【核心素养目标】人教版数学八年级上册第12章全等三角形 教案
文档属性
| 名称 | 【核心素养目标】人教版数学八年级上册第12章全等三角形 教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 734.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-24 12:47:35 | ||
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文档简介
第十二章 全等三角形
单元教学设计
◎课标要求
1. 通过观察、实验、归纳、类比、推断获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性。
2. 在教学中，注重所学内容与现实生活的联系；注重学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程。
3. 了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件；掌握两个全等三角形对应边相等、对应角相等的性质；能够画已知角的平分线并掌握角平分线的相关性质。
◎知识框图
◎教材教法
【教材分析】
学生已经学过线段、角、相交线、平行线以及三角形的有关知识，为学习全等三角形的有关内容做了充分的准备。通过本章的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识。全等三角形是研究图形的重要工具，学生只有掌握了全等三角形的相关知识，并且能灵活地运用它，才能学好后面的四边形。在本章中，全等三角形的判定既是重点，也是难点，同时也是中考时常考的热点。全等三角形在中考中主要考察全等三角形的判定；并会将有关知识应用到综合题的解题过程中去，如把某些问题转化为三角形的问题求解；能从复杂的图形中寻求全等三角形获得自己需要的信息也是中考的重要考点。
【教法建议】
教学全等三角形时，要引导学生正确分类，能根据所给数据画出三角形，通过比较，直观感知全等三角形的判定方法，同时也要让学生能通过说理确认全等三角形的判定方法的正确性。在证明的过程中要指导学生注意规范书写格式，规范推理过程，让学生的推理过程有理有据。同时要注重分析思路，让学生学会思考问题，让学生学会对问题有清晰的思考过程，有必要养成固定的思考过程模式：如：证等角——全等三角形——找到相关三角形——找全等条件——联系已知条件。角的平分线是全等三角形的应用的延续，但它又是全等方法之外获得等角或等线段的新方法，本章应注意引导学生避免证明题时重复证明定理，要学会直接用定理解决问题，简化证明过程。让学生体会逻辑推理的方法，进一步探索图形的属性。
◎学情学法
【学情分析】
三角形是最基本的平面图形，三角形全等的判定方法是对两个三角形的形状、大小关系的深入研究。本章内容是以前各章中数学说理与逻辑推理的继续，是对几何推理格式的进一步加强。通过本章的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学习其他图形知识打好基础。然而由于学生在识别能力上的不足，教材要求学生会确定全等三角形的对应元素也就成了学生有待突破的难点。
【学情建议】
全等三角形判定方法的研究，要注意具体操作与理论相结合，通过“画一画”“比一比”，类比观察，得到全等三角形的判定方法。要掌握判定三角形全等的条件中必须有一个元素“有一组边对应相等”。要利用小组合作学习的方法，主动探索，发现规律，归纳概括，形成能力。在证明的过程中药注意推理的逻辑性，书写格式的规范化，要做到思维清晰，有理有据，言简意赅。
◎课时安排
12.1全等三角形 1课时
12.2三角形全等的判定 4课时
12.3 角的平分线的性质 2课
第十二章 全等三角形
12.1 全等三角形
教学设计
课题 12.1 全等三角形 授课人
素养目标 教学目标 (2022新课标)理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角．2．理解全等三角形的性质.通过平移、翻折和旋转一个三角形等活动，发现、感知两个全等三角形的特征，学会判断对应元素的方法．3.会用数学语言表达全等三角形的性质.4.会用全等三角形的性质解决实际生活中的问题. 核心素养 抽象能力 几何直观
空间观念 模型观念
教学重点 1.了解全等形、全等三角形的概念及全等三角形的对应元素．2.理解并掌握全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等．
教学难点 理解全等三角形边、角之间的对应关系.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、情境导入
出示图片，观察下列图形，它们的形状、大小有什么关系？
提出问题，图中三幅照片里面的图形的形状、大小相同吗？放在一起能完全重合吗？
学生观察思考、相互交流．
操作并交流：将两张纸重叠在一起，剪出两张三角形，观察它们的特征，你有何发现？
学生先进行剪纸操作活动，然后观察思考，再与同学合作交流．
讨论交流：同学们，像上述这样“一模一样”的例子，生活还有许多，你能再举出一些例子吗？
学生活动：分组讨论交流．
教师点拨：像这种“一模一样”的两个图形，我们称为全等形，本节课我们就来学习和研究全等形的有关知识．
二、探究新知
探究点1 全等形的概念
通过讨论发现：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合．能够完全重合的两个图形叫做全等形．
探究点2 全等三角形的概念
同学们能够根据全等形的定义给全等三角形也下一个定义吗？
师生共同总结：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
如下图，△ABC与△DEF完全重合(PPT演示重合过程)．
这时，点A与点D重合．点B与点E重合，我们把这样互相重合的一对点叫做对应顶点；AB边与DE边重合，这样互相重合的边就叫做对应边；∠A与∠D重合，它们就是对应角．△ABC与△DEF全等，我们把它记作“△ABC≌△DEF”．读作“△ABC全等于△DEF”．
注意：记两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上.
问题：你能找出其他的对应点、对应边和对应角吗？
点C与点F是对应点；BC边与EF边是对应边，CA边与FD边也是对应边；
∠B与∠E是对应角，∠C与∠F也是对应角．
在全等三角形中找对应元素的方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角也是对应角．
探究点3 全等三角形的性质
1.如图，把△ABC沿直线BC平移，得到△DEF，△ABC≌△DEF.教师提问：△ABC≌△DEF ，那么对应边有什么关系？对应角呢？
2.如图，把△ABC沿直线BC翻折180°，得到△DBC，△ABC≌△DBC.要求学生说出图中的对应顶点，对应边、对应角．
学生回答：
对应顶点：点A和点D, 点B和点B, 点C和点C ；
对应角：∠A与∠D，∠ABC与∠DBC，∠ACB与∠DCB；
对应边：AB与DB，AC与DC，BC与BC.
3.如图，把△ABC绕点A旋转，得到△ADE.各图中的两个三角形全等吗？△ABC≌△ADE
结论：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等．
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
三、典例精析
例1 下列四组图形中，与如图图形全等的是B
A B C D
方法总结：判断两个图形是不是全等形，可以通过平移、翻折、旋转等方法，将两个图形叠合起来观察，看其是否能完全重合，有时还可以借助网格背景来观察比较．
例2 (教材第33页习题T1)如图，，和，和是对应边．写出其他对应边及对应角．
解：∵△ABC≌△CDA，
∴其他对应边：AC和CA．对应角：∠BAC和∠DCA，∠B和∠D，∠ACB和∠CAD．
【变式训练】如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度数和CF的长．
解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，
∴∠DEF＝∠B＝50°，BC＝EF＝7，
∴CF＝BC－BF＝7－4＝3.
方法总结：本题主要是考查运用全等三角形的性质求角的度数和线段的长，解决问题的关键是准确识别图形．
2.如图，已知，和是对应角，和是对应边，．
(1)写出其他对应边及对应角；
(2)判断与的位置关系，并说明理由．
(3)求的长．
解：（1）和是对应角， 和是对应角，和是对应边，和是对应边．
（2），理由如下：
∵，∴，∴．
（3）∵
∴
∵
∴,即,解得．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p18练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1．全等形的定义．
2．全等三角形的性质．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳全等形、全等三角形的概念及全等三角形的性质．
六、作业布置
《课时训练》p21—p22练习题
七、教学反思
12.2 三角形全等的判定
第1课时 用“SSS”判定三角形全等
教学设计
课题 12.2 第1课时 用“SSS”判定三角形全等 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等．能初步应用“SSS”条件判定两个三角形全等.2．(2022新课标)能用尺规作图：作一个角等于已知角；已知三边作三角形．3．能灵活运用全等三角形的性质解决线段或角相等的问题．会用归纳推理的数学思维探究三角形全等的条件. 核心素养 几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
教学重点 1.了解三角形的稳定性，会应用“边边边”判定两个三角形全等．2.经历探索“边边边”判定全等三角形的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
教学难点 在复杂的图形中进行三角形全等条件的分析和探索．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、复习导入
通过前面的学习，我们知道完全重合的两个三角形全等．
已知△ABC≌△DEF，你能得到哪些结论？
教师引导学生回答：对应边相等，对应角相等．
如图，已知△ABC≌△A′B′C′，你能找出其中相等的边与角吗？
图中相等的边：AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′；
相等的角：∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′．
通过上例我们知道符合三个角、三条边均对应相等的两个三角形是全等三角形．那么是否一定需要六个条件才能判定两个三角形全等呢？满足上述六个条件中的一部分能否保证两个三角形全等呢？
二、探究新知
探究点 用“SSS”判定三角形全等
1.任意画一个△ABC，再画△A′B′C′，使△ABC 与△A′B′C′ 满足上述六个条件中的一个或两个，你画的△ABC与△A′B′C′一定全等吗？试一试．
只给定一条边时：
只给定一个角时：
2.教师引导学生分别从“角”和“边”的角度分析一个条件、两个条件各有几种情况．
教师引导学生共同完成一个条件的情况的探究，然后指导学生分组操作．
分别按下列条件做一做．
①三角形一内角为30°，一条边为3cm．
②三角形两内角分别为30°和50°．
③三角形两条边分别为4cm、6cm．
学生分组讨论、探索、归纳，给出的两个条件可能是：一边一内角、两内角、两边．
结论：只给出一个或两个条件时，不能保证所画的两个三角形一定全等．
3.满足上述条件中的三个条件，能保证△ABC与△A′B′C′全等吗？我们可以分情况讨论有哪几种情况？
交流探讨归纳：有四种可能，即：三内角、三条边、两边一内角、两内有一边．
在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．下面我们就来逐一探索其余的三种情况．
探究两个三角形三边分别对应相等的这种情况：先任意画一个△ABC，再画△A′B′C′，使 AB＝A′B′，BC＝B′C′，CA＝C′A′.
你能画出满足上述条件的△A′B′C′吗？应该怎样画呢？
在画图中，教师可以先让学生试着画图，再让学生发现存在的问题，最后给出正确的画法．
把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们能重合吗？
师生活动：在思考、实践的基础上可以归纳出判定两个三角形全等的方法：三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)．
三、典例精析
例1 (教材第36页例1)在如图所示的三角形钢架中，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架．求证：△ABD≌△ACD.
证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(SSS)．
【变式训练】1.如图，AB＝DE，AC＝DF，点E、C在直线BF上，且BE＝CF.求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝EC＋CF，即BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
∵
∴△ABC≌△DEF(SSS)．
方法总结：判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
2.如图，已知AB＝CD，DA＝BC.求证：AD∥BC.
证明：连接BD，在△ABD和△CDB中，
∴△ABD≌△CDB(SSS)．
∴∠A＝∠C，∴AD∥BC.
例2(教材第36页作图) 已知：∠AOB.求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.
作法：(1)如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D.
(2)画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′.
(3)以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相较于点D′.
(4)过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB.
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p20练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1．三边分别相等的两个三角形全等．简记为“边边边”或“SSS”．
2．已知一个角，用尺规做一个相等的角．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳用“边边边”证明三角形全等，应用三角形全等的性质．
六、作业布置
《课时训练》p23—p24练习题
七、教学反思
12.2 三角形全等的判定
第2课时 用“SAS”判定三角形全等
教学设计
课题 12.2 第2课时 用“SAS”判定三角形全等 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．能初步应用“SAS”条件判定两个三角形全等.2．(2022新课标)能用尺规作图：已知两边及其夹角作三角形．3．能灵活运用“SAS”判定三角形全等的性质解决线段或角相等的问题及生活实际中的问题. 核心素养 几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
教学重点 1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“边角边”．2．能运用“边角边”判定方法解决有关问题．
教学难点 “边角边”判定方法的探究以及适合“边角边”判定方法的条件的寻找．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、情境导入
小刚到小名家去玩，发现小名正拿着一只玻璃容器苦思冥想，原来他想测量一下它的内径是多少，但是无法将刻度尺伸进去直接测量．小刚帮他想出一个办法：把两根长度相等的小木条AB，CD的中点连在一起，木条可以绕中点O自由转动，如下图所示，这样只要测量A，C之间的距离，就可以知道玻璃容器的内径．你想知道为什么吗？
二、探究新知
探究点1 用“SAS”判定两个三角形全等
1．教师画一个△ABC.然后要求画一个△A′B′C′，使AB＝A′B′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′.
学生按要求讨论画法，按要求画图。
(1)把画好的三角形剪下和原三角形重叠，观察能重合在一起吗？
(2)上面的探究说明什么规律？
判定两个三角形全等：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．
探究点2 “边边角”不能作为判定三角形全等的依据
1.如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.这个实验说明了什么？
2．画△ABC和△DEF，使∠B＝∠E＝30°，AB＝DE＝5 cm，AC＝DF＝3 cm.观察所得的两个三角形是否全等？
解：如图．
观察所得的两个三角形是否全等？把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，
发现：两边和其中一边的对角这三个条件无法唯一确定三角形的形状，所以不能保证两个三角形全等．因此，△ABC和△DEF不一定全等．
方法归纳：应用“SAS”证明两个三角形全等的“两点注意”：
(1)对应：“SAS”包含“边”“角”两种元素，一定要注意元素的“对应”关系．
(2)顺序：在应用时一定要按边、角、边的顺序排列条件，不能出现边、边、角(或角、边、边)的错误，因为边边角(或角边边)不能保证两个三角形全等．
三、典例精析
例1 (教材第38页例2)如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B.连接AC并延长到点D，使CD＝CA.连接BC并延长到点E，使CE＝CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？
分析：如果能证明△ABC≌△DEC，就可以得出AB＝DE.由题意可知，△ABC和△DEC具备“边角边”的条件．
证明：在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC(SAS)．
∴AB＝DE.
【变式训练】1.如图，A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC.求证：△AEF≌△BCD.
证明：∵AE∥BC，∴∠A＝∠B.∵AD＝BF，∴AF＝BD.
在△AEF和△BCD中，∵
∴△AEF≌△BCD(SAS)．
方法总结：判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
2.已知：如图，BC∥EF，BC＝BE，AB＝FB，∠1＝∠2，若∠1＝45°，求∠C的度数．
解：∵∠1＝∠2，
∴∠ABC＝∠FBE.在△ABC和△FBE中，
∴△ABC≌△FBE(SAS)，
∴∠C＝∠BEF.
∵BC∥EF，
∴∠C＝∠BEF＝∠1＝45°.
方法总结：全等三角形是证明线段和角相等的重要工具．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p22练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．
2．“SSA”不能判定两个三角形全等．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳用“边角边”证明三角形全等以及“SSA”不能判定两个三角形全等．
六、作业布置
《课时训练》p25—p26练习题
七、教学反思
12.2 三角形全等的判定
第3课时 用“ASA”与“AAS”判定三角形全等
教学设计
课题 12.2 第3课时 用“ASA”与“AAS”判定三角形全等 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．2．(2022新课标)证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．3．(2022新课标)能用尺规作图：已知两角及其夹边作三角形．4．能灵活运用全等三角形的性质解决线段或角相等的问题． 核心素养 几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
教学重点 1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“角边角”，“角角边”．2．能运用“角边角”“角角边”判定方法解决有关问题．
教学难点 “角边角”和“角角边”判定方法的探究以及适合“角边角”判定方法的条件的寻找．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、情境导入
如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？
学生活动：学生先自主探究出答案，然后再与同学进行交流．
教师点拨：显然仅仅带①或②是无法配成完全一样的玻璃的，而仅仅带③则可以，为什么呢？本节课我们继续研究三角形全等的判定方法．
二、探究新知
探究点1 用“ASA” 判定两个三角形全等
1．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)
教师提问：三角形中已知两角一边有几种可能？
学生回答：(1)两角和它们的夹边；(2)两角和其中一角的对边．
做一做：三角形的两个内角分别是50°和70°，它们的夹边为5 cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等的，你能得出什么规律？
学生活动：自己动手操作，然后与同伴交流，发现规律．
教师活动：检查指导，帮助有困难的同学．
活动结果展示：以小组为单位将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等．
提炼规律：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”)，
教师提问：我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形ABC，能不能作一个△A′B′C′，使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢？
①先用量角器量出∠A与∠B的度数，再用直尺量出AB的边长．
②画线段A′B′，使A′B′=AB．
③分别以A′、B′为顶点，A′B′为一边作∠DA′B′、∠EB′A，使∠D′AB=∠CAB，∠EB′A′=∠CBA．
④射线A′D与B′E交于一点，记为C′
即可得到△A′B′C′．将△A′B′C′与△ABC重叠，发现两三角形全等．
总结：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)．
探究点2 用“AAS” 判定两个三角形全等
思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定．我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？
1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)
教师提问：如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，△ABC与△DEF全等吗？
教师适时引导：运用三角形内角和定理以及“ASA”便能证出△ABC≌△DEF，
证明：∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°
∠A=∠D，∠B=∠E
∴∠A+∠B=∠D+∠E∴∠C=∠F
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
学生活动：先让学生独立完成，对于有困难的学生给予指导和鼓励．
最后归纳：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)．
三、典例精析
例1 (教材第40页例3)如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.求证：AD＝AE.
证明：在△ACD和△ABE中，
∴△ACD≌△ABE(ASA)．
∴AD＝AE.
【变式训练】1.如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，求证：AD=CB.
证明：∵AD∥BC，BE∥DF，∴∠A＝∠C，∠DFE＝∠BEC.
∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.
在△ADF和△CBE中，∵
∴△ADF≌△CBE(ASA)，
∴AD=CB．
方法总结：在“ASA”中，包含“边”和“角”两种元素，是两角夹一边而不是两角及一角的对边对应相等，应用时要注意区分；在“ASA”中，“边”必须是“两角的夹边”．
例2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，且BC＝ED.求证：△ADE≌△ACB
证明：∵ED⊥AB，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°.
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED(AAS)．
方法总结：在“AAS”中，“边”是“其中一个角的对边”．
【变式训练】如图，∠ACB＝∠B＝90°，点E在BC上，过点C作CF⊥AE于点F，延长CF交BD于点D，且CD＝AE.求证：AC＝BC.
证明：∵∠ACB＝90°，CF⊥AE.
∴∠ACF＋∠BCD＝∠ACF＋∠CAF＝90°.
∴∠BCD＝∠CAF，
即∠CAE＝∠BCD.
在△ACE和△CBD中，
∴△ACE≌△CBD(AAS)．
∴AC＝BC.
方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p24练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．
2.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．
3.三角形全等是证明线段相等或角相等的常用方法．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳用“ASA”或“AAS”证明三角形全等．
六、作业布置
《课时训练》p27—p28练习题
七、教学反思
12.2 三角形全等的判定
第4课时 用“HL”判定三角形全等
教学设计
课题 12.2 第4课时 用“ASA”与“AAS”判定三角形全等 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理．能初步应用“斜边、直角边”条件判定两个直角三角形全等.使学生经历探索直角三角形全等的过程，体验用操作、归纳得出数学结论的过程，发展数学思维.2．(2022新课标)能用尺规作图：已知一直角边和斜边作直角三角形．3．能灵活运用全等三角形的性质解决线段或角相等的问题． 核心素养 几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
教学重点 理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”．
教学难点 经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方法解决有关问题．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、复习导入
提问：以前学习的判定两个三角形全等的条件有哪些 结论：SSS、SAS、AAS、ASA
根据这些条件，对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了
今天我们就来探究两个直角三角形全等的条件．
二、探究新知
探究点1 用“HL” 判定两个三角形全等
问题1：两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
问题2：两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
问题3：两个直角三角形中，有一条直角边和斜边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
任意画出一个Rt△ABC，使∠C＝90°.再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB.把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们全等吗？
师生活动：先让学生画图分析，寻找规律．教师适时引导．
作法：
(1)画∠MC′N＝90°；
(2)在射线C′M上截取B′C′＝BC；
(3)以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′；
(4)连接A′B′.
则△A′B′C′即为所求作的三角形(如下图)．
总结： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)
三、典例精析
例1 (教材第42页例5)如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD.求证：BC＝AD.
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C与∠D都是直角．
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．
∴BC＝AD.
方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
【变式训练】1.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2.
证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B＝∠D＝90°，∴△ABC与△ACD为直角三角形．
在Rt△ABC和Rt△ADC中，∵
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，
∴∠1＝∠2.
方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．
2. 如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.
证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．
∴CD＝EF.
∵AD＝AF，AB＝AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．
∴BD＝BF.
∴BD－CD＝BF－EF，
∴BC＝BE.
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p26练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．．
2．证明两个直角三角形全等的常用方法．
3. 寻找未知的等边或等角时，常考虑转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳用“HL”或以前学过的其他方法证明三角形全等．
六、作业布置
《课时训练》p29—p30练习题
七、教学反思
12.3 角的平分线的性质
第1课时 角的平分线的性质
教学设计
课题 12.3 第1课时 角的平分线的性质 授课人
素养目标 教学目标 (2022新课标)能用尺规作图：作一个角的平分线．2．(2022新课标)探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．3．掌握角的平分线的性质，会应用角的平分线的性质解决相关问题．4.通过探索角平分线的性质的过程，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情. 核心素养 几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
教学重点 经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理．
教学难点 能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、情境导入
问题1：怎样将纸片上的角分为两个相等的角呢？
师生活动：学生可能用量角器，也可能用折纸的方法。
问题2：除了用上述方法还有其他方法找到他的角平分线吗？
如图，是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？
二、探究新知
探究点1 角平分线的作法
这种平分角的方法告诉我一种作已知角平分线的方法。自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．
作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB.
求作：∠AOB的平分线．
作法：
(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N.
(2)分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
(3)画射线OC，射线OC即为所求(如下图)．
问题1：在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗？
去掉“大于MN的长”这个条件，所画的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．
问题2：第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？
若分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．
问题3：你从的平分角的仪器中得到了什么启示？
角的平分线的画法，明确作图的理论依据是根据三角形全等的条件“SSS”．
探究点2 角平分线的性质
1．将准备好的∠AOB按如图所示的方式折叠，折出如图所示的折痕PD，PE，量一量PD，PE的长度，你有什么发现？
猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等．
师生活动：学生动手操作，分组讨论，教师适时引导学生得出结论．
1. 证明角平分线的性质．
我们要证明一个命题时，按照以下步骤进行，即：
(1) 明确命题中的已知和求证；
已知:一个点在一个角的平分线上.
结论:这个点到这个角两边的距离相等.
(2) 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E.
求证: PD=PE.
(3)经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥ OB (已知)
∴ ∠PDO= ∠PEO=90°(垂直的定义)
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO（已证）
∠AOC= ∠BOC （已证）
OP=OP （公共边）
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
3．几何语言
∵点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E.（已知）
∴PD＝PE.（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
三、典例精析
例1 在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.AD是△ABC的角平分线，求证：BE＝CF.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE＝DF.
∵AD是BC边的中线，∴BD＝CD.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．
∴BE＝CF.
【变式训练】1.如图，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.
证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，
∴DE＝DF.
在Rt△CDE和Rt△CDF中，
∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，
∴CE＝CF.
方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．
例2 已知△ABC，在△ABC中作出∠ABC的平分线BD，要求尺规作图．(不写作法，保留作图痕迹)
解：线段BD即为所求．
【变式训练】如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.若∠ACD＝120°，求∠MAB的度数．
解：∵AB∥CD，
∴∠ACD＋∠CAB＝180°，
∵∠ACD＝120°，∴∠CAB＝60°，由作法知，AM是∠CAB的平分线，
∴∠MAB＝∠CAB＝30°.
方法总结：通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM是∠BAC的角平分线是解题的关键．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p28练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1．角平分线的作法.
2．角平分线的性质.
3．角平分线性质的应用．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳角平分线的作法和角平分线的性质．
六、作业布置
《课时训练》p31—p32练习题
七、教学反思
12.3 角的平分线的性质
第2课时 角的平分线的判定
教学设计
课题 12.3 第2课时 角的平分线的判定 授课人
素养目标 教学目标 1.(2022新课标)探索并证明角平分线的性质定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．2.会应用角的平分线的性质和判定解决相关问题．3.通过作三角形的角平分线，了解三条角平分线交于一点的事实．4.通过探索角的平分线的判定定理的过程，提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力. 核心素养 几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
教学重点 角的平分线的判定的证明及运用.
教学难点 灵活应用角的平分线的性质和判定解决问题.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、情境导入
新疆考古团队近日在斯皮尔古城及周边发现迄今为止最早的园林之城．如图，某考古队为进行研究，寻找一座古城遗址．根据资料记载，该城在森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是3000m.根据这些资料，考古队很快找到了这座古城的遗址．你能运用学过的知识在图中合理地标出古城遗址的位置吗？请你试一试．(比例尺为1∶100000)
二、探究新知
探究点 角平分线的判定
问题1：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500 m，这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1∶20 000)
问题2：交换角的平分线的性质中的条件和结论，你能得到什么命题，这个新命题成立吗？
问题3：请试着证明这个命题．(提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明)
师生活动：学生根据自学要求独立操作，然后互相交流各自的结论．抽一小组进行展讲，其他各小组补充、质疑提问，对展示小组进行评价．
总结：角平分线判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．
求证：点P在∠MON的平分线上．
证明：连结OP
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）
∴∠AOP＝∠BOP
∴OP平分∠MON
即点P在∠MON的平分线上．
几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）
如图，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）
定理应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离。
定理的作用：证明线段相等。
三、典例精析
例1 （(教材第50页例）如图，已知 △ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
证明：如图，过P点分别作PE ⊥AB于E，PF⊥ BC于 F，PG⊥CA于G，
∵BP平分∠ABC，
∴PE＝PF，
同理PF＝PG，
∴PE＝PF＝PG，即点P到AB，BC，CA的距离相等．
【变式训练】1.如图，BE＝CF，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.求证：AD是∠BAC的平分线．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．
∴DE＝DF.
∴AD是∠BAC的平分线．
方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．
2.如图，已知：△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC的平分线．
证明：分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，
∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，
∴DE＝DF.同理DG＝DF，∴DE＝DG，
∴点D在∠EAG的平分线上，
∴AD是∠BAC的平分线．
方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p30练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1．角平分线的判定定理．
2．三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳角平分线的判定．
六、作业布置
《课时训练》p33—p34练习题
七、教学反思
B
P
O
A
C
E
D
单元教学设计
◎课标要求
1. 通过观察、实验、归纳、类比、推断获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性。
2. 在教学中，注重所学内容与现实生活的联系；注重学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程。
3. 了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件；掌握两个全等三角形对应边相等、对应角相等的性质；能够画已知角的平分线并掌握角平分线的相关性质。
◎知识框图
◎教材教法
【教材分析】
学生已经学过线段、角、相交线、平行线以及三角形的有关知识，为学习全等三角形的有关内容做了充分的准备。通过本章的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识。全等三角形是研究图形的重要工具，学生只有掌握了全等三角形的相关知识，并且能灵活地运用它，才能学好后面的四边形。在本章中，全等三角形的判定既是重点，也是难点，同时也是中考时常考的热点。全等三角形在中考中主要考察全等三角形的判定；并会将有关知识应用到综合题的解题过程中去，如把某些问题转化为三角形的问题求解；能从复杂的图形中寻求全等三角形获得自己需要的信息也是中考的重要考点。
【教法建议】
教学全等三角形时，要引导学生正确分类，能根据所给数据画出三角形，通过比较，直观感知全等三角形的判定方法，同时也要让学生能通过说理确认全等三角形的判定方法的正确性。在证明的过程中要指导学生注意规范书写格式，规范推理过程，让学生的推理过程有理有据。同时要注重分析思路，让学生学会思考问题，让学生学会对问题有清晰的思考过程，有必要养成固定的思考过程模式：如：证等角——全等三角形——找到相关三角形——找全等条件——联系已知条件。角的平分线是全等三角形的应用的延续，但它又是全等方法之外获得等角或等线段的新方法，本章应注意引导学生避免证明题时重复证明定理，要学会直接用定理解决问题，简化证明过程。让学生体会逻辑推理的方法，进一步探索图形的属性。
◎学情学法
【学情分析】
三角形是最基本的平面图形，三角形全等的判定方法是对两个三角形的形状、大小关系的深入研究。本章内容是以前各章中数学说理与逻辑推理的继续，是对几何推理格式的进一步加强。通过本章的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学习其他图形知识打好基础。然而由于学生在识别能力上的不足，教材要求学生会确定全等三角形的对应元素也就成了学生有待突破的难点。
【学情建议】
全等三角形判定方法的研究，要注意具体操作与理论相结合，通过“画一画”“比一比”，类比观察，得到全等三角形的判定方法。要掌握判定三角形全等的条件中必须有一个元素“有一组边对应相等”。要利用小组合作学习的方法，主动探索，发现规律，归纳概括，形成能力。在证明的过程中药注意推理的逻辑性，书写格式的规范化，要做到思维清晰，有理有据，言简意赅。
◎课时安排
12.1全等三角形 1课时
12.2三角形全等的判定 4课时
12.3 角的平分线的性质 2课
第十二章 全等三角形
12.1 全等三角形
教学设计
课题 12.1 全等三角形 授课人
素养目标 教学目标 (2022新课标)理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角．2．理解全等三角形的性质.通过平移、翻折和旋转一个三角形等活动，发现、感知两个全等三角形的特征，学会判断对应元素的方法．3.会用数学语言表达全等三角形的性质.4.会用全等三角形的性质解决实际生活中的问题. 核心素养 抽象能力 几何直观
空间观念 模型观念
教学重点 1.了解全等形、全等三角形的概念及全等三角形的对应元素．2.理解并掌握全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等．
教学难点 理解全等三角形边、角之间的对应关系.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、情境导入
出示图片，观察下列图形，它们的形状、大小有什么关系？
提出问题，图中三幅照片里面的图形的形状、大小相同吗？放在一起能完全重合吗？
学生观察思考、相互交流．
操作并交流：将两张纸重叠在一起，剪出两张三角形，观察它们的特征，你有何发现？
学生先进行剪纸操作活动，然后观察思考，再与同学合作交流．
讨论交流：同学们，像上述这样“一模一样”的例子，生活还有许多，你能再举出一些例子吗？
学生活动：分组讨论交流．
教师点拨：像这种“一模一样”的两个图形，我们称为全等形，本节课我们就来学习和研究全等形的有关知识．
二、探究新知
探究点1 全等形的概念
通过讨论发现：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合．能够完全重合的两个图形叫做全等形．
探究点2 全等三角形的概念
同学们能够根据全等形的定义给全等三角形也下一个定义吗？
师生共同总结：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
如下图，△ABC与△DEF完全重合(PPT演示重合过程)．
这时，点A与点D重合．点B与点E重合，我们把这样互相重合的一对点叫做对应顶点；AB边与DE边重合，这样互相重合的边就叫做对应边；∠A与∠D重合，它们就是对应角．△ABC与△DEF全等，我们把它记作“△ABC≌△DEF”．读作“△ABC全等于△DEF”．
注意：记两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上.
问题：你能找出其他的对应点、对应边和对应角吗？
点C与点F是对应点；BC边与EF边是对应边，CA边与FD边也是对应边；
∠B与∠E是对应角，∠C与∠F也是对应角．
在全等三角形中找对应元素的方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角也是对应角．
探究点3 全等三角形的性质
1.如图，把△ABC沿直线BC平移，得到△DEF，△ABC≌△DEF.教师提问：△ABC≌△DEF ，那么对应边有什么关系？对应角呢？
2.如图，把△ABC沿直线BC翻折180°，得到△DBC，△ABC≌△DBC.要求学生说出图中的对应顶点，对应边、对应角．
学生回答：
对应顶点：点A和点D, 点B和点B, 点C和点C ；
对应角：∠A与∠D，∠ABC与∠DBC，∠ACB与∠DCB；
对应边：AB与DB，AC与DC，BC与BC.
3.如图，把△ABC绕点A旋转，得到△ADE.各图中的两个三角形全等吗？△ABC≌△ADE
结论：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等．
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
三、典例精析
例1 下列四组图形中，与如图图形全等的是B
A B C D
方法总结：判断两个图形是不是全等形，可以通过平移、翻折、旋转等方法，将两个图形叠合起来观察，看其是否能完全重合，有时还可以借助网格背景来观察比较．
例2 (教材第33页习题T1)如图，，和，和是对应边．写出其他对应边及对应角．
解：∵△ABC≌△CDA，
∴其他对应边：AC和CA．对应角：∠BAC和∠DCA，∠B和∠D，∠ACB和∠CAD．
【变式训练】如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度数和CF的长．
解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，
∴∠DEF＝∠B＝50°，BC＝EF＝7，
∴CF＝BC－BF＝7－4＝3.
方法总结：本题主要是考查运用全等三角形的性质求角的度数和线段的长，解决问题的关键是准确识别图形．
2.如图，已知，和是对应角，和是对应边，．
(1)写出其他对应边及对应角；
(2)判断与的位置关系，并说明理由．
(3)求的长．
解：（1）和是对应角， 和是对应角，和是对应边，和是对应边．
（2），理由如下：
∵，∴，∴．
（3）∵
∴
∵
∴,即,解得．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p18练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1．全等形的定义．
2．全等三角形的性质．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳全等形、全等三角形的概念及全等三角形的性质．
六、作业布置
《课时训练》p21—p22练习题
七、教学反思
12.2 三角形全等的判定
第1课时 用“SSS”判定三角形全等
教学设计
课题 12.2 第1课时 用“SSS”判定三角形全等 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等．能初步应用“SSS”条件判定两个三角形全等.2．(2022新课标)能用尺规作图：作一个角等于已知角；已知三边作三角形．3．能灵活运用全等三角形的性质解决线段或角相等的问题．会用归纳推理的数学思维探究三角形全等的条件. 核心素养 几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
教学重点 1.了解三角形的稳定性，会应用“边边边”判定两个三角形全等．2.经历探索“边边边”判定全等三角形的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
教学难点 在复杂的图形中进行三角形全等条件的分析和探索．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、复习导入
通过前面的学习，我们知道完全重合的两个三角形全等．
已知△ABC≌△DEF，你能得到哪些结论？
教师引导学生回答：对应边相等，对应角相等．
如图，已知△ABC≌△A′B′C′，你能找出其中相等的边与角吗？
图中相等的边：AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′；
相等的角：∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′．
通过上例我们知道符合三个角、三条边均对应相等的两个三角形是全等三角形．那么是否一定需要六个条件才能判定两个三角形全等呢？满足上述六个条件中的一部分能否保证两个三角形全等呢？
二、探究新知
探究点 用“SSS”判定三角形全等
1.任意画一个△ABC，再画△A′B′C′，使△ABC 与△A′B′C′ 满足上述六个条件中的一个或两个，你画的△ABC与△A′B′C′一定全等吗？试一试．
只给定一条边时：
只给定一个角时：
2.教师引导学生分别从“角”和“边”的角度分析一个条件、两个条件各有几种情况．
教师引导学生共同完成一个条件的情况的探究，然后指导学生分组操作．
分别按下列条件做一做．
①三角形一内角为30°，一条边为3cm．
②三角形两内角分别为30°和50°．
③三角形两条边分别为4cm、6cm．
学生分组讨论、探索、归纳，给出的两个条件可能是：一边一内角、两内角、两边．
结论：只给出一个或两个条件时，不能保证所画的两个三角形一定全等．
3.满足上述条件中的三个条件，能保证△ABC与△A′B′C′全等吗？我们可以分情况讨论有哪几种情况？
交流探讨归纳：有四种可能，即：三内角、三条边、两边一内角、两内有一边．
在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．下面我们就来逐一探索其余的三种情况．
探究两个三角形三边分别对应相等的这种情况：先任意画一个△ABC，再画△A′B′C′，使 AB＝A′B′，BC＝B′C′，CA＝C′A′.
你能画出满足上述条件的△A′B′C′吗？应该怎样画呢？
在画图中，教师可以先让学生试着画图，再让学生发现存在的问题，最后给出正确的画法．
把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们能重合吗？
师生活动：在思考、实践的基础上可以归纳出判定两个三角形全等的方法：三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)．
三、典例精析
例1 (教材第36页例1)在如图所示的三角形钢架中，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架．求证：△ABD≌△ACD.
证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(SSS)．
【变式训练】1.如图，AB＝DE，AC＝DF，点E、C在直线BF上，且BE＝CF.求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝EC＋CF，即BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
∵
∴△ABC≌△DEF(SSS)．
方法总结：判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
2.如图，已知AB＝CD，DA＝BC.求证：AD∥BC.
证明：连接BD，在△ABD和△CDB中，
∴△ABD≌△CDB(SSS)．
∴∠A＝∠C，∴AD∥BC.
例2(教材第36页作图) 已知：∠AOB.求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.
作法：(1)如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D.
(2)画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′.
(3)以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相较于点D′.
(4)过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB.
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p20练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1．三边分别相等的两个三角形全等．简记为“边边边”或“SSS”．
2．已知一个角，用尺规做一个相等的角．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳用“边边边”证明三角形全等，应用三角形全等的性质．
六、作业布置
《课时训练》p23—p24练习题
七、教学反思
12.2 三角形全等的判定
第2课时 用“SAS”判定三角形全等
教学设计
课题 12.2 第2课时 用“SAS”判定三角形全等 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．能初步应用“SAS”条件判定两个三角形全等.2．(2022新课标)能用尺规作图：已知两边及其夹角作三角形．3．能灵活运用“SAS”判定三角形全等的性质解决线段或角相等的问题及生活实际中的问题. 核心素养 几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
教学重点 1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“边角边”．2．能运用“边角边”判定方法解决有关问题．
教学难点 “边角边”判定方法的探究以及适合“边角边”判定方法的条件的寻找．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、情境导入
小刚到小名家去玩，发现小名正拿着一只玻璃容器苦思冥想，原来他想测量一下它的内径是多少，但是无法将刻度尺伸进去直接测量．小刚帮他想出一个办法：把两根长度相等的小木条AB，CD的中点连在一起，木条可以绕中点O自由转动，如下图所示，这样只要测量A，C之间的距离，就可以知道玻璃容器的内径．你想知道为什么吗？
二、探究新知
探究点1 用“SAS”判定两个三角形全等
1．教师画一个△ABC.然后要求画一个△A′B′C′，使AB＝A′B′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′.
学生按要求讨论画法，按要求画图。
(1)把画好的三角形剪下和原三角形重叠，观察能重合在一起吗？
(2)上面的探究说明什么规律？
判定两个三角形全等：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．
探究点2 “边边角”不能作为判定三角形全等的依据
1.如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.这个实验说明了什么？
2．画△ABC和△DEF，使∠B＝∠E＝30°，AB＝DE＝5 cm，AC＝DF＝3 cm.观察所得的两个三角形是否全等？
解：如图．
观察所得的两个三角形是否全等？把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，
发现：两边和其中一边的对角这三个条件无法唯一确定三角形的形状，所以不能保证两个三角形全等．因此，△ABC和△DEF不一定全等．
方法归纳：应用“SAS”证明两个三角形全等的“两点注意”：
(1)对应：“SAS”包含“边”“角”两种元素，一定要注意元素的“对应”关系．
(2)顺序：在应用时一定要按边、角、边的顺序排列条件，不能出现边、边、角(或角、边、边)的错误，因为边边角(或角边边)不能保证两个三角形全等．
三、典例精析
例1 (教材第38页例2)如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B.连接AC并延长到点D，使CD＝CA.连接BC并延长到点E，使CE＝CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？
分析：如果能证明△ABC≌△DEC，就可以得出AB＝DE.由题意可知，△ABC和△DEC具备“边角边”的条件．
证明：在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC(SAS)．
∴AB＝DE.
【变式训练】1.如图，A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC.求证：△AEF≌△BCD.
证明：∵AE∥BC，∴∠A＝∠B.∵AD＝BF，∴AF＝BD.
在△AEF和△BCD中，∵
∴△AEF≌△BCD(SAS)．
方法总结：判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
2.已知：如图，BC∥EF，BC＝BE，AB＝FB，∠1＝∠2，若∠1＝45°，求∠C的度数．
解：∵∠1＝∠2，
∴∠ABC＝∠FBE.在△ABC和△FBE中，
∴△ABC≌△FBE(SAS)，
∴∠C＝∠BEF.
∵BC∥EF，
∴∠C＝∠BEF＝∠1＝45°.
方法总结：全等三角形是证明线段和角相等的重要工具．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p22练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．
2．“SSA”不能判定两个三角形全等．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳用“边角边”证明三角形全等以及“SSA”不能判定两个三角形全等．
六、作业布置
《课时训练》p25—p26练习题
七、教学反思
12.2 三角形全等的判定
第3课时 用“ASA”与“AAS”判定三角形全等
教学设计
课题 12.2 第3课时 用“ASA”与“AAS”判定三角形全等 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．2．(2022新课标)证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．3．(2022新课标)能用尺规作图：已知两角及其夹边作三角形．4．能灵活运用全等三角形的性质解决线段或角相等的问题． 核心素养 几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
教学重点 1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“角边角”，“角角边”．2．能运用“角边角”“角角边”判定方法解决有关问题．
教学难点 “角边角”和“角角边”判定方法的探究以及适合“角边角”判定方法的条件的寻找．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、情境导入
如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？
学生活动：学生先自主探究出答案，然后再与同学进行交流．
教师点拨：显然仅仅带①或②是无法配成完全一样的玻璃的，而仅仅带③则可以，为什么呢？本节课我们继续研究三角形全等的判定方法．
二、探究新知
探究点1 用“ASA” 判定两个三角形全等
1．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)
教师提问：三角形中已知两角一边有几种可能？
学生回答：(1)两角和它们的夹边；(2)两角和其中一角的对边．
做一做：三角形的两个内角分别是50°和70°，它们的夹边为5 cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等的，你能得出什么规律？
学生活动：自己动手操作，然后与同伴交流，发现规律．
教师活动：检查指导，帮助有困难的同学．
活动结果展示：以小组为单位将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等．
提炼规律：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”)，
教师提问：我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形ABC，能不能作一个△A′B′C′，使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢？
①先用量角器量出∠A与∠B的度数，再用直尺量出AB的边长．
②画线段A′B′，使A′B′=AB．
③分别以A′、B′为顶点，A′B′为一边作∠DA′B′、∠EB′A，使∠D′AB=∠CAB，∠EB′A′=∠CBA．
④射线A′D与B′E交于一点，记为C′
即可得到△A′B′C′．将△A′B′C′与△ABC重叠，发现两三角形全等．
总结：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)．
探究点2 用“AAS” 判定两个三角形全等
思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定．我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？
1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)
教师提问：如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，△ABC与△DEF全等吗？
教师适时引导：运用三角形内角和定理以及“ASA”便能证出△ABC≌△DEF，
证明：∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°
∠A=∠D，∠B=∠E
∴∠A+∠B=∠D+∠E∴∠C=∠F
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
学生活动：先让学生独立完成，对于有困难的学生给予指导和鼓励．
最后归纳：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)．
三、典例精析
例1 (教材第40页例3)如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.求证：AD＝AE.
证明：在△ACD和△ABE中，
∴△ACD≌△ABE(ASA)．
∴AD＝AE.
【变式训练】1.如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，求证：AD=CB.
证明：∵AD∥BC，BE∥DF，∴∠A＝∠C，∠DFE＝∠BEC.
∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.
在△ADF和△CBE中，∵
∴△ADF≌△CBE(ASA)，
∴AD=CB．
方法总结：在“ASA”中，包含“边”和“角”两种元素，是两角夹一边而不是两角及一角的对边对应相等，应用时要注意区分；在“ASA”中，“边”必须是“两角的夹边”．
例2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，且BC＝ED.求证：△ADE≌△ACB
证明：∵ED⊥AB，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°.
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED(AAS)．
方法总结：在“AAS”中，“边”是“其中一个角的对边”．
【变式训练】如图，∠ACB＝∠B＝90°，点E在BC上，过点C作CF⊥AE于点F，延长CF交BD于点D，且CD＝AE.求证：AC＝BC.
证明：∵∠ACB＝90°，CF⊥AE.
∴∠ACF＋∠BCD＝∠ACF＋∠CAF＝90°.
∴∠BCD＝∠CAF，
即∠CAE＝∠BCD.
在△ACE和△CBD中，
∴△ACE≌△CBD(AAS)．
∴AC＝BC.
方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p24练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．
2.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．
3.三角形全等是证明线段相等或角相等的常用方法．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳用“ASA”或“AAS”证明三角形全等．
六、作业布置
《课时训练》p27—p28练习题
七、教学反思
12.2 三角形全等的判定
第4课时 用“HL”判定三角形全等
教学设计
课题 12.2 第4课时 用“ASA”与“AAS”判定三角形全等 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理．能初步应用“斜边、直角边”条件判定两个直角三角形全等.使学生经历探索直角三角形全等的过程，体验用操作、归纳得出数学结论的过程，发展数学思维.2．(2022新课标)能用尺规作图：已知一直角边和斜边作直角三角形．3．能灵活运用全等三角形的性质解决线段或角相等的问题． 核心素养 几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
教学重点 理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”．
教学难点 经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方法解决有关问题．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、复习导入
提问：以前学习的判定两个三角形全等的条件有哪些 结论：SSS、SAS、AAS、ASA
根据这些条件，对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了
今天我们就来探究两个直角三角形全等的条件．
二、探究新知
探究点1 用“HL” 判定两个三角形全等
问题1：两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
问题2：两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
问题3：两个直角三角形中，有一条直角边和斜边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
任意画出一个Rt△ABC，使∠C＝90°.再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB.把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们全等吗？
师生活动：先让学生画图分析，寻找规律．教师适时引导．
作法：
(1)画∠MC′N＝90°；
(2)在射线C′M上截取B′C′＝BC；
(3)以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′；
(4)连接A′B′.
则△A′B′C′即为所求作的三角形(如下图)．
总结： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)
三、典例精析
例1 (教材第42页例5)如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD.求证：BC＝AD.
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C与∠D都是直角．
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．
∴BC＝AD.
方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
【变式训练】1.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2.
证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B＝∠D＝90°，∴△ABC与△ACD为直角三角形．
在Rt△ABC和Rt△ADC中，∵
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，
∴∠1＝∠2.
方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．
2. 如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.
证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．
∴CD＝EF.
∵AD＝AF，AB＝AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．
∴BD＝BF.
∴BD－CD＝BF－EF，
∴BC＝BE.
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p26练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．．
2．证明两个直角三角形全等的常用方法．
3. 寻找未知的等边或等角时，常考虑转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳用“HL”或以前学过的其他方法证明三角形全等．
六、作业布置
《课时训练》p29—p30练习题
七、教学反思
12.3 角的平分线的性质
第1课时 角的平分线的性质
教学设计
课题 12.3 第1课时 角的平分线的性质 授课人
素养目标 教学目标 (2022新课标)能用尺规作图：作一个角的平分线．2．(2022新课标)探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．3．掌握角的平分线的性质，会应用角的平分线的性质解决相关问题．4.通过探索角平分线的性质的过程，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情. 核心素养 几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
教学重点 经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理．
教学难点 能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、情境导入
问题1：怎样将纸片上的角分为两个相等的角呢？
师生活动：学生可能用量角器，也可能用折纸的方法。
问题2：除了用上述方法还有其他方法找到他的角平分线吗？
如图，是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？
二、探究新知
探究点1 角平分线的作法
这种平分角的方法告诉我一种作已知角平分线的方法。自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．
作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB.
求作：∠AOB的平分线．
作法：
(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N.
(2)分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
(3)画射线OC，射线OC即为所求(如下图)．
问题1：在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗？
去掉“大于MN的长”这个条件，所画的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．
问题2：第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？
若分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．
问题3：你从的平分角的仪器中得到了什么启示？
角的平分线的画法，明确作图的理论依据是根据三角形全等的条件“SSS”．
探究点2 角平分线的性质
1．将准备好的∠AOB按如图所示的方式折叠，折出如图所示的折痕PD，PE，量一量PD，PE的长度，你有什么发现？
猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等．
师生活动：学生动手操作，分组讨论，教师适时引导学生得出结论．
1. 证明角平分线的性质．
我们要证明一个命题时，按照以下步骤进行，即：
(1) 明确命题中的已知和求证；
已知:一个点在一个角的平分线上.
结论:这个点到这个角两边的距离相等.
(2) 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E.
求证: PD=PE.
(3)经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥ OB (已知)
∴ ∠PDO= ∠PEO=90°(垂直的定义)
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO（已证）
∠AOC= ∠BOC （已证）
OP=OP （公共边）
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
3．几何语言
∵点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E.（已知）
∴PD＝PE.（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
三、典例精析
例1 在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.AD是△ABC的角平分线，求证：BE＝CF.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE＝DF.
∵AD是BC边的中线，∴BD＝CD.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．
∴BE＝CF.
【变式训练】1.如图，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.
证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，
∴DE＝DF.
在Rt△CDE和Rt△CDF中，
∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，
∴CE＝CF.
方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．
例2 已知△ABC，在△ABC中作出∠ABC的平分线BD，要求尺规作图．(不写作法，保留作图痕迹)
解：线段BD即为所求．
【变式训练】如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.若∠ACD＝120°，求∠MAB的度数．
解：∵AB∥CD，
∴∠ACD＋∠CAB＝180°，
∵∠ACD＝120°，∴∠CAB＝60°，由作法知，AM是∠CAB的平分线，
∴∠MAB＝∠CAB＝30°.
方法总结：通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM是∠BAC的角平分线是解题的关键．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p28练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1．角平分线的作法.
2．角平分线的性质.
3．角平分线性质的应用．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳角平分线的作法和角平分线的性质．
六、作业布置
《课时训练》p31—p32练习题
七、教学反思
12.3 角的平分线的性质
第2课时 角的平分线的判定
教学设计
课题 12.3 第2课时 角的平分线的判定 授课人
素养目标 教学目标 1.(2022新课标)探索并证明角平分线的性质定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．2.会应用角的平分线的性质和判定解决相关问题．3.通过作三角形的角平分线，了解三条角平分线交于一点的事实．4.通过探索角的平分线的判定定理的过程，提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力. 核心素养 几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
教学重点 角的平分线的判定的证明及运用.
教学难点 灵活应用角的平分线的性质和判定解决问题.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、情境导入
新疆考古团队近日在斯皮尔古城及周边发现迄今为止最早的园林之城．如图，某考古队为进行研究，寻找一座古城遗址．根据资料记载，该城在森林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是3000m.根据这些资料，考古队很快找到了这座古城的遗址．你能运用学过的知识在图中合理地标出古城遗址的位置吗？请你试一试．(比例尺为1∶100000)
二、探究新知
探究点 角平分线的判定
问题1：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500 m，这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1∶20 000)
问题2：交换角的平分线的性质中的条件和结论，你能得到什么命题，这个新命题成立吗？
问题3：请试着证明这个命题．(提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明)
师生活动：学生根据自学要求独立操作，然后互相交流各自的结论．抽一小组进行展讲，其他各小组补充、质疑提问，对展示小组进行评价．
总结：角平分线判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．
求证：点P在∠MON的平分线上．
证明：连结OP
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）
∴∠AOP＝∠BOP
∴OP平分∠MON
即点P在∠MON的平分线上．
几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）
如图，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）
定理应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离。
定理的作用：证明线段相等。
三、典例精析
例1 （(教材第50页例）如图，已知 △ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
证明：如图，过P点分别作PE ⊥AB于E，PF⊥ BC于 F，PG⊥CA于G，
∵BP平分∠ABC，
∴PE＝PF，
同理PF＝PG，
∴PE＝PF＝PG，即点P到AB，BC，CA的距离相等．
【变式训练】1.如图，BE＝CF，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.求证：AD是∠BAC的平分线．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．
∴DE＝DF.
∴AD是∠BAC的平分线．
方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．
2.如图，已知：△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC的平分线．
证明：分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，
∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，
∴DE＝DF.同理DG＝DF，∴DE＝DG，
∴点D在∠EAG的平分线上，
∴AD是∠BAC的平分线．
方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p30练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1．角平分线的判定定理．
2．三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳角平分线的判定．
六、作业布置
《课时训练》p33—p34练习题
七、教学反思
B
P
O
A
C
E
D