2.2.1直线与圆的位置关系练习-2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册（含答案）

2.2.1直线与圆的位置关系练习
一、单项选择题
1. 若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是(　　)
A. －2或12 B. 2或－12 C. －2或－12 D. 2或12
2. 自点A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线，则切线长为(　　)
A. B. 3 C. D. 5
3.若圆C与直线x＋y＝0和x＋y－8＝0都相切，且圆心在直线x－y＝0上，则
圆C的方程为(　　)
A. (x＋2)2＋(y＋2)2＝8 B. (x－2)2＋(y－2)2＝8
C. (x＋2)2＋(y＋2)2＝16 D. (x－2)2＋(y－2)2＝16
4.平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，若直线l：x＋y＋m＝0上
有且只有一点P满足：过点P作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，
使得四边形PMCN为正方形，则正实数m的值为(　　)
A. 0 B. 1 C. 3 D. 2
二、多项选择题
5.给定直线l：3x＋4y＝0和圆C：x2－4x＋y2＝m－5，则下列说法正确的是(　　)
A. m的取值范围为(0，＋∞) B. 当直线l与圆C相切时，m＝
C. 当直线l与圆C相交时，m> D. 当16.已知点P在圆(x－5)2＋(y－3)2＝4上，点A(4，0)，B(0，3)，则下列说法中正
确的是(　　)
A. 点P到直线AB的距离小于6 B. 点P到直线AB的距离大于2
C. 当∠PBA最小时，PB＝ D. 当∠PBA最大时，PB＝
三、填空题
7. 由直线y＝x＋1上的点向圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值为
________．
8. 已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，过点P(1，－1)可作圆的两条切线，则实
数k的取值范围是______________．
四、解答题
9. (1) 求过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3，3)的切线方程；
(2) 求过点P(2，3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线的方程．
10. 已知直线l：(m＋2)x＋(1－2m)y＋4m－2＝0与圆C：x2－2x＋y2＝0交于M，
N两点．(1) 求直线l所过的定点的坐标；(2) 求实数m的取值范围；(3) 若O为坐标原点，直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，试问k1＋k2否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
参考答案
一、单项选择题
1. 若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是(　　)
A. －2或12 B. 2或－12 C. －2或－12 D. 2或12
【解析】圆方程x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1.因为直线与圆相切，所以圆心(1，1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为＝1，解得b＝2或b＝12.故选D.
2. 自点A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线，则切线长为(　　)
A. B. 3 C. D. 5
【解析】圆的圆心为(2，3)，半径为1，则圆心到点A的距离d＝＝，由直线与圆相切的位置关系可知，切线长为＝3.故选B.
3.若圆C与直线x＋y＝0和x＋y－8＝0都相切，且圆心在直线x－y＝0上，则圆C的方程为(　　)
A. (x＋2)2＋(y＋2)2＝8 B. (x－2)2＋(y－2)2＝8
C. (x＋2)2＋(y＋2)2＝16 D. (x－2)2＋(y－2)2＝16
【解析】因为圆心在直线x－y＝0上，可设圆心为(a，a)．又因为圆C与直线x＋y＝0和
x＋y－8＝0都相切，两直线间距离为d＝2r＝＝4，则半径r＝2.又由圆心到两直线的距离相等得r＝＝＝2，化简，得|a|＝|a－4|＝2，解得a＝2，故圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8.故选B.
4.平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，若直线l：x＋y＋m＝0上有且只有一点P满足：过点P作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，使得四边形PMCN为正方形，则正实数m的值为(　　)
A. 0 B. 1 C. 3 D. 2
【解析】由(x－1)2＋y2＝1可知圆心C(1，0)，半径为1.因为四边形PMCN为正方形，且边长为圆C的半径1，所以PC＝.要使直线l：x＋y＋m＝0上有且只有一个点P满足题意，则PC⊥l，即圆心C到直线l的距离为，所以＝，解得m＝1或m＝－3.因为m＞0，所以m＝1.
故选B.
二、多项选择题
5.给定直线l：3x＋4y＝0和圆C：x2－4x＋y2＝m－5，则下列说法正确的是(　　)
A. m的取值范围为(0，＋∞) B. 当直线l与圆C相切时，m＝
C. 当直线l与圆C相交时，m> D. 当1【解析】圆C：x2－4x＋y2＝m－5的标准方程为(x－2)2＋y2＝m－1，圆心为C(2，0)，半径r＝.对于A，由r＝>0，解得m>1，故A错误；对于B，因为点C(2，0)到直线l：3x＋4y＝0的距离为d＝＝，所以当l与圆C相切时，r＝＝，解得m＝，故B正确；对于C，当l与圆C相交时，>，解得m>，故C错误；对于D，当16.已知点P在圆(x－5)2＋(y－3)2＝4上，点A(4，0)，B(0，3)，则下列说法中正确的是(　　)
A. 点P到直线AB的距离小于6 B. 点P到直线AB的距离大于2
C. 当∠PBA最小时，PB＝ D. 当∠PBA最大时，PB＝
【解析】由题意可知，直线AB的方程为＝1，即3x＋4y－12＝0，所以圆心(5，3)到直线3x＋4y－12＝0的距离为＝3，所以点P到直线AB的距离的最大值为3＋2＝5，最小值为3－2＝1，所以点P到直线AB的距离的取值范围为[1，5]，故A正确，B错误；过点B作圆(x－5)2＋(y－3)2＝4的切线，切点分别是P1，P2.设圆心为C，如图所示．当点P位于点P1时∠PBA最大，当点P位于点P2时，∠PBA最小，又BC＝＝5，连接CP1，CP2，所以P1B＝P2B＝＝，即∠PBA最大或者最小时，PB＝，故C正确，D错误．故选AC.
三、填空题
7. 由直线y＝x＋1上的点向圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值为________．
【解析】圆心到直线x－y＋1＝0的距离为d＝＝3，圆的半径为1，结合图形可知切线长的最小值为＝.故答案为：．
8. 已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，过点P(1，－1)可作圆的两条切线，则实数k的取值范围是______________．
【解析】因为方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0表示一个圆，所以k2＋22－4k2>0，解得－四、解答题
9. (1) 求过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3，3)的切线方程；
(2) 求过点P(2，3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线的方程．
【解析】(1) 设圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C，则点C(1，2)，所以＝，所以切线的斜率为－2，所以切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0.
(2) 易得点P(2，3)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1外，所以过点P(2，3)与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线有两条．当斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为y－3＝k(x－2)，
即kx－y＋3－2k＝0，所以＝1，解得k＝0，所以切线方程为y＝3.
当斜率不存在时，切线方程为x＝2.综上可知，所求的切线方程为x＝2或y＝3.
10.已知直线l：(m＋2)x＋(1－2m)y＋4m－2＝0与圆C：x2－2x＋y2＝0交于M，N两点．(1) 求直线l所过的定点的坐标；(2) 求实数m的取值范围；(3) 若O为坐标原点，直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，试问k1＋k2否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】(1) 由直线l：(m＋2)x＋(1－2m)y＋4m－2＝0，得m(x－2y＋4)＋(2x＋y－2)＝0，
联立解得所以直线l恒过点(0，2)．
(2) 由圆C：x2－2x＋y2＝0，知圆心C(1，0)，半径r＝1，
由题意，得<1，解得－所以当直线l与圆C相交时，实数m的取值范围为.
(3) 由(2)知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，联立
得(1＋k2)x2＋(2kb－2)x＋b2＝0，所以＋＝－，＝，所以＋＝
＋＝＝＝＝2k＋b·
＝2k＋b·＝2k＋－2k＝.由(1)可知，b＝2，则＋＝1，
所以＋是定值，且定值为1.