陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校2023-2024学年九年级上学期数学开学考试试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023八下·瑶海期末）下列方程中，一定为一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·灞桥开学考）一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到白球请你估计这个口袋中有个白球．（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·灞桥开学考）在下列条件中，能判定平行四边形为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·灞桥开学考） 下列四组线段中，不成比例的是（ ）
A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，
5．（2023·茂南模拟）任意下列两个图形不一定相似的是（ ）
A．正方形 B．等腰直角三角形
C．矩形 D．等边三角形
6．（2023九上·灞桥开学考）如图，矩形的对角线相交于点，过点的直线分别交、于点、，若两阴影三角形面积分别是，，则矩形的面积是．（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·灞桥开学考）我国南宋数学家杨辉在田亩比类乘除捷法中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是平方步，其中长与宽和为步，问长比宽多多少步？若设长比宽多步，则下列符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023八下·北塔期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点D在x轴上，边在y轴上，若点A的坐标为，则C点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．（2019九上·扶风期中）如图，AD是△ABC的中线，E是AD中点，BE的延长线与AC交于点F，则AF：AC等于（ ）
A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．2：5
10．（2023九上·灞桥开学考）如图，在边长为的正方形中，点为边的中点，将沿翻折，使点落在点处，作射线，交的延长线于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．（2023九上·灞桥开学考） 已知方程的一个根是，则的值是 ．
12．（2023九上·灞桥开学考） 已知，则的值为 ．
13．（2020九上·福鼎期中）如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为 ．
14．（2023九上·灞桥开学考）若，，则与的大小关系为 ．
15．（2023九上·灞桥开学考）已知方程的两根分别为，，则 ．
16．（2023九上·灞桥开学考）如图，矩形中，，，为的角平分线，为上一动点，为的中点，连接，则的最小值是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023九上·灞桥开学考） 解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．（2023九上·灞桥开学考） 如图，是的一条角平分线，请用尺规作图法在边、边上分别确定点、，使得四边形为菱形保留作图痕迹，不写作法
19．（2023九上·灞桥开学考）现有电影票一张，明明和磊磊打算通过玩掷骰子的游戏决定谁拥有，游戏规则是：在一枚质地均匀的正方体骰子的每个面上分别标上数字、、、、、明明和磊磊各掷一次骰子，若两次朝上的点数之和是的倍数，则明明获胜，电影票归明明所有；否则磊磊获胜，电影票归磊磊所有．
（1）明明掷一次骰子，使得向上一面的点数为的倍数的概率是 ．
（2）这个游戏公平吗？请用列表或树状图的方法说明理由．
20．（2023九上·灞桥开学考）已知、、是的三边，且满足，，试判断的形状，并说明理由．
21．（2023九上·灞桥开学考） 如图，在矩形中，对角线，交于点，以，为邻边作菱形，连接．
（1）证明：四边形是平行四边形；
（2）若，，求四边形的面积．
22．（2023九上·灞桥开学考）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克元，连续两次降价后每千克元，若每次下降的百分率相同．
（1）求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少千克，现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
23．（2023九上·灞桥开学考）如图，在中，、、分别是、上的点，且，．
（1）当，时，求的长；
（2）求证：．
24．（2023九上·灞桥开学考）（1）已知关于的方程若方程有两个相等的实数根，求的值，并求出此时方程的根；
（2）是否存在正数，使方程的两个实数根的平方和等于若存在，求出满足条件的的值；若不存在，请说明理由．
25．（2020八下·汉阳期中）
（1）如图①，正方形 的两边分别在正方形 的边 和 上，连接 .填空：线段 与 的数量关系为 ；直线 与 所夹锐角的大小为 .
（2）如图②，将正方形 绕点 顺时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由.
（3）把图②中的正方形都换成菱形，且 ，如图③，直接写出 .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A：，是二元一次方程，不符合题意；
B：，是一元二次方程，符合题意；
C：，是一元一次方程，不符合题意；
D：，当a=0时，是一元一次方程，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可
2．【答案】C
【知识点】用样本估计总体
【解析】【解答】 ∵共摸了次球，发现有次摸到白球，
∴P（摸到白球）=，
估计这个口袋中有（个）白球 .
故答案为：A.
【分析】先求得摸到白球概率，再利用摸到白球的概率估计这个口袋中白球个数.
3．【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴平行四边形为菱形 （有一组邻边相等的平行四边形是菱形）.
故答案为：C.
【分析】要使一个平行四边形是菱形，可以是：（1）一组邻相等；（2）对角线互相垂直；（3）对角线平分一组对角.
4．【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】A.3：9=1：3=2：6，成比例，故不符合；
B.：=1：，成比例，故不符合；
C.，，，，不成比例，故符合；
D.4：8=1：2，成比例，故不符合.
故答案为：C.
【分析】将每一组中的其中两条之比与另两条之比相比较，判断是否成比例.
5．【答案】C
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：正方形的四个角均为直角且对应边成比例，故属于相似图形，不满足题意；
等腰直角三角形的两锐角均为45°且对应边成比例，故属于相似图形，不满足题意；
矩形的对应边不成比例，故不属于相似图形，满足题意；
等边三角形的三个角均为60°且对应边成比例，故属于相似图形，不满足题意.
故答案为：C.
【分析】各角分别相等，各边对应成比例的两个图形为相似图形，据此判断.
6．【答案】D
【知识点】矩形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】由矩形是中心对称图形，△OFC绕中心O旋转180°后与△AEO重合，所以阴影部分面积=△AOD的面积=矩形ABCD的面积，因为两阴影三角形面积分别是，，所以矩形ABCD的面积=4×（3+4）=28（）.
故答案为：D.
【分析】利用中心对称图案的性质求解，得出阴影部分的面积为矩形面积的，从而可求得矩形ABCD的面积.
7．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】设长比宽多步，则长为（步），宽为（步），可列方程为·=864．
故答案为：B.
【分析】设长比宽多步，分别用x表示出长、宽，根据矩形面积公式列出方程.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；菱形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
在直角三角形OCD中
因为C在y轴负半轴，则C（0，-1）
故答案为C
【分析】根据点A坐标及菱形性质，可求出CD，OD长，再根据勾股定理即可求出答案。
9．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：作 交 于 ，
， 是 的中线，
，
， 是 中点，
，
，
，
故答案为： .
【分析】作 交 于 ，根据平行线分线段成比例定理得到 ，得到答案.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：正方形，
，，
，
为边的中点，
，
由折叠的性质得，，，，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
，
故选：．
【分析】设，用x的代数式表示出BF、A'F，在中利用勾股定理求解.
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】 将x=-1代入2x2-mx+3=0，得2+m+3=0，
解得m=-5．
故答案为-5.
【分析】利用解的意义，将解代入方程，转化为待求字母的方程求解，体现了方程思想的运用.
12．【答案】
【知识点】分式的值；分式的基本性质
【解析】【解答】设，则a=2k，b=3k，c=4k，所以
故答案为：.
【分析】设，用k分别表示出a，b，c，将它们代入代数式化简求值.
13．【答案】135°
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴∠BAC＝∠EDF，
又∠EDF＝90°+45°＝135°，
∴∠BAC＝135°．
故答案是：135°．
【分析】根据相似三角形的性质，对应角相等直接求解即可。
14．【答案】
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】M-N=-()= x2-4x+4
=（x-2）2．
∵（x-2）2≥0，
∴M≥N．
故答案为：≥.
【分析】利用求差比较法求解.
15．【答案】15
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵方程的两根分别为，，
∴，，
∴，
∴
故答案为：15.
【分析】根据解的意义，先将待求式子降次，再根据根与系数关系求解.
16．【答案】
【知识点】一次函数的图象；矩形的性质
【解析】【解答】解：以点为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，
，，
点，点，点，
为的角平分线，
，
，
，
点，
直线解析式为，
设点，
为的中点，
点，
，
，
当时，的最小值为，
故答案为．
【分析】先求得直线解析式，设点，用a表示出M点的坐标，可得出用a表示出BM2，再根据a的范围确定BM的最值.
17．【答案】（1）解：，
，
，；
（2）解：，
，
，
，
，；
（3）解：，
，
，
或，
，；
（4）解：，
，
，
，．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）、（2）利用因式分解法求解；
（3）、（4）先化为一般式，再计算判别式，然后利用公式法求解.
18．【答案】解：如图，四边形即为菱形．
【知识点】菱形的判定；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】作出AN的垂直平分线与AC、AB分别相交于P、M，连结PN、MN即可.
19．【答案】（1）
（2）解：不公平，理由如下：
列表如下：
一共有种等可能的结果，其中两次朝上的点数之和是的倍数有种可能的结果，
明明获胜，
磊磊获胜，
明明获胜磊磊获胜，
这个游戏不公平．
【知识点】复合事件概率的计算
【解析】【解答】解： (1) 1~6中，3与6是3的倍数，所以P（向上一面的点数为3的倍数）.
【分析】(1)利用概率公式直接求解；
（2）利用列表法求解概率后作判断.
20．【答案】解：是直角三角形，理由是：
设，
，，，
，
，
，
，，，
，
是直角三角形．
【知识点】解一元一次方程；勾股定理的逆定理；比例的性质
【解析】【分析】用设k法求解，设，用k分别表示出a、b、c，根据“”，转化为k方程求解，求得a、b、c的值，分别求出各边的平方，比较较小两个之和与最大的值是否相等，再作判断.
21．【答案】（1）解：四边形是菱形，
，即．
又四边形是矩形，
，
．
四边形是平行四边形．
（2）解：四边形是矩形，
．
四边形是平行四边形，
，，．
，．
四边形是平行四边形．
，，
．
四边形是菱形．
，
．
又，
．
，
面积为，
四边形面积．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】(1)通过证明四边形AEOD有一组边平行且相等来说明它是平行四边形；
（2）先求得平行四边形ADOE的一边EO的长，再求得这边上的高，利用平行四边形面积公式求解.
22．【答案】（1）解：设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
50 ( 1-a) 2=32，
解得： a=1.8 (舍)或a=0.2，
答：每次下降的百分率为20%；
（2）解：设每千克应涨价元，由题意，得
，
整理，得，
解得：，，
因为要尽快减少库存，所以符合题意．
答：该商场要保证每天盈利元，那么每千克应涨价元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设 每次下降的百分率为a，依据“ 原价每千克元，连续两次降价后每千克元 ”列出方程求解.
（2）设每千克应涨价元，依据" 若每千克涨价元，日销售量将减少千克，现该商场要保证每天盈利元"可列出一元二次方程求解，并检验根的意义.
23．【答案】（1）解：，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】(1)利用平行线分线段成比例，列出比例式求解；
（2）通过两对平行线，分别列出比例式，适当变形即可.
24．【答案】（1）解：，，方程有两个相等的实数根，
，即，
．
原方程化为：，，
．
（2）解：不存在正数使方程的两个实数根的平方和等于．
，
，
即：，
解得：，不合题意，舍去，
又时，，此时方程无实数根，
不存在正数使方程的两个实数根的平方和等于．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】(1)对照一元二次方程一般式，分别写出a，b，c，根据“方程有两个相等的实数根”，列出关于待求字母的方程求得待定字母，代回后得到方程，解这个方程即可；
（2）利用根与系数的关系，分别计算两根之和、积，再求两根的平方和，依次“ 方程的两个实数根的平方和等于”求解，说明其不可能即可.
25．【答案】（1）；45°
（2）解：仍然成立，证明如下：
过 作 ，且 ，连接 ， ，并延长交 、 交于点
∵四边形 是正方形
∴ ，
∵
∴
∴
∴
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形
∴ ， ，∴
∵ ，
∴
∴ ，
∴
∴
∴四边形 是平行四边形
∴ ，
在 中，
∴ ，
即 ，
∵
∴ ，即直线 与 所夹锐角的度数为45°；
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）①线段 与 的数量关系为 ；
②直线 与 所夹锐角的度数为45°.
连接AF，根据正方形的性质可得A、F、C三点共线，∠CAD=45°
∵AF= AG，AC= AD
∴CF=AC-AF= （AD-AG）= DG
（ 3 ）过 作∠GDH=120°，且 ，连接 ，
∵四边形 是菱形 ，
∴ ，∠ADC=120°
∵∠GDH=120°
∴
∴
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形
∴ ， ，
∴
∵ ，
∴
∴ ，
，
∴
∴
∴四边形 是平行四边形
∴ ，
过点D作DM⊥GH于点M
∴GM= GH= CF，DM= DG
在Rt△DGM中，
∴GM= DG，
∴DG：CF= .
【分析】（1）根据正方形的性质即可得出答案；
（2）过 作 ，且 ，连接 ， ，并延长交 、 交于点 ，证明 ，接着证明四边形 是平行四边形，即可得出答案；（3）过 作∠GDH=120°，且 ，连接 ， ，证明 ，接着证明四边形 是平行四边形，再过点D作DM⊥GH于点M，证出GM= GH= CF，DM= DG，再利用勾股定理计算即可得出答案.
1 / 1陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校2023-2024学年九年级上学期数学开学考试试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023八下·瑶海期末）下列方程中，一定为一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A：，是二元一次方程，不符合题意；
B：，是一元二次方程，符合题意；
C：，是一元一次方程，不符合题意；
D：，当a=0时，是一元一次方程，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可
2．（2023九上·灞桥开学考）一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到白球请你估计这个口袋中有个白球．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用样本估计总体
【解析】【解答】 ∵共摸了次球，发现有次摸到白球，
∴P（摸到白球）=，
估计这个口袋中有（个）白球 .
故答案为：A.
【分析】先求得摸到白球概率，再利用摸到白球的概率估计这个口袋中白球个数.
3．（2023九上·灞桥开学考）在下列条件中，能判定平行四边形为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴平行四边形为菱形 （有一组邻边相等的平行四边形是菱形）.
故答案为：C.
【分析】要使一个平行四边形是菱形，可以是：（1）一组邻相等；（2）对角线互相垂直；（3）对角线平分一组对角.
4．（2023九上·灞桥开学考） 下列四组线段中，不成比例的是（ ）
A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，
【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】A.3：9=1：3=2：6，成比例，故不符合；
B.：=1：，成比例，故不符合；
C.，，，，不成比例，故符合；
D.4：8=1：2，成比例，故不符合.
故答案为：C.
【分析】将每一组中的其中两条之比与另两条之比相比较，判断是否成比例.
5．（2023·茂南模拟）任意下列两个图形不一定相似的是（ ）
A．正方形 B．等腰直角三角形
C．矩形 D．等边三角形
【答案】C
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：正方形的四个角均为直角且对应边成比例，故属于相似图形，不满足题意；
等腰直角三角形的两锐角均为45°且对应边成比例，故属于相似图形，不满足题意；
矩形的对应边不成比例，故不属于相似图形，满足题意；
等边三角形的三个角均为60°且对应边成比例，故属于相似图形，不满足题意.
故答案为：C.
【分析】各角分别相等，各边对应成比例的两个图形为相似图形，据此判断.
6．（2023九上·灞桥开学考）如图，矩形的对角线相交于点，过点的直线分别交、于点、，若两阴影三角形面积分别是，，则矩形的面积是．（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】由矩形是中心对称图形，△OFC绕中心O旋转180°后与△AEO重合，所以阴影部分面积=△AOD的面积=矩形ABCD的面积，因为两阴影三角形面积分别是，，所以矩形ABCD的面积=4×（3+4）=28（）.
故答案为：D.
【分析】利用中心对称图案的性质求解，得出阴影部分的面积为矩形面积的，从而可求得矩形ABCD的面积.
7．（2023九上·灞桥开学考）我国南宋数学家杨辉在田亩比类乘除捷法中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是平方步，其中长与宽和为步，问长比宽多多少步？若设长比宽多步，则下列符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】设长比宽多步，则长为（步），宽为（步），可列方程为·=864．
故答案为：B.
【分析】设长比宽多步，分别用x表示出长、宽，根据矩形面积公式列出方程.
8．（2023八下·北塔期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点D在x轴上，边在y轴上，若点A的坐标为，则C点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；菱形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
在直角三角形OCD中
因为C在y轴负半轴，则C（0，-1）
故答案为C
【分析】根据点A坐标及菱形性质，可求出CD，OD长，再根据勾股定理即可求出答案。
9．（2019九上·扶风期中）如图，AD是△ABC的中线，E是AD中点，BE的延长线与AC交于点F，则AF：AC等于（ ）
A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．2：5
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：作 交 于 ，
， 是 的中线，
，
， 是 中点，
，
，
，
故答案为： .
【分析】作 交 于 ，根据平行线分线段成比例定理得到 ，得到答案.
10．（2023九上·灞桥开学考）如图，在边长为的正方形中，点为边的中点，将沿翻折，使点落在点处，作射线，交的延长线于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：正方形，
，，
，
为边的中点，
，
由折叠的性质得，，，，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
，
故选：．
【分析】设，用x的代数式表示出BF、A'F，在中利用勾股定理求解.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．（2023九上·灞桥开学考） 已知方程的一个根是，则的值是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】 将x=-1代入2x2-mx+3=0，得2+m+3=0，
解得m=-5．
故答案为-5.
【分析】利用解的意义，将解代入方程，转化为待求字母的方程求解，体现了方程思想的运用.
12．（2023九上·灞桥开学考） 已知，则的值为 ．
【答案】
【知识点】分式的值；分式的基本性质
【解析】【解答】设，则a=2k，b=3k，c=4k，所以
故答案为：.
【分析】设，用k分别表示出a，b，c，将它们代入代数式化简求值.
13．（2020九上·福鼎期中）如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为 ．
【答案】135°
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴∠BAC＝∠EDF，
又∠EDF＝90°+45°＝135°，
∴∠BAC＝135°．
故答案是：135°．
【分析】根据相似三角形的性质，对应角相等直接求解即可。
14．（2023九上·灞桥开学考）若，，则与的大小关系为 ．
【答案】
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】M-N=-()= x2-4x+4
=（x-2）2．
∵（x-2）2≥0，
∴M≥N．
故答案为：≥.
【分析】利用求差比较法求解.
15．（2023九上·灞桥开学考）已知方程的两根分别为，，则 ．
【答案】15
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵方程的两根分别为，，
∴，，
∴，
∴
故答案为：15.
【分析】根据解的意义，先将待求式子降次，再根据根与系数关系求解.
16．（2023九上·灞桥开学考）如图，矩形中，，，为的角平分线，为上一动点，为的中点，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】一次函数的图象；矩形的性质
【解析】【解答】解：以点为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，
，，
点，点，点，
为的角平分线，
，
，
，
点，
直线解析式为，
设点，
为的中点，
点，
，
，
当时，的最小值为，
故答案为．
【分析】先求得直线解析式，设点，用a表示出M点的坐标，可得出用a表示出BM2，再根据a的范围确定BM的最值.
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023九上·灞桥开学考） 解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：，
，
，；
（2）解：，
，
，
，
，；
（3）解：，
，
，
或，
，；
（4）解：，
，
，
，．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）、（2）利用因式分解法求解；
（3）、（4）先化为一般式，再计算判别式，然后利用公式法求解.
18．（2023九上·灞桥开学考） 如图，是的一条角平分线，请用尺规作图法在边、边上分别确定点、，使得四边形为菱形保留作图痕迹，不写作法
【答案】解：如图，四边形即为菱形．
【知识点】菱形的判定；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】作出AN的垂直平分线与AC、AB分别相交于P、M，连结PN、MN即可.
19．（2023九上·灞桥开学考）现有电影票一张，明明和磊磊打算通过玩掷骰子的游戏决定谁拥有，游戏规则是：在一枚质地均匀的正方体骰子的每个面上分别标上数字、、、、、明明和磊磊各掷一次骰子，若两次朝上的点数之和是的倍数，则明明获胜，电影票归明明所有；否则磊磊获胜，电影票归磊磊所有．
（1）明明掷一次骰子，使得向上一面的点数为的倍数的概率是 ．
（2）这个游戏公平吗？请用列表或树状图的方法说明理由．
【答案】（1）
（2）解：不公平，理由如下：
列表如下：
一共有种等可能的结果，其中两次朝上的点数之和是的倍数有种可能的结果，
明明获胜，
磊磊获胜，
明明获胜磊磊获胜，
这个游戏不公平．
【知识点】复合事件概率的计算
【解析】【解答】解： (1) 1~6中，3与6是3的倍数，所以P（向上一面的点数为3的倍数）.
【分析】(1)利用概率公式直接求解；
（2）利用列表法求解概率后作判断.
20．（2023九上·灞桥开学考）已知、、是的三边，且满足，，试判断的形状，并说明理由．
【答案】解：是直角三角形，理由是：
设，
，，，
，
，
，
，，，
，
是直角三角形．
【知识点】解一元一次方程；勾股定理的逆定理；比例的性质
【解析】【分析】用设k法求解，设，用k分别表示出a、b、c，根据“”，转化为k方程求解，求得a、b、c的值，分别求出各边的平方，比较较小两个之和与最大的值是否相等，再作判断.
21．（2023九上·灞桥开学考） 如图，在矩形中，对角线，交于点，以，为邻边作菱形，连接．
（1）证明：四边形是平行四边形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）解：四边形是菱形，
，即．
又四边形是矩形，
，
．
四边形是平行四边形．
（2）解：四边形是矩形，
．
四边形是平行四边形，
，，．
，．
四边形是平行四边形．
，，
．
四边形是菱形．
，
．
又，
．
，
面积为，
四边形面积．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】(1)通过证明四边形AEOD有一组边平行且相等来说明它是平行四边形；
（2）先求得平行四边形ADOE的一边EO的长，再求得这边上的高，利用平行四边形面积公式求解.
22．（2023九上·灞桥开学考）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克元，连续两次降价后每千克元，若每次下降的百分率相同．
（1）求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少千克，现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【答案】（1）解：设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
50 ( 1-a) 2=32，
解得： a=1.8 (舍)或a=0.2，
答：每次下降的百分率为20%；
（2）解：设每千克应涨价元，由题意，得
，
整理，得，
解得：，，
因为要尽快减少库存，所以符合题意．
答：该商场要保证每天盈利元，那么每千克应涨价元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设 每次下降的百分率为a，依据“ 原价每千克元，连续两次降价后每千克元 ”列出方程求解.
（2）设每千克应涨价元，依据" 若每千克涨价元，日销售量将减少千克，现该商场要保证每天盈利元"可列出一元二次方程求解，并检验根的意义.
23．（2023九上·灞桥开学考）如图，在中，、、分别是、上的点，且，．
（1）当，时，求的长；
（2）求证：．
【答案】（1）解：，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】(1)利用平行线分线段成比例，列出比例式求解；
（2）通过两对平行线，分别列出比例式，适当变形即可.
24．（2023九上·灞桥开学考）（1）已知关于的方程若方程有两个相等的实数根，求的值，并求出此时方程的根；
（2）是否存在正数，使方程的两个实数根的平方和等于若存在，求出满足条件的的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：，，方程有两个相等的实数根，
，即，
．
原方程化为：，，
．
（2）解：不存在正数使方程的两个实数根的平方和等于．
，
，
即：，
解得：，不合题意，舍去，
又时，，此时方程无实数根，
不存在正数使方程的两个实数根的平方和等于．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】(1)对照一元二次方程一般式，分别写出a，b，c，根据“方程有两个相等的实数根”，列出关于待求字母的方程求得待定字母，代回后得到方程，解这个方程即可；
（2）利用根与系数的关系，分别计算两根之和、积，再求两根的平方和，依次“ 方程的两个实数根的平方和等于”求解，说明其不可能即可.
25．（2020八下·汉阳期中）
（1）如图①，正方形 的两边分别在正方形 的边 和 上，连接 .填空：线段 与 的数量关系为 ；直线 与 所夹锐角的大小为 .
（2）如图②，将正方形 绕点 顺时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由.
（3）把图②中的正方形都换成菱形，且 ，如图③，直接写出 .
【答案】（1）；45°
（2）解：仍然成立，证明如下：
过 作 ，且 ，连接 ， ，并延长交 、 交于点
∵四边形 是正方形
∴ ，
∵
∴
∴
∴
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形
∴ ， ，∴
∵ ，
∴
∴ ，
∴
∴
∴四边形 是平行四边形
∴ ，
在 中，
∴ ，
即 ，
∵
∴ ，即直线 与 所夹锐角的度数为45°；
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）①线段 与 的数量关系为 ；
②直线 与 所夹锐角的度数为45°.
连接AF，根据正方形的性质可得A、F、C三点共线，∠CAD=45°
∵AF= AG，AC= AD
∴CF=AC-AF= （AD-AG）= DG
（ 3 ）过 作∠GDH=120°，且 ，连接 ，
∵四边形 是菱形 ，
∴ ，∠ADC=120°
∵∠GDH=120°
∴
∴
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形
∴ ， ，
∴
∵ ，
∴
∴ ，
，
∴
∴
∴四边形 是平行四边形
∴ ，
过点D作DM⊥GH于点M
∴GM= GH= CF，DM= DG
在Rt△DGM中，
∴GM= DG，
∴DG：CF= .
【分析】（1）根据正方形的性质即可得出答案；
（2）过 作 ，且 ，连接 ， ，并延长交 、 交于点 ，证明 ，接着证明四边形 是平行四边形，即可得出答案；（3）过 作∠GDH=120°，且 ，连接 ， ，证明 ，接着证明四边形 是平行四边形，再过点D作DM⊥GH于点M，证出GM= GH= CF，DM= DG，再利用勾股定理计算即可得出答案.
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