圆锥曲线复习教学案
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文档简介
圆锥曲线及轨迹
泰州市刁铺中学
一、复习的目标、重点
1、通过用平面截圆锥面，经历从具体情境中抽象出圆锥曲线的过程，掌握它的定义。
2、通过用平面截圆锥面，感受、了解双曲线、抛物线的定义。
3、理解圆锥曲线的统一定义
4、理解曲线与方程的关系，掌握求轨迹方程的一般方法和步骤。
二、知识结构
1、圆锥曲线的定义，并利用定义解决有关问题。
2、求轨迹方程并判断是什么曲线
三、基础训练
1、设定点F1(0,－3)，F2(0,3)，动点P(x,y)满足条件|PF1|+|PF2|=a（a>0），则动点P的轨迹是 椭圆或线段或不存在
2、已知A、B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，则炮弹爆炸点的所在曲线为 双曲线的一支
3、如果M(x,y)在运动过程中，总满足关系式，则M的轨迹是 椭圆
4、若动圆与定圆(x－2)2+y2=1外切，又与直线x+1=0相切，则动圆圆心的轨迹是 抛物线
5、“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程y=”的 必要不充分 条件
6、若P(2,－3)在曲线x2－ay2=1上，则a的值为
四、典例选讲
例1、若一个动点P(x,y)到两个定点F1(－1,0)、F2(1,0)的距离之差的绝对值为定值
a(0≤a≤2)，试探求点P的轨迹。
解：当a=0时，|PF1－PF2|=0，从而PF1=PF2，所以点P的轨迹为直线：x=0
当a=2时，|PF1－PF2|=2=F1F2，点P的轨迹为两条射线：y=0（|x|≥1）
当0例2、已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x－3)2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹。
解：设动圆圆心M(x,y)，动圆半径为R，则MC1=1+R，MC2=3+R，
所以MC2－MC1=2从而M的轨迹为以C1、C2为焦点，2为实轴长的双曲线的左支。
例3、已知平面上有两定点A、B，|AB|=2a，平面上一动点M到A、B两点距离之比为
2：1，求动点M的轨迹方程。
解：以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立坐标系，则A(－a,0)、B(a,0)
设M(x,y)，则MA2=(x+a)2+(y－0)2=(x+a)2+y2，MB2=(x－a)2+(y－0)2=(x－a)2+y2
由题意有MA2= 4MB2，即(x+a)2+y2=4(x－a)2+4y2，
整理得点M的轨迹方程：3x2+3y2－10ax+3a2=0
例4、已知点A(3,)，F(2,0)，在双曲线上求一点P，使PA+PF的值最小，并求出这个最小值。
解：双曲线的离心率e=2，根据圆锥曲线的统一定义，P到右焦点F的距离PF与到右 准线的距离d之比为e，从而d=PF，要使PA+PF的值最小，只要使PA+d的值最小，当PA垂直于右准线时能使PA+d的值最小，最小值为2.5，此时P(,)
五、巩固练习
1、已知动点P(x,y)与两定点A(－2,0)，B(2,0)构成的三角形周长为10，则P点的轨迹是
椭圆（除去长轴端点）
2、已知抛物线y=上一点P(m,n)距点(0,1)最近，则m2+n2= 0
3、平面上到定点A(1,1)和到直线l：x+2y－3=0距离相等的点的轨迹是 直线x－2y+1=0
4、求到两条垂直直线的距离之和等于定值a的点的轨迹方程，并指出图形的形状。
解：以两条垂直直线为两坐标轴建立坐标系，设点P(x,y)，则|x|+|y|=a（a为常数）
当x≥0，y≥0时，x+y=a；
当x≥0，y＜0时，x－y=a；
当x＜0，y＜0时，－x－y=a；
当x＜0，y≥0时，－x+y=a；
图形是以(a,0)、(0,a)、(－a,0)、(0,－a)为顶点的正方形。
5、复习巩固课本（选1-1）题目：P25 例2；P31 10；P34 7
复习巩固课本（选2-1）题目：P27 例2；P28 5；P33 7；P37 4
圆锥曲线的标准方程与几何性质
一、复习的目标、重点
1、掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程。
2、掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质。
3、能利用椭圆、双曲线、抛物线的性质解决有关问题。
二、知识结构
1、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程。
2、椭圆、双曲线、抛物线的几何性质。
三、基础训练
1、若方程(a>0，y≠0)表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是
m＜－1
2、椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则离心率e= 0.6
3、已知方程表示双曲线，则k的取值范围是 －14、双曲线x2－y2=1的左焦点为F，点P是左支上位于x轴下方的任一点，则直线PF的斜率的取值范围是 (－∞,0)∪(1,+∞)
5、抛物线x2=4ay的准线方程是 y=－a
6、抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若|AB|=，则焦点到AB的距离为 2
7、过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，如果x1+x2=6，那么AB= 8
8、已知双曲线3x2－y2=9，则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于 2
四、典例选讲
例1、求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
（1）a=，c=1的椭圆
（2）以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线
（3）一条准线为y=2，离心率为0.5的椭圆
解：（1）a2=5，c2=1，b2=4，所求椭圆方程为或
（2）所求双曲线的焦点在x轴上，c=13，a=5，从而a2=25，b2=144，
所以所求双曲线方程为
（3）所求椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为，
则 解得：a=1，c=，b2= 所求椭圆方程为
例2、若抛物线y2=2px(p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M点的坐标及抛物线方程。
解：设M(x,y)，则M到准线的距离是x+=10
BF=|x－|==8，从而或
当x=9时，抛物线方程为y2=4x，M点坐标为(9,±6)
当x=1时，抛物线方程为y2=36x，M点的坐标为(1,±6)
例3、P是双曲线上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，且|PF1|=17，求|PF2|的值
解：因为PF1=17<18= c+a，所以P在左支上，根据双曲线的定义有：|PF1－PF2|=16，所以PF2－PF1=16，所以PF2=33。
例4、如果双曲线的两条渐近线方程是y=，求此双曲线的离心率。
解：当双曲线的焦点在x轴上时有，又c2=a2+b2，解得e=
当双曲线的焦点在y轴上时有，又c2=a2+b2，解得e=
例5、在直线l：x－y+9=0上取一点P，过点P以椭圆的焦点为焦点作椭圆。
（1）P点在何处时，所得椭圆长轴最短？
（2）求长轴最短时的椭圆方程。
解：（1）椭圆的焦点坐标为F1(－3,0)、F2(3,0)，
要使PF1+PF2最小，只要作F1关于直线l： x－y+9=0的对称点G(－9,6)，连接GF2交l于点P(－5,4)，所以PF1+PF2的最小为GF2=
（2）长轴最短时的椭圆方程为
例6、双曲线的两个焦点为F1、F2，点P是双曲线上的点，若PF1⊥PF2，求点P到x轴的距离。
解：因为PF1⊥PF2，所以P在以F1、F2为直径的圆上。，
消去x，解得。所以点P到x轴的距离为
五、巩固练习
1、若椭圆的离心率e=，则k=
2、双曲线的离心率e=2，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是3：1
3、设点P在抛物线x2=12y上，且P到抛物线焦点的距离为7，则P点坐标是
4、双曲线的两条渐近线方程为，且它的焦点到渐近线的距离为3，求此双曲线方程。
解：设该双曲线的方程为3x2－y2=k（k≠0）
当k>0时，焦点坐标为，由焦点到渐近线距离为3得k=9
当k<0时，焦点坐标为，由焦点到渐近线距离为3得k=—27
所以所求双曲线的标准方程为或
（也可利用双曲线焦点到渐近线的距离为b求解）
5、复习巩固课本（选1-1）题目：P26 3、4；P31 4、6；P44 4、7；P50 3、6、7、15
复习巩固课本（选2-1）题目：P28 3、4；P32 4、6；P47 4、7；P50 3、5、13
直线与圆锥曲线的关系
一、复习的目标、重点
1、理解直线与圆锥曲线的几种位置关系。
2、会运用韦达定理解决直线与圆锥曲线的有关问题。
3、会处理弦中点、弦长的有关问题。
二、知识结构
1、直线与椭圆的位置关系。
2、直线与双曲线的位置关系。
3、直线与抛物线的位置关系。
三、基础训练
1、过点(0,2)的直线l与抛物线y2=4x仅有一个公共点，则满足条件的直线l共有 3 条。
2、直线y=2x+m与椭圆有两个交点，则实数m的取值范围是
3、过点P(0,1)的直线l与双曲线仅有一个公共点，则直线l的斜率是
4、不论k为何实数，直线y=kx+b与椭圆总有公共点，则实数b的取值范围是[－2，2]
5、双曲线x2－y2=a2截直线4x+5y=0的弦长为，则此双曲线的实轴长是 3
6、若抛物线y2=4x的一条弦AB以P(2,1)为中点，则弦AB所在直线方程是 2x－y－3=0
四、典例选讲
例1、当k为何值时，直线y=kx+k－2与抛物线y2=4x有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？
解：由得k2x2+2(k2－2k－2)x+(k－2)2=0
当k=0时，直线y=－2与抛物线y2=4x仅有一个公共点。
当k≠0时，△=4(k2－2k－2)2－4k2(k－2)2=－16(k2－2k－1)
∴当k时，直线与抛物线有两个公共点；
当k=1±时，直线与抛物线仅有一个公共点；
k时，直线与抛物线没有公共点
综合结论（略）
例2、已知直线y=ax+1与双曲线3x2－y2=1相交于A、B两点，，试问当a为何值时，以AB为直径的圆过原点。
解：将直线方程y= ax+1代入到双曲线方程，消去y得：(3－a2)x2－2ax－2=0。
由△>0可得a2<6。
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由题意可得OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0
∵ ∴ ∴a=±1
例3、过点M(2,1)作直线l交双曲线于P、Q两点，若M是线段PQ的中点，求直线l的方程。
解：设直线l的方程为y－1 =k(x－2)
由 得(2－k2)x2+2k(2k－1)x－4k2+4k－3=0
∵xM=，∴2= 解得k=4，经检验，k=4时，上述方程有实数解；
又当直线l方程为x=2时，不合题意，∴4x－y－7=0
五、巩固练习
1、若直线y=kx+1与抛物线y2=x仅有一个公共点，则k的值为 0或0.25
2、已知A(－3,4)，B(4,4)，若线段AB与椭圆没有公共点，则正数a的取值范围是
3、直线l椭圆仅有一公共点M，且直线l被坐标轴截得的线段恰好被M点平分，若M位于第二象限，求出M点的坐标
解：设M(m,n)，且m<0，n>0，∴直线l的方程为
∵M在椭圆上，∴m2+4n2=8 (*)
由得(m2+4n2)x2－16mn2x+16m2n2－8m2=0
再由（*）化简得x2－2mn2x+2m2n2－m2=0，由△=0，得m2(n4－2n2+1)=0， ∵m<0，n>0，∴n=1，从而m=－2，∴所求M点坐标为(－2,1)。
4、复习巩固课本题目 选修1-1：P50~51 16、17、18、19
选修2-1：P64 9、10、11、14
泰州市刁铺中学
一、复习的目标、重点
1、通过用平面截圆锥面，经历从具体情境中抽象出圆锥曲线的过程，掌握它的定义。
2、通过用平面截圆锥面，感受、了解双曲线、抛物线的定义。
3、理解圆锥曲线的统一定义
4、理解曲线与方程的关系，掌握求轨迹方程的一般方法和步骤。
二、知识结构
1、圆锥曲线的定义，并利用定义解决有关问题。
2、求轨迹方程并判断是什么曲线
三、基础训练
1、设定点F1(0,－3)，F2(0,3)，动点P(x,y)满足条件|PF1|+|PF2|=a（a>0），则动点P的轨迹是 椭圆或线段或不存在
2、已知A、B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，则炮弹爆炸点的所在曲线为 双曲线的一支
3、如果M(x,y)在运动过程中，总满足关系式，则M的轨迹是 椭圆
4、若动圆与定圆(x－2)2+y2=1外切，又与直线x+1=0相切，则动圆圆心的轨迹是 抛物线
5、“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程y=”的 必要不充分 条件
6、若P(2,－3)在曲线x2－ay2=1上，则a的值为
四、典例选讲
例1、若一个动点P(x,y)到两个定点F1(－1,0)、F2(1,0)的距离之差的绝对值为定值
a(0≤a≤2)，试探求点P的轨迹。
解：当a=0时，|PF1－PF2|=0，从而PF1=PF2，所以点P的轨迹为直线：x=0
当a=2时，|PF1－PF2|=2=F1F2，点P的轨迹为两条射线：y=0（|x|≥1）
当0
解：设动圆圆心M(x,y)，动圆半径为R，则MC1=1+R，MC2=3+R，
所以MC2－MC1=2
例3、已知平面上有两定点A、B，|AB|=2a，平面上一动点M到A、B两点距离之比为
2：1，求动点M的轨迹方程。
解：以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立坐标系，则A(－a,0)、B(a,0)
设M(x,y)，则MA2=(x+a)2+(y－0)2=(x+a)2+y2，MB2=(x－a)2+(y－0)2=(x－a)2+y2
由题意有MA2= 4MB2，即(x+a)2+y2=4(x－a)2+4y2，
整理得点M的轨迹方程：3x2+3y2－10ax+3a2=0
例4、已知点A(3,)，F(2,0)，在双曲线上求一点P，使PA+PF的值最小，并求出这个最小值。
解：双曲线的离心率e=2，根据圆锥曲线的统一定义，P到右焦点F的距离PF与到右 准线的距离d之比为e，从而d=PF，要使PA+PF的值最小，只要使PA+d的值最小，当PA垂直于右准线时能使PA+d的值最小，最小值为2.5，此时P(,)
五、巩固练习
1、已知动点P(x,y)与两定点A(－2,0)，B(2,0)构成的三角形周长为10，则P点的轨迹是
椭圆（除去长轴端点）
2、已知抛物线y=上一点P(m,n)距点(0,1)最近，则m2+n2= 0
3、平面上到定点A(1,1)和到直线l：x+2y－3=0距离相等的点的轨迹是 直线x－2y+1=0
4、求到两条垂直直线的距离之和等于定值a的点的轨迹方程，并指出图形的形状。
解：以两条垂直直线为两坐标轴建立坐标系，设点P(x,y)，则|x|+|y|=a（a为常数）
当x≥0，y≥0时，x+y=a；
当x≥0，y＜0时，x－y=a；
当x＜0，y＜0时，－x－y=a；
当x＜0，y≥0时，－x+y=a；
图形是以(a,0)、(0,a)、(－a,0)、(0,－a)为顶点的正方形。
5、复习巩固课本（选1-1）题目：P25 例2；P31 10；P34 7
复习巩固课本（选2-1）题目：P27 例2；P28 5；P33 7；P37 4
圆锥曲线的标准方程与几何性质
一、复习的目标、重点
1、掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程。
2、掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质。
3、能利用椭圆、双曲线、抛物线的性质解决有关问题。
二、知识结构
1、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程。
2、椭圆、双曲线、抛物线的几何性质。
三、基础训练
1、若方程(a>0，y≠0)表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是
m＜－1
2、椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则离心率e= 0.6
3、已知方程表示双曲线，则k的取值范围是 －1
5、抛物线x2=4ay的准线方程是 y=－a
6、抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若|AB|=，则焦点到AB的距离为 2
7、过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，如果x1+x2=6，那么AB= 8
8、已知双曲线3x2－y2=9，则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于 2
四、典例选讲
例1、求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
（1）a=，c=1的椭圆
（2）以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线
（3）一条准线为y=2，离心率为0.5的椭圆
解：（1）a2=5，c2=1，b2=4，所求椭圆方程为或
（2）所求双曲线的焦点在x轴上，c=13，a=5，从而a2=25，b2=144，
所以所求双曲线方程为
（3）所求椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为，
则 解得：a=1，c=，b2= 所求椭圆方程为
例2、若抛物线y2=2px(p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M点的坐标及抛物线方程。
解：设M(x,y)，则M到准线的距离是x+=10
BF=|x－|==8，从而或
当x=9时，抛物线方程为y2=4x，M点坐标为(9,±6)
当x=1时，抛物线方程为y2=36x，M点的坐标为(1,±6)
例3、P是双曲线上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，且|PF1|=17，求|PF2|的值
解：因为PF1=17<18= c+a，所以P在左支上，根据双曲线的定义有：|PF1－PF2|=16，所以PF2－PF1=16，所以PF2=33。
例4、如果双曲线的两条渐近线方程是y=，求此双曲线的离心率。
解：当双曲线的焦点在x轴上时有，又c2=a2+b2，解得e=
当双曲线的焦点在y轴上时有，又c2=a2+b2，解得e=
例5、在直线l：x－y+9=0上取一点P，过点P以椭圆的焦点为焦点作椭圆。
（1）P点在何处时，所得椭圆长轴最短？
（2）求长轴最短时的椭圆方程。
解：（1）椭圆的焦点坐标为F1(－3,0)、F2(3,0)，
要使PF1+PF2最小，只要作F1关于直线l： x－y+9=0的对称点G(－9,6)，连接GF2交l于点P(－5,4)，所以PF1+PF2的最小为GF2=
（2）长轴最短时的椭圆方程为
例6、双曲线的两个焦点为F1、F2，点P是双曲线上的点，若PF1⊥PF2，求点P到x轴的距离。
解：因为PF1⊥PF2，所以P在以F1、F2为直径的圆上。，
消去x，解得。所以点P到x轴的距离为
五、巩固练习
1、若椭圆的离心率e=，则k=
2、双曲线的离心率e=2，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是3：1
3、设点P在抛物线x2=12y上，且P到抛物线焦点的距离为7，则P点坐标是
4、双曲线的两条渐近线方程为，且它的焦点到渐近线的距离为3，求此双曲线方程。
解：设该双曲线的方程为3x2－y2=k（k≠0）
当k>0时，焦点坐标为，由焦点到渐近线距离为3得k=9
当k<0时，焦点坐标为，由焦点到渐近线距离为3得k=—27
所以所求双曲线的标准方程为或
（也可利用双曲线焦点到渐近线的距离为b求解）
5、复习巩固课本（选1-1）题目：P26 3、4；P31 4、6；P44 4、7；P50 3、6、7、15
复习巩固课本（选2-1）题目：P28 3、4；P32 4、6；P47 4、7；P50 3、5、13
直线与圆锥曲线的关系
一、复习的目标、重点
1、理解直线与圆锥曲线的几种位置关系。
2、会运用韦达定理解决直线与圆锥曲线的有关问题。
3、会处理弦中点、弦长的有关问题。
二、知识结构
1、直线与椭圆的位置关系。
2、直线与双曲线的位置关系。
3、直线与抛物线的位置关系。
三、基础训练
1、过点(0,2)的直线l与抛物线y2=4x仅有一个公共点，则满足条件的直线l共有 3 条。
2、直线y=2x+m与椭圆有两个交点，则实数m的取值范围是
3、过点P(0,1)的直线l与双曲线仅有一个公共点，则直线l的斜率是
4、不论k为何实数，直线y=kx+b与椭圆总有公共点，则实数b的取值范围是[－2，2]
5、双曲线x2－y2=a2截直线4x+5y=0的弦长为，则此双曲线的实轴长是 3
6、若抛物线y2=4x的一条弦AB以P(2,1)为中点，则弦AB所在直线方程是 2x－y－3=0
四、典例选讲
例1、当k为何值时，直线y=kx+k－2与抛物线y2=4x有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？
解：由得k2x2+2(k2－2k－2)x+(k－2)2=0
当k=0时，直线y=－2与抛物线y2=4x仅有一个公共点。
当k≠0时，△=4(k2－2k－2)2－4k2(k－2)2=－16(k2－2k－1)
∴当k时，直线与抛物线有两个公共点；
当k=1±时，直线与抛物线仅有一个公共点；
k时，直线与抛物线没有公共点
综合结论（略）
例2、已知直线y=ax+1与双曲线3x2－y2=1相交于A、B两点，，试问当a为何值时，以AB为直径的圆过原点。
解：将直线方程y= ax+1代入到双曲线方程，消去y得：(3－a2)x2－2ax－2=0。
由△>0可得a2<6。
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由题意可得OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0
∵ ∴ ∴a=±1
例3、过点M(2,1)作直线l交双曲线于P、Q两点，若M是线段PQ的中点，求直线l的方程。
解：设直线l的方程为y－1 =k(x－2)
由 得(2－k2)x2+2k(2k－1)x－4k2+4k－3=0
∵xM=，∴2= 解得k=4，经检验，k=4时，上述方程有实数解；
又当直线l方程为x=2时，不合题意，∴4x－y－7=0
五、巩固练习
1、若直线y=kx+1与抛物线y2=x仅有一个公共点，则k的值为 0或0.25
2、已知A(－3,4)，B(4,4)，若线段AB与椭圆没有公共点，则正数a的取值范围是
3、直线l椭圆仅有一公共点M，且直线l被坐标轴截得的线段恰好被M点平分，若M位于第二象限，求出M点的坐标
解：设M(m,n)，且m<0，n>0，∴直线l的方程为
∵M在椭圆上，∴m2+4n2=8 (*)
由得(m2+4n2)x2－16mn2x+16m2n2－8m2=0
再由（*）化简得x2－2mn2x+2m2n2－m2=0，由△=0，得m2(n4－2n2+1)=0， ∵m<0，n>0，∴n=1，从而m=－2，∴所求M点坐标为(－2,1)。
4、复习巩固课本题目 选修1-1：P50~51 16、17、18、19
选修2-1：P64 9、10、11、14