·九年级统考期末）某数学建模小组在综合实践课上探究面积为4，周长为m的矩形问题时，发现矩形的面积与周长存在一定的关系．他们在解决此问题时通常采用“代数”的方法解决，但也可以从“图形”的角度来研究它．
(1)构建模型：
当时，设矩形的长和宽分别为x，y，则，，满足要求的可以看成反比例函数的图象与一次函数在第一象限内的交点坐标．从图①中观察到，交点坐标为______，即满足当矩形面积为4时，周长是10的矩形是存在的；
(2)问题探究：
根据（1）的结论，当，时，满足要求的，可以看成反比例函数的图象与一次函数______的交点坐标，而此一次函数图象可由直线平移得到．请在图②的平面直角坐标系中直接画出直线．当直线平移到与反比例函数的图象有唯一交点时，周长m的值为______；
(3)拓展应用：
写出周长m的取值范围．
22．（2022秋·贵州毕节·九年级统考期末）如图，已知反比例函数的图象和一次函数交于点，两点．
(1)求反比例函数的解析式以及一次函数解析式．
(2)观察图象，当时请写出自变量的取值范围．
23．（2022秋·贵州黔南·九年级统考期末）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A(-1，2)和点B．
（1）求b和k的值；
（2）请求出点B的坐标，并观察图象，直接写出关于x的不等式的解集；
（3）若点P在y轴上一点，当最小时，求点P的坐标．
参考答案：
1．C
【分析】直接利用反比例函数的定义分别判断得出答案．
【详解】解：A、y＝是y与x+1成反比例，故此选项不合题意；
B、y＝，是y与x2成反比例，不符合反比例函数的定义，故此选项不合题意；
C、y＝﹣，符合反比例函数的定义，故此选项符合题意；
D、y＝﹣是正比例函数，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，正确把握定义是解题的关键．
2．C
【详解】∵反比例函数图象过点(3,-4)，
即k= 12，
A. ∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
B.∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
C. ∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确.
D.∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
故选：C.
3．A
【详解】试题分析：根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将（5，﹣1）代入得．故选A．
4．B
【分析】将点，代入反比例函数得出：，，再代入求值即可．
【详解】解：将点，代入反比例函数得出：，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数解析式和分式的加减，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
5．C
【分析】根据一次函数和反比例函数的图像与性质解答即可．
【详解】当时，则
∴的图像经过一、三、四象限，的图像经过二、四象限，
当时，则，
∴的图像经过一、二、四象限，的图像经过一、三象限，
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的图像与性质，熟练掌握图象的性质是解答本题的关键．
6．D
【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数中，，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．
7．D
【分析】根据k的取值范围，分别讨论和时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
【详解】解：①当时，一次函数经过一、三、四象限，反比例函数的（k≠0）的图象经过一、三象限，没有符合条件的选项，
②当时，一次函数经过一、二、四象限，反比例函数的（k≠0）的图象经过二、四象限，故D选项的图象符合要求．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关．
8．C
【分析】连接OA、OB，由、轴得到，根据反比例函数系数k的几何意义可得，继而求出，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求解．
【详解】
如图，连接OA、OB，
，
．
轴，
，
．
点A在反比例函数图象上，
，
，
且，
．
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数(k≠ 0)系数k的几何意义：从反比例函数(k≠ 0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．
9．D
【分析】对于函数y＝来说，当k＜0时，每一条曲线上，y随x的增大而增大；当k＞0时，每一条曲线上，y随x的增大而减小．
【详解】反比例函数y=的图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大，
所以1－k＜0，
解得k＞1．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的增减性的判定．在解题时，要注意整体思想的运用．
10．1
【分析】根据反比例函数的定义．即y=（k≠0），只需令m2﹣2=﹣1、m+1≠0即可．
【详解】解：∵y=（m+1）是反比例函数，
∴，
解之得m=1．
故答案为1．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式（k≠0）转化为y=kx﹣1（k≠0）的形式．
11．
【分析】设出反比例函数表达式，将图中点坐标代入求出即可．
【详解】解：设该反比例函数的表达式为：，
将代入中得：，
故函数表达式为：．
故答案为：
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数表达式，代入数值准确计算是解题关键．
12．12
【分析】过作于 可得 再求解 证明从而得到 从而可得答案．
【详解】解：过作于
，
，
故答案为：12．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，利用待定系数法求解反比例函数的解析式，掌握以上知识是解题的关键．
13．2
【分析】根据题意设点，则，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：由题意得，设点，则
∴
故答案为：2．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质、三角形面积公式是解题的关键．
14．
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，先在中，表示出和的长度，表示出的坐标，代入反比例函数解析式，求出的长度和的长度，表示出的坐标，同理可求得、的坐标，即可发现一般规律．
【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，
为等边三角形，
，，
，
设的长度为，则的坐标为，
把代入得，
解得或（舍去），
，
，
设的长度为，同理得到，则的坐标表示为，
把代入得，解
得或（舍去），
，，，
，
设的长度为，同理，为，的坐标表示为，，
把，代入得，
，，，
，，
……
综上可得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、点的坐标变化规律探究、反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．灵活运用各类知识求出、、的坐标是解题的关键．
15．5
【分析】由BD=3，求出BC，得到点C的坐标，代入求出k，即可得到点A的坐标，由此求出答案．
【详解】解：∵BD=3，，
∴,
∴BC=2，
∵D（2，0），
∴点C的坐标为（5，2），
将点C代入，
∴k=10，
∴，
当x=2时，y=5，
∴点A的坐标（2，5），
∴AD=5，
∴,
故答案为：5．
【点睛】此题考查了反比例函数图象与几何图形，求反比例函数解析式，借助几何图形面积求点坐标，正确理解图形中各点的位置关系是解题的关键．
16．5．
【详解】解：，
解得：，，
即点A的坐标为（，），点B的坐标为（，），则AC=，BC=，
∵S△ABC=8，
∴AC BC=8，即2（9﹣k）=8，
解得：k=5．
故答案为：5．
17．(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）利用面积求出k的值，将点C坐标代入一次函数求出m；
（2）设，，将分别代入，，得，，得到点M，N的坐标，求出，进而得到数量关系．
【详解】（1）解：∵，，，
又∵图象位于第一象限，
∴．
∴．
∵一次函数图象经过，代入得，
∴．
（2）∵过作x轴的平行线与函数图象分别交于点M，N，
∴设，，将分别代入，，
解得：，，
∴，．
∴．
∴．
【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的综合，反比例函数的比例系数与面积的关系，正确掌握一次函数与反比例函数的综合关系是解题的关键．
18．(1)a＝4，k＝8
(2)①；②4或5
【分析】（1）先将点A坐标代入直线AB的解析式中，求出a，进而求出点B坐标，再将点B坐标代入反比例函数解析式中即可得出结论；
（2）①先确定出点D(5，4)，进而求出点E坐标，进而求出DE，EF，即可得出结论；
②先表示出点C，D坐标，再分两种情况：Ⅰ、当BC=CD时，判断出点B在AC的垂直平分线上，即可得出结论；
Ⅱ、当BC=BD时，先表示出BC，用BC=BD建立方程求解即可得出结论．
【详解】（1）解：∵点A(0，8)在直线y＝﹣2x＋b上，
∴﹣2×0＋b＝8，
∴b＝8，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x＋8，
将点B（2，a）代入直线AB的解析式y＝﹣2x＋8中，得﹣2×2＋8＝a，
∴a＝4，
∴B(2，4)，
将B(2，4)代入反比例函数解析式y＝(x＞0)中，得k＝xy＝2×4＝8；
（2）解：①由（1）知，B(2，4)，k＝8，
∴反比例函数解析式为y＝，
当m＝3时，
∴将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，
∴D(2＋3，4)，
即：D(5，4)，
∵DF⊥x轴于点F，交反比例函数y＝的图象于点E，
∴E(5，)，
∴DE＝4﹣＝，EF＝，
∴＝＝；
②如图，∵将线段AB向右平移m个单位长度(m＞0)，得到对应线段CD，
∴CD＝AB，AC＝BD＝m，
∵A(0，8)，B(2，4)，
∴C(m，8)，D(m＋2，4)，
∵△BCD是以BC为腰的等腰三角形，
∴Ⅰ、当BC＝CD时，
∴BC＝AB，
∴点B在线段AC的垂直平分线上，
∴m＝2×2＝4，
Ⅱ、当BC＝BD时，
∵B(2，4)，C(m，8)，
∴BC＝，
∴＝m，
∴m＝5，
即：△BCD是以BC为腰的等腰三角形，满足条件的m的值为4或5．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）由反比例函数与A（m，6）、B（3，n），即可求出m、n，进而得出一次函数的解析式
（2）由图像中一次函数图像在反比例函数图像下方的区域，即可得出答案
【详解】（1），点A（m，6）、B（3，n）
，即m=1
，解得：
（2）由图知一次函数图像在反比例函数图像下方的区域中，
即k x＋b<的x的取值范围是
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的解析式综合，根据已知反比例函数解析式求出未知点、理解k x＋b<在图像上的几何表示是解题关键．
20．(1)y＝－2x，y＝
(2)P（，－4）
(3)－1≤＜0或≥1
【分析】（1）将点A坐标分别代入和中求出k、a即可；
（2）设P（m，－）则C（， －），由＝××＝3求出m值即可求解；
（3）根据点A、B关于原点对称求得点B坐标，结合图象即可求得x的取值范围．
【详解】（1）解：把A（－1，2）代入y＝中，得：a＝－2 ，
∴y＝；
把A（－1，2）代入y＝k中，得：k ＝－2，
∴y＝－2x；
（2）解：设P（m，－）
∴点C（， －），
∴，高为，
∴＝××＝3，
解得：m＝或m＝－，
∵点P在第四象限，
∴m＝，
∴P（，－4）；
（3）解：∵点A、B关于原点对称，A（－1，2），
∴B（1，－2），
根据图象可得：当时，x的取值范围－1≤＜0或≥1．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、坐标与图形，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象交点坐标满足两函数的解析式，解题关键是数形结合思想的运用．
21．(1)，
(2)，
(3)
【分析】(1)由图即可得到两交点的坐标，即可求解；
(2) 由得，直接画出的图象，根据两图象只有一个交点时，一元二次方程有两个相等的实数解，据此即可求解；
(3) 当面积为4，周长为m的矩形存在，即两函数图象有交点，一元二次方程有实数解，据此即可求解．
【详解】（1）解：从图①中观察到，交点坐标为，；
故答案为：，；
（2）解：由得，
故满足要求的，可以看成反比例函数的图象与一次函数的交点坐标，
画出直线如下：
，得，
直线平移到与反比例函数的图象有唯一交点，
，
解得或(舍去)；
故答案为：，；
（3）解：当面积为4，周长为m的矩形存在，即两函数图象有交点，
，
解得或(舍去)，
故周长m的取值范围为．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与交点问题，一元二次方程根的判别式，函数图象的平移，此类探究题，通常按照题设条件依次求解．
22．(1)；
(2)或
【分析】（1）反比例函数的图象与一次函数函数图象交于A（1，6），B（b，2）两点，可以根据点A先求出反比例函数的解析式，然后求出点B的坐标，再根据A、B两个点的坐标，求出一次函数的解析式；
（2）根据函数图象可以直接写出反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数函数图象交于A（1，6），B（b，2）两点，
∴，解得：m＝6，
∴反比例函数的解析式为，
将y＝2代入，
解得：x＝3，即b＝3，
∴点B的坐标为（3，2），
把A（1，6），B（3，2）代入一次函数解析式得：
解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：∵A（1，6）、B（3，2），
∴由函数图象可知，时，x的取值范围是0＜x＜1或x＞3．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求出反比例函数和一次函数的解析式是解决问题的关键．
23．（1）b=，k=-2；（2）-4＜x＜-1；（3）（0，）．
【分析】（1）把A（-1，2）代入两个解析式即可得到结论；
（2）求出点B的坐标，根据两函数图象的上下关系结合点A、B的坐标，即可得出不等式的解集；
（3）根据点A′与点A关于y轴对称，求出点A′的坐标，设出直线A′B的解析式为y=mx+n，结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线A′B的解析式，令直线A′B解析式中x为0，求出y的值，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=（x＜0）的图象交于点A（-1，2），
把A（-1，2）代入两个解析式得：2=×（-1）+b，2=-k，
解得：b=，k=-2；
（2）由（1）得：，
联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组：，
解得：或，
∴点A的坐标为（-1，2）、点B的坐标为（-4，）．
观察函数图象，发现：
当-4＜x＜-1时，反比例函数图象在一次函数图象下方，
∴不等式的解集为-4＜x＜-1．
（3）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，此时点P即是所求，如图所示．
∵点A′与点A关于y轴对称，
∴点A′的坐标为（1，2），
设直线A′B的解析式为y=mx+n，
则有，解得：，
∴直线A′B的解析式为．
令x=0，则y=，
∴点P的坐标为（0，）．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、轴对称中的最短线路问题、利用待定系数法求函数解析式以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：求出直线A′B的解析式；找出交点坐标．本题属于中档题，难度不大，但解题过程稍显繁琐，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式是关键．26.2 实际问题与反比例函数
一、单选题
1．（2022秋·贵州铜仁·九年级期末）市一小学数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的矩形学具进行展示，设矩形的宽为xcm，长为ycm，那么这些同学所制作的矩形长y（cm）与宽x（cm）之间的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．C． D．
二、填空题
2．（2022秋·贵州铜仁·九年级期末）在制作拉面的过程中，用一定体积的面团做拉面，面条的总长度y（单位：cm）与面条的横截面积x（单位：cm2）成反比例函数关系，其图像如图所示，当面条的横截面积小于1cm2时，面条总长度大于 cm．
3．（2022秋·贵州黔南·九年级统考期末）某蔬菜生产基地在气温较低时用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为的条件下生长最快的新品种．下图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后大棚内的温度随时间（小时）变化的函数图象，其中段是双曲线的一部分．请根据图中信息解答下列问题：
（1）恒温系统在这天保持大棚内的温度的时间有 小时；
（2） ；
（3）当棚内温度不低于时，该蔬菜能够快速生长，则这天该蔬菜能够快速生长 小时．
4．（2022秋·贵州毕节·九年级期末）如图，D是矩形AOBC的对称中心，A(0,4)，B（6，0），若一个反比例函数的图象经过点D，交AC于点M，则点M的坐标为 .
5．（2022秋·贵州铜仁·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A和C分别在x轴、y轴的正半轴上，且AB∥y轴，AB＝4，△ABC的面积为2，将△ABC以点B为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DBE，一反比例函数图象恰好过点D时，则此反比例函数解析式是 ．
6．（2022秋·贵州铜仁·九年级期末）如图，在以点O为原点的直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于A、与y轴交于点B，点C在直线AB上，且OC=AB，反比例函数的图象经过点C，则所有可能的k值为 .
三、解答题
7．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期末）为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求这个函数的表达式；
(2)当气体体积为时，求气体压强的值；
(3)若注射器内气体的压强不能超过，则其体积V要控制在什么范围
8．（2022秋·贵州铜仁·九年级期末）近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的眼镜．近视眼镜的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的关系式为y＝．
(1)上述问题中，当x的值增大，y的值随之_______（填“增大”“减小”或“不变”）；
(2)根据y与x的关系式补全下表：
焦距x/m 0.1 0.2 ……
度数y/度 1000 400 ……
(3)小明原来佩戴400度近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦距调整为0.4m，则小明的眼镜度数下降了多少度？
9．（2022秋·贵州贵阳·九年级期末）某生物制药厂从2018年开始投入技术改造资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表：
年度 2018 2019 2020 2021
投入技改资金x（万元） 2.5 3 4 4.5
产品成本y（万元/件） 7.2 6 4.5 4
(1)请你从表中数据，结合所学一次函数和反比例函数，确定一个函数表示其变化规律，说明理由，并求出其函数表达式；
(2)按照这种变化规律，若2022年已投入资金5万元，打算在2022年把每件产品成本降低到3万元，求还需要投入多少技术改造资金．
10．（2022秋·贵州贵阳·九年级期末）在一次矿难事件的调查中发现，矿井内一氧化碳浓度和时间的关系如图所示：从零时起，井内空气中一氧化碳浓度达到，此后浓度呈直线增加，在第6小时达到最高值发生爆炸，之后与成反比例关系．请根据题中相关信息回答下列问题：
(1)求爆炸前后与的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；
(2)当空气中浓度上升到时，井下深处的矿工接到自动报警信号，若要在爆炸前撤离到地面，问他们的逃生速度至少要多少？
(3)矿工需要在空气中一氧化碳浓度下降到及以下时，才能回到矿井开展生产自救，则矿工至少要在爆炸多少小时后才能下井？
11．（2022秋·贵州铜仁·九年级期末）如图，反比例函数y=﹣与一次函数y=﹣x+2的图象交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求△AOB的面积．
12．（2022秋·贵州铜仁·九年级期末）近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列问题：
（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；
（2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？
（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？
13．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期末）已知反比例函数的图象的一支位于第一象限．
（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求的取值范围；
（2）如图，为坐标原点，点在该反比例函数位于第一象限的图象上，点与点关于轴对称，若的面积为6，求的值．
14．（2022秋·贵州铜仁·九年级期末）教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题：
(1)分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式；
(2)求出图中a的值；
(3)李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？
15．（2022秋·贵州贵阳·九年级期末）货轮从甲港往乙港运送货物，甲港的装货速度是每小时30吨，一共装了8小时，到达乙港后开始卸货，乙港卸货的速度是每小时吨，设卸货的时间是小时
（1）当是的函数时，求与之间的函数关系式；
（2）若卸货的速度是每小时40吨，求乙港卸完全部货物所需的时间；
（3）在（2）的条件下，当卸货时间在4小时的时候，问船上剩余货物是多少吨？
16．（2022秋·贵州贵阳·九年级统考期末）一个蓄水池装满了水，蓄水池的排水速度是排完水池中的水所用时间的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求出该蓄水池的蓄水量；
（2）若要在（包括和）将水池的水排完，请求出排水速度的范围．
17．（2022秋·贵州贵阳·九年级期末）工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过时，材料温度降为600℃．如图，煅烧时温度与时间成一次函数关系：锻造时，温度与时间成反比例函数关系。已知该材料初始温度是32℃．
（1）分别求出材料煅烧和锻造时与的函数关系式，并且写出自变量的取值范围；
（2）根据工艺要求，当材料温度低于400℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间最多有多长？．
（3）如果加工每个零件需要锻造12分钟，并且当材料温度低于400℃时，需要重新煅烧．通过计算说明加工第一个零件，一共需要多少分钟．
18．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期末）如图，已知反比例函数的图象与一次函数y＝ax＋b的图象交于M（2，m）和N（－1，－4）两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求△MON的面积；
（3）请判断点P（4，1）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由．
（4）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
19．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期末）（2013年四川绵阳12分）如图，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，双曲线（k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于E、F．
（1）若E是AB的中点，求F点的坐标；
（2）若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，证明△EGD∽△DCF，并求k的值．
参考答案：
1．A
【分析】根据题意有：xy=200；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x、y的实际意义有x、y应大于0．
【详解】解：∵xy=200
∴y= (x>0，y>0)
故选A．
【点睛】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
2．128
【分析】设反比例函数解析式为y＝ ，利用待定系数法求出k；根据x＜1得到关于y的不等式，求出y的取值范围即可．
【详解】解：由题意可以设y＝，
把（4，32）代入得：k＝128，
∴y＝（x＞0）．
∴x＝，
∵x＜1，
∴＜1，
∴y＞128，
∴面条总长度大于128cm．
故答案为：128．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数解析式，属于基础题目，根据图象找出函数图象经过的点的坐标是解题的关键．
3． 10 216 12.5
【分析】（1）根据图像即可直接读出；
（2）由段是双曲线的一部分，且点 ，将点B代入即可求解；
（3）温度在时处于曲线BC段，根据该反比例函数即可求出此时对应的时间，设倾斜线段解析式为 由点与点 求出解析式，再求出y=16时对应的时刻 这两个时刻间的时间即为所求．
【详解】（1）由图知，t = 12-2 =10（小时）
（2） 点在 上，
（3）把y=16代入，得
设（0，解得
把y=16代入 ，解得
该蔬菜能够快速生长的时长为13.5-1=12.5（小时）
【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的解析式与图像的综合运算根据图像上的点求出函数解析式是解题关键．
4．
【分析】如图，连接AB，作DE⊥OB于E，根据矩形是中心对称图形可得D是AB的中点，继而求出点D的坐标，D(3,2)，设反比例函数的解析式为，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，然后根据点MM的纵坐标和A的纵坐标相同，继而可求得点M的横坐标，由此即可得答案.
【详解】如图，连接AB，作DE⊥OB于E，
∴DE∥y轴，
∵D是矩形AOBC的中心，
∴D是AB的中点，
∴DE是△AOB的中位线，
∵OA=4，OB=6，
∴DE=OA=2，OE=OB=3，
∴D(3,2)，
设反比例函数的解析式为，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵AM∥x轴，
∴M的纵坐标和A的纵坐标相等为4，
把y=4代入，得4=，解得：x=，
∴M点的横坐标为，
∴点M的坐标为，
故答案为.
【点睛】本题考查了矩形的对称性，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的中位线等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.
5．y＝﹣．
【分析】先根据三角形的面积公式求得OA的长，得到点B的坐标，再根据旋转的性质得BD＝BA＝4，∠DBA＝90°，则BD∥x轴，再求出D点的坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数解析式．
【详解】解：∵AB∥y轴，AB＝4，△ABC的面积为2，
∴S△ABC＝AB OA＝×4×OA＝2OA＝2，
∴OA＝1，
∴B（1，4）．
∵将△ABC以点B为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DBE，
∴AB＝BD＝4，∠ABD＝90°，
∴DB∥x轴，
设DB与y轴交于点F，
∴DF＝DB﹣BF＝4﹣1＝3，
∴D（﹣3，4），
设反比例解析式为y＝，
∴k＝﹣3×4＝﹣12．
∴此反比例函数解析式是y＝﹣．
故答案为y＝﹣．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；再把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；接着解方程，求出待定系数；然后写出解析式．也考查了旋转的性质与三角形的面积．
6．或
【分析】根据一次函数的解析式，求出A、B两点的坐标，在Rt△AOB中，由勾股定理求出AB的长度，进而求出OC的长度，分两种情况判断点C在AB上的位置.
【详解】∵一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴令y=0，则x=2，即A（2，0）；令x=0，则y=1，即B（0，1）．
∴OA=2，OB=1，AB=．
∵OC=AB=，，
∴点C在线段AB上或在线段AB的延长线上．
①当点C在线段AB上时，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质，点C是线段AB的中点．
∴C1（1，）．
又∵反比例函数的图象经过点C，∴k=xy=1×=．
②当点C在线段AB的延长线上时，
如图，
设C2（x2，y2）则，
把（1）代入（3）并整理，得，解得或（舍去）．
把代入（1），得．
把，代入（2），得k=．
综上所述，符合条件的k的值是或．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的解析式.根据OC的长度，判断C在AB上的位置是解题的关键.
7．(1)
(2)气体压强为
(3)体积V应不少于
【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）把代入反比例函数解析式求解即可；
（3）把代入反比例函数解析式求解即可．
【详解】（1）解：设，
由图可得，反比例函数图象过，
，
解得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）当时，
，
∴气体压强为；
（3）当时，
，
解得，
∴体积V应不少于．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
8．(1)减小
(2)0.25；500
(3)小明的眼镜度数下降了150度
【分析】（1）根据反比例函数的图像和性质：，当k>0，x＞0时，y随x的增大而减小，所以应填“减小”；
（2）分别将x=0.2和y=400代入函数解析式计算即可；
（3）将x=0.4代入函数解析式算出新的眼镜度数，用原来的度数减去新的度数即可求出．
【详解】（1）∵y＝是反比例函数，系数k=100>0，函数图像在第一、三象限，
∴当x＞0时，函数值随x的增大而减小，
故答案为：减小；
（2）当x=0.2时，y＝=500；
当y=400时，，
所以补全表格如下：
焦距 0.1 0.2 0.25 …
度数y度 1000 500 400 …
（3）将代入，得．
度．
答：小明的眼镜度数下降了150度．
【点睛】本题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图像和性质以及已知自变量求函数值是解题的关键．
9．(1)反比例函数，理由见解析，y
(2)1万元
【分析】（1）利用已知数据可得横纵坐标的积为定值，可判断为反比例函数，利用待定系数法求解即可；
（2）利用所求函数解析式，当y＝3时求出x的值即可得出答案；
【详解】（1）解：反比例函数；
∵2.5×7.2=18，3×6=18，4×4.5=18，4.5×4=18，
两个变量的积一定，成反比例函数；
设反比例函数解析式为y，
把x=3，y=6代入得，
6，解得，k=18，
∴y与x的函数关系式是：y；
（2）解：当y＝3时，，解得x=6，
6-5=1（万元），
答：还需要投入1万元技术改造资金．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出反比例函数解析式是解题关键．
10．(1)，此时自变量的取值范围是
(2)
(3)9小时
【分析】（1）根据图象可以得到函数关系式，再由图象所经过点的坐标，求出与的值，然后得出函数式，从而求出自变量的取值范围．再由图象知过点，求出的值，再由函数式求出自变量的取值范围．
（2）结合以上关系式，当时，由得，从而求出撤离的最长时间，再由速度．
（3）由关系式知，时，，即可得出结果．
【详解】（1）解：爆炸前浓度呈直线型增加，
可设与的函数关系式为，
由图象知过点，，
，
解得，
，此时自变量的取值范围是，
爆炸后浓度成反比例下降，
可设与的函数关系式为．
由图象知过点，
，
，
，此时自变量的取值范围是；
（2）当时，由得：
，
解得，
撤离的最长时间为（小时）．
撤离的最小速度为；
（3）当时，
由得，，
（小时）．
矿工至少在爆炸后9小时才能下井．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，数形结合是解题的关键．
11．(1) A点坐标为（﹣2，4），B点坐标为（4，﹣2）；(2)6
【分析】（1）解方程组可得到A点坐标和B点坐标；
（2）先确定一次函数与y轴的交点D的坐标，然后根据S△AOB=S△AOD+S△BOD进行计算．
【详解】解：（1）解方程组得或．
所以A点坐标为（﹣2，4），B点坐标为（4，﹣2）；
（2）直线AB交y轴于点D，如图，
把x=0代入y=﹣x+2得y=2，
则D点坐标为（0，2），
所以S△AOB=S△AOD+S△BOD=×2×2+×2×4=6．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握两者的性质是解题的关键.
12．（1），自变量x的取值范围是x＞7；（2）撤离的最小速度为1.5km/h；（3）矿工至少在爆炸后73.5小时能才下井.
【详解】解：（1）因为爆炸前浓度呈直线型增加，
所以可设y与x的函数关系式为
由图象知过点（0，4）与（7，46）
∴. 解得,
∴,此时自变量的取值范围是0≤≤7.
(不取=0不扣分，=7可放在第二段函数中)
因为爆炸后浓度成反比例下降，
所以可设y与x的函数关系式为.
由图象知过点（7,46），
∴. ∴,
∴，此时自变量x的取值范围是x＞7.
（2）当=34时，由得,6x+4=34，x ="5" .
∴撤离的最长时间为7-5=2(小时).
∴撤离的最小速度为3÷2="1.5(km/h)"
(3)当=4时，由得, =80.5，80.5-7=73.5(小时).
∴矿工至少在爆炸后73.5小时能才下井
（1）因为爆炸前浓度呈直线型增加，所以可设y与x的函数关系式为
用待定系数法求得函数关系式，由图像得自变量的取值范围；因为爆炸后浓度成反比例下降，过点（7,46）即可求出函数关系式，由图像得自变量的取值范围．
（2）将=34代入一次函数求得时间，即可求得速度
（3）将=4代入反比例函数求得x,再减7求得
13．（1）；（2）
【分析】（1）根据反比例函数的图象是双曲线．当时，则图象在一、三象限，且双曲线是关于原点对称的；
（2）由对称性得到的面积为3．设、，则利用三角形的面积公式得到关于的方程，借助于方程来求的值．
【详解】解：（1）根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，且，则；
（2）点与点关于轴对称，若的面积为6，
的面积为3．
设，则
，
解得．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质、图象，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，解题的关键是根据题意得到的面积．
14．(1)当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝；
(2)a＝40；
(3)李老师要在7：38到7：50之间接水
【分析】（1）直接利用反比例函数解析式和一次函数解析式求法得出答案；
（2）利用（1）中所求解析式，当y＝20时，得出答案；
（3）当y＝40时，代入反比例函数解析式，结合水温的变化得出答案．
【详解】（1）当0≤x≤8时，设y＝k1x+b，
将（0，20），（8，100）的坐标分别代入y＝k1x+b得，
解得k1＝10，b＝20．
∴当0≤x≤8时，y＝10x+20．
当8＜x≤a时，设y＝，
将（8，100）的坐标代入y＝，
得k2＝800
∴当8＜x≤a时，y＝．
综上，当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝．
（2）将y＝20代入y＝，
解得x＝40，
即a＝40；
（3）当y＝40时，x＝＝20．
∴要想喝到不低于40℃的开水，x需满足8≤x≤20，
即李老师要在7：38到7：50之间接水．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．
15．（1）；（2）6小时；（3）80吨．
【分析】（1）根据总货量＝240吨，可得y与x成反比例关系，由此可得出关系式；
（2）将x＝40代入（1）中关系式，即可求得；
（3）先求出已经卸载的量，继而求出答案．
【详解】解：（1）总货量＝30×8＝240吨，
∴xy＝240，
∴；
（2）x＝40，代入，可得y＝6，
乙港的卸完全部货物的时间是6小时；
（3）∵x＝40，
即当卸货时间在4小时的时候共卸货4×40＝160吨．
∴船上剩余货物是240 160＝80（吨）．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，找准等量关系，列出函数表达式，是解题的关键．
16．（1）；（2）．
【分析】（1）根据蓄水池的排水速度×排水时间可得结论；
（2）运用待定系数法求出函数关系式，分别求出相应的函数值即可．
【详解】解：（1）由图可知当排完水池中的水所用时间时，排水速度，
∴该蓄水池的蓄水量为：
（2）设，将代入得，
∴
当时，；
当时，，
∴当时，．
【点睛】主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式．会用不等式解决实际问题．
17．（1），；（2）锻造一次操作时间为6分钟；（3）加工第一个零件一共需要分钟．
【分析】（1）锻造时，设，求出反比例函数解析式，当时，求出点B的坐标，然后设煅烧时一次函数为，代入点B坐标求出一次函数解析式，并求出一次函数和反比例函数自变量的取值范围；
（2）把代入反比例函数解析式，求出x的值再减去第6分钟开始锻造，即可得出答案；
（3）第一次锻造需要6分钟，第二次煅烧是从400℃煅烧到800℃，当时，代入一次函数解析式，求出煅烧的时间，即可求出加工第一个零件所需的时间．
【详解】(1)材料锻造时，设，由题意得，解得，
当时，，解得，
∴点的坐标为(6，800)，材料煅烧时，设，
由题意得，解得，
∴材料煅烧时，与的函数关系式为．
材料锻造时与的函数关系式为；
(2)把代入，得，
，即:锻造一次操作时间为6分钟．
(3)当时，，
∴锻造每个零件需要煅烧两次，第一次煅烧需要6分钟，第二次煅烧从400℃煅烧到800℃，
当时，代入，，用时，
∴加工第一个零件一共需要分钟．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，掌握好待定系数法，结合图形理解题意是解决本题的关键．
18．(1) y=,y=2x-2;(2)3;(3)在;理由见解析;(4) x＜-1或0＜x＜2
【分析】(1)把N的坐标代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式，把M的坐标代入求出M的坐标，把M、N的坐标代入一次函数y＝ax＋b即可求出一次函数的解析式；
（2）求出A的坐标，求出△AOM和△AON的面积，即可求出答案；
（3）把点P（4，1）代入反比例函数的解析式即可判断；
（4）根据函数的图象和M、N的坐标即可得出答案.
【详解】（1）∵把N（ 1， 4）代入y＝得：k＝4，
∴反比例函数的解析式是，
∵M（2，m）代入反比例函数得：m＝2，
∴N的坐标是（2，2），
把M、N的坐标代入一次函数y＝ax＋b得：
解得：
∴一次函数的解析式是y＝2x 2；
（2）∵把代入一次函数的解析式得：，
解得，
∴A（1，0），
△MON的面积S＝S△AOM＋S△AON＝；
（3）把代入得，y＝1，
∴点P（4，1）在这个反比例函数的图象上
（4）从图象可知：当反比例函数值大于一次函数值时的取值范围＜ 1或0＜＜2；
【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，用了数形结合思想．
19．（1）（4，1）；（2）证明见详解；k=3.
【详解】解：（1）四边形OABC为矩形，AB=OC=4，E是A的中点，
∴AE=2.
∵OA=2，点E坐标为(2，2).
∵点E在双曲线y=上，
∴k=2×2=4.
∵点F在直线BC及双曲线y=上，
∴设点F的坐标为（4，f），则f==1，
∴点F的坐标为（4，1）.
（2）①证明：∵△DEF是由△BEF沿EF对折得到的.
∴∠EDF=∠EBF=90°.
∵点D在直线OC上，
∴∠GDE+∠CDF=180°-∠EDF=180°-90°=90°
∵∠DGE=∠FCD=90°
∴∠GDE+∠GED=90°
∴∠CDF=∠GED
∴△EGD△DCF
②设点E的坐标为（a，2），点F的坐标为（4，b），
∵点E，F在双曲线y=上，
∴k=2a=4b，a=2b；
∴有点E（2b，2），
∴AE=2b，AB=4，ED=FB=4-2b，EG=OA=CB=2，CF=b，DF=BF=CB-CF=2-b，DC===2
∵△EGD△DCF，
∴点F（4，），
∴k=4×=3.
