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第二章 整式的加减
2.1 整式的加减
【核心点拨】
1．理解同类项的概念；
2．掌握合并同类项的方法；
3．掌握整式的加减运算及应用；
【考点突破】
考点一 同类项
【例1】下列每组中的两个代数式，属于同类项的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【变式1】若与是同类项，则m，n满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】单项式与是同类项，则的值为（ ）
A．-3 B．3 C． D．1
【变式3】如果单项式与的和是单项式，那么的值为（ ）
A． B．0 C． D．1
考点二 合并同类项
【例1】下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】若关于，的单项式和可以合并成一项，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式3】 关于，的多项式化简后不含二次项，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．
考点三 整式的化简求值
【例1】化简：
(1)； (2)
【变式1】先化简，再求值：，其中，．
【变式2】先化简，再求值：，其中，．
【变式3】先化简，再求值：若，求的值．
考点四 整式加减的应用
【例1】三角形的一边长为，第二边比第一边长，第三边长为．
(1)用代数式表示三角形的周长；(2)当，时，求三角形的周长．
【变式1】学校要利用专款建一长方形的自行车停车场，其他三面用护栏围起，其中长方形停车场的长为米，宽比长少米．
(1)求护栏的总长度；(2)若，每米护栏造价80元，求建此停车场所需的费用．
【变式2】大客车上原有人，中途一半人下车，又上车若干人，这时车上共有乘客人，问上车乘客是多少人（用含、的代数式表示）？当，时，上车乘客是多少人？
【变式3】为帮助农民打通产品销路，某县领导干部进行网络直播带货，为特色农产品代言，为配合云直播，现需搭建一个长方形的直播舞台，已知长方形的长是米，宽比长的2倍小米．
(1)求长方形的周长（用含有，的式子表示）；
(2)当，时，求长方形的长比宽长多少米？
【复习巩固】
一、选择题
1．下列整式与为同类项的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是( )
A． B．
C． D．
3．若单项式与的和仍为单项式，则的值为（ ）
A．8 B．6 C．9 D．27
4．一根铁丝正好围成一个长方形，一边长为，另一边比它长，则长方形的周长为（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
5．先化简．再求值：，其中．
6．已知，求的值．
【综合运用】
一、选择题
1. 若，，则A、B的大小关系（ ）
A． B． C． D．不能确定
2．如果多项式中不含项，则的值为（ ）．
A． B． C． D．或
3．墨迹覆盖了等式“”中的多项式，则覆盖的多项式为（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
4．已知，．
(1)求；
(2)如果，满足，求的值；
(3)若的值与的取值无关，求的值．
5．已知，两个长方形A和B的周长相等，其各边长如图所示，请求出长方形B的长．
．
【中考再现】
1．（2023年四川省乐山市中考数学真题）计算：（ ）
A．a B． C． D．1
2．（2023年四川省宜宾中考数学真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023年四川省德阳市中考数学真题）在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式串m，n，；
第2次操作后得到整式串m，n，，；
第3次操作后…
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（ ）
A． B．m C． D．
4．（2023年湖北省宜昌市中考数学真题）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（ ）．
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
A．左上角的数字为 B．左下角的数字为
C．右下角的数字为 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
5．（2023年重庆市中考数学真题（B卷））在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
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第二章 整式的加减
2.1 整式的加减
【核心点拨】
1．理解同类项的概念；
2．掌握合并同类项的方法；
3．掌握整式的加减运算及应用；
【考点突破】
考点一 同类项
【例1】下列每组中的两个代数式，属于同类项的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【分析】根据同类项的定义：几个单项式的字母和字母的指数均相同，进行判断即可．
【详解】解：A、不是同类项，不符合题意；
B、是同类项，符合题意；
C、不是同类项，不符合题意；
D、不是同类项，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查同类项的识别．熟练掌握同类项的定义，是解题的关键．
【变式1】若与是同类项，则m，n满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，可求得m和n的值．
【详解】解：由同类项的定义可知
，即；．
故选：D．
【点睛】本题考查了同类项，解决本题的关键是熟练掌握同类项的定义．
【变式2】单项式与是同类项，则的值为（ ）
A．-3 B．3 C． D．1
【答案】B
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项，求得的值，即可求解．
【详解】解：∵与是同类项，
∴，，
解得：，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了同类项，根据同类项的定义求出的值是关键．
【变式3】如果单项式与的和是单项式，那么的值为（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】C
【分析】单项式与的和是单项式，得到单项式与是同类项，得到，从而得到，代入求解即可．
【详解】解：∵单项式与的和是单项式，
∴单项式与是同类项，
∴，
∴，∴，∴，
故选C．
【点睛】本题考查了同类项的定义即含有的字母相同且相同字母的指数相同，熟练掌握定义是解题的关键．
考点二 合并同类项
【例1】下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据整式的加减计算即可．
【详解】A、，不符合题意；
B、，符合题意；
C、不是同类项，无法计算，不符合题意；
D、，不是同类项，无法计算，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握同类项的判定与合并是解题的关键．
【变式1】下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据同类项合并规则逐项计算判断即可．
【详解】解：A．，故选项正确，符合题意；
B．与不是同类项，所以不能合并，故选项错误，不符合题意；
C．与不是同类项，所以不能合并，故选项错误，不符合题意；
D．与不是同类项，所以不能合并，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了同类项的合并，解题的关键是熟悉同类项的合并规则．
【变式2】若关于，的单项式和可以合并成一项，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据同类项的定义即可求解．
【详解】解：∵关于，的单项式和可以合并成一项，
∴单项式和是同类项，
∴，，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，掌握同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同是解题的关键．
【变式3】 关于，的多项式化简后不含二次项，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【分析】合并的同类项，然后令其系数等于0列方程求解即可.
【详解】解：
=，
∵多项式化简后不含二次项，
∴，∴.
故选A.
【点睛】本题考查了整式的加减—无关型问题，解答本题的关键是理解题目中代数式的取值与哪一项无关的意思，与哪一项无关，就是合并同类项后令其系数等于0，由此建立方程求解．
考点三 整式的化简求值
【例1】化简：
(1)； (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）去括号、合并同类项，将结果按的降(升)幂排列即可；
（2）去括号、合并同类项，将结果按的降(升)幂排列即可．
【详解】（1）解：原式，
，
，
；
（2）解：原式，
，
．
【点睛】本题考查了整式的加减混合运算，掌握运算的步骤是解题的关键．
【变式1】先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a、b的值代入计算即可．
【详解】解：
当，时，原式．
【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值：给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
【变式2】先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【分析】首先去括号，然后再合并同类项化简，再把，代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：
，
当，时，原式．
【点睛】本题考查了整式加减法中的化简求值，解本题的关键在熟练掌握整式加减的运算法则．
【变式3】先化简，再求值：若，求的值．
【答案】，
【分析】原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出值．
【详解】解：∵，
∴，
原式
；
原式．
【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
考点四 整式加减的应用
【例1】三角形的一边长为，第二边比第一边长，第三边长为．
(1)用代数式表示三角形的周长；
(2)当，时，求三角形的周长．
【答案】(1)
(2)38
【分析】（1）先求出第二边长，再利用三角形的周长公式列式计算即可得；
（2）将，代入计算即可得．
【详解】（1）解：由题意得：第二边长为，
则三角形的周长为；
（2）当，时，
三角形的周长为．
【变式1】学校要利用专款建一长方形的自行车停车场，其他三面用护栏围起，其中长方形停车场的长为米，宽比长少米．
(1)求护栏的总长度；
(2)若，每米护栏造价80元，求建此停车场所需的费用．
【答案】(1)米
(2)建此停车场所需的费用为18400元．
【分析】（1）直接利用整式的加减运算法则得出宽，进而得出答案；
（2）利用（1）中所求，把已知数据代入得出答案．
【详解】（1）解：由题意可得宽为：米，
则护栏的总长度为：
米；
（2）解：由（1）得：当时，
原式（米），
∵每米护栏造价80元，
∴（元），
答：建此停车场所需的费用为18400元．
【点睛】此题主要考查了整式的加减的应用，正确合并同类项是解题关键．
【变式2】大客车上原有人，中途一半人下车，又上车若干人，这时车上共有乘客人，问上车乘客是多少人（用含、的代数式表示）？当，时，上车乘客是多少人？
【答案】，上车乘客是29人
【分析】设上车乘客是人，根据题意表示出x，再将，代入计算即可．
【详解】解：设上车乘客是人．
由题意可得：，
∴
将，代入得
，
答：上车乘客是29人．
【点睛】本题考查整式的加减，解题的关键是找到等量关系，本题属于基础题型．
【变式3】为帮助农民打通产品销路，某县领导干部进行网络直播带货，为特色农产品代言，为配合云直播，现需搭建一个长方形的直播舞台，已知长方形的长是米，宽比长的2倍小米．
(1)求长方形的周长（用含有，的式子表示）；
(2)当，时，求长方形的长比宽长多少米？
【答案】(1)米
(2)米
【分析】（1）根据题意用代数式表示出宽，进而求出长方形的周长；
（2）根据题意用代数式表示出长比宽多的量，然后代入数值即可．
【详解】（1）解：由题意得，长方形的宽为：
(米)，
所以长方形的周长为：(米)．
（2）
当，时，原式(米)．
答：长方形的长比宽长0.5米．
【点睛】本题考查了整式的加减和求代数式的值，熟练掌握整式的运算法则是解本题的关键．
【复习巩固】
一、选择题
1．下列整式与为同类项的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，结合选项求解．
【详解】解：由同类项的定义可知，a的指数是1，b的指数是2．
A、a的指数是2，b的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意；
B、a的指数是1，b的指数是2，与是同类项,故选项符合题意；
C、a的指数是1，b的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意；
D、a的指数是1，b的指数是2，c的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了同类项，判断同类项只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．
2．下列计算正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】运用合并同类项的法则∶1．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数之和，且字母连同它的指数不变．字母不变，系数相加减．2．同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．即可得出答案．
【详解】解：A、，故选项正确，符合题意；
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了合并同类项，解题的关键是知道如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，还要掌握合并同类项的运算法则．
3．若单项式与的和仍为单项式，则的值为（ ）
A．8 B．6 C．9 D．27
【答案】A
【分析】由题意可得两个单项式为同类项从而求得的值，然后代入求值．
【详解】解：单项式与的和仍是单项式，
它们是同类项，
，，则，
故选A．
【点睛】本题考查同类项，根据同类项的定义，即所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，称为同类项．得出两单项式为同类项是解题的关键．
4．一根铁丝正好围成一个长方形，一边长为，另一边比它长，则长方形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据长方形的周长等于（长+宽），从而可得答案．
【详解】解：∵一个长方形，一边长为，另一边比它长，
∴另一边为：，
∴长方形的周长为：．
故选A．
【点睛】本题考查的是整式的加减运算的应用，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键．
二、解答题
5．先化简．再求值：，其中．
【答案】，．
【分析】原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了整式的加减﹣化简求值，给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
6．已知，求的值．
【答案】；
【分析】根据绝对值和二次方的非负性求出，然后再根据整式加减运算法则进行化简，最后代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∵
，
将代入得：
．
【点睛】本题主要考查了整式化简求值，绝对值和二次方的非负性，解题的关键是根据绝对值和二次方的非负性求出，熟练掌握整式加减运算法则，准确计算．
【综合运用】
一、选择题
1. 若，，则A、B的大小关系（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】利用作差法比较A与B的大小即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴，即，
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的加减，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
2．如果多项式中不含项，则的值为（ ）．
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】先合并同类项，再根据原式不含项，可得，即可作答．
【详解】，
∵原式不含项，
∴，
∴的值为或，
故选：D．
【点睛】本题考查了多项式，关键是多项式不含某一项，即表示该项系数为零．
3．墨迹覆盖了等式“”中的多项式，则覆盖的多项式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据整式的加减运算法则即可求解．
【详解】解：设被覆盖的多项式为，
则，
，
覆盖的多项式为，
故选：D．
二、解答题
4．已知，．
(1)求；
(2)如果，满足，求的值；
(3)若的值与的取值无关，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接将，代入计算即可；
（2）先根据非负性求出x、y的值，再代入（1）中结果计算即可；
（3）直接将转化为计算y即可．
【详解】（1）
．
（2）由题意可知：，，
所以，，
原式
．
（3）因为的值与的取值无关，
所以
所以，
所以．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．已知，两个长方形A和B的周长相等，其各边长如图所示，请求出长方形B的长．
【答案】
【分析】根据题意列出代数式求解即可．
【详解】解：由题意得：
．
【点睛】题目主要考查整式加减的应用，理解题意列出式子是解题关键．
【中考再现】
1．（2023年四川省乐山市中考数学真题）计算：（ ）
A．a B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据合并同类项法则进行计算即可．
【详解】解：，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则，准确计算．
2．（2023年四川省宜宾中考数学真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据整式的加减计算即可．
【详解】A、，不符合题意；
B、，符合题意；
C、不是同类项，无法计算，不符合题意；
D、，不是同类项，无法计算，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握同类项的判定与合并是解题的关键．
3．（2023年四川省德阳市中考数学真题）在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式串m，n，；
第2次操作后得到整式串m，n，，；
第3次操作后…
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（ ）
A． B．m C． D．
【答案】D
【分析】先逐步分析前面5次操作，可得整式串每四次一循环，再求解第四次操作后所有的整式之和为：，结合，从而可得答案．
【详解】解：第1次操作后得到整式串m，n，；
第2次操作后得到整式串m，n，，；
第3次操作后得到整式串m，n，，，；
第4次操作后得到整式串m，n，，，，；
第5次操作后得到整式串m，n，，，，，；
归纳可得：以上整式串每六次一循环，
∵，
∴第2023次操作后得到的整式中各项之和与第1次操作后得到整式串之和相等，
∴这个和为，
故选D
【点睛】本题考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律并灵活运用是解本题的关键．
4．（2023年湖北省宜昌市中考数学真题）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（ ）．
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
A．左上角的数字为 B．左下角的数字为
C．右下角的数字为 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
【答案】D
【分析】根据日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，然后用含a的式子表示其余三个数，表达规律即可．
【详解】解：日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，
任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则有：
左上角的数字为，故选项A错误，不符合题意；
左下角的数字为，故选项B错误，不符合题意；
右下角的数字为，故选项C错误，不符合题意；
把方框中4个位置的数相加，即：，结果是4的倍数，故选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
5．（2023年重庆市中考数学真题（B卷））在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．
【详解】解：，故说法①正确．
若使其运算结果与原多项式之和为0，必须出现，显然无论怎么添加绝对值，都无法使的符号为负，故说法②正确．
当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是；；；．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是；；．共有7种情况；
有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；
需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用．
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