数学人教A版（2019）必修第一册2.2基本不等式（共26张ppt）

(共26张PPT)
2.2 基本不等式
重点
难点
1.了解并掌握基本不等式以及基本不等式的证明过程。
2.会用基本不等式证明不等式，以及求简单的最值问题
学习目标
复习导入
重要不等式：一般地，
当且仅当a=b时，等号成立
特别地，如果a>0,b>0,我们用,,可得
当且仅当a=b时，等号成立
当通常把上式称为基本不等式
说明：两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数
复习导入
当且仅当a=b时，等号成立
说明：两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数
算数平均数
几何平均数
如果a>0,b>0,我们用 分别代替a,b,可得到什么结论？
即：
即：
替换后得到：
（a>0,b>0）
基本不等式
定义:特别地，若a>0，b>0，则 ,
基本不等式
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.
算术平均数
几何平均数
文字叙述为：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
a2+b2≥2ab
适用 范围 a,b∈R a>0,b>0
文字 叙述 两数的平方和不小于它们积的2倍 两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值
“=”成立 的条件 a=b a=b
注意从不同角度认识基本不等式
填表比较：
问题 我们该如何证明基本不等式：？
（大家可以回忆上节课是如何比较两个实数大小）
作差法
性质法
当且仅当a＝b时，等号成立.
当且仅当a＝b时，等号成立.
性质法
数学证明的思想方法：综合法
体现：要证、即证
（通俗叫法：逆推法）
基本不等式的证明
（利用几何意义证明）
如图，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD。你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？
基本不等式的前提条件
在问题“已知x>0，求 x + 的最小值”的解决过程中不难发现：最小值是一个常数2，并且只能在x=1时取到. 换一句话说：如果x<0,或x>2等等，x + 的最小值就不是2或者不存在.
由此我们归纳，依a+b≥2 求两个数和或积的最值，
必须要满足条件：(1) ；
(2) ；
(3) .
1.已知x，y都是正数，求证：
(１)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值２；
(２)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2．
方
法
总结
核心素养 之 逻辑推理 + 数学建模
问
题
分
析
提示：因为x，y都是正数，所以x＋y ≥2．
无论是“和”定还是“积”定，不等号的另一侧部分将会取得最
值，且都在x＝y时取得等号.
基本不等式从一侧到另一侧，本质上是一种放大或缩小；当一侧为定值时，即为另一侧的一最值；当然，要满足取等的条件.
2.已知a，b都是正数，求证：
(１) ≤； (２)≤．
方
法
总结
核心素养 之 逻辑推理 + 数学运算
问
题
分
析
提示：(1) ≥2
(2) )2=≤.
不等式证明过程中，可以先局部使用基本不等式放缩，再整体观察化归； 也可以先两边平方或开方，再用基本不等式.
3.某企业要建造一个容积为18cm3,深为2m的长方体形无盖贮水池，如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，怎样设计该水池可使得总造价最低？最低总造价为多少？
方
法
总结
核心素养 之 数学抽象 + 数学建模
问
题
分
析
设贮水池池底长和宽分别为xm,ym，水池总造价为z元，则由容积为18m3, 可得2xy=18, 因此xy=9,
z=200×9+150(2×2x+2×2y)=1800+600(x+y)
≥1800+600×2=5400 当x=y=3时，等号成立.
目标函数中出现两个正变量的和，则依据基本不等式可得其最小值，最后要确认取等条件成立.
例1.(1)用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为篱笆的长度为
(1)由已知得
由，可得
∴
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为
例析
(2)用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
解：(2)由已知得矩形菜园的面积为
由
可得
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园面积最大，最大面积是.
例析
例2.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为,深为如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为水池的总造价为元.
根据题意，有
由容积为,可得
∴
当时，上式等号成立，此时
所以，将贮水池的池底设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.
练习
利用基本不等式求最值
例.(1)已知，求的最小值.
解：(1)∵，
∴
∴
当且仅当，即时，“=”成立.
∴的最小值为0.
练习
例.(2)已知，求的最大值.
解：(2)∵，
∴，
∴
当且仅当，即时，“”成立.
∴的最大值为.
练习
例.(3)已知，且求的最小值.
解：(3)∵，且
∴
当且仅当即时，“”成立.
∴的最小值为.
练习
变.(1)已知，求的最大值.
解：(1)∵，
∴<0，0.
∴
当且仅当得或(舍去)，即，“=”成立.
∴的最大值为.
练习
变.(2)已知，且求的最小值.
解：(3)∵，且
∴
∴
当且仅当即时，“”成立.
∴的最小值为.
练习
方法技巧：
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的简化以及等式中常数的调整，做到等价变形.
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.
(4)注意“1”的妙用.
课堂小结
一、本节课学习的新知识
重要不等式
基本不等式
知识像一艘船让它载着我们驶向理想的
……
谢谢