2023-2024学年江西省名校联盟高三（上）入学摸底数学试卷（8月份）（含解析）

2023-2024学年江西省名校联盟高三（上）入学摸底数学试卷（8月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 复数的虚部是( )
A. B. C. D.
3. 函数的零点所在区间是( )
A. B. C. D.
4. 记为数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
5. 已知向量，，函数，则图象的一条对称轴的方程是( )
A. B. C. D.
6. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分包括边界的动点，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知函数的极小值为，极小值点为，零点为若底面半径为的圆锥的高，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
8. 已知双曲线的离心率为，直线的斜率为，且过点，直线与轴交于点，点在的右支上，且满足，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 在我们发布的各类统计数据中，同比和环比都是反映增长速度的核心数据指标如图是某专业机构统计的年月中国校车销量走势图，则下列结论正确的是( )
A. 月校车销量的同比增长率与环比增长率都是全年最高
B. 月校车销量的同比增长率的平均数小于环比增长率的平均数
C. 月校车销量的环比增长率的极差大于同比增长率的极差
D. 月校车销量的环比增长率的方差小于同比增长率的方差
10. 已知，且，则( )
A. B.
C. D.
11. 已知函数及其导函数的定义域为，记若满足，，且，则( )
A. B. 为奇函数 C. D.
12. 已知正六棱柱的底面边长为，侧棱长为，所有顶点均在球的球面上，则( )
A. 直线与直线异面
B. 若是侧棱上的动点，则的最小值为
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 球的表面积为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 数据，，，，，，，的分位数为______ ．
14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上的动点，的面积的最大值为，则的长轴长的最小值为______ ．
15. 已知的展开式中只有第项的二项式系数最大，写出展开式中的一个有理项______ ．
16. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，为内一点若点满足，且，则的最大值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数在一个周期内的图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象．
求的解析式；
在中，若，，，求．
18. 本小题分
记公比不为的等比数列的前项和为，已知，，，成等差数列．
求的通项公式；
设，求数列的前项和．
19. 本小题分
如图，在三棱锥中，平面，，，是的中点，为上的动点．
证明：平面平面；
当平面时，求平面与平面夹角的余弦值．
20. 本小题分
研学旅行作为一种新兴的教学方式，越来越受中学生的青睐，国家也颁布了一系列政策推进研学旅行发展为了解学生对“暑期研学旅行”的满意度，某教育部门对名中学生进行了问卷调查，部分结果如下表参与问卷调查的男女比例为：．
完成如表的列联表，并判断是否有的把握认为“暑期研学旅行”的满意度与性别有关联；
性别 满意度 合计
满意 不满意
男生 _____ _____
女生 _____ _____
合计 _____ _____ _____
该教育部门采用分层随机抽样的方法从参与问卷调查持“不满意”态度的学生中抽取了名学生现从这名学生中随机抽取人进行座谈，记抽取的女生人数为，求的分布列及数学期望．
附：，其中．
21. 本小题分
已知抛物线：，为的焦点，过点的直线与交于，两点，且在，两点处的切线交于点．
当的斜率为时，求；
证明：．
22. 本小题分
已知函数，，，分别为，的导函数，且对任意的，存在，使．
求实数的取值范围；
证明：，有．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，所以．
故选：．
由一元二次不等式的解法与交集的概念求解．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
的虚部是．
故选：．
先利用复数的四则运算化简，再利用虚部的定义求解．
本题主要考查了复数的四则运算，考查了复数的虚部的定义，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，在上单调递增，所以在上单调递增，
所以至多有一个零点，
因为，，
所以在零点在区间．
故选：．
根据零点存在性定理分析判断．
本题考查函数零点判断定理的应用，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为为数列的前项和，且，
则．
故选：．
由已知可得，结合的表达式可求得结果．
本题考查数列的前项和与的关系，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为向量，，
所以，
令，，所以，，
当时，为的一条对称轴方程．
故选：．
由向量的数量积运算和三角函数恒等变换公式可得，再由，，可求出其对称轴方程．
本题考查三角函数的化简与性质，考查向量的数量积运算，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：记，则为直线的斜率，
故当直线与半圆相切时，得最小，
此时设：，故，解得或舍去，
即．
故选：．
转化为点与连线的斜率，数形结合后由直线与圆的位置关系求解，
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意可知的定义域为，且，
令，解得，则有：
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
函数的极小值，极小值点，
令，解得，即，，
该圆锥的体积为．
故选：．
利用导数判断原函数的单调性，进而可得，，令，可得，，结合锥体的体积公式运算求解．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及零点、圆锥的体积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由题意，，得，，
故直线的方程为．
令，得，．
设，则，，
又，，
，
代入，化简得，解得．
故选：．
由题意得点坐标方程，再由向量的坐标运算得点方程，代入双曲线方程后求解．
本题考查双曲线的几何性质，考查向量在求解双曲线问题中的应用，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：由某专业机构统计的年月中国校车销量走势图，知：
年月校车销量的同比增长率比月的低，故A错误；
由校车销量走势图知月校车销量的同比增长率的平均数为负数，环比增长率的平均数是正数，故B正确；
月校车销量的环比增长率的极差为，
同比增长率的极差为，所以环比增长率的极差大于同比增长率的极差，故C正确；
由校车销量走势图知月校车销量的环比增长率的波动大于同比增长率的，所以环比增长率的方差大于同比增长率的方差，故D错误．
故选：．
由折线统计图数据对选项逐一判断．
本题考查折线统计图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，且，
所以，，故A正确，B错误；
，故C正确；
，
则，故D正确．
故选：．
由同角三角函数基本关系，二倍角公式，两角和的正弦公式逐项求解即可判断．
本题考查了同角三角函数基本关系，二倍角公式，两角和的正弦公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由，等式两边同时求导，得，即，故的图象关于点对称，故A正确；
因为，所以应满足为常数，当时，不是奇函数，故B错误；
因为，，可得；
所以，可得，故C正确；
由选项C可知，的周期为，因为的图象关于点对称，又关于轴对称，且，
所以，，，，
所以，故D正确．
故选：．
将两边同时求导可得，即可得A正确；由可知，显然时不是奇函数，可知B错误；由，可知C正确；易得的周期为，由对称性求得一个周期内的函数值即可得D正确．
本题主要考查了函数的对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，如图，
连接，，则，，
，可得直线与直线共面，故A错误；
对于，将平面沿着翻折到与平面共面的位置，得到矩形，如图所示．
底面边长为，，，则，故B正确；
对于，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，．
设平面的法向量为，
由令，得；
设直线与平面所成角为，则，故C正确；
对于，设球的半径为，则，
球的表面积，故D正确．
故选：．
由直线的位置关系判断；由展开图求最短距离判断；建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算判断；由球的表面积公式判断．
本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，所以分位数为．
故答案为：．
由百分位数的概念求解．
本题考查百分位数的概念等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意知，
所以，
故C的长轴长，当且仅当时取等号．
故答案为：．
由椭圆的性质与基本不等式求解．
本题考查了椭圆的性质，重点考查了基本不等式，属基础题．
15.【答案】或，或，写出其中一个即可
【解析】解：由题意知展开式中共有项，所以，
所以的展开式的通项为，，．
若为有理项，则，所以，，，
故展开式中所有的有理项为，，．
故答案为：或，或，写出其中一个即可．
根据二项式系数的最大项为第五项，首先求出的值，进一步根据展开式的通项公式求出有理项．
本题考查的知识要点：二项式的展开式，展开式的通项公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由，得，
即，
整理可得，
故点在的平分线上，同理可得点在的平分线上，
所以点为的内心．
如图，延长，交于点，过点作，，垂足分别为，，
设，，
由，得，
由，，三点共线得，
所以．
因为，所以，
代入得，当且仅当，即时等号成立，
故的最大值为．
故答案为：．
由三角形内心的性质与半角公式求解．
本题考查了向量的数乘运算，单位向量的定义，向量加法的平行四边形法则，三点共线的充要条件，考查了计算能力，是中档题．
17.【答案】解：由图象可知，所以．
又因为最高点是，所以，，
即，．
又因为，所以，，
所以．
将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，
再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，
得到函数的图象．
因为，所以．
又，所以，
所以，所以．
由余弦定理，得，
所以．
【解析】由的图象可得，从而可求出，再将点坐标代入中可求出的值，从而可求得，再由三角函数图象变换规律可求出的解析式；
由可求出角，然后利用余弦定理可求得．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦函数的图象的平移变换，余弦定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：依题意，由，，，成等差数列，
可得，，
解得，，
设等比数列的公比为，
则，
，
，
化简整理，得，
解得舍去，或，
，
，．
由可得，，
则
，
，
两式相减，
可得
，
．
【解析】先根据题干已知条件及等差中项的性质计算出与的值，再设等比数列的公比为，然后列出关于公比的方程，解出公比的值，进一步计算出首项的值，即可计算出数列的通项公式；
先根据第题的结果计算出数列的通项公式，再运用错位相减法即可计算出前项和．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，错位相减法，等比数列的通项公式与求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
19.【答案】证明：因为平面，平面，
所以平面平面，
又，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，是的中点，所以，
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
解：以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点作与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为平面，平面，平面平面，
所以，
又是的中点，所以是的中点，
所以，，，，
所以，，，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，则，
令，得，，所以平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为．
【解析】由平面，得平面平面，进而知平面，有，再由三线合一得，从而得平面，然后由面面垂直的判定定理，得证；
由平面，得，从而知是的中点，再以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用法向量求解面面角的余弦值，即可．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线与面平行、垂直的判定定理与性质定理，利用空间向量求平面与平面夹角的方法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：易知男生人数为，女生人数为，
列联表如下：
性别 满意度 合计
满意 不满意
男生
女生
合计
假设：“暑期研学旅行”的满意度与性别无关联，
此时，
所以有的把握认为“暑期研学旅行”的满意度与性别有关联；
若采用分层随机抽样的方法从参与问卷调查持“不满意”态度的学生中抽取了名学生，
且从这名学生中随机抽取人进行座谈，
则抽取的男生有人，女生有人，
易知的所有可能取值为，，，
此时，，，
则的分布列为：
故．
【解析】由题意，按男女比例分配完成列联表，代入公式中求出观测值，将其与临界值进行对比，进而即可求解；按分层抽样的抽样比求出抽出的样本数，得到的所有可能取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解．
本题考查离散型随机变量分布列及期望，考查了逻辑推理和运算能力．
21.【答案】解：依题意，抛物线的焦点，准线方程，当的斜率为时，的方程为，
由，得，设，，则，
所以．
证明：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，
由消去得，由，，
，，对求导，得，
切线的方程为，切线的方程为，
由，解得，即，
当时，，显然；当时，直线的斜率为，因此，
所以．
【解析】求出抛物线焦点坐标、准线方程，再求出直线的方程，并与抛物线方程联立，结合抛物线定义求解作答．
设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用导数的几何意义求出切线方程，并求出点的坐标，推理判断两直线垂直作答．
本题考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，考查方程思想，属中档题．
22.【答案】解：，
，
在区间上单调递增，
故．
，
．
令，则，
又，，
故在区间上单调递增，
．
又对任意的，存在，使，
，
即，解得，
故实数的取值范围为．
令，，则．
令，解得，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，即当且仅当时，等号成立．
令，则．
令，解得，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，即当且仅当时，等号成立，
故当且仅当时，等号成立．
又，．
，，
故，即．
【解析】任意的，存在，使，可转化为，则求出，，即可求出实数的取值范围；
指对缩放不等式可知，需证明，则可得，则不等式可证．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值、指对不等式的常见处理手段指对同构法、指对放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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