数学人教A版（2019）必修第一册3.1.1函数的概念（共31张ppt）

(共31张PPT)
3.1. 函数的概念及其表示
在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具.
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，就说y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。
问题1：初中学习的函数概念是什么？
例如：正方形的周长l与边长x的关系式是l=4x，
对于每一个确定的x，都有唯一的l与之对应，∴l是x的函数.
问题2：这个函数与正比例函数y=4x相同吗？
问题3：你能用已有函数知识判断y=x与相同吗？
复习回顾
问题1：某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内,列车行进的路程S(单位:km)与运行时间t(单位:h)的关系可以表示为S=350t.
思考1:有人说“根据对应关系S=350t,这趟列车加速到350km/h后,每运行1h就前进了350km.”你认为这个说法正确吗
t和S是两个变量，且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，故S是t的函数．
没有注意t的变化范围。
根据问题1的条件,不能判断列车以350km/h运行半小时后的情况.
思考2:如何用更精确的语言来描述列车行进路程S与运行时间t的关系？
错误
新知探究
对于数集A1中的任一时刻t，按照对应关系①，在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应．
S与t的关系是：S=350t ①
其中，t的变化范围是数集A1={t|0≤t≤0.5}，
S的变化范围是数集B1={S|0≤S≤175}.
思考2:如何用更精确的语言来描述列车行进路程S与运行时间t的关系？
新知探究
问题2.某电气维修公司要求工人每周工作至少1天,至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元,而且每周付一次工资,那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资 一个工人的工资w(单位:元)是他工作天数d的函数吗 则工资w是一周工作天数d的函数,其对应关系是________ ②
其中，d的变化范围是数集A2=___________________，
w的变化范围是数集B2=___________________________.
w=350d
{1,2,3,4,5,6}
{350,700,1050,1400,1750,2100}
新知探究
且对于数集A2中的任一个工作天数d ，按照对应关系②，在数集B2中都有唯一确定的工资w和它对应．
对于数集A3=____________的任一时刻t，按照图中曲线给定的对应关系，在数集B3=____________中都有唯一确定的工资w和它对应．
故I是t的函数.
问题3：下图是北京市某日的空气质量指数(简称AQI)变化图.
思考1：如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数的值I
思考2：你能根据该图找到中午8时的 AQI的值吗
思考3：你认为这里的I是t的函数吗？
t=8时,I=50
{I|0{t|0≤t≤24}
新知探究
问题4.国际上常用恩格尔系数r(r=食物支出金额/总支出金额)反映一个地区人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况,从中可看出该省城镇居民生活质量越来越高.
对于数集A4=____________________的任一年份y，按照表格给定的对应关系，在数集B4=__________中都有唯一确定的工资w和它对应．
故r是y的函数.
年份y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 28.89 29.35 28.57
思考：你认为按上表给出的对应关系,恩格尔系数r是年份y的函数吗？如果是,你会用怎样的语言来刻画这个函数
{y∈Z|2006≤y≤2015}
{r|0新知探究
思考：上述问题1～问题4中的函数有哪些共同点和不同点 你能由此概括出函数概念的本质特征吗
一个对应关系、两个非空数集
f
除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法．为了表示方便，我们引进符号f 统一表示对应关系．
function
新知探究
设A、B为非空实数集，若对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，则称 f :A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作： y=f (x), x∈A.
一、函数的概念
①其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
②与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)｜x∈A}叫做函数的值域.
值域是数集B的子集.
若对应关系用g、G、F 等表示，则函数就可用g(x)、F(x)、G(x)等表示。
新知生成
“ y=f (x), x∈A”的理解：
符号 x∈A y=f(x) f f(x) f(a)
含义 函数的定义域为A 函数符号,表示x在对应关系f的作用下可得对应的函数值y 对应法则，表示对x实施“对应”操作的方式 函数值y，或函数y=f (x)的简记 当x=a时函数f(x)的取值
备注 见函数先看定义域 不能理解为 “y等于f 乘x” 可为解析式、图象、表格、Venn图等 (x)=2x+1 g(x)=x3 f(a)是f(x)的一个特殊值,是一个相对确定的数.
定义域A
值域
解析式
图
表
C3 B3
C4 B4
数集B
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.
值域是数集B的子集.
思考：A,B均是数集，下列对应关系可以构成函数吗？
A中元素无剩余，
B中元素可剩余.素
一对一
多对一
B
S与t的关系是：S=350t ①
t的变化范围是数集A1={t|0≤t≤0.5},
S的变化范围是数集B1={S|0≤S≤175}.
w与d的关系是：w=350d ②
d的变化范围是数集A2={1,2,3,4,5,6},
w的变化范围是数集B2={350,700,1050,1400,1750,2100}.
思考：问题1、2中的两个函数是同一个函数吗 为什么
S=350t和w=350d不是同一个函数，因为t与d的取值集合不同.
函数的三要素:定义域，对应关系f，值域
思考：如果让你用函数的定义重新认识一次函数、二次函数与反比例函数，那么你会怎样表述这些函数？
反比例函数
的定义域是{x|x≠0},
值域是{y|y≠0},
区间是数集的另一种表示形式，两个端点必须满足左小右大的原则
*是一个符号，不是一个数，因此以作为区间一端时，这一端必须是小括号
(2,4]
(-1,2)∪(2,+∞)
　
例1：下列对应关系是从集合A到集合B的函数的是(　　).
C
题型一：判断对应关系是否为函数
B
题型二：求函数定义域（具体函数）
若已给出函数解析式但无指明其定义域，
则定义域默认为使解析式有意义的自变量的取值集合。
R
(-∞,-2]∪[2,+∞)
{x|x≠±2}
{x|x≠0且x≠-2}
多个区间用“∪”连接
不能先约分
若a≠0，则a0=1
{x|x≤-2或x≥2}
(-∞,-2)∪(-2,0)∪(0,+∞)
(5);
(-,-1)∪(-1, 0)
题型二：求函数定义域（具体函数）
例：设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积S关于x的函数解析式，并写出定义域. (单位:cm)
题型二：求函数定义域（具体函数）
①同一题目中,同一对应关系f作用的整个对象的取值范围相同.
a-2∈[0,4]
②任何函数的定义域均指自变量的取值范围.
引例中, f(x)的定义域是指x的范围；
f(x+1)的定义域是指x的范围.
f(a-2)的定义域是指a的范围.
只是用同一字母来表示两个函数的自变量，范围可能不同.
两个“x”不同
x∈[-1,3]
a∈[2,6]
x+1∈[0,4]
f作用对象的范围：
函数的定义域：
题型二：求函数定义域（抽象函数）
f(x) f(x+1)
定义域 (自变量的范围)
同一f作用对象的范围
0≤x≤1
0≤x≤1
0≤x+1≤1
﹣1≤x≤0
[-1,0]
[例]解:∵f(x)的定义域为[0,1],
即0≤x≤1；
∴对于f(x+1)有0≤x+1≤1,
解得－1≤x≤0.
∴f(x+1)的定义域为[－1,0]
[变式4]已知f(x)的定义域为[-2,4]，则g(x)=f(x)+f(-x)的定义域是___.
2
[2,3]
[-2,-1]
+
[-2,-1)
[-2,2]
Key：同一f作用对象的范围
题型二：求函数定义域（抽象函数）
（ 使函数式有意义； 用集合或者区间表示）
①分母不为0；
②0次幂的底数不能为0；
③开偶次方的被开方数为非负数
④应用题考虑实际意义；
⑤抽象函数定义域
⑥对数式中底数大于0且不为1，真数位置大于0；
题型三：判断两函数是否相等
例1：下列各组中的两个函数为相等函数的是(　　).
思考：定义域和值域都相同的两个函数是否一定相等？
如：“y=x+1”与“y=2x”的定义域、值域均为R，但对应关系不同.
(与字母无关)
BD
课后作业
课后作业
(写为区间的形式)