2023-2024学年安徽省皖江名校高三（上）开学摸底数学试卷（8月份）（含解析）

2023-2024学年安徽省皖江名校高三（上）开学摸底数学试卷（8月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则集合( )
A. B. C. D.
2. 复数满足，则( )
A. B. C. D.
3. 已知，则( )
A. B. C. D.
4. 在封闭的等边圆锥轴截面为等边三角形内放入一个球，若球的最大半径为，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
5. 已知函数为奇函数，则( )
A. B. C. D.
6. 分形几何是一门新兴学科，图是长度为的线段，将其三等分，以中间线段为边作无底边正三角形得到图，称为一次分形；同样把图的每一条线段重复上述操作得到图，称为二次分形；，则第次分形后图形长度为( )
A. B. C. D.
7. 已知椭圆的左右焦点分别为，，，为上两点，，若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8. 已知正方体的棱长为，，分别为棱，上的动点，则四面体的体积最大值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 甲乙两名射击运动员在一次射击测试中各射靶次，每次命中的环数如下：
甲
乙
则( )
A. 甲乙两人射击成绩的平均数相同 B. 甲乙两人射击成绩的中位数相同
C. 甲命中环数的极差大于乙命中环数的极差 D. 甲比乙射击成绩更稳定
10. 已知，，，，两点不重合，则( )
A. 的最大值为
B. 的最大值为
C. 若，最大值为
D. 若，最大值为
11. 已知为函数的极值点，则( )
参考数据：
A. 在上单调递减 B. 的极小值为
C. D.
12. 已知平行四边形中，，，，，分别为与的外接圆，上一点，则( )
A. ，两点之间的距离的最大值为
B. 若直线与，都相切，则直线的斜率为
C. 若直线过原点与相切，则直线被截得的弦长为
D. 的最大值为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 二项式展开式中的常数项为______ ．
14. 写出函数，的一个单调递增区间为______ ．
15. 过抛物线：的焦点的直线与交于、两点，且，为坐标原点，则的面积为______ ．
16. 已知函数既有极小值又有极大值，则实数的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，在中，角，，所对边长分别为，，，，满足．
求；
点在上，，，求．
18. 本小题分
已知数列满足，．
记，求证：数列是等比数列；
若，求．
19. 本小题分
为发展体育运动增强学生体质，甲乙两班各名同学进行羽毛球友谊赛，每人至多参加一场比赛，各场比赛互不影响，比赛胜者本班获得相应积分，负者班级积分为，其中甲班名参赛学生的情况如下表：
学生
获胜概率
获胜积分
若进行场比赛，求甲班至多获胜场的概率；
若进行场比赛，依据班级积分期望超过为参赛资格，请问甲班三人组合是否具有参赛资格？请说明理由．
20. 本小题分
在矩形中，，将沿折起至的位置，且．
求证：平面平面；
求二面角的正弦值．
21. 本小题分
已知双曲线：的离心率为，在上．
求双曲线的方程；
不经过点的直线与相交于，两点，且，求证：直线过定点．
22. 本小题分
已知函数，，若曲线与相切．
求函数的单调区间；
若曲线上存在两个不同点，关于轴的对称点均在图象上，
求实数的取值范围；
证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为集合或，
所以．
故选：．
先求解一元二次不等式得集合，再进行交集运算即可．
本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了集合思想，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，
故选：．
根据复数的基本运算法则进行化简即可．
本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，
所以，且，
所以，
即，，
所以．
故选：．
根据同角三角函数的基本关系求解．
本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意，圆锥的轴截面如图：
由于等边三角形的内切圆的圆心也是三角形的重心，所以圆锥的高为，
设底面半径为，由已知得，
故体积为．
故选：．
根据截面图中圆内切于正三角形，即可求出圆锥的底面半径和高，进而可解决其体积．
本题考查球、圆锥的体积计算，涉及圆锥的轴截面问题，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：
，
因为是奇函数，所以，
即，解得，
故．
故选：．
根据奇函数的知识求得，进而求得．
本题考查奇函数的性质，考查对数的运算，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：图的线段长度为，图的线段长度为，图的线段长度为，，
则一次分形长度为，二次分形长度为，，
则次分形后线段的长度为，
故次分形后长度为．
故选：．
由题意可知次分形后线段的长度为．
本题考查了归纳推理，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：已知椭圆的左右焦点分别为，，，为上两点，，
设，
则，，，，
又，
则，
即，
因此，，，
在中得：，
故，
所以．
故选：．
根据椭圆的焦点三角形，结合勾股定理即可求解．
本题考查了椭圆的性质，重点考查了椭圆离心率的求法，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：过点作交于，连接，，，
又
，又平面，且平面，
平面，
则，
设，，则，，
，
故四面体的体积
，
当时，其最大值为．
故选：．
作平行辅助线，借助线面平行关系，将所求几何体体积转化为，再利用等体积法转化为即可运算求解．
本题主要考查了线面平行的判定，考查了等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对，甲平均数为，乙平均数为，故A正确；
对，甲命中环数从小到大排列为，，，，，，，，，，中位数为，
乙命中环数从小到大排列为，，，，，，，，，，中位数为，故B正确；
对，甲的极差为，乙的极差为，故C正确；
对，甲的方差为：，乙的方差为：，
因为，故D错误．
故选：．
对，计算平均数判断即可；对，计算中位数判断即可；对，根据极差的定义判断即可；对，计算甲乙的方差判断即可．
本题主要考查了平均数、中位数、极差和方差的计算公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：选项，由已知，为单位圆上任意两点，
，，A正确；
选项，设为的中点，则，
由于，两点不重合，所以，
则，故B错误；
选项，当，，共线时，，故C错误；
选项，当，，共线时，
若，坐标分别为与或与时，
，两点重合，此时，
若，坐标不同时为与时，此时，
则，故，故D正确．
故选：．
选项，由几何意义可得，为单位圆上任意两点，从而得到；选项，取中点，得到，数形结合得到，进而求出；选项，；选项，分两种情况，得到．
本题考查坐标法表示平面向量及平面向量的运算，考查向量的几何意义，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：，由，故，
所以，，
此时，
令可得或，
令可得，
故在，上单调递增，在单调递减，
对，在上单调递增，在单调递减，故A错误；
对，极小值为，故B正确；
对，因为在单调递减，故，故C正确；
对，，故D正确．
故选：．
求导代入可得，再求导分析函数的单调性与极值即可．
本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：在平行四边形中，，，，
所以，设，则，所以，解得，
所以，，所以，所以，则，
所以，，，
所以的方程为：，的方程为：，
则，所以，两点之间的距离的最大值为，故A错误．
由已知，故直线的斜率为，所以B正确．
当斜率为时，直线被截得的弦长为，
当斜率不为时，直线被截得的弦长不为，故C错误．
显然与相切，当与相切不与重合时，最大，此时，
所以，所以D正确．
故选：．
首先求出点坐标，再根据，即可得到，从而求出、的方程，再一一判断即可．
本题考查直线与圆的位置关系，考查两点间的距离，考查运算求解能力，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：二项式展开式中的通项公式为，
令，求得，故展开式中的常数项为，
故答案为：．
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．
14.【答案】，或，等
【解析】解：因为，
所以为偶函数，
当时，，
当时，，
故在上单调递增，同理可得在上单调递减，
由对称性可知在上单调递增．
故答案为：，或，等．
根据函数的奇偶性以及正弦型函数的单调区间公式得出结果．
本题考查正弦函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：易知，抛物线的焦点为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，
联立可得，则，
故，，
又，即，即，
所以，，可得，，
解得．
此时，
又因为原点到直线的距离为，
故的面积为．
故答案为：．
分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，由，可得出，结合韦达定理求出的值，求出以及原点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得的面积．
本题主要考查抛物线简单性质的应用，考查向量的应用以及计算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：，
函数既有极小值又有极大值，
则在上有两个不等的实数根，
即有两个不等的实数根，
所以有两个不等的实数根，
所以有两个不等的实数根，
令，，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
，当时，，
故，解得．
故答案为：．
函数既有极小值又有极大值，则有两个不相等的实数根，进而分离参数，通过分析函数的单调性及最值，即可求出的取值范围．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．
17.【答案】解：由已知及正弦定理得：，即，
由余弦定理得：，
又，所以，
故，
所以；
由知，又，
所以，，
所以，
在中，由正弦定理得：，
所以．
【解析】由正余弦定理可求出，利用两角差的正弦公式求解；
在中，由正弦定理求解即可得解．
本题考查利用正余弦定理和和差角公式解三角形，属于中档题．
18.【答案】证明：由题意，当时，，
当时，，
两边同时加，
可得，
，
数列是以为首项，为公比的等比数列．
解：由可得，，
则，，
，
设数列的前项和为，
则
，
．
【解析】先将代入题干表达式计算出的值，当时，根据并结合题干中递推公式进行推导即可发现数列是以为首项，为公比的等比数列，从而证得结论成立；
先根据第题的结果计算出等比数列的通项公式，进一步计算出数列的通项公式，再求时运用分组求和法，并根据题干中递推公式与转化为数列的求和的问题，然后设数列的前项和为，通过计算出的表达式，进一步推导即可计算出的结果．
本题主要考查等比数列的判定，以及数列求和问题．考查了分类讨论思想，整体思想，转化与化归思想，分组求和法，等比数列的求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
19.【答案】解：记，，，，参赛获胜事件分别用，，，，表示，
场全胜的概率为：，
甲班至多获胜场与场全胜为对立事件，
故甲班至多获胜场的概率为，
故甲班至多获胜场的概率为；
记三人组合班级得分为，的取值分别为，，，，，，，，由已知得：
，，
，，
，，
，，
，
因为，
所以三人组合具有参赛资格．
【解析】记，，，，参赛获胜事件分别用，，，，表示，由相互独立事件的概率乘法公式求出场全胜的概率为：，又甲班至多获胜场与场全胜为对立事件，即可求解；
记三人组合班级得分为，的取值分别为，，，，，，，，求出对应的概率，即可求出期望．
本题考查古典概率模型及离散型随机变量的期望，属中档题．
20.【答案】解：证明：在矩形中，，将沿折起至的位置，且，
由已知可得，，，
在中，，，
又，且，平面，平面，平面，
因为，所以平面平面；
取、的中点、，连接，，
因为，所以，
由知：平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
设平面的法向量为，，，
，，故，
取，，，则，
又平面的法向量为，．
设二面角的二面角为，则，
所以二面角的正弦值为．
【解析】在中，利用勾股定理证得，然后利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证得结论；
取、的中点、，建立空间直角坐标系，写出个点坐标及向量坐标，利用空间向量数量积公式求得平面的法向量，然后结合空间向量的夹角公式求得结果．
本题考查线面垂直、面面垂直的判定与性质、二面角的定义及其正弦值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21.【答案】解：由在上，可得，
由双曲线的离心率为，可得，
又，
解方程可得，，，
故双曲线的方程为；
证明：设直线的方程为，与：联立，
整理得，由已知．
设，，则，，
由得：，
由联立得：，即，
由已知不经过点，故，所以，故，
：，过定点，
当轴时，设，，解得，满足条件．
故直线过定点．
【解析】由双曲线的离心率公式和点满足双曲线的方程，求得，，可得双曲线的方程；
设直线的方程为，与双曲线的方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理推得，再由直线恒过定点求法，可得证明．
本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：设曲线与的切点坐标为，
由，得，
切线方程为：，
即，
又切线方程为，
，且，
设，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
，
由可得，代入，得，
，，
递减区间为，递增区间为；
由知，故，，
，关于轴的对称点为，，
由已知得：，，
即有两个不等的实根，，
令，
直线与曲线有两个不同交点，
则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，
又当趋于时，趋于；
当趋于时，趋于，且，
实数的取值范围是；
证明：不妨设，要证明，即证，
当时，单调递减，
只需证，
又，即证明，
令，
，
，故，故F，在单调递减，
，
故F，即，
．
【解析】设切点坐标为，由题意可得切线方程为，由切线方程为，可得，于是有，利用导数求即要求出函数的单调区间；
由题意可得，关于轴的对称点为，，即可得有两个不等的实根，，令，利用导数求出的最小值即可得答案；
不妨设，要证明，即证，转化为证明，又，即证明，令，利用导数证明即可．
本题考查了导数的综合运用、几何意义及转化思想，属于难题．
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