2023-2024学年四川省眉山市彭山重点中学高一（上）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省眉山市彭山重点中学高一（上）入学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 设集合，，则( )
A. B. C. D.
3. 已知集合，，则的子集共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4. 已知集合满足，那么这样的集合的个数为( )
A. B. C. D.
5. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是( )
A. B. C. D. 或
6. 设、，则“且”是“”的条件( )
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非充分非必要
7. 设集合或，，若，则的取值范围是( )
A. 或 B. 或 C. D.
8. 如图，在一个单位为的方格纸上，，，，，是斜边在轴上，斜边长分别为，，，的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的横坐标为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法正确的有( )
A. 集合有个真子集 B. 对于任意集合，
C. 任何集合都有子集，但不一定有真子集 D. 若，则
10. 图中矩形表示集合，两个椭圆分别表示集合，，则图中的阴影部分可以表示为( )
A. B.
C. D.
11. 设集合，且，则实数可以是( )
A. B. C. D.
12. 已知集合，，下列说法正确的是( )
A. 不存在实数使得 B. 当时，
C. 当时， D. 存在实数使得
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 计算： ______
14. 含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 ．
15. 给定集合，，定义一种新运算，或，，试用列举法写出______．
16. 已知是实常数，若：，：，且是的充分条件，则实数的取值范围是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：；
分解因式：．
18. 本小题分
已知集合，．
若，求；
若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围．
19. 本小题分
冰墩墩、雪容融分别是年北京冬奥会、冬残奥会的吉样物冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用元购进了冰墩墩玩偶个和雪容融玩偶个，已知购进个冰墩墩玩偶和个雪容融玩偶共需元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利元，每个雪容融玩偶可获利元．
求两种玩偶的进货价分别是多少？
第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的倍小雅计划购进两种玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？
20. 本小题分
年月日，教育部印发义务教育课程方案和课程标准年版，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下统计图．
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
求图中的 ______ ，本次调查数据的中位数是______ ，本次调查数据的众数是______ ；
该校此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是多少？
若该校共有名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数．
21. 本小题分
已知集合，，．
求；；
若，求实数的取值范围．
22. 本小题分
如图，已知抛物线交轴于、两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”，图象交轴于点．
写出图象位于线段上方部分对应的函数关系式；
若直线与图象有三个交点，请结合图象，直接写出的值；
为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
．
故选：．
利用并集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
，
，
故选：．
求出集合，根据交集的定义求出答案即可．
本题考查了集合的运算，考查交集的定义，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，
则，元素个数为个，
故A的子集共有个．
故选：．
先通过集合的交集运算得出，再根据集合内元素的个数得出子集个数．
本题主要考查子集个数的求解，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：集合满足，
所以，，
故集合的个数为．
故选：．
由已知结合集合子集个数与元素个数的关系即可求解．
本题主要考查了集合子集的个数与集合元素个数的关系，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
，
解得，，
因为，所以等腰三角形的腰为，底边为，
所以该等腰三角形的周长为．
故选：．
先利用因式分解法解方程得到，，再利用三角形三边的关系得到等腰三角形的腰为，底边为，然后计算该等腰三角形的周长．
本题考查了解一元二次方程，也考查了三角形三边的关系，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由且，反之不成立，例如取，．
“且”是“”的充分不必要条件，
故选：．
利用不等式的意义即可判断出结论．
本题考查了不等式的意义、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由集合或，得，
又集合且，
则或，即或．
故选：．
先求出，根据，可求得结果．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：在一个单位为的方格纸上，，，，，是斜边在轴上，斜边长分别为，，，的等腰直角三角形，
又的顶点坐标分别为，，，
则，，，，，，，，，，
则，
又，
则的横坐标为．
故选：．
先阅读题意，归纳出，然后求解即可．
本题考查了归纳推理了，属基础题．
9.【答案】
【解析】解：，含有个元素的集合的真子集个数为，故A错误，
，空集为任意集合的子集，，B正确，
，空集为任意集合的子集，是任意非空集合的真子集，C正确，
，空集是任意非空集合的真子集，若，则，D正确，
故选：．
利用集合的真子集个数公式判断，利用空集为任意集合的子集，是任意非空集合的真子集判断．
本题考查集合的概念等基础知识，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据集合间的关系结合图可得，图中阴影部分为与的并集，故A正确，又，也表示图中阴影部分，故D正确，
中包含了中所有元素，故B不正确，
又，故C也不正确，
故选：．
根据集合间的关系结合图可解．
本题考查集合间的关系以及图相关知识，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：，，，
，
当时，，满足，
当时，，满足，
当时，，满足，
故选：．
由可得，对集合分类讨论，即可得出答案．
本题考查集合的基本运算，考查转化思想和分类讨论思想，考查运算能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：选项A：若集合，则有，因为此方程组无解，所以不存在实数使得集合，故选项A正确，
选项B：当时，，不满足，故选项B错误，
选项C：若，则
当时，有，；
当时，有，此方程组无实数解；
所以若，则有，故选项C错误，
选项D：当时，，，，故D正确，
故选：．
选项A由集合相等列方程组验算；选项B由得，故不满足；选项C通过假设求出实数的取值范围可判定，通过举例判断．
本题主要考查了集合相等的定义，考查了集合间的包含关系的判断，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
结合有理数指数幂的运算求解即可．
本题考查了有理数指数幂的运算，属基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
由两集合相等及元素的互异性，可得且，，，求出，的值，再求出的值．
本题考查了集合相等和元素的互异性，属于基础题．
【解答】
解：由集合，可得且，则，解得．
故，解得舍或．
所以，，该集合为．
所以．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，或，，
又由集合，，则
则；
故答案为：．
根据题意，由的定义，结合集合、，计算即可得答案．
本题考查集合的表示法，关键是理解集合运算的定义．
16.【答案】
【解析】解：是的充分条件，
，
则，得，
两个等号能同时成立，
，
故答案为：．
根据充分条件和必要条件与不等式的关系进行转化求解即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用充分条件和必要条件的定义与不等式的关系进行转化是解决本题的关键，是基础题．
17.【答案】解：原式；
原式
．
【解析】结合有理数指数幂的运算求解即可；
由有理数指数幂的运算，结合因式分解求解即可．
本题考查了有理数指数幂的运算，重点考查了因式分解，属基础题．
18.【答案】解：已知集合，．
当时，，，或
又，
；
因为“”是“”充分不必要条件，所以是的真子集，
又．
或，
当时，，所以；
当时，，
所以；
当时，是的真子集；当时，也满足是的真子集，
综上所述：．
【解析】将代入集合求解，利用集合间的关系可求；
利用充要条件的定义，分类讨论集合可求实数的取值范围．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
19.【答案】解：设冰墩墩进价为元，雪容融进价为元．
得，解得．
冰墩墩进价为元，雪容融进价为元．
设冰墩墩进货个，雪容融进货个，利润为元，
则，
，所以随增大而增大，
又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的倍，
得，解得．
当时，最大，此时，．
答：冰墩墩进货个，雪容融进货个时，获得最大利润，最大利润为元．
【解析】设冰墩墩进价为元，雪容融进价为元．列出方程组求解即可．
设冰墩墩进货个，雪容融进货个，利润为元，推出函数的解析式，然后求解即可．
本题考查函数的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
20.【答案】
【解析】解：，，
中位数为第与个数的平均数，即，
由条形统计图可知，众数为，
故答案为：；；．
解：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是小时，
答：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是小时；
解：人，
答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数为人．
由条形统计可得一周课外劳动一小时的比例，从而可的值；由中位数和众数的求法即可得解；
由平均数公式求解即可；
由比例关系即可得解．
本题主要考查统计图表，考查运算求解能力，属于基础题．
21.【答案】解：集合，，
则，
或，，
故A；
若，则，
当时，，即，
当时，，即，
所以，即，
综上所述：的取值范围为．
【解析】根据已知条件，结合补集、交集、并集的定义，即可依次求解；
根据已知条件，推得，再分是否为空集讨论，即可求解．
本题主要考查集合的混合运算，属于基础题．
22.【答案】解：由翻折可知：令，解得：，，，
设图象的解析式为，代入，解得，
对应函数关系式为
联立方程组，整理，得：，
由得：，此时方程有两个相等的实数根，
由图象可知，当或时，直线与图象有三个交点；
存在．如图，当时，∽，此时，与关于直线对称，
点的横坐标为，；如图，当时，∽，此时，点纵坐标为，
由，解得，舍，的横坐标为，所以；
如图，当时，∽，此时，直线的解析式为，联立方程组：，
解得，舍，的横坐标为，所以，
因此，综上所述：点坐标为或或．
【解析】待定系数法即可得关系式；数形结合，并且联立方程组计算即可；根据三角形相似即可得．分类讨论，根据三角形相似确定点的坐标
本题考查直线与抛物线的综合问题，属于中档题．
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