第十二章 三角形 全等三角形的基本模型（含解析）

第十二章 三角形 习题课 全等三角形的基本模型
【知识网络】
【同步练习】
类型1 平移模型
此模型的特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，需要在移动方向上加(减)公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等．
1．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，∠A＝40°，∠F＝75°，则∠B＝ .
2．如图①，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)如图②，其他条件不变，△ABC≌△DEF还成立吗？试说明理由．
3. 如图，O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC.
(1)求证：△AOD≌△OBC；
(2)若∠D＝35°，求∠DOC的度数．
类型2 对称模型
所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等．
4．如图，已知，BD平分∠ABC和∠ADC，若AB＝3，则BC＝ .
5．如图，AC与BD相交于点O，AO＝DO，∠B＝∠C，AC＝8，则BD＝ .
6．如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O.求证：OB＝OC.
7．如图，AB＝AD，BC＝DC，点E在AC上．求证：
(1)AC平分∠BAD；
(2)BE＝DE.
类型3 旋转模型
8．如图，已知AE＝AD，AB＝AC，EC＝DB，下列结论：①∠C＝∠B；②∠D＝∠E；③∠EAD＝∠BAC；④∠B＝∠E.其中错误的是 (　　)
A．①② B．②③ C．③④ D．只有④
9．将两块全等的直角三角形如图①摆放，其中∠DCE＝∠ACB＝90°，∠D＝∠A.
(1)求证：AB⊥DE；
(2)将图中的△DCE绕点C顺时针旋转45°得到图②，AB、CD交于点N，DE、BC交于M.求证：CM＝CN.
10．复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ，CP，则BQ＝CP.”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ＝CP.之后，他将点P移到△ABC外，原题中其他条件不变，发现“BQ＝CP”仍然成立，请你就图②给出证明．
类型4 一线三等角模型
11．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为(－2，0)，点A的坐标为(－6，3)，则B点的坐标为 ．
12．(1)如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝CA，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E.求证：DE＝BD＋CE；
(2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝CA，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意钝角，请问结论DE＝BD＋CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
13．【2023惠州期中】在 中， ， ， ， 三点都在直线 上， .
（1）若 ，
①如图1，若 ，则 与 的数量关系为__________， 与 的数量关系为__________；
②如图2，猜想 ， 与 之间的数量关系并说明理由；
（2）如图3，若 ， ，点 在线段 上以 的速度由点 向点 运动，同时，点 在线段 上以 的速度由点 向点 运动，它们运动的时间为 ．是否存在 ，使得 与 全等？若存在，求出相应的 值；若不存在，请说明理由．
类型5 综合模型
平移＋旋转模型：
平移＋对称模型：
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD＝7，BE＝3.
(1)求证：△BEC≌△CDA；
(2)求△BDE的面积．
15．如图①，点A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF.
(1)求证：△AFC≌△DEB；
(2)如果将BD沿着AD边的方向平行移动至图②，③的位置时，其余条件不变，(1)中的结论是否依然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．
图① 图② 图③
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
参考答案
【同步练习】
类型1 平移模型
此模型的特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，需要在移动方向上加(减)公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等．
1．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，∠A＝40°，∠F＝75°，则∠B＝ .
【答案】65°
2．如图①，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)如图②，其他条件不变，△ABC≌△DEF还成立吗？试说明理由．
(1)证明：∵BE＝CF，∴BE＋CE＝CF＋EC，∴BC＝FE.在△ABC与△DEF中，∵AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF；　
(2)解：还成立．理由如下：∵BE＝CF，∴BE－CE＝CF－EC，∴BC＝FE.在△ABC与△DEF中，∵AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF.
3. 如图，O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC.
(1)求证：△AOD≌△OBC；
(2)若∠D＝35°，求∠DOC的度数．
解：(1)证明：∵O是线段AB的中点，∴AO＝OB.
∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠B.
在△AOD和△OBC中，
∴△AOD≌△OBC(SAS)．
(2)∵△AOD≌△OBC，∴∠D＝∠C＝35°.
∵OD∥BC，∴∠DOC＝∠C＝35°.
类型2 对称模型
所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等．
4．如图，已知，BD平分∠ABC和∠ADC，若AB＝3，则BC＝ .
【答案】3
5．如图，AC与BD相交于点O，AO＝DO，∠B＝∠C，AC＝8，则BD＝ .
【答案】8
6．如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O.求证：OB＝OC.
证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，，∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)，∴AB＝CD，∵∠AOB＝∠DOC，∠A＝∠D，∴△ABO≌△DCO(AAS)，∴OB＝OC.
7．如图，AB＝AD，BC＝DC，点E在AC上．求证：
(1)AC平分∠BAD；
(2)BE＝DE.
证明：(1)在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(SSS)．
∴∠BAC＝∠DAC.即AC平分∠BAD.
(2)由(1)知，∠BAE＝∠DAE.
在△BAE和△DAE中，
∴△BAE≌△DAE(SAS)．∴BE＝DE.
类型3 旋转模型
8．如图，已知AE＝AD，AB＝AC，EC＝DB，下列结论：①∠C＝∠B；②∠D＝∠E；③∠EAD＝∠BAC；④∠B＝∠E.其中错误的是 (　D　)
A．①② B．②③ C．③④ D．只有④
9．将两块全等的直角三角形如图①摆放，其中∠DCE＝∠ACB＝90°，∠D＝∠A.
(1)求证：AB⊥DE；
(2)将图中的△DCE绕点C顺时针旋转45°得到图②，AB、CD交于点N，DE、BC交于M.求证：CM＝CN.
证明：(1)延长AB交DE于点F，∵∠A＝∠D，∠CBA＝∠DBF，∴∠DFB＝∠ACB＝90°，∴AB⊥DE；　
(2)∵∠MCD＝∠NCA＝45°，∠A＝∠D，CD＝CA，∴△CMD≌△CNA(ASA)，∴CM＝CN.
10．复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ，CP，则BQ＝CP.”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ＝CP.之后，他将点P移到△ABC外，原题中其他条件不变，发现“BQ＝CP”仍然成立，请你就图②给出证明．
证明：∵∠QAP＝∠BAC，
∴∠QAP＋∠PAB＝∠PAB＋∠BAC，
即∠QAB＝∠PAC.
在△ABQ和△ACP中，
∴△ABQ≌△ACP(SAS)．∴BQ＝CP.
类型4 一线三等角模型
11．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为(－2，0)，点A的坐标为(－6，3)，则B点的坐标为 ．
【答案】(1，4)
12．(1)如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝CA，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E.求证：DE＝BD＋CE；
(2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝CA，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意钝角，请问结论DE＝BD＋CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
解：(1)证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°.
∴∠BAD＋∠ABD＝90°.
∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE.
在△ADB和△CEA中，
∴△ADB≌△CEA(AAS)．
∴BD＝AE，AD＝CE.
∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.
(2)结论DE＝BD＋CE成立．
证明：∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∠BAC＋∠CAE＝∠BDA＋∠ABD，
∴∠ABD＝∠CAE.
在△ADB和△CEA中，
∴△ADB≌△CEA(AAS)．
∴BD＝AE，AD＝CE.
∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.
13．【2023惠州期中】在 中， ， ， ， 三点都在直线 上， .
（1）若 ，
①如图1，若 ，则 与 的数量关系为__________， 与 的数量关系为__________；
【解析】 ， ， ，又 ， ， ， ， .
【答案】
②如图2，猜想 ， 与 之间的数量关系并说明理由；
解： .理由如下：
由（1）同理可得 ，
， ， .
（2）如图3，若 ， ，点 在线段 上以 的速度由点 向点 运动，同时，点 在线段 上以 的速度由点 向点 运动，它们运动的时间为 ．是否存在 ，使得 与 全等？若存在，求出相应的 值；若不存在，请说明理由．
解：存在.
当 时，
， ，
，此时 ；
当 时，
， ，
，此时 .综上，当 时， 或当 时， ．
类型5 综合模型
平移＋旋转模型：
平移＋对称模型：
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD＝7，BE＝3.
(1)求证：△BEC≌△CDA；
(2)求△BDE的面积．
(1)证明：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠ADC＝∠CEB，∠DAC＝∠ECB，∵AC＝BC，∴△BEC≌△CDA(AAS)；　
(2)解：由(1)得CD＝BE＝3，CE＝AD＝7，∴DE＝CE－CD＝4，∴S△BDE＝×3×4＝6.
15．如图①，点A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF.
(1)求证：△AFC≌△DEB；
(2)如果将BD沿着AD边的方向平行移动至图②，③的位置时，其余条件不变，(1)中的结论是否依然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．
图① 图② 图③
解：(1)证明：∵AB＝CD，
∴AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝BD.
∵DE∥AF，∴∠A＝∠D.
在△AFC和△DEB中，
∴△AFC≌△DEB(SAS)．
(2)在图②，③中结论依然成立．
证明：在图②中，∵DE∥AF，∴∠A＝∠D.
在△AFC和△DEB中，
∴△AFC≌△DEB(SAS)．
在图③中，∵AB＝CD，
∴AB－BC＝CD－BC，即AC＝BD.
∵AF∥DE，∴∠A＝∠D.
在△AFC和△DEB中，
∴△AFC≌△DEB(SAS)．