2023-2024学年江苏省扬州市高邮市高三（上）期初数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省扬州市高邮市高三（上）期初数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知命题：，：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4. 若，，则一定有( )
A. B. C. D.
5. 函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
6. 在成都大学生世界运动会中，甲、乙、丙参加了游泳、体操、足球三个项目，每人参加的比赛项目不同已知乙没有参加游泳；若甲参加体操，则丙参加足球；若丙没有参加体操，则甲参加体操下列说法正确的为( )
A. 丙参加了体操 B. 乙参加了体操 C. 丙参加了足球 D. 甲参加了足球
7. 若实数，，满足，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
8. 设函数，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知全集，集合，是的子集，且，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 下列说法正确的是( )
A. 函数与是同一个函数
B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
C. 已知命题：，，则命题的否定为，
D. 定义在上的奇函数满足，则函数的周期为
11. 已知，且，则下列式子中正确的是( )
A. B.
C. D.
12. 已知函数的定义域为，，则( )
A. B.
C. 为偶函数 D. 若，则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知集合，若，则实数的值是______ ．
14. 已知关于的不等式的解集为，且，则的值为______．
15. 写出一个满足：的函数解析式是______ ．
16. 已知函数，若关于的方程有个不同的实根，则实数的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共7小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知集合，，，全集为实数集．
求，；
如果，求实数的取值范围．
18. 本小题分
已知命题：，，命题为假命题时实数的取值集合为．
求集合；
设集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19. 本小题分
当时，求的最小值．
20. 本小题分
已知，且，求的最小值．
21. 本小题分
如图，在多面体中，平面，平面平面，其中是边长为的正三角形，是以为直角的等腰三角形．
证明：平面；
若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长度．
22. 本小题分
一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选只小白鼠，随机地将其中只分配到试验组，另外只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量单位：．
设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望；
试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
求只小白鼠体重的增加量的中位数，再分别统计两样本中小于与不小于的数据的个数，完成如下列联表：
对照组 ______ ______
实验组 ______ ______
根据中的列联表，能否有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：．
23. 本小题分
根据人教版必修一页的题介绍：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数设函数，且．
利用上述结论，求函数的对称中心；
若对于，不等式恒成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：知集合，，
则．
故选：．
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由：，化简得：，
而：，可知：由不能推出成立，且由可以推出成立．
因此，为的必要不充分条件．
故选：．
根据题意化简，得到对应的的取值范围，再由充分必要条件的定义算出本题答案．
本题主要考查了不等式的解法、充要条件的判断及其应用等知识，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：设，对称轴为，抛物线开口向上，
是上的增函数，
要使在区间单调递减，
则在区间单调递减，
即，即，
故实数的取值范围是．
故选：．
利用换元法转化为指数函数和二次函数单调性进行求解即可．
本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法结合指数函数，二次函数的单调性进行求解是解决本题的关键，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：由，，取，，可知D正确．
故选：．
根据条件，取，，即可得到正确选项．
本题考查了不等式的基本性质，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为函数的定义域为，且，
所以函数是奇函数，故可排除、；
又，故可排除；
故选：．
先确定函数的奇偶性，排除选项，再特殊函数值，比较排除选项可得答案．
本题主要考查了函数图象的变换，考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由可知，乙参加体操或足球，
若乙参加体操，则丙没有参加体操，由可知，甲参加体操，矛盾，
故乙只能参加足球，选项B错误；
由前面分析可知，甲参加体操或游泳，
若甲参加体操，则由可知，丙参加足球，这与乙参加足球矛盾，
则甲只能参加游泳，选项D错误；
由以上分析可知，丙参加体操，选项A正确，选项C错误．
故选：．
根据题意首先可以确定乙只能参加足球，进而可推断甲只能参加游泳，进一步可知丙参加体操，由此得解．
本题考查进行简单的合情推理，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由，得，，
，
由，
，
．
故选：．
求得，，利用放缩法可得，，的大小关系
本题考查对数的运算，考查放缩法比较数的大小，属中档题．
8.【答案】
【解析】解：，恒成立，
对恒成立，
，
，．
的对称轴方程为，
在上单调递增，
当时，取得最大值，
，
．
故选：．
依题意，可得对恒成立，分离参数，利用二次函数的性质可求得答案．
本题考查函数恒成立问题，考查转化与化归思想与运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
：，正确；
：，B错误；
：，C正确；
：，D错误．
故选：．
由已知结合集合的交并运算及集合包含关系的转化检验各选项即可判断．
本题主要考查了集合的交并补的运算及集合包含关系的转化，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，的定义域为，的定义域为，
故，不是同一函数，故A错误；
对于，函数的定义域为，
则，解得，
故函数的定义域为，故B正确；
对于，命题：，，则命题的否定为，，故C正确；
对于，，
则，
故，
为奇函数，
故，
故，
，
故，故D正确．
故选：．
对于，结合同一函数的定义，即可求解；
对于，令，解出的范围，即可求解；
对于，结合命题否定的定义，即可求解；
对于，结合奇函数的性质，以及周期函数的定义，即可求解．
本题主要考查函数的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，由得，
结合，可得，所以，故A正确；
对于，，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，故B正确；
对于，由，且，可得，
所以，结合，可知不成立，故C错误；
对于，由，可知，
结合，可得成立，D正确．
故选：．
根据题意，利用基本不等式对各项依次进行判断，从而得出正确答案．
本题主要考查了不等式的性质、利用基本不等式求函数的最值等知识，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为，
对于，令，，故A正确；
对于，令，，则，
令，，则，故B错误；
对于，令，，又函数的定义域为，所以为偶函数，故C正确；
对于，令，，所以，
若，则，故D正确．
故选：．
利用赋值法即可判断各选项．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查赋值法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，则，或，
当时，，，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当，时，或，
当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，，符合题意；
综上所述；，
故答案为：．
利用集合中的元素确定参数的值，注意元素的互异性．
本题利用集合元素的互异性求参数，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：关于的不等式的解集为，
所以和是方程的两个实数根，
所以，
因为，所以，
即，解得，所以．
故答案为：．
由不等式的解集得出对应方程的实数根，结合题意利用根与系数的关系即可求出的值．
本题考查了不等式与对应方程的关系应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：中，令，解得，
令得，故，
不妨设，满足要求．
故答案为：．
赋值法得到，，求出函数解析式．
本题考查求函数解析式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：作出函数的图象如下：
因为关于的方程有个不同的实根，
令，则方程有个不同的实根，，
则，解得或，若，则或，
令，
则有或，
由，得；
当时，解得，此时，解得，，不符合题意，故舍去；
综上可得，
所以实数的取值范围为
故答案为：
作出函数的图象，结合图象可知关于的一元二次方程根的分布，根据一元二次根的分布列出不等式求解即可．
本题考查了函数的零点、转化思想、数形结合思想及二次函数的性质，属于中档题．
17.【答案】解：集合，，
所以，或，
所以或；
因为集合，且，
所以，即实数的取值范围是．
【解析】化简集合、，根据并集、补集和交集的定义计算即可；
根据题意，利用，直接写出实数的取值范围．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
18.【答案】解：命题：，，则：，使．
当命题为假命题时，为真命题，
即关于的方程有实数根，，解得，
因此，命题为假命题时，实数的取值集合为；
若是的充分不必要条件，则，即，
当时，即时，集合为空集，符合题意；
当时，若，则且，解得，实数的取值范围是．
综上所述，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是．
【解析】根据题意，关于的方程有实数根，利用一元二次方程根的判别式算出答案；
由充分必要条件的定义，可知，进而建立关于的不等式组，算出的取值范围．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式、不等式的解法、充要条件的判断及其应用等知识，属于基础题．
19.【答案】解：当时，，
所以，
当且仅当，即时，的最小值是．
【解析】根据题意，以为整体进行配方，进而利用基本不等式算出答案．
本题主要考查了不等式的性质、利用基本不等式求函数的最值等知识，属于基础题．
20.【答案】解：根据题意，，
，
，
而，
可得，即，
因此，，当且仅当，即时，等号成立．
综上所述，的最小值是．
【解析】根据题意以、为单位，利用“的代换”并结合基本不等式加以计算，即可得到答案．
本题主要考查了不等式的性质、利用基本不等式求函数的最值等知识，属于基础题．
21.【答案】证明：取的中点，连接，，则．
平面平面，且平面平面，平面，
平面．
又平面，．
平面，平面，平面；
解：过点作，以为坐标原点，
分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，
，，，
故，，，．
设平面的一个法向量为，
由，取，得；
设平面的一个法向量为，
由，取，得．
设平面与平面的夹角为，
则，
解得，即．
【解析】先证明线面垂直，再由线面垂直的性质得线线平行，利用线面平行判定定理求证即可；
建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
本题考查线面平行的证明，考查面面角的余弦值的求法，属中档题．
22.【答案】
【解析】解：根据题意可得，，，
则，，，
所以的分布列为：


所以；
只小白鼠体重的增加量从小到大排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
所以中位数，
完成列联表如下：
合计
对照组
实验组
合计
，
所以有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异．
根据题意可得，，，根据古典概型的概率公式求出相应的概率，进而得到的分布列和期望；
根据中位数的定义求出的值，进而补全列联表；
根据列联表求出的值，再与临界值比较即可．
本题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望，考查了独立性检验的应用，属于中档题．
23.【答案】解：不妨设函数的对称中心为，
因为函数为奇函数，
所以恒成立，
此时恒成立，
即恒成立，
所以恒成立，
则，
解得，，
所以函数的对称中心为；
由知函数的对称中心为，
所以，
因为当时，恒成立，
即，使得恒成立，
当时，易知函数在上单调递增，
此时，使得恒成立，
即，使得恒成立，
不妨令，，
此时，
解得，
因为，其不符合题意；
当时，已知函数在上单调递减，
此时，使得恒成立，
即，恒成立，
不妨令，，
此时，
解得，
又，
所以，
综上，满足条件的的取值范围为．
【解析】由题意，设函数的对称中心为，根据函数奇偶性的定义得到恒成立，再列出等式即可求出，的值；
结合中所得，将问题转化成，使得恒成立，分别讨论当和这两种情况，利用换元法以及基本不等式进行求解即可．
本题考查函数奇偶性的应用以及函数恒成立问题，考查了逻辑推理、转化思想、分类讨论和运算能力．
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