2.2基本不等式(第一课时)2023-2024学年高一数学同步课件(人教A版2019必修第一册)(共18张PPT)

(共18张PPT)
2.2 基本不等式
第 一课时
第二章 一元二次函数、方程和不等式
一
二
三
学习目标
掌握基本不等式，了解基本不等式的证明过程
理解基本不等式的取最值成立条件
（一正二定三相等）
利用基本不等式解决简单的最值问题
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b　a
2 传递性 a>b，b>c a>c _______
3 可加性 a>b a＋c　b＋c ____
4 可乘性 a>b，c>0 _______ a>b，c<0 _______ c的
符号
5 同向可加性 a>b，c>d ______________ 同向可加
6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 ________ 正值同向可乘
7 可乘方性 a>b>0 an　bn(n∈N，n≥2) 正值同向可乘方
<
不可逆
>
可逆
ac>bc
aca＋c>b＋d
ac>bd
>
复习回顾
不等式的基本性质
新课导入
我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用？
例如，前面我们利用面积法和完全平方公式得出了一类重要不等式：
一般地， a，b∈R，有
当且仅当时，等号成立.
这节课我们就利用这个重要不等式继续研究一个特别的不等式——基本不等式。
新知探究
一般地， a，b∈R，有
当且仅当时，等号成立.
重要不等式：
问题1 特别地，如果，我们用分别代替上式中的，可以得怎样的式子？
概念生成
基本不等式
如果则称不等式
为基本不等式。
当且仅当时，等号成立.
(均值不等式)
正数的算术平均数
正数的几何平均数
代数解释：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
适用范围
文字叙述
“=”成立条件
a=b
a=b
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
两数的平方和不小于它们积的2倍
a,b∈R
a>0,b>0
注意从不同角度认识基本不等式
归纳小结
重要不等式与基本不等式的比较：
问题2 能否直接利用不等式的性质证明基本不等式呢？
新知探究
当然，我们可以用做差比较法证明基本不等式。
谁来试试？
证明：(比较法)
新知探究
要证
只要证
( ) ≤ a+b
要证②，只要证
( ) -a- b≤ 0
要证③，只要证 -（ - )2≤ 0
要证④，只要证 （ － )2≥ 0
①
②
③
④
⑤
显然,⑤是成立的,
证明:
当且仅当a=b时，⑤中的等号成立
分析法(执果索因)
只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了。
新知探究
问题3 如图示，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD. 你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？
半径
半弦
半弦长不大于半径。
几何解释：
典例解析
例1.1 已知，求 的最小值.
问2：本题的代数式有什么结构特点？是否可以利用基本不等式求最小值？
如果能，如何求？
问1：
典例解析
例1.1 已知，求 的最小值.
问4：满足什么结构特点的代数式才能够利用基本不等式求最小值？
问3：当y0<2时，这时能说 的最小值吗？
利用基本不等式求最值的条件：
一正、二定、三相等。
一正
二定
三相等
若x、y皆为正数，
则当积xy的值是定值P时，当且仅当x=y时，
和x+y有最小值_______.
结论1
利用基本不等式求最值的条件：
一正、二定、三相等。
归纳小结
证明：因为x，y都是正数，所以.
当积xy等于定值P时，，所以.
当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，和有最小值.
积一定和最小
典例解析
例1.2 若 ，且 ， 都是正数，则 的最大值是( )
A. 400 B. 100 C. 40 D. 20
解：
A
若x、y皆为正数，
则当和x+y的值是定值时，当且仅当x=y时
积xy有最大值_______.
结论2
当和等于定值S 时，，所以，
当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，积xy有最大值.
证明
和一定积最大
巩固练习
课本P46
巩固练习
课本P46
巩固练习
课本P46
课堂小结
本节课你学会了哪些主要内容？
1、重要不等式与基本不等式的内容：
2、基本不等式的应用条件：
一正、二定、三相等
3、基本不等式的应用：
求最值