2022-2023学年上海市浦东模范中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市浦东模范中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每题4分，共24分）
1．（4分）下列各组线段中，成比例线段的组是（　　）
A．3cm，4cm，5cm，8cm B．1cm，3cm，4cm，8cm
C．0.2cm，0.3cm，4cm，6cm D．1.5cm，2cm，4cm，6cm
2．（4分）下列命题一定正确的是（　　）
A．两个等腰三角形一定相似
B．两个等边三角形一定相似
C．两个直角三角形一定相似
D．两个含有30°角的三角形一定相似
3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，那么边AC的长为（　　）
A．m sinα B．m cosα C．m tanα D．m cotα
4．（4分）下列命题中，错误的是（　　）
A．如果k＝0或，那么
B．如果m、n为实数，那么
C．如果（k为实数），那么
D．如果，那么或
5．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC△ADE＝S四边形BCED，那么下列结论中，正确的是（　　）
A．DE：BC＝1：2 B．DE：BC＝1： C．DE：BC＝1：3 D．DE：BC＝1：4
6．（4分）在△ABC中，点D在边BC上，联结AD（　　）
A．如果∠BAC＝90°，AB2＝BD BC，那么AD⊥BC
B．如果AD⊥BC，AD2＝BD CD，那么∠BAC＝90°
C．如果AD⊥BC，AB2＝BD BC，那么∠BAC＝90°
D．如果∠BAC＝90°，AD2＝BD CD，那么AD⊥BC
二、填空题（每题4分，共48分）
7．（4分）已知x：y＝1：3，那么（x+y）：y＝　 　．
8．（4分）如果地图上A、B两处的图距是4cm，表示这两地的实际距离是200km，那么实际距离是500km的两地在地图上的图距是　 　cm．
9．（4分）已知点P是线段AB上的一点，且AP2＝AB PB，如果AB＝2，那么AP＝　 　．
10．（4分）如果为单位向量，与方向相反，那么＝　 　（用表示）．
11．（4分）如图，已知AD∥BE∥CF，若AB＝3，EF＝6，则DE的长为 　 　．
12．（4分）如图，正方形DEFG的边EF在ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知BC长为40厘米，则ABC的高AH为　 　厘米．
13．（4分）在△ABC中，AB＝5，BC＝8，则S△ABC＝　 　（结果保留根号）
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE交BD于点F，若△BFE的面积为2　 　．
15．（4分）如图，已知O为△ABC内一点，点D、E分别在边AB、AC上，且＝，设＝、＝，那么＝　 　（用、表示）．
16．（4分）如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，cos∠C＝，那么GE＝　 　．
17．（4分）已知点P在△ABC内，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，那么就称点P为△ABC的自相似点．如图，在Rt△ABC中，AC＝12，BC＝5，那么∠ACP的余切值等于 　 　．
18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，把△ADE沿直线AE翻折，使点D落在对角线AC上的点F处，那么DE的长是　 　．
二、简答题（19-22题，每题10分，23-24每题12分，25题14分，共78分）
19．（10分）计算：cos245°﹣+tan260°﹣cot45° sin30°．
20．（10分）如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，＝，＝．
（1）求证：AB∥EF；
（2）求S△ABE：S△EBC：S△BCD．
21．（10分）如图，AB与CD相交于点E，AC∥BD，联结BC，若BC平分∠ABF，BE＝3．
（1）求BD的长；
（2）设＝，＝，用含、的式子表示．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD＝6，cos∠ADC＝．
（1）求AC和AB的长；
（2）求sin∠BAD的值．
23．（12分）如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，汽车直接沿直线AB行驶．已知∠A＝30°，∠B＝45°，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据：≈1.4，≈1.7）
24．（12分）如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，延长DE、CB交于点F
（1）求证：∠FEB＝∠C；
（2）连接AF，若＝，求证：EF AB＝AC FB．
25．（14分）如图，已知线段AB，P是线段AB上任意一点（不与点A、B重合），在AB的同侧作等边△APD和△BPC，连接BD与PC交于点E
（1）当BC⊥CD时，试求∠DBC的正切值；
（2）若线段CD是线段DE和DB的比例中项，试求这时的值；
（3）记四边形ABCD的面积为S，当P在线段AB上运动时，S与BD2是否成正比例，若成正比例，试求出比例系数，试说明理由．
2022-2023学年上海市浦东模范中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分，共24分）
1．（4分）下列各组线段中，成比例线段的组是（　　）
A．3cm，4cm，5cm，8cm B．1cm，3cm，4cm，8cm
C．0.2cm，0.3cm，4cm，6cm D．1.5cm，2cm，4cm，6cm
【答案】C
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、3×8≠3×5；
B、1×8≠3×4；
C、4.2×6＝7.3×4；
D、8.5×6≠8×4．
故选：C．
2．（4分）下列命题一定正确的是（　　）
A．两个等腰三角形一定相似
B．两个等边三角形一定相似
C．两个直角三角形一定相似
D．两个含有30°角的三角形一定相似
【答案】B
【分析】根据三角形相似的判定方法逐个分析，确定正确答案即可．
【解答】解：A、等腰三角形的角度不一定相等，故A不正确；
B、两个等边三角形的各角度都为60°，故B正确；
C、两个直角三角形只有一个直角可以确定相等，故C不正确；
C、两个含30°角的三角形只有一对30°角可以确定相等；
故选：B．
3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，那么边AC的长为（　　）
A．m sinα B．m cosα C．m tanα D．m cotα
【答案】A
【分析】根据三角函数值的求值可以求得sinα＝，故根据AB＝m即可求得AC的值，即可解题．
【解答】解：∠C＝90°，∠B＝α，
 
则sinα＝，
∴AC＝AB sinα＝m sinα．
故选：A．
4．（4分）下列命题中，错误的是（　　）
A．如果k＝0或，那么
B．如果m、n为实数，那么
C．如果（k为实数），那么
D．如果，那么或
【答案】D
【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．
【解答】解：A、如果k＝0或＝，正确．
B、如果m，那么，本选项不符合题意．
C、如果，那么，本选项不符合题意．
D、如果或，错误．
故选：D．
5．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC△ADE＝S四边形BCED，那么下列结论中，正确的是（　　）
A．DE：BC＝1：2 B．DE：BC＝1： C．DE：BC＝1：3 D．DE：BC＝1：4
【答案】见试题解答内容
【分析】由两直线平行得到两三角形相似，即△ADE∽△ABC，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求出答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2，
又∵S△ADE＝S四边形BCED，
∴＝（）2＝，
则DE：BC＝1：，
故选：B．
6．（4分）在△ABC中，点D在边BC上，联结AD（　　）
A．如果∠BAC＝90°，AB2＝BD BC，那么AD⊥BC
B．如果AD⊥BC，AD2＝BD CD，那么∠BAC＝90°
C．如果AD⊥BC，AB2＝BD BC，那么∠BAC＝90°
D．如果∠BAC＝90°，AD2＝BD CD，那么AD⊥BC
【答案】D
【分析】根据相似三角形的判定定理证明相应的三角形相似，根据相似三角形的性质判断即可．
【解答】解：A、∵AB2＝BD BC，
∴＝，又∠B＝∠B
∴△BAD∽△BCA，
∴∠BDA＝∠BAC＝90°，即AD⊥BC，不符合题意；
B、∵AD2＝BD CD，
∴＝，又∠ADC＝∠BDA＝90°，
∴△ADC∽△BDA，
∴∠BAD＝∠C，
∵∠DAC+∠C＝90°，
∴∠DAC+∠BAD＝90°，
∴∠BAC＝90°，故B选项说法正确；
C、∵AB7＝BD BC，
∴＝，又∠B＝∠B
∴△BAD∽△BCA，
∴∠BAC＝∠BDA＝90°，即AD⊥BC，不符合题意；
D、如果∠BAC＝90°2＝BD CD，那么AD与BC不一定垂直，符合题意；
故选：D．
二、填空题（每题4分，共48分）
7．（4分）已知x：y＝1：3，那么（x+y）：y＝　　．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：∵x：y＝1：3，
∴3x＝y，
∴（x+y）：y＝（x+3x）：3x＝；
故答案为：．
8．（4分）如果地图上A、B两处的图距是4cm，表示这两地的实际距离是200km，那么实际距离是500km的两地在地图上的图距是　10　cm．
【答案】见试题解答内容
【分析】先设这个图距是xcm，根据图上距离比上实际距离等于比例尺，可得关于x的方程，解即可．
【解答】解：设这个图距是xcm，则
4：20000000＝x：50000000，
解得x＝10．
故答案是10．
9．（4分）已知点P是线段AB上的一点，且AP2＝AB PB，如果AB＝2，那么AP＝　﹣1　．
【答案】﹣1．
【分析】设AP＝x，则PB＝2﹣x，根据AP2＝AB PB列出方程求解即可，另外，注意舍去负数解．
【解答】解：设AP＝x，则PB＝2﹣x，
由题意，x2＝4（2﹣x），
解得x＝﹣2或﹣
故答案为：﹣3．
10．（4分）如果为单位向量，与方向相反，那么＝　﹣5　（用表示）．
【答案】﹣5．
【分析】根据向量的表示方法可直接进行解答．
【解答】解：∵的长度为5是单位向量，
∴||＝5||，
∵与单位向量，
∴＝﹣2．
故答案为：﹣5．
11．（4分）如图，已知AD∥BE∥CF，若AB＝3，EF＝6，则DE的长为 　　．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据AB＝3，AC＝7，可得BC＝4，再根据AD∥BE∥CF，即可得出＝，即＝，进而得到DE的长．
【解答】解：∵AB＝3，AC＝7，
∴BC＝3，
∵AD∥BE∥CF，
∴＝，
即＝，
解得DE＝，
故答案为：．
12．（4分）如图，正方形DEFG的边EF在ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知BC长为40厘米，则ABC的高AH为　　厘米．
【答案】见试题解答内容
【分析】由DG∥BC得△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．
【解答】解：设三角形ABC的高AH为x厘米．
由正方形DEFG得，DG∥EF，
∵AH⊥BC，
∴AP⊥DG．
由DG∥BC得△ADG∽△ABC
∴＝．
∵PH⊥BC，DE⊥BC，
∴PH＝ED，AP＝AH﹣PH，
∵BC长为40厘米，若正方形DEFG的边长为25厘米，
∴＝，
解得x＝．
即AH为厘米．
故答案为：．
13．（4分）在△ABC中，AB＝5，BC＝8，则S△ABC＝　　（结果保留根号）
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据AB＝5，∠B＝60°，求出△ABC中BC边上的高，再根据三角形的面积公式代入计算即可．
【解答】解：∵AB＝5，∠B＝60°，
∴△ABC中，BC边上的高＝sin60°×AB＝，
∵BC＝8，
∴S△ABC＝×8×；
故答案为：10．
14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE交BD于点F，若△BFE的面积为2　18　．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形得到BC∥AD，判定△ADF∽△EBF，然后用相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△AFD的面积．
【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△ADF∽△EBF，
∵EC＝2BE，
∴BC＝3BE，
即：AD＝7BE，
∴S△AFD＝9S△EFB＝18．
故答案为：18．
15．（4分）如图，已知O为△ABC内一点，点D、E分别在边AB、AC上，且＝，设＝、＝，那么＝　　（用、表示）．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形法则和平行线分线段成比例来求．
【解答】解：∵＝，DE∥BC，
∴＝＝，
∴DE＝BC．
∵＝、＝，
＝﹣＝﹣，
∴＝．
故答案为：．
16．（4分）如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，cos∠C＝，那么GE＝　　．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理、三角形相似可以求得GE的长，本题得以解决．
【解答】解：作EF⊥BC于点F，
∵AD、BE分别是边BC，AB＝AC＝5，
∴AD⊥BC，AD＝3，
∴AD∥EF，BC＝8，
∴EF＝4.5，DF＝2，
∴，BF＝6，
∴DG＝1，
∴BG＝，
∴，
得BE＝，
∴GE＝BE﹣BG＝＝，
故答案为：．
17．（4分）已知点P在△ABC内，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，那么就称点P为△ABC的自相似点．如图，在Rt△ABC中，AC＝12，BC＝5，那么∠ACP的余切值等于 　　．
【答案】见试题解答内容
【分析】先找到Rt△ABC的内相似点，再根据三角函数的定义计算∠ACP的余切即可．
【解答】解：∵AC＝12，BC＝5，
∴∠CAB＜∠CBA，
故可在∠CAB内作∠CBP＝∠CAB，
又∵点P为△ABC的自相似点，
∴过点C作CP⊥PB，并延长CP交AB于点D，
则△BPC∽△ACB，
∴点P为△ABC的自相似点，
∴∠BCP＝∠CBA，
∴∠ACP＝∠BAC，
∴∠ACP的余切＝＝，
故答案为：．
18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，把△ADE沿直线AE翻折，使点D落在对角线AC上的点F处，那么DE的长是　3﹣　．
【答案】3﹣．
【分析】由矩形的性质可得AB∥CD，AB＝CD＝2，∠D＝90°，由折叠的性质可得DE＝EF＝a，∠DEA＝∠FEA＝∠EAB，可得AB＝BE＝2，由相似三角形的性质可得，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝2，
∴∠DEA＝∠EAB，
设DE＝a，则CE＝2﹣a，
∵把△ADE沿直线AE翻折，使点D落在对角线AC上的点F处，
∴DE＝EF＝a，∠DEA＝∠FEA，
∵∠EAB＝∠FEA，
∴AB＝BE＝2，
∴BF＝BE﹣EF＝2﹣a，
∵AB∥CD，
∴△CEF∽△ABF，
∴，
∴，
∴a＝3+（舍去），
∴DE＝3﹣，
故答案为：3﹣．
二、简答题（19-22题，每题10分，23-24每题12分，25题14分，共78分）
19．（10分）计算：cos245°﹣+tan260°﹣cot45° sin30°．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．
【解答】解：原式＝（）2﹣+（）3﹣1×
＝﹣8+3﹣
＝2．
20．（10分）如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，＝，＝．
（1）求证：AB∥EF；
（2）求S△ABE：S△EBC：S△BCD．
【答案】（1）证明见解答；
（2）S△ABE：S△EBC：S△BCD＝1：2：6．
【分析】（1）由AB∥CD，得△ABE∽△CDE，则＝＝，所以＝，而∠EBF＝∠DBC，即可证明△EBF∽△DBC，得∠BEF＝∠D，则EF∥CD，所以AB∥EF；
（2）设S△ABE＝m，由平行线分线段成比例定理得＝＝，则＝，由相似三角形的性质得＝＝＝，所以S△EBC＝2S△ABE＝2m，S△CDE＝4S△ABE＝4m，则S△BCD＝6m，则S△ABE：S△EBC：S△BCD＝m：2m：6m＝1：2：6．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝，
∵∠EBF＝∠DBC，
∴△EBF∽△DBC，
∴∠BEF＝∠D，
∴EF∥CD，
∴AB∥EF．
（2）解：设S△ABE＝m，
∵AB∥EF∥CD，
∴＝＝，
∴＝，
∵△EBF∽△DBC，
∴＝＝＝，
∴S△EBC＝2S△ABE＝2m，S△CDE＝4S△ABE＝4m，
∴S△BCD＝S△EBC+S△CDE＝2m+4m＝3m，
∴S△ABE：S△EBC：S△BCD＝m：2m：6m＝2：2：6．
21．（10分）如图，AB与CD相交于点E，AC∥BD，联结BC，若BC平分∠ABF，BE＝3．
（1）求BD的长；
（2）设＝，＝，用含、的式子表示．
【答案】（1）；
（2）﹣．
【分析】（1）根据平行线的性质得出，∠ACB＝∠CBF，再根据BC平分∠ABF，即可得出∠ABC＝∠ACB，即可得出AC的长即可求解；
（2）由平行线的性质得出，再根据平面向量的线性运算即可求解．
【解答】解：（1）∵AC∥BD，
∴，∠ACB＝∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠CBF，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC＝3+3＝5，
∴，
∴BD＝；
（2）∵AC∥BD，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD＝6，cos∠ADC＝．
（1）求AC和AB的长；
（2）求sin∠BAD的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）通过解Rt△ACD得到AD边的长度；然后在该直角三角形中利用勾股定理来求AC的长度；然后通过解Rt△ABC可以求得BC的长度，再利用勾股定理求线段AB的长度．
（2）如图，过点D作DE⊥AB于点E，构建Rt△ADE，通过解该直角三角形来求sin∠BAD的值．
【解答】解：（1）如图，在Rt△ACD中，CD＝6，
∴＝，即＝，
则AD＝10，
∴由勾股定理知，AC＝＝．
又∵tanB＝，
∴＝，即＝，
则BC＝12．
∴在Rt△ABC中，利用勾股定理知＝＝5．
综上所述，AC＝8；
（2）如图，过点D作DE⊥AB于点E．
由（1）易知，BD＝6．
∵tanB＝，
∴＝．则BE＝．
则由勾股定理得到：42＝DE2+DE2，
解得 DE＝，
∴sin∠BAD＝＝＝．
23．（12分）如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，汽车直接沿直线AB行驶．已知∠A＝30°，∠B＝45°，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据：≈1.4，≈1.7）
【答案】见试题解答内容
【分析】首先过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD＝x，即可表示出AC，BC的长，进而求出x的值，再利用锐角三角函数关系得出AD，BD的长，即可得出答案．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，设CD＝x．
在Rt△ACD中，sin∠A＝＝2x，
在Rt△BCD中，sin∠B＝＝x，
∵AC+BC＝5x+x＝68
∴x＝≈＝20． 
在Rt△ACD中，tan∠A＝＝20，
在Rt△BCD中，tan∠B＝＝20，
AB＝20+20≈54，
AC+BC﹣AB＝68﹣54＝14.3（km）．
答：隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走14.0千米．
24．（12分）如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，延长DE、CB交于点F
（1）求证：∠FEB＝∠C；
（2）连接AF，若＝，求证：EF AB＝AC FB．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）证明△AED∽△ACB即可解决问题；
（2）证明△EFB∽△FAB，可得＝，由AF＝AC，可得结论；
【解答】证明：（1）∵AE AB＝AD AC．
∴＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴∠AED＝∠C，
又∵∠AED＝∠FEB，
∴∠FEB＝∠C．
（2）∵∠FEB＝∠C，∠EFB＝∠CFD，
∴△EFB∽△CFD，
∴∠FBE＝∠FDC，
∵＝，
∴＝，
∴△FBA∽△CDF，
∴∠FEB＝∠C
∴AF＝AC，
∵∠FEB＝∠C，
∴∠FEB＝∠AFB，
又∵∠FBE＝∠ABF，
∴△EFB∽△FAB，
∴＝，
∵AF＝AC，
∴EF AB＝AC FB．
25．（14分）如图，已知线段AB，P是线段AB上任意一点（不与点A、B重合），在AB的同侧作等边△APD和△BPC，连接BD与PC交于点E
（1）当BC⊥CD时，试求∠DBC的正切值；
（2）若线段CD是线段DE和DB的比例中项，试求这时的值；
（3）记四边形ABCD的面积为S，当P在线段AB上运动时，S与BD2是否成正比例，若成正比例，试求出比例系数，试说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出PC＝BC，∠CPD＝60°，PD∥BC，进而得出∠DBC的正切值等于＝，即可得出答案；
（2）利用线段CD是线段DE和DB的比例中项得出△DCE∽△DBC，再利用相似三角形的性质得出即可；
（3）由AD∥PC，PD∥BC，得出，，进而得出，以及，即可得出比例系数．
【解答】解：（1）∵等边△APD和△BPC，
∴PC＝BC，∠CPD＝60°，
∴PD∥BC，
∴∠DPC＝∠PCB＝60°，
∵BC⊥CD，
∴∠DCB＝∠PDC＝90°，
∴∠DCP＝30°，
∴tan∠DBC＝＝＝cos30°＝；
（2）由已知，CD5＝DE DB，
即，
又∵∠CDE＝∠CDE，
∴△DCE∽△DBC，
∴，
又∵CP＝BC，，
∵PD∥BC，
∴，
∴，
∴CD＝BE，
∴，即点E是线段BD的黄金分割点．
∴，
又∵PC∥AD，
∴，
（3）设AP＝a，PB＝b，
∴，，
因为AD∥PC，PD∥BC，
∴，，
∴，
∴，
∴，
作DH⊥AB，
则，，
∴BD2＝DH6+BH2＝（a）2+（a+b）2＝a2+ab+b6，
∴，
∴S与BD2成正比例，比例系数为．