福建省上杭县第三中学2023-2024学年九年级上册数学开学测试试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．（2023九上·上杭开学考）计算的结果是（ ）
A．-1 B．-2 C． D．2
2．（2023九上·上杭开学考）一元二次方程的根的判别式的值为（ ）
A．-1 B．1 C．17 D．-17
3．（2023九上·上杭开学考）“双十一”购物狂欢节，指的是每年的11月11日的网络促销日，据有关部门统计，2019年“双十一”期间，当当网前一小时售出图书约6800000册，将6800000用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2019·恩施）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，已知∠ADE=65°，则∠CFE的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
5．（2023九上·上杭开学考）一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·上杭开学考）建设美丽城市，改造老旧小区.某区2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元。设每年投入资金的平均增长率为x，则下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023九上·上杭开学考）全国花样滑冰锦标赛是中国花样滑冰传统三大赛事之一，吸引众多国内名将亮相．为选择合适的运动员参赛，将甲、乙、丙、丁四位运动员4次单人滑冰的自由滑比赛成绩进行统计，得到的平均成绩和方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
平均成绩（分） 76 75 76 75
方差 1.05 1.25 0.85 0.95
你认为派谁去参赛更合适（ ）．
A．丁 B．甲 C．乙 D．丙
8．（2023九上·上杭开学考）《算法统宗》中有这样一道题：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟疑！其大意是说：用999文钱共买了1000个甜果和苦果，其中4分钱可以买苦果7个，11文钱可以买甜果9个．请问究竟甜果、苦果各有几个？设甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023九上·上杭开学考）关于x的一次函数，当时，y的最大值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023九上·上杭开学考）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．2019 B．2021 C．2023 D．2026
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（2016·上海）计算：a3÷a= ．
12．（2023九上·上杭开学考）一个多边形的每个内角都等于144°，那么这个多边形的内角和为 ．
13．（2023九上·上杭开学考）某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了28条航线，则这个航空公司共有 个飞机场.．
14．（2023九上·上杭开学考）若关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是 ．
15．（2023九上·上杭开学考）如图，直线y=kx+6与x轴，y轴分别交于B，A两点，与直线y=mx相交于点P，若△POA面积为6，则关于x的不等式组kx+6＞mx的解集为 ．
16．（2023九上·上杭开学考）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于x的一元二次方程与为“友好方程”，那么m的值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2023九上·上杭开学考）解一元二次方程：
（1）
（2）
18．（2023九上·上杭开学考）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DFAE，垂足为点F，求证：DF＝AB．
19．（2023九上·上杭开学考）先化简，再求值：，其中．
20．（2023九上·上杭开学考）已知关于x的方程有两个实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为，且，求实数k的值．
21．（2023九上·上杭开学考）如图，利用一面墙(墙长25m)，用总长度为70m的栅栏(图中实线部分)围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1m宽的小门．设栅栏BC的长为xm．
（1）AB= m(用含x的代数式表示)；
（2）若矩形围栏ABCD的面积为324，求栅栏BC的长．
22．（2023九上·上杭开学考）出行是人们日常生活必不可少的组成部分，随着人们环保观念的加深，绿色出行已成了许多人的首要选择．小健为了了解自己每年的出行方式，收集了其中60次的数据，整理成条形统计图．
（1）小健乘地铁的次数占这60次样本数据的 %；
（2）小健在一段时间内出行了150次，请你估计这段时间他步行的次数是 次；
（3）已知每种出行方式的平均花费如下表：
出行方式 步行 骑自行车 乘公交车 乘地铁 乘出租车
单价（元/次） 0 0.5 1 3 11
小健的妈妈每年给小健的出行费用为1500元，一年按365天计算，若小健平均每天出行2次，试说明小健的出行费用是否足够？
23．（2023九上·上杭开学考）某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋，其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表，已知用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同.
运动鞋价格 甲 乙
进价(元/双) m m—30
售价(元/双) 300 200
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在(2)的进货方案下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a(60＜a＜80)元出售，乙种运动鞋价格不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
24．（2023九上·上杭开学考） 是一元二次方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差根方程”。根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）通过计算，判断下列方程是不是“差根方程”：
①②.
（2）已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值；
（3）若关于x的方程(a，b是常数，）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系．
25．（2023九上·上杭开学考）直线y=3x+3分别交x轴，y轴于点A，B，点D在x轴正半轴上，DC⊥AB于点C.
（1）直接写出点的坐标：A（ ），B（ ）；
（2）如图1，连接OC，若CO平分∠ACD，求直线CD的解析式；
（3）如图2，在(2)的条件下，点E在线段CD上运动，以OE为边作正方形OEFG(点O，E，F，G按逆时针排列)。
①求证：点G必在直线AB上；
②求证：点F在某条定直线上运动。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】先计算乘方，再算加法.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：
a=1，b=-3，c=-2，
b2-4ac=(-3)2-4×1×(-2)=17.
故答案为：C.
【分析】对照一般式，写出a，b，c，再代入b2-4ac计算.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：6800000=6.8×1000000=6.8×106.
故答案为：B.
【分析】 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE//BC，EF//AB，
∴∠ADE=∠B，∠B=∠CFE，
∵∠ADE=65°，
∴∠CFE=∠ADE=65°.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边得出DE//BC，EF//AB，根据二直线平行，同位角相等得出∠ADE=∠B，∠B=∠CFE，故∠CFE=∠ADE=65°.
5．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，移项，得，方程两边同加上16，得，即.
故答案为：A.
【分析】先将常数项移到等号右边，再在方程两边同加上一次项系数一半的平方即可.
6．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每年投入资金的平均增长率为x，因为某区2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，所以.
故答案为：B.
【分析】 设每年投入资金的平均增长率为x，根据“2020年投入的资金×（1+年平均增长率）2=2022年投入的资金”，列出方程即可．
7．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解： 由表格数据知，，
所以甲、丙的平均成绩比乙、丁好，
又
∴丙成绩的方差小于甲，
∴丙成绩好且状态稳定．
故答案为：D.
【分析】先比较平均数，选择平均数大的，最比较方差，选择方差较小的.
8．【答案】A
【知识点】列一元一次不等式组
【解析】【解答】解： 设甜果x个，苦果y个， 根据“ 共买了1000个甜果和苦果 ”可列方程为x+y＝1000；根据“用999文钱”与“4分钱可以买苦果7个，11文钱可以买甜果9个”，可列方程，联立组成方程组.
故答案为：A.
【分析】设甜果x个，苦果y个，根据题中的两个等量关系列出方程组求解.
9．【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：
∵0＜k＜1，
∴该一次函数y随x的增大而增大，
当2≤x≤3时，取x=3时，y有最大值，
故答案为：A.
【分析】将一次函数化为y=kx+b的形式，先确定k的符号，再确定其增减性，然后根据自变量的范围求最值.
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a，b是方程的两个实数根，∴，a+b=-1，∴，
∴
故答案为：D.
【分析】利用根的意义，将待求式子的二次项转化为一次项，再利用根与系数的关系求解.
11．【答案】a2
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：a3÷a=a3﹣1=a2．
故答案为：a2．
【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减进行计算即可求解． 本题考查了同底数幂的除法的运算性质，熟记运算性质是解题的关键．
12．【答案】1440°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解： ∵这个多边形的每个内角都等于144°，
∴这个多边形的每个外角为180°-144°=36°，
∴这个多边形的边数为360°÷36°=10，
∴这个多边形的内角和为（10-2）×180°=1440°．
故答案为：1440°.
【分析】先求出每一个外角的度数，再求出边数，然后求这个多边形的内角和．
13．【答案】8
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解： 设这个航空公司共有x个飞机场，
可列方程为：，
解得：x1=8，x2=-7（舍去）．
故答案为：8.
【分析】设这个航空公司共有x个飞机场，根据题中的等量关系列出方程求解.
14．【答案】任何实数
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有实数解，
∴，
∴m可取任何实数.
故答案为：任何实数.
【分析】通过计算△来确定m的范围.
15．【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：由直线y=kx+6，可知A点的坐标为（0，6），因为△POA面积为6，所以，解得P点的横坐标为2，所以不等式kx+6＞mx的解集为x<2.
故答案为：x<2.
【分析】先根据直线y=kx+6确定A点的坐标，再根据△POA面积为6，确定P点的横坐标，即可对照图象求得不等式kx+6＞mx的解集.
16．【答案】1或-9
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：， 分解因式，得 x(x-2)=0，解得x1=0，x2=2，
当x=0时，将x=0代入，得m-1=0，解得m=1；
当x=2时，将x=2代入，得4+6+m-1=0，解得m=-9.
故答案为：1或-9.
【分析】先求出的根，再分别代入，求出m的值.
17．【答案】（1）解：移项，得 ，
方程两边同加上1，得，
即，
开平方，得，
解得 .
（2）解：
a=2，b=2，c=-1，
b2-4ac=22-4×2×(-1)=12，
所以，
所以
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)利用配方法解；
（2）利用公式法解.
18．【答案】解：证明：由矩形ABCD可得AD‖BC，∴∠AEB=∠DAF，
又∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°，∴∠DFA=∠B.
在△ADF和∠EAB中，
∠DAF=∠AEB， ∠DFA=∠B，AD=EA，
∴ △ADF≌△EAB(AAS)， ∴DF=AB.
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】先证明∠DFA=∠B，再利用AAS证明△ADF≌△EAB，根据全等三角形的性质可得出DF=AB.
19．【答案】解：原式= ，
当 时，原式=
【知识点】分式的化简求值；分母有理化
【解析】【分析】将括号内的分式通分，同时将除法转化为乘法，再利用分式乘法，转化为一个分式，然后约分后代入求值.
20．【答案】（1）解：
∴ ；
（2）解：依题意得，
∴
∴
∴ ，又
∴
经检验k=-3是分式方程的解.
所以k=-3.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据 方程有两个实数根，转化为关于k的不等式求解；
（2）将式子通分，根据根与系数的关系求得两根之和与积，代入后转化为k方程求解.
21．【答案】（1）（72-3x）
（2）解：根据题意，得x(72-3x)=324，
解得x=18或x=6.
当x=18时，72-3x=72-3×18=18＜25，符合题意；
当x=6时，72-3.x=72-3×6=54＞25，不符合意，舍去。
答：栅栏 BC的长为18 m.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解： （1）AB=70+1×2-3x=（72-3x）米，
故答案为：（72-3x）．
【分析】 （1）根据"AB的长=栅栏的总长+两个1m宽的小门 -3个BC的长"求解；
（2）根据“矩形围栏ABCD面积为324平方米”，列出关于x的一元二次方程求解，并对各个解的实际意义验证后得出BC的长.
22．【答案】（1）25
（2）25
（3）解：小健的出行费用足够。
理由如下：
由题意可得，小建健平均每次的出行费用为
(元)，
小健一年的出行费用约为2×2×365=1460(元)，
1500>1460，∴小健的出行费用足够.
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【解答】解： （1）小健乘地铁的次数占这60次样本数据的，
故答案为：25；
（2）这段时间他步行的次数是（次），
故答案为：25；
【分析】（1）从条形统计图读出小健乘地铁的次数，除以总次数即可；
（2）这段时间他步行的次数是他在一段时间内出行的次数乘以这段时间他步行频率.
(3) 根据表中数据，利用加权平均数的求得求得小建健平均每次的出行费用，结果乘2乘2再乘365，结果与1500比较后得出结论.
23．【答案】（1）解：依题意，得 ，得m=150，
经检验：m=150是原方程的解且符合题意，∴m=150
（2）解：设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋(200-x)双，根据题意，
得(300-150)x+(200-120)(200-x)≥21700，
(300-150)x+(200-120)(200-x)≤22300，
解得 ，∵x为正整数，∴该专卖店有9种进货方案；
（3）解：设总利润为W元，
得W=(300-150-a)x+(200-120)(200—x)=(70-a)x+16000，
①当60＜a＜70时，70-a＞0，W随x的增大而增大，
当x=90时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋90双，购进乙种运动鞋110双；
②当a=70时，70-a=0，W=16000，(2)中所有方案获利都一样；
③当70＜a＜80时，70-a＜0，W随x的增大而减小，当x=82时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋82双，购进乙种运动鞋118双
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）根据题意列出分式方程求解，验根后作答；
（2）设购进甲种运动鞋x双，根据题意，列出不等式组，并求出正整数解，得出进货方案种数；
（3）设总利润为W元，列出W关于x的一次函数，分三种情况讨论.
24．【答案】（1）解：①得 ， ，
∴此方程不是差根方程
②得 ， ，
∴此方程是差根方程
（2）解： ，得 .
∵关于x的方程 是“差根方程”，
∴-2a=±1，即
（3）解：设 是一元二次方程 (a，b是常数，a＞0)的两个实数根，
∴
∵关于x的方程 是“差根方程”，
∴ ，即
∴ .
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】(1)分别求出方程的解，根据“差根方程”定义，计算后作判断；
（2）根据“差根方程”定义，转化为关于a的方程求解；
（3）根据“差根方程”定义，结合根与系数的关系求解.
25．【答案】（1）-1，0；0，3
（2）解：设CD交y轴于点T，过点O分别作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N，
证△BOM≌△DON，△AOB≌△TOD，
∴OD=OB=3，OT=OA=1，
∴T(0，1)，D(3，0)，
∴直线CD的解析式为
（3）解：如下图，过点E作EH⊥x轴于点H，过点G作GP⊥x轴于点P，过点F作FQ⊥EH交HE的延长线于点Q，证△OEH≌△GOP≌△EFQ，
设 ，则 .
①在y=3x+3中，令 ，则y=m-3+3=m，
∴点G在直线AB上；…12分
②令 ，消去参数m，得 ，
∴点F在定直线 上运动。……14分
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；三角形全等的判定；一次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：(1)取x=0，代入直线y=3x+3，y=3，所以B点的坐标为（0，3）；取y=0，代入直线y=3x+3，得0=3x+3，解得x=-1，所以A点的坐标为（-1，0）；
【分析】(1)取x=0，代入直线y=3x+3，求出y，得出B点的坐标；取y=0，求出x，得出A点坐标；
（2）通过证△BOM≌△DON，△AOB≌△TOD，得出OD=OB，OT=OA，求得T、D的坐标，再求出CD的解析式；
（3）设出E点的坐标，用m表示出G、F的坐标，①将G的横坐标代入，求出纵坐标与G点的纵坐标比较后得出结论；②设，消去m，得到x、y的关系式就是F点所在的直线.
1 / 1福建省上杭县第三中学2023-2024学年九年级上册数学开学测试试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．（2023九上·上杭开学考）计算的结果是（ ）
A．-1 B．-2 C． D．2
【答案】C
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】先计算乘方，再算加法.
2．（2023九上·上杭开学考）一元二次方程的根的判别式的值为（ ）
A．-1 B．1 C．17 D．-17
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：
a=1，b=-3，c=-2，
b2-4ac=(-3)2-4×1×(-2)=17.
故答案为：C.
【分析】对照一般式，写出a，b，c，再代入b2-4ac计算.
3．（2023九上·上杭开学考）“双十一”购物狂欢节，指的是每年的11月11日的网络促销日，据有关部门统计，2019年“双十一”期间，当当网前一小时售出图书约6800000册，将6800000用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：6800000=6.8×1000000=6.8×106.
故答案为：B.
【分析】 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
4．（2019·恩施）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，已知∠ADE=65°，则∠CFE的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE//BC，EF//AB，
∴∠ADE=∠B，∠B=∠CFE，
∵∠ADE=65°，
∴∠CFE=∠ADE=65°.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边得出DE//BC，EF//AB，根据二直线平行，同位角相等得出∠ADE=∠B，∠B=∠CFE，故∠CFE=∠ADE=65°.
5．（2023九上·上杭开学考）一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，移项，得，方程两边同加上16，得，即.
故答案为：A.
【分析】先将常数项移到等号右边，再在方程两边同加上一次项系数一半的平方即可.
6．（2023九上·上杭开学考）建设美丽城市，改造老旧小区.某区2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元。设每年投入资金的平均增长率为x，则下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每年投入资金的平均增长率为x，因为某区2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，所以.
故答案为：B.
【分析】 设每年投入资金的平均增长率为x，根据“2020年投入的资金×（1+年平均增长率）2=2022年投入的资金”，列出方程即可．
7．（2023九上·上杭开学考）全国花样滑冰锦标赛是中国花样滑冰传统三大赛事之一，吸引众多国内名将亮相．为选择合适的运动员参赛，将甲、乙、丙、丁四位运动员4次单人滑冰的自由滑比赛成绩进行统计，得到的平均成绩和方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
平均成绩（分） 76 75 76 75
方差 1.05 1.25 0.85 0.95
你认为派谁去参赛更合适（ ）．
A．丁 B．甲 C．乙 D．丙
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解： 由表格数据知，，
所以甲、丙的平均成绩比乙、丁好，
又
∴丙成绩的方差小于甲，
∴丙成绩好且状态稳定．
故答案为：D.
【分析】先比较平均数，选择平均数大的，最比较方差，选择方差较小的.
8．（2023九上·上杭开学考）《算法统宗》中有这样一道题：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟疑！其大意是说：用999文钱共买了1000个甜果和苦果，其中4分钱可以买苦果7个，11文钱可以买甜果9个．请问究竟甜果、苦果各有几个？设甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次不等式组
【解析】【解答】解： 设甜果x个，苦果y个， 根据“ 共买了1000个甜果和苦果 ”可列方程为x+y＝1000；根据“用999文钱”与“4分钱可以买苦果7个，11文钱可以买甜果9个”，可列方程，联立组成方程组.
故答案为：A.
【分析】设甜果x个，苦果y个，根据题中的两个等量关系列出方程组求解.
9．（2023九上·上杭开学考）关于x的一次函数，当时，y的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：
∵0＜k＜1，
∴该一次函数y随x的增大而增大，
当2≤x≤3时，取x=3时，y有最大值，
故答案为：A.
【分析】将一次函数化为y=kx+b的形式，先确定k的符号，再确定其增减性，然后根据自变量的范围求最值.
10．（2023九上·上杭开学考）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．2019 B．2021 C．2023 D．2026
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a，b是方程的两个实数根，∴，a+b=-1，∴，
∴
故答案为：D.
【分析】利用根的意义，将待求式子的二次项转化为一次项，再利用根与系数的关系求解.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（2016·上海）计算：a3÷a= ．
【答案】a2
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：a3÷a=a3﹣1=a2．
故答案为：a2．
【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减进行计算即可求解． 本题考查了同底数幂的除法的运算性质，熟记运算性质是解题的关键．
12．（2023九上·上杭开学考）一个多边形的每个内角都等于144°，那么这个多边形的内角和为 ．
【答案】1440°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解： ∵这个多边形的每个内角都等于144°，
∴这个多边形的每个外角为180°-144°=36°，
∴这个多边形的边数为360°÷36°=10，
∴这个多边形的内角和为（10-2）×180°=1440°．
故答案为：1440°.
【分析】先求出每一个外角的度数，再求出边数，然后求这个多边形的内角和．
13．（2023九上·上杭开学考）某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了28条航线，则这个航空公司共有 个飞机场.．
【答案】8
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解： 设这个航空公司共有x个飞机场，
可列方程为：，
解得：x1=8，x2=-7（舍去）．
故答案为：8.
【分析】设这个航空公司共有x个飞机场，根据题中的等量关系列出方程求解.
14．（2023九上·上杭开学考）若关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是 ．
【答案】任何实数
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有实数解，
∴，
∴m可取任何实数.
故答案为：任何实数.
【分析】通过计算△来确定m的范围.
15．（2023九上·上杭开学考）如图，直线y=kx+6与x轴，y轴分别交于B，A两点，与直线y=mx相交于点P，若△POA面积为6，则关于x的不等式组kx+6＞mx的解集为 ．
【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：由直线y=kx+6，可知A点的坐标为（0，6），因为△POA面积为6，所以，解得P点的横坐标为2，所以不等式kx+6＞mx的解集为x<2.
故答案为：x<2.
【分析】先根据直线y=kx+6确定A点的坐标，再根据△POA面积为6，确定P点的横坐标，即可对照图象求得不等式kx+6＞mx的解集.
16．（2023九上·上杭开学考）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于x的一元二次方程与为“友好方程”，那么m的值为 ．
【答案】1或-9
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：， 分解因式，得 x(x-2)=0，解得x1=0，x2=2，
当x=0时，将x=0代入，得m-1=0，解得m=1；
当x=2时，将x=2代入，得4+6+m-1=0，解得m=-9.
故答案为：1或-9.
【分析】先求出的根，再分别代入，求出m的值.
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2023九上·上杭开学考）解一元二次方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：移项，得 ，
方程两边同加上1，得，
即，
开平方，得，
解得 .
（2）解：
a=2，b=2，c=-1，
b2-4ac=22-4×2×(-1)=12，
所以，
所以
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)利用配方法解；
（2）利用公式法解.
18．（2023九上·上杭开学考）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DFAE，垂足为点F，求证：DF＝AB．
【答案】解：证明：由矩形ABCD可得AD‖BC，∴∠AEB=∠DAF，
又∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°，∴∠DFA=∠B.
在△ADF和∠EAB中，
∠DAF=∠AEB， ∠DFA=∠B，AD=EA，
∴ △ADF≌△EAB(AAS)， ∴DF=AB.
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】先证明∠DFA=∠B，再利用AAS证明△ADF≌△EAB，根据全等三角形的性质可得出DF=AB.
19．（2023九上·上杭开学考）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式= ，
当 时，原式=
【知识点】分式的化简求值；分母有理化
【解析】【分析】将括号内的分式通分，同时将除法转化为乘法，再利用分式乘法，转化为一个分式，然后约分后代入求值.
20．（2023九上·上杭开学考）已知关于x的方程有两个实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为，且，求实数k的值．
【答案】（1）解：
∴ ；
（2）解：依题意得，
∴
∴
∴ ，又
∴
经检验k=-3是分式方程的解.
所以k=-3.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据 方程有两个实数根，转化为关于k的不等式求解；
（2）将式子通分，根据根与系数的关系求得两根之和与积，代入后转化为k方程求解.
21．（2023九上·上杭开学考）如图，利用一面墙(墙长25m)，用总长度为70m的栅栏(图中实线部分)围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1m宽的小门．设栅栏BC的长为xm．
（1）AB= m(用含x的代数式表示)；
（2）若矩形围栏ABCD的面积为324，求栅栏BC的长．
【答案】（1）（72-3x）
（2）解：根据题意，得x(72-3x)=324，
解得x=18或x=6.
当x=18时，72-3x=72-3×18=18＜25，符合题意；
当x=6时，72-3.x=72-3×6=54＞25，不符合意，舍去。
答：栅栏 BC的长为18 m.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解： （1）AB=70+1×2-3x=（72-3x）米，
故答案为：（72-3x）．
【分析】 （1）根据"AB的长=栅栏的总长+两个1m宽的小门 -3个BC的长"求解；
（2）根据“矩形围栏ABCD面积为324平方米”，列出关于x的一元二次方程求解，并对各个解的实际意义验证后得出BC的长.
22．（2023九上·上杭开学考）出行是人们日常生活必不可少的组成部分，随着人们环保观念的加深，绿色出行已成了许多人的首要选择．小健为了了解自己每年的出行方式，收集了其中60次的数据，整理成条形统计图．
（1）小健乘地铁的次数占这60次样本数据的 %；
（2）小健在一段时间内出行了150次，请你估计这段时间他步行的次数是 次；
（3）已知每种出行方式的平均花费如下表：
出行方式 步行 骑自行车 乘公交车 乘地铁 乘出租车
单价（元/次） 0 0.5 1 3 11
小健的妈妈每年给小健的出行费用为1500元，一年按365天计算，若小健平均每天出行2次，试说明小健的出行费用是否足够？
【答案】（1）25
（2）25
（3）解：小健的出行费用足够。
理由如下：
由题意可得，小建健平均每次的出行费用为
(元)，
小健一年的出行费用约为2×2×365=1460(元)，
1500>1460，∴小健的出行费用足够.
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【解答】解： （1）小健乘地铁的次数占这60次样本数据的，
故答案为：25；
（2）这段时间他步行的次数是（次），
故答案为：25；
【分析】（1）从条形统计图读出小健乘地铁的次数，除以总次数即可；
（2）这段时间他步行的次数是他在一段时间内出行的次数乘以这段时间他步行频率.
(3) 根据表中数据，利用加权平均数的求得求得小建健平均每次的出行费用，结果乘2乘2再乘365，结果与1500比较后得出结论.
23．（2023九上·上杭开学考）某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋，其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表，已知用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同.
运动鞋价格 甲 乙
进价(元/双) m m—30
售价(元/双) 300 200
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在(2)的进货方案下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a(60＜a＜80)元出售，乙种运动鞋价格不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
【答案】（1）解：依题意，得 ，得m=150，
经检验：m=150是原方程的解且符合题意，∴m=150
（2）解：设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋(200-x)双，根据题意，
得(300-150)x+(200-120)(200-x)≥21700，
(300-150)x+(200-120)(200-x)≤22300，
解得 ，∵x为正整数，∴该专卖店有9种进货方案；
（3）解：设总利润为W元，
得W=(300-150-a)x+(200-120)(200—x)=(70-a)x+16000，
①当60＜a＜70时，70-a＞0，W随x的增大而增大，
当x=90时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋90双，购进乙种运动鞋110双；
②当a=70时，70-a=0，W=16000，(2)中所有方案获利都一样；
③当70＜a＜80时，70-a＜0，W随x的增大而减小，当x=82时，W有最大值，即此时应购进甲种运动鞋82双，购进乙种运动鞋118双
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）根据题意列出分式方程求解，验根后作答；
（2）设购进甲种运动鞋x双，根据题意，列出不等式组，并求出正整数解，得出进货方案种数；
（3）设总利润为W元，列出W关于x的一次函数，分三种情况讨论.
24．（2023九上·上杭开学考） 是一元二次方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差根方程”。根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）通过计算，判断下列方程是不是“差根方程”：
①②.
（2）已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值；
（3）若关于x的方程(a，b是常数，）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系．
【答案】（1）解：①得 ， ，
∴此方程不是差根方程
②得 ， ，
∴此方程是差根方程
（2）解： ，得 .
∵关于x的方程 是“差根方程”，
∴-2a=±1，即
（3）解：设 是一元二次方程 (a，b是常数，a＞0)的两个实数根，
∴
∵关于x的方程 是“差根方程”，
∴ ，即
∴ .
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】(1)分别求出方程的解，根据“差根方程”定义，计算后作判断；
（2）根据“差根方程”定义，转化为关于a的方程求解；
（3）根据“差根方程”定义，结合根与系数的关系求解.
25．（2023九上·上杭开学考）直线y=3x+3分别交x轴，y轴于点A，B，点D在x轴正半轴上，DC⊥AB于点C.
（1）直接写出点的坐标：A（ ），B（ ）；
（2）如图1，连接OC，若CO平分∠ACD，求直线CD的解析式；
（3）如图2，在(2)的条件下，点E在线段CD上运动，以OE为边作正方形OEFG(点O，E，F，G按逆时针排列)。
①求证：点G必在直线AB上；
②求证：点F在某条定直线上运动。
【答案】（1）-1，0；0，3
（2）解：设CD交y轴于点T，过点O分别作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N，
证△BOM≌△DON，△AOB≌△TOD，
∴OD=OB=3，OT=OA=1，
∴T(0，1)，D(3，0)，
∴直线CD的解析式为
（3）解：如下图，过点E作EH⊥x轴于点H，过点G作GP⊥x轴于点P，过点F作FQ⊥EH交HE的延长线于点Q，证△OEH≌△GOP≌△EFQ，
设 ，则 .
①在y=3x+3中，令 ，则y=m-3+3=m，
∴点G在直线AB上；…12分
②令 ，消去参数m，得 ，
∴点F在定直线 上运动。……14分
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；三角形全等的判定；一次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：(1)取x=0，代入直线y=3x+3，y=3，所以B点的坐标为（0，3）；取y=0，代入直线y=3x+3，得0=3x+3，解得x=-1，所以A点的坐标为（-1，0）；
【分析】(1)取x=0，代入直线y=3x+3，求出y，得出B点的坐标；取y=0，求出x，得出A点坐标；
（2）通过证△BOM≌△DON，△AOB≌△TOD，得出OD=OB，OT=OA，求得T、D的坐标，再求出CD的解析式；
（3）设出E点的坐标，用m表示出G、F的坐标，①将G的横坐标代入，求出纵坐标与G点的纵坐标比较后得出结论；②设，消去m，得到x、y的关系式就是F点所在的直线.
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