24.1.2 垂直于弦的直径一课一练（含解析）

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24.1.2 垂直于弦的直径一课一练
一、单选题
1．已知⊙O的半径是5，弦AB=6，则圆心O到弦AB的距离为（　　）
A．3 B．2 C．4 D．3
2．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”
如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是（　　）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
3．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《章算术》中的一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问：径几何？”转化为数学语言：如图， 为 的直径，弦 ，垂足为 ， 寸， 寸，直径 的长是（　　）
A．13寸 B．26寸 C．28寸 D．30寸
4．如图，⊙O的直径AB=10，E在⊙O内，且OE=4，则过E点所有弦中，长度为整数的条数为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
二、计算题
5．如图是一名考古学家发现的一块古代车轮碎片.
（1）请你帮他找到这个车轮的圆心（保留作图痕迹）；
（2）若这个圆的半径为10cm，请求出弦心距为5cm的弦长.
三、解答题
6．已知排水管的截面为如图所示的⊙O，半径为10，圆心O到水面的距离是6，求水面宽AB.
7．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD=5：24
（1）求CD的长；
（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？
四、作图题
8．
（1）如图①，用尺规作图作出圆的一条直径EF（不写作法,保留作图痕迹）；
（2）如图②，A、B、C、D为圆上四点，AB∥CD，AB＜CD，请只用无刻度的直尺，画出圆的一条直径EF（不写画法，保留画图痕迹）.
五、综合题
9．已知：如图，在⊙O中，M是弧AB的中点，过点M的弦MN交弦AB于点C，设⊙O半径为4cm，MN＝ cm，OH⊥MN，垂足是点H．
（1）求OH的长度；
（2）求∠ACM的度数．
10．如图，点P是⊙O直径AB上的一点，过P作直线CD⊥AB，分别交⊙O于C、D两点，连接AC，并将线段AC绕点A进时针旋转90°得到AE，连接ED，分别交⊙O和AB于F、G，连接FC．
（1）求证：∠ACF＝∠AED；
（2）若点P在直径AB上运动（不与点A、B重合），其它条件不变，请问 是否为定值？若是，请求出其值；若不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：
过O作OC⊥AB于C，连接OA，
则由垂径定理得：AC=BC= AB= ×8=4，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC= =4，
即d=4，
故选C．
【分析】过O作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．
2．【答案】C
【解析】【解答】解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，
则有r2=52+（r﹣1）2，
解得r=13，
∴⊙O的直径为26寸，
故答案为：C
【分析】根据垂径定理得出AD=5，在Rt△ADO中，利用勾股定理即可算出半径的长度，进而得出答案。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接OA.
设圆的半径是x寸，在直角△OAE中，OA＝x寸，OE＝（x 1）寸，
∵ ，
∵AB=10，且
∴AE= AB=5
则 ，
解得：x＝13.
则CD＝2×13＝26（寸）.
故答案为：B.
【分析】连接OA，由垂径定理可得AE=AB=5，在直角△OAE中，OA＝x寸，OE＝（x 1）寸，由勾股定理可得，据此列出关于x的方程，求出x的值即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB=10，
∵OB=OA=OC=5，
过E作CD⊥AB于E，连接OC，则CD是过E的⊙O的最短的弦，
∵OB⊥CD，
∴∠CEO=90°，
由勾股定理得：CE= = =3，
∵OE⊥CD，OE过O，
∴CD=2CE=6，
∵AB是过E的⊙O的最长弦，AB=10，
∴过E点所有弦中，长度为整数的条数为1+2+2+2+1=8，
答案为：C．
【分析】求出过E的最短的弦，就是以OE为弦心距的弦，最长的弦就是直径，在这个范围内取整数,注意对称性.
5．【答案】（1）解：作出圆的两条弦的垂直平分线的交点 ，
如图所示：
（2）解：由题意得下图：
其中 ，
在 中根据勾股定理得；
，
圆的半径为10cm，弦心距为5cm的弦长为： cm.
【解析】【分析】（1）在弧AB上任意取一点C，连接AC、BC，作线段AC、BC的垂直平分线，两线的交点O即为所求；
（2）由题意得OC=10，OD=5，利用勾股定理求出DC的长，由垂径定理即可求出结论.
6．【答案】解：如图，过O点作OC⊥AB，连接OB，
根据垂径定理得出AB=2BC，再根据勾股定理求出BC== =8，从而求得AB=2BC=2×8=16.
【解析】【分析】过O点作OC⊥AB，连接OB，由垂径定理可得出AB=2BC，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出BC的长，进而可得出AB的长．
7．【答案】解：（1）∵直径AB=26m，
∴OD=AB=X26=13m，
∵OE⊥CD，
∴DE=CD，
∵OE：CD=5：24，
∴OE：ED=5：12，
∴设OE=5x，ED=12x，
∴在Rt△ODE中（5x）2+（12x）2=132，
解得x=1，
∴CD=2DE=2×12×1=24m；
（2）由（1）得OE=1×5=5m，
延长OE交圆O于点F，
∴EF=OF﹣OE=13﹣5=8m，
∴(小时)，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．
【解析】【分析】（1）在直角三角形EOD中利用勾股定理求得ED的长，2ED等于弦CD的长；
（2）延长OE交圆O于点F求得EF=OF﹣OE=13﹣5=8m，然后利用(小时)，所以经过2小时桥洞会刚刚被灌满．
8．【答案】（1）解：
（2）解：
【解析】【分析】（1）根据垂径定理，作出一条弦的中垂线得出答案；
（2）连接CA，DB并延长，两线相交于一点，连接AD,BC两线相交于一点，根据中垂线的性质可知：过两交点作线即可.
9．【答案】（1）解：连接MO交弦AB于点E， ∵OH⊥MN，O是圆心，
∴MH＝ MN，
又∵MN＝ cm，
∴MH＝ cm，
在Rt△MOH中，OM＝4cm，
∴OH＝ ＝ ＝2（cm）
（2）解：∵M是弧AB的中点，MO是半径，
∴MO⊥AB
∵在Rt△MOH中，OM＝4cm，OH＝2cm，
∴OH＝ MO，
∴∠OMH＝30°， ∴在Rt△MEC中，∠ACM＝90°﹣30°＝60°．
【解析】【分析】（1）连接MO交弦AB于点E，由OH⊥MN，O是圆心，根据垂径定理得到MH等于MN的一半，然后在直角三角形MOH中利用勾股定理即可求出OH；（2）由M是弧AB的中点，MO是半径，根据垂径定理得到OM垂直AB，在直角三角形OHM中，根据一条直角边等于斜边的一半，那么这条这条直角边所对的角为30度，即角OMH等于30度，最后利用三角形的内角和定理即可求出角ACM的度数．
10．【答案】（1）证明：如图1，连接AD， ∵ ＝ ， ∴∠ACF＝∠ADF， 又∵AE是由线段AC绕点A逆时针旋转90°得到，
∴AC＝AE，
∵CD⊥直径AB，
∴AB垂直平分CD，
∴AC＝AD，
∴AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADF，
∴∠ACF＝∠AED
（2）解：是定值 ，理由如下： 如图2，过点E作EN∥CD，过点D作DN⊥CD，且EN与直线AB交于点M，与直线DN交于点N， ∵∠EAC＝∠CPA＝90°， ∴∠EAM+∠CAB＝∠CAB+∠ACP＝90°，
∴∠EAM＝∠ACP，
同理∠MEA＝∠CAB，
又AC＝AE，
∴△EAM≌△ACP（ASA），
∴EM＝AP，AM＝CP，
∵DN⊥CD，CD⊥AB，
∴DN∥AB，
又EN∥CD，
∴四边形MNDP是矩形， ∴MN＝PD，MP＝ND，
∵AB是直径，CD⊥AB，
∴MN＝PD＝CP＝AM，
又∵EM＝AP，
∴EM+MN＝AP+AM，
即EN＝MP＝ND，
∴△END是等腰直角三角形， ∴∠EDN＝45°，
∵DN∥AB，
∴∠EGM＝∠EDN＝45°，
∴△EMG是等腰直角三角形， ∴ ＝cos45°＝ ， ∴ ＝ ＝ ．
【解析】【分析】（1）连接AD，利用垂径定理证得AD＝AC，由旋转的性质可知AC＝AE，推出AE＝AD，∠AED＝∠ADF，即可推出结论；（2）过点E作EN∥CD，过点D作DN⊥CD，且EN与直线AB交于点M，与直线DN交于点N，先证△EAM≌△ACP，推出EM＝AP，AM＝CP，再证明△END为等腰直角三角形，推出△EMG为等腰直角三角形，即可通过锐角三角函数推出结论．
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