新课标九年级数学复习--开放性综合题
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新课标九年级数学复习--开放性综合题
题型特点
这类题目要求学生通过观察、分析、比较、概括，总结出题设反映出的某种规律，进而利用这个规律解决相关问题．这类试题主要考查学生的逻辑判断能力和归纳推理能力。
解题规律
探索规律的数学题，结论一般不直接给出，需要同学们去寻找和发现，合理运用猜想，就能较快地找到结论或结果．解这类题目，常常是先考虑特殊情况，由特殊情况的结果，通过类比猜想出一般情况的结果，再作出相应的证明．
典型剖析
例1 有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…,第n个数记为an，若a1 == ，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面的那个数的差的倒数”。
(1) 试计算：a2 = _______，a3 = ________, a4 = _________。
(2) 根据以上计算结论，猜测出a2004 = ________, a2005 = __________。
分析：（1）本题给出了相邻两数之间的关系，依次求出a2、a3、a4的值，
（2）从求得的结果发现是以= ，，3为循环周期的数列。
解：（1）a2=，a3=3，a4=
（2）∵2005=3×668+1，∴ a 2005 =
∵2006=3×668+2，∴a 2005=
点评：本题以数字之间的内在的规律为基础，由浅入深进行探求，有效地考查了我们计算、分析、归纳的能力。
例2 (无锡市) 观察下列等式，你会发现什么规律：
1×3＋1＝；2×4＋1＝；3×5＋1＝；4×6＋1＝；……．
将你发现的规律用仅含字母n（n为正整数）的等式表示出来；
。
分析： 这类题仅要求写出结果，并不要求严格证明．解这类题是以深刻地观察、分析、归纳其数字内在的规律为基础的，由已知的4个等式发现：等式的左边是含有乘法和加法运算的两项式，两个加数中一个是1，另一个是两个自然数的乘积，这两个自然数相差2，而等式的右边是一个自然数的平方，且这个自然数是等式左边相乘两个自然数中间的数．
解：n·（n+2）+1=（n+1）2
点评： 由于这类题能有效地考查学生观察、分析、归纳数学算式的规律的能力．所以
在新课程标准深入贯彻的今天，倍受中考命题者的青睐，多练几道，信心倍增．
例3 （青岛市） 观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：
如图①中:共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图②中:共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图③中:共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见；……，则第⑥个图中，看不见的小立方体有______个.
分析：从小正方形堆起的结构发现：后面图中看不见的部分就是它前面的图形，即看不见的小正方形有（n－1）3个。
解：看不见的小正方形有 （6－3）3=125个。
点评：这是一道数形结合的探究规律的试题，关键要观察、分析出相邻两个图形之间的关系，思考问题的角度是非常重要的。
例4 （无锡） 已知正方形ABCD的边长AB=k（k是正整数），正△PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上，且AE=1. 将△PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、……连续地翻转n次，使顶点P第一次回到原来的起始位置.
（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是△PAE在直线上作连续的翻转运动. 图2是k=1时，△PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探索：若k=1，则△PAE沿正方形的边连续翻转的次数n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置.
（2）若k=2，则n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置；若k=3，则
n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置.
（3）请你猜测：使顶点P第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系（请用含k的代数式表示n）.
1）12次
（2）24次；12次
（3）当k是3的倍数时，n=4k；当k不是3的倍数时，n=12k.
点评：为了引导学生在实践中探求规律，本题给出了一种探求的方法——变直为曲，将绕正方形的边翻转的问题转化为在直线上翻转的问题，使问题简化，更便于发现规律。
例5．（ ）右图是一回形图，其回形通道的宽与OB的长均为1，回形线与射线OA交于点A1，A2，A3，…．若从O点到A1点的回形线为第1圈(长为7)，从A1点到A2点的回形线为第2圈，……，依此类推，则第10圈的长为 ．
分析：方案（1）直接计算各圈回形线的长度为7，15，23，…，发现其规律为7+8（n－1），
方案（2）将图形变形，则第n圈的长为4×2n－1=8n－1，
解：第10圈的长=8×10－1=79
点评：本题要求我们理解图形的形成过程，合理选择探求方案，从以上解法不难发现：方案（1）直接计算各圈回形线的长度，再根据数据特征发现规律，但计算长度的过程比较麻烦；方案（2）用其等价图形使其规律一目了然。
练兵平台
1． （镇江）正方体的表面涂满了颜色，按如图所示将它切成27个大小相等的小立方块，设其中仅有个面（1，2，3）涂有颜色的小立方块的个数为，则、、之间的关系为（）
（A）－＋＝1 （B）＋－＝1
（C）＋－＝2 （D）－＋＝2
2．（深圳）已知：，，，……，
若（a、b都是正整数），则a+b的最小值是__。
3．（青岛） 探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来．无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和，…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T＝ ，我们称它为数字“黑洞”．
T为何具有如此魔力？通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！
4．（南通市） 已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）．
（1）当n = 5时，共向外作出了 个小等边
三角形，每个小等边三角形的面积为 ；
（2）当n = k时，共向外作出了 个
小等边三角形，这些小等边三角形的面积和
为 （用含k的式子表示）．
5．（大连） 如图1、2、3、…、n，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON，
（1）图1中∠MON的度数是 ；
（2）图2中，∠MON的度数是_______，图3中∠MON的度数是________。
（3）试探索∠MON的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）
6．将连续的奇数1，3，5，7，9……排成如图所示数表：
(1)十字框中的五个数的和与中间的数23有什么关系
(2)设中间的数为a，用代数式表示十字框中的五个数之和．
(3)若将十字框上、下、左、右平移，可框住另外五个数，这五个数还有这种规律吗
(4)十字框中的五个数之和能等于2010吗 若能，请写出这五个数．若不能，请说明理由．
体验中考
1．（丽水）下列是三种化合物的结构式及分子式，请按其规律，写出后一种化合物的分子式 ．
2．（茂名） 用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n个图案需要用白色棋子 枚（用含有n的代数式表示）
3．（扬州市）请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数的图像同时满足下列条件:①开口向下,②当时，ｙ随ｘ的增大而减小；当时，ｙ随ｘ的增大而增大.这样的二次函数的解析式可以是____________________．
4．（广东） 设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去···。
（1）记正方形ABCD的边长为＝1，依上述方法所作的正方形的边长依次为，，，···，，求出，，的值。
（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长的表达式。
5．（安徽） 下图中, 图(1)是一个扇形AOB,将其作如下划分:第一次划分: 如图(2)所示,以OA的一半OA1为半径画弧,再作∠AOB的平分线, 得到扇形的总数为6个, 分别为: 扇形AOB、扇形AOC、扇形COB、扇形A1OB1、扇形A1OC1、扇形C1OB1;第二次划分: 如图(3)所示, 在扇形C1OB1中, 按上述划分方式继续划分, 可以得到扇形的总数为11个;第三次划分: 如图(4)所示;……
依次划分下去.
图(1) 图(2)第一次划分 图(3)第二次划分 图(4)第三次划分
(1) 根据题意, 完成下表:
划分次数 扇形总个数
1 6
2 11
3
4
… …
n
(2) 根据上表, 请你判断按上述划分方式, 能否得到扇形的总数为2005个 为什么
6．（基础教育课改实验区）某中学初三（1）班的全体同学在放假两周的时间内，在自主完成学习任务的同时，两周内全班每两个同学都通过一次电话，互相交流学习体会，共同提高．如果该班有56名同学，那么同学们之间共通了多少次电话？
为解决该问题，我们可把该班人数n与通电话次数s间的关系用下列模型来表示：
⑴ 若把n作为点的横坐标，s作为纵坐标，根据上述模型中的数据，在给出的平面直角坐标系中，描出相应各点，并用平滑的曲线连接起来；
⑵ 根据图中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图像上？如果在，求出该函数的解析式；
⑶ 根据⑵中得出的函数关系式，求该班56名同学间共通了多少次电话。
参考答案：
练兵平台 1．D． 2．19． 3．153． 4．9，．3（k－2），．5．120°，90°，72°，
6．(1)7+2l+23+25+39=23×5 (2)(a-l)+(a-2)+a+(a+2)+(a+16)=5a
(3)仍有这种规律，由(2)将十字框上、下、左、右平移，框住的五个数的和始终等于中间数的5倍
(4)假设十字框中的五个数的和能等于2010即5a=2010，a=402，而402不是奇数，所以，十字框中的五个数之和不能等于2010
体验中考
1．CnH2n+2 2．4n+4 3．略（答案不惟一） 4． 5．16，21，…5n+1，不能得到2005个扇形，因为满足5n+1=2005的正整数n不存在6．（1）略 （2）在一个二次函数的图象上，求得 s = （3）1540
图1
图2
n=3
n=4
n=5
……
题型特点
这类题目要求学生通过观察、分析、比较、概括，总结出题设反映出的某种规律，进而利用这个规律解决相关问题．这类试题主要考查学生的逻辑判断能力和归纳推理能力。
解题规律
探索规律的数学题，结论一般不直接给出，需要同学们去寻找和发现，合理运用猜想，就能较快地找到结论或结果．解这类题目，常常是先考虑特殊情况，由特殊情况的结果，通过类比猜想出一般情况的结果，再作出相应的证明．
典型剖析
例1 有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…,第n个数记为an，若a1 == ，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面的那个数的差的倒数”。
(1) 试计算：a2 = _______，a3 = ________, a4 = _________。
(2) 根据以上计算结论，猜测出a2004 = ________, a2005 = __________。
分析：（1）本题给出了相邻两数之间的关系，依次求出a2、a3、a4的值，
（2）从求得的结果发现是以= ，，3为循环周期的数列。
解：（1）a2=，a3=3，a4=
（2）∵2005=3×668+1，∴ a 2005 =
∵2006=3×668+2，∴a 2005=
点评：本题以数字之间的内在的规律为基础，由浅入深进行探求，有效地考查了我们计算、分析、归纳的能力。
例2 (无锡市) 观察下列等式，你会发现什么规律：
1×3＋1＝；2×4＋1＝；3×5＋1＝；4×6＋1＝；……．
将你发现的规律用仅含字母n（n为正整数）的等式表示出来；
。
分析： 这类题仅要求写出结果，并不要求严格证明．解这类题是以深刻地观察、分析、归纳其数字内在的规律为基础的，由已知的4个等式发现：等式的左边是含有乘法和加法运算的两项式，两个加数中一个是1，另一个是两个自然数的乘积，这两个自然数相差2，而等式的右边是一个自然数的平方，且这个自然数是等式左边相乘两个自然数中间的数．
解：n·（n+2）+1=（n+1）2
点评： 由于这类题能有效地考查学生观察、分析、归纳数学算式的规律的能力．所以
在新课程标准深入贯彻的今天，倍受中考命题者的青睐，多练几道，信心倍增．
例3 （青岛市） 观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：
如图①中:共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图②中:共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图③中:共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见；……，则第⑥个图中，看不见的小立方体有______个.
分析：从小正方形堆起的结构发现：后面图中看不见的部分就是它前面的图形，即看不见的小正方形有（n－1）3个。
解：看不见的小正方形有 （6－3）3=125个。
点评：这是一道数形结合的探究规律的试题，关键要观察、分析出相邻两个图形之间的关系，思考问题的角度是非常重要的。
例4 （无锡） 已知正方形ABCD的边长AB=k（k是正整数），正△PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上，且AE=1. 将△PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、……连续地翻转n次，使顶点P第一次回到原来的起始位置.
（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是△PAE在直线上作连续的翻转运动. 图2是k=1时，△PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探索：若k=1，则△PAE沿正方形的边连续翻转的次数n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置.
（2）若k=2，则n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置；若k=3，则
n= 时，顶点P第一次回到原来的起始位置.
（3）请你猜测：使顶点P第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系（请用含k的代数式表示n）.
1）12次
（2）24次；12次
（3）当k是3的倍数时，n=4k；当k不是3的倍数时，n=12k.
点评：为了引导学生在实践中探求规律，本题给出了一种探求的方法——变直为曲，将绕正方形的边翻转的问题转化为在直线上翻转的问题，使问题简化，更便于发现规律。
例5．（ ）右图是一回形图，其回形通道的宽与OB的长均为1，回形线与射线OA交于点A1，A2，A3，…．若从O点到A1点的回形线为第1圈(长为7)，从A1点到A2点的回形线为第2圈，……，依此类推，则第10圈的长为 ．
分析：方案（1）直接计算各圈回形线的长度为7，15，23，…，发现其规律为7+8（n－1），
方案（2）将图形变形，则第n圈的长为4×2n－1=8n－1，
解：第10圈的长=8×10－1=79
点评：本题要求我们理解图形的形成过程，合理选择探求方案，从以上解法不难发现：方案（1）直接计算各圈回形线的长度，再根据数据特征发现规律，但计算长度的过程比较麻烦；方案（2）用其等价图形使其规律一目了然。
练兵平台
1． （镇江）正方体的表面涂满了颜色，按如图所示将它切成27个大小相等的小立方块，设其中仅有个面（1，2，3）涂有颜色的小立方块的个数为，则、、之间的关系为（）
（A）－＋＝1 （B）＋－＝1
（C）＋－＝2 （D）－＋＝2
2．（深圳）已知：，，，……，
若（a、b都是正整数），则a+b的最小值是__。
3．（青岛） 探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来．无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和，…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T＝ ，我们称它为数字“黑洞”．
T为何具有如此魔力？通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！
4．（南通市） 已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）．
（1）当n = 5时，共向外作出了 个小等边
三角形，每个小等边三角形的面积为 ；
（2）当n = k时，共向外作出了 个
小等边三角形，这些小等边三角形的面积和
为 （用含k的式子表示）．
5．（大连） 如图1、2、3、…、n，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON，
（1）图1中∠MON的度数是 ；
（2）图2中，∠MON的度数是_______，图3中∠MON的度数是________。
（3）试探索∠MON的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）
6．将连续的奇数1，3，5，7，9……排成如图所示数表：
(1)十字框中的五个数的和与中间的数23有什么关系
(2)设中间的数为a，用代数式表示十字框中的五个数之和．
(3)若将十字框上、下、左、右平移，可框住另外五个数，这五个数还有这种规律吗
(4)十字框中的五个数之和能等于2010吗 若能，请写出这五个数．若不能，请说明理由．
体验中考
1．（丽水）下列是三种化合物的结构式及分子式，请按其规律，写出后一种化合物的分子式 ．
2．（茂名） 用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n个图案需要用白色棋子 枚（用含有n的代数式表示）
3．（扬州市）请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数的图像同时满足下列条件:①开口向下,②当时，ｙ随ｘ的增大而减小；当时，ｙ随ｘ的增大而增大.这样的二次函数的解析式可以是____________________．
4．（广东） 设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去···。
（1）记正方形ABCD的边长为＝1，依上述方法所作的正方形的边长依次为，，，···，，求出，，的值。
（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长的表达式。
5．（安徽） 下图中, 图(1)是一个扇形AOB,将其作如下划分:第一次划分: 如图(2)所示,以OA的一半OA1为半径画弧,再作∠AOB的平分线, 得到扇形的总数为6个, 分别为: 扇形AOB、扇形AOC、扇形COB、扇形A1OB1、扇形A1OC1、扇形C1OB1;第二次划分: 如图(3)所示, 在扇形C1OB1中, 按上述划分方式继续划分, 可以得到扇形的总数为11个;第三次划分: 如图(4)所示;……
依次划分下去.
图(1) 图(2)第一次划分 图(3)第二次划分 图(4)第三次划分
(1) 根据题意, 完成下表:
划分次数 扇形总个数
1 6
2 11
3
4
… …
n
(2) 根据上表, 请你判断按上述划分方式, 能否得到扇形的总数为2005个 为什么
6．（基础教育课改实验区）某中学初三（1）班的全体同学在放假两周的时间内，在自主完成学习任务的同时，两周内全班每两个同学都通过一次电话，互相交流学习体会，共同提高．如果该班有56名同学，那么同学们之间共通了多少次电话？
为解决该问题，我们可把该班人数n与通电话次数s间的关系用下列模型来表示：
⑴ 若把n作为点的横坐标，s作为纵坐标，根据上述模型中的数据，在给出的平面直角坐标系中，描出相应各点，并用平滑的曲线连接起来；
⑵ 根据图中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图像上？如果在，求出该函数的解析式；
⑶ 根据⑵中得出的函数关系式，求该班56名同学间共通了多少次电话。
参考答案：
练兵平台 1．D． 2．19． 3．153． 4．9，．3（k－2），．5．120°，90°，72°，
6．(1)7+2l+23+25+39=23×5 (2)(a-l)+(a-2)+a+(a+2)+(a+16)=5a
(3)仍有这种规律，由(2)将十字框上、下、左、右平移，框住的五个数的和始终等于中间数的5倍
(4)假设十字框中的五个数的和能等于2010即5a=2010，a=402，而402不是奇数，所以，十字框中的五个数之和不能等于2010
体验中考
1．CnH2n+2 2．4n+4 3．略（答案不惟一） 4． 5．16，21，…5n+1，不能得到2005个扇形，因为满足5n+1=2005的正整数n不存在6．（1）略 （2）在一个二次函数的图象上，求得 s = （3）1540
图1
图2
n=3
n=4
n=5
……
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