河南省郑州市管城外国语2023-2024学年八年级上册数学入学考试试卷
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．（2023八上·郑州开学考）计算2 3的结果是（ ）
A． B． C．–8 D．8
2．（2023八上·郑州开学考）已知△ABC的三边分别是a、b、c，下列条件中不能判断△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a2+b2=c2 B．∠A：∠B：∠C=3：4：5
C．∠A=∠C-∠B D．a=1，b=2，c=
3．（2023八上·郑州开学考）下列说法中，正确的是（ ）
A．2是2的平方根之一 B．2是4的算术平方根
C．3的平方根是3的算术平方根 D．-2的平方是2
4．（2022八下·莱芜期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八上·郑州开学考）已知直角三角形的斜边长为10，两直角边的比为3∶4，则较短直角边的长为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．5
6．（2016八上·连州期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到斜边AB的距离是（ ）
A． B． C．9 D．6
7．（2023八上·郑州开学考）如图，五个正方形放在直线MN上，正方形A、C、E的面积依次为3、5、4，则正方形D的面积之和为（ ）
A．11 B．14 C．17 D．20
8．（2023八上·郑州开学考）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度x(罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计)范围是（ ）
A．12≤x≤13 B．12≤x≤15 C．5≤x≤12 D．5≤x≤13
9．（2021八下·台州开学考）等腰三角形一腰长为5，这一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边长为（ ）
A． B． C． 或 D．4或
10．（2023八上·郑州开学考）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以AC为直径的圆恰好过点B.若AB=8，BC=6，则阴影部分的面积是（ ）
A．100π-24 B．100π-48 C．25π-24 D．25π-48
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．（2023八上·郑州开学考）某种花粉的直径是0.000023毫米，数据0.000023用科学记数法表示为 .
12．（2019八上·新蔡期中）的平方根是 ．
13．（2023八下·惠来期中）一个直角三角形的两边长分别为1和2，则第三边长为 .
14．（2023八上·郑州开学考）如图，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程(π取3)是 .
15．（2023八上·郑州开学考）如图，由图中的信息可知点P表示的数是 .
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16．（2023八上·郑州开学考）
（1）
（2）
17．（2021八上·滕州月考）如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．
（1）求△A 的面积．
（2）通过计算判断 的形状．
18．（2023八上·郑州开学考）地表以下岩层的温度/℃与所处深度/km有如下关系：
深度/km 1 2 3 4 5
温度/℃ 55 90 125 160 195
（1）上表中自变量x是 ，因变量y是 .
（2）请写出y与x的关系式.
（3）根据(2)中的关系式，估计地表以下7km处岩层的温度.
19．（2023八上·郑州开学考）如图，∠ABC=90°，AB=6cm，AD=24cm，BC+CD=34cm，其中点C是直线l上的一个动点，当点C在离点B多远处时，△ACD是以DC为斜边的直角三角形
20．（2023八上·郑州开学考）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，随板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺，将它往前推进两步(两步=10尺)，此时踏板升高离地五尺，求秋千绳索的长度.
21．（2023八上·郑州开学考）阅读下面问题：
试求：
（1）
（2）当n为正整数时， ；
（3）求的值.
22．（2023八上·郑州开学考）如图，长方体的长BE=15cm，宽AB=10cm，高AD=20cm，点M在CH上.且CM=5cm
（1）求线段DM的长
（2）一只蚂蚁如果耍沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少
23．（2023八上·郑州开学考）公元3世纪初，我国学家赵爽证明勾定理的图形称为“弦图”.1876年类国总统Garfeild用图1(点C、点B、点C'三点共线)进行了勾股定理的证明.△ACB与△BC'B'是一样的直角三角板，两直角边长为a，b，斜边是c.
（1）请用此图1证明勾股定理.
（2）扩展应用1：
如图2，以△ABC的边AB和边AC为边长分别向外作正方形ABFH和正方形CED，过点F、E分别作BC的垂线段FM、EN，那么FM、EN、BC的数量关系是怎样 ：说明理由.
（3）扩展应用2：
如图3，在两平行线m、n之间有一正方形ABCD，已知点A和点C分别在直m、n上，过点D作直线l∥n∥m，已知l、n之间距离为l，l、m之间距离为2.直接出正方形的面积是 .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】根据负整数指数幂的运算法则，计算即可.
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵
∴为直角三角形，本项不符合题意；
B、∵
∴
∴不为直角三角形，本项符合题意；
C、∵
∴
∴为直角三角形，本项不符合题意；
D、∵
∴
∴为直角三角形，本项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理和三角形内角和定理，逐项判断即可.
3．【答案】B
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解：A、 是2的平方根之一，原说法错误，本项不符合题意；
B、2是4的算术平方根，原说法正确，本项符合题意；
C、3的平方根为，3的算术平方根为，原说法错误，本项不符合题意；
D、-2的平方为4，原说法错误，本项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据平方根的定义和算术平方根的定义，逐项分析即可.
4．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、为无理数，不能与有理数进行加减运算，不符合题意；
B、根据二次根式计算法则，同类二次根式相减时，系数相减，应该为，不符合题意；
C、根据二次根式乘法法则，符合题意；
D、根据二次根式除法法则，应该为，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的加减法、二次根式的乘除法逐项判断即可。
5．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意：设两直角边分别为：3x，4x，
解得：
∴较短直角边的长为：6，
故答案为：B.
【分析】根据题干：两直角边的比为3∶4，设两直角边分别为：3x，4x，再根据勾股定理列方程，解方程即可求解.
6．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设点C到斜边AB的距离是h，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，
∴所以
故选A．
【分析】设点C到斜边AB的距离是h，根据勾股定理求出AB的长，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
7．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：对原图进行标注，如下图：
由题意得：，
∴
∴
同理得：
在和中
∴
∴
∵
∴
∴
同理得：
∴正方形B，D的面积之和为：
故答案为：C.
【分析】如图：由题意得：根据正方形的性质得：，利用"ASA"证明得到：同理得到：进而即可求解.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得：当吸管垂直处于饮料罐正中心时，吸管在内部的部分最短；
即
当吸管与饮料罐底部的一端重合时，吸管在内部的部分最长，
即
∴x的范围为：
故答案为：A.
【分析】由题意得：当吸管垂直处于饮料罐正中心时，吸管在内部的部分最短；当吸管与饮料罐底部的一端重合时，吸管在内部的部分最长，根据勾股定理计算即可.
9．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：顶角为钝角时，如下图所示：
∵AO==4，
∴OB=AB+AO=5+4=9.
∴BC==.
顶角为锐角时，如下图所示：
∵AD==4，
∴DB=AB-AD=5-4=1.
∴BC==.
综上可得：这个等腰三角形的底边长为或.
故答案为：C.
【分析】此题要分两种情况进行讨论：（1）当等腰三角形的顶角是钝角时，画出图形，先在Rt△ACO中由勾股定理求出AO=4，于是OB=AB+AO=9，然后在Rt△BCO中利用勾股定理即可求出BC；
（2）当等腰三角形的顶角是锐角时，画出图形，在Rt△ACD中由勾股定理求出AD=4，于是DB=AB-AD=1，然后在Rt△BCD中利用勾股定理求出BC即可.
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴
∴
圆的面积为：
∴阴影部分的面积为：
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理计算出AC的长，进而计算出圆的面积，即可计算出阴影部分面积.
11．【答案】2.3
【知识点】科学记数法—记绝对值小于1的数
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】根据绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此解答即可.
12．【答案】±3
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解：=9，
9的平方根是±3，
故答案为：±3．
【分析】首先化简，再根据平方根的定义计算平方根．
13．【答案】或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】分两种情况讨论：
①第三边为直角边：由勾股定理可知第三边==；
②第三边为斜边：由勾股定理可知第三边==；
故答案为：或.
【分析】直接根据勾股定理解答，注意分类讨论即可.
14．【答案】10cm
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：将圆柱展开，如下图：
∴最短路程即为AB，
∵
∴
故答案为：10cm.
【分析】将圆柱展开，即可知最短路径为平面图形的对角线，根据勾股定理计算即可.
15．【答案】-2+
【知识点】实数在数轴上的表示；勾股定理
【解析】【解答】解：如下图：
∵
∴点P表示的数是：
故答案为：.
【分析】根据勾股定理求出AB的长度，进而可知点P所表示的数.
16．【答案】（1）解：原式=6-5+3=3
（2）解：原式=3-9+1-1=-6
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】（1）根据乘方的定义，算术平方根的定义，计算即可；
（2）根据绝对值，负整数指数幂，零次幂，乘方分别计算即可.
17．【答案】（1）解：
=16-6-4-1
=5，
（2）解： 是直角三角形，理由如下：
由勾股定理得，
即
是直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式和正方形的面积公式计算求解即可；
（2）利用勾股定理求出AC、AB和BC的值，再证明求解即可。
18．【答案】（1）深度x；温度y
（2）解：y=35x+20
（3）解：y=35x+20=35
【知识点】常量、变量；用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：（1）上表中自变量x是深度，因变量y是温度，
故答案为：深度，温度.
（2）∴设y与x的关系式为：
∴
解得：
∴y与x的关系式为：
（3）将x=7代入关系式，
∴地表以下7km处岩层的温度为265℃.
【分析】（1）由题干中的表格可知，上表中自变量x是深度，因变量y是温度；
（2）在表中任找两个变量的数据，利用代入假设的关系即可求解；
（3）由（2）中的关系式，将x=7代入关系式，即可求出对应的值.
19．【答案】解：∵BC与CD的长度之和为34cm，
∴设BC=xcm，则CD=(34-x)cm.
∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6cm，
∴AC2=AB2+BC2=62+x2.
∵△ACD是以DC为斜边的直角三角形，AD=24cm，
∴AC2=CD2-AD2=﹙34-x﹚2-242，
∴62+x2=﹙34-x﹚2-242，
解得x=8，
即BC=8cm.
答：当C离点B8cm时，△ACD是以DC为斜边的直角三角形.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设BC=xcm，则CD=(34-x)cm，在和中，分别根据勾股定理，用含x的式子表示AC，根据两个式子相等，列方程，解方程，即可求解.
20．【答案】解：设OA=OB=x尺，
∵EC=BD=5尺，AC=1尺.
∴EA=EC-AC=5-1=4(尺)，
OE=OA-AE=(x-4)尺，
在Rt△OEB中，OE=(x-4)尺，OB=x尺，EB=10尺.
根据勾股定理得：x2=﹙x-4﹚2+102，
整理得：8x=116，
即2x=29，
解得：x=14.5，
答：秋千绳索的长度是l4.5尺.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设OA=OB=x尺，根据已知条件，表示出OE，在Rt△OEB中，根据勾股定理列方程，解方程即可.
21．【答案】（1）
（2）
（3）解：
=1-
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：.
（2）
故答案为：.
【分析】（1）根据分母有理化的运算，计算即可；
（2）根据已知条件总结规律，计算即可；
（3）根据总结的规律，将原式变形计算即可.
22．【答案】（1）解：AB=CD，DM=
（2）解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图
∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm
要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
只要把长方体的上表面剪开与左面所在的平面形成一个长方形，如第3个图
∴蚂蚁爬行的最短距离是25cm，
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【分析】（1）根据长方体的性质得：，再根据勾股定理直接计算即可；
（2）将立体图形展开成平面图形分情况讨论：①长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形；②长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形；③长方体的上表面剪开与左面所在的平面形成一个长方形，再根据两点间线段最短，利用勾股定理计算即可.
23．【答案】（1）解：∵点C、点B、点三点共线，.∴四边形是直角梯形，
∵△ACB与'是一样的直角三角板，
是等腰直角三角形，
所以S梯形
所以
a +2ab+b =ab+ab+c .
∴a +b =c ；
（2）
拓展1.过A作AP⊥BC于点P，
则∠BMF=∠APB=90°，
∵∠ABF=90°，
∴∠BFM+∠MBF=∠MBF+∠ABP，
∴∠BFM=∠ABP，
在△BMF和△ABP中，
∴△BMF≌△ABP(AAS)，
∴FM=BP，
同理，EN=CP，
∴FM+EN=BP+CP，
即FM+EN=BC，
故答案为：FM+EN=BC；
（3）5
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理的应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：（3）过点D作PQ⊥m，分别交m于点P，交n于点Q，如下图：
则，
∴，
∴，
在△APD和△DQC中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴正方形的面积为5，
故答案为：5.
【分析】（1）用a，b，c表示三角形的面积，再根据梯形的面积等于两个直角三角形的面积之和即可求解；
（2）过A作AP⊥BC于点P，结合已知条件，利用“AAS”证明全等即可解答；
（3）过点D作PQ⊥m，分别交m于点P，交n于点Q，利用“AAS”证明，得到再根据勾股定理即可求解.
1 / 1河南省郑州市管城外国语2023-2024学年八年级上册数学入学考试试卷
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．（2023八上·郑州开学考）计算2 3的结果是（ ）
A． B． C．–8 D．8
【答案】B
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】根据负整数指数幂的运算法则，计算即可.
2．（2023八上·郑州开学考）已知△ABC的三边分别是a、b、c，下列条件中不能判断△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a2+b2=c2 B．∠A：∠B：∠C=3：4：5
C．∠A=∠C-∠B D．a=1，b=2，c=
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵
∴为直角三角形，本项不符合题意；
B、∵
∴
∴不为直角三角形，本项符合题意；
C、∵
∴
∴为直角三角形，本项不符合题意；
D、∵
∴
∴为直角三角形，本项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理和三角形内角和定理，逐项判断即可.
3．（2023八上·郑州开学考）下列说法中，正确的是（ ）
A．2是2的平方根之一 B．2是4的算术平方根
C．3的平方根是3的算术平方根 D．-2的平方是2
【答案】B
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解：A、 是2的平方根之一，原说法错误，本项不符合题意；
B、2是4的算术平方根，原说法正确，本项符合题意；
C、3的平方根为，3的算术平方根为，原说法错误，本项不符合题意；
D、-2的平方为4，原说法错误，本项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据平方根的定义和算术平方根的定义，逐项分析即可.
4．（2022八下·莱芜期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、为无理数，不能与有理数进行加减运算，不符合题意；
B、根据二次根式计算法则，同类二次根式相减时，系数相减，应该为，不符合题意；
C、根据二次根式乘法法则，符合题意；
D、根据二次根式除法法则，应该为，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的加减法、二次根式的乘除法逐项判断即可。
5．（2023八上·郑州开学考）已知直角三角形的斜边长为10，两直角边的比为3∶4，则较短直角边的长为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．5
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由题意：设两直角边分别为：3x，4x，
解得：
∴较短直角边的长为：6，
故答案为：B.
【分析】根据题干：两直角边的比为3∶4，设两直角边分别为：3x，4x，再根据勾股定理列方程，解方程即可求解.
6．（2016八上·连州期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到斜边AB的距离是（ ）
A． B． C．9 D．6
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设点C到斜边AB的距离是h，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，
∴所以
故选A．
【分析】设点C到斜边AB的距离是h，根据勾股定理求出AB的长，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
7．（2023八上·郑州开学考）如图，五个正方形放在直线MN上，正方形A、C、E的面积依次为3、5、4，则正方形D的面积之和为（ ）
A．11 B．14 C．17 D．20
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：对原图进行标注，如下图：
由题意得：，
∴
∴
同理得：
在和中
∴
∴
∵
∴
∴
同理得：
∴正方形B，D的面积之和为：
故答案为：C.
【分析】如图：由题意得：根据正方形的性质得：，利用"ASA"证明得到：同理得到：进而即可求解.
8．（2023八上·郑州开学考）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度x(罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计)范围是（ ）
A．12≤x≤13 B．12≤x≤15 C．5≤x≤12 D．5≤x≤13
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得：当吸管垂直处于饮料罐正中心时，吸管在内部的部分最短；
即
当吸管与饮料罐底部的一端重合时，吸管在内部的部分最长，
即
∴x的范围为：
故答案为：A.
【分析】由题意得：当吸管垂直处于饮料罐正中心时，吸管在内部的部分最短；当吸管与饮料罐底部的一端重合时，吸管在内部的部分最长，根据勾股定理计算即可.
9．（2021八下·台州开学考）等腰三角形一腰长为5，这一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边长为（ ）
A． B． C． 或 D．4或
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：顶角为钝角时，如下图所示：
∵AO==4，
∴OB=AB+AO=5+4=9.
∴BC==.
顶角为锐角时，如下图所示：
∵AD==4，
∴DB=AB-AD=5-4=1.
∴BC==.
综上可得：这个等腰三角形的底边长为或.
故答案为：C.
【分析】此题要分两种情况进行讨论：（1）当等腰三角形的顶角是钝角时，画出图形，先在Rt△ACO中由勾股定理求出AO=4，于是OB=AB+AO=9，然后在Rt△BCO中利用勾股定理即可求出BC；
（2）当等腰三角形的顶角是锐角时，画出图形，在Rt△ACD中由勾股定理求出AD=4，于是DB=AB-AD=1，然后在Rt△BCD中利用勾股定理求出BC即可.
10．（2023八上·郑州开学考）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以AC为直径的圆恰好过点B.若AB=8，BC=6，则阴影部分的面积是（ ）
A．100π-24 B．100π-48 C．25π-24 D．25π-48
【答案】C
【知识点】三角形的面积；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴
∴
圆的面积为：
∴阴影部分的面积为：
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理计算出AC的长，进而计算出圆的面积，即可计算出阴影部分面积.
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．（2023八上·郑州开学考）某种花粉的直径是0.000023毫米，数据0.000023用科学记数法表示为 .
【答案】2.3
【知识点】科学记数法—记绝对值小于1的数
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】根据绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此解答即可.
12．（2019八上·新蔡期中）的平方根是 ．
【答案】±3
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解：=9，
9的平方根是±3，
故答案为：±3．
【分析】首先化简，再根据平方根的定义计算平方根．
13．（2023八下·惠来期中）一个直角三角形的两边长分别为1和2，则第三边长为 .
【答案】或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】分两种情况讨论：
①第三边为直角边：由勾股定理可知第三边==；
②第三边为斜边：由勾股定理可知第三边==；
故答案为：或.
【分析】直接根据勾股定理解答，注意分类讨论即可.
14．（2023八上·郑州开学考）如图，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程(π取3)是 .
【答案】10cm
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：将圆柱展开，如下图：
∴最短路程即为AB，
∵
∴
故答案为：10cm.
【分析】将圆柱展开，即可知最短路径为平面图形的对角线，根据勾股定理计算即可.
15．（2023八上·郑州开学考）如图，由图中的信息可知点P表示的数是 .
【答案】-2+
【知识点】实数在数轴上的表示；勾股定理
【解析】【解答】解：如下图：
∵
∴点P表示的数是：
故答案为：.
【分析】根据勾股定理求出AB的长度，进而可知点P所表示的数.
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16．（2023八上·郑州开学考）
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=6-5+3=3
（2）解：原式=3-9+1-1=-6
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】（1）根据乘方的定义，算术平方根的定义，计算即可；
（2）根据绝对值，负整数指数幂，零次幂，乘方分别计算即可.
17．（2021八上·滕州月考）如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．
（1）求△A 的面积．
（2）通过计算判断 的形状．
【答案】（1）解：
=16-6-4-1
=5，
（2）解： 是直角三角形，理由如下：
由勾股定理得，
即
是直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式和正方形的面积公式计算求解即可；
（2）利用勾股定理求出AC、AB和BC的值，再证明求解即可。
18．（2023八上·郑州开学考）地表以下岩层的温度/℃与所处深度/km有如下关系：
深度/km 1 2 3 4 5
温度/℃ 55 90 125 160 195
（1）上表中自变量x是 ，因变量y是 .
（2）请写出y与x的关系式.
（3）根据(2)中的关系式，估计地表以下7km处岩层的温度.
【答案】（1）深度x；温度y
（2）解：y=35x+20
（3）解：y=35x+20=35
【知识点】常量、变量；用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：（1）上表中自变量x是深度，因变量y是温度，
故答案为：深度，温度.
（2）∴设y与x的关系式为：
∴
解得：
∴y与x的关系式为：
（3）将x=7代入关系式，
∴地表以下7km处岩层的温度为265℃.
【分析】（1）由题干中的表格可知，上表中自变量x是深度，因变量y是温度；
（2）在表中任找两个变量的数据，利用代入假设的关系即可求解；
（3）由（2）中的关系式，将x=7代入关系式，即可求出对应的值.
19．（2023八上·郑州开学考）如图，∠ABC=90°，AB=6cm，AD=24cm，BC+CD=34cm，其中点C是直线l上的一个动点，当点C在离点B多远处时，△ACD是以DC为斜边的直角三角形
【答案】解：∵BC与CD的长度之和为34cm，
∴设BC=xcm，则CD=(34-x)cm.
∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6cm，
∴AC2=AB2+BC2=62+x2.
∵△ACD是以DC为斜边的直角三角形，AD=24cm，
∴AC2=CD2-AD2=﹙34-x﹚2-242，
∴62+x2=﹙34-x﹚2-242，
解得x=8，
即BC=8cm.
答：当C离点B8cm时，△ACD是以DC为斜边的直角三角形.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设BC=xcm，则CD=(34-x)cm，在和中，分别根据勾股定理，用含x的式子表示AC，根据两个式子相等，列方程，解方程，即可求解.
20．（2023八上·郑州开学考）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，随板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺，将它往前推进两步(两步=10尺)，此时踏板升高离地五尺，求秋千绳索的长度.
【答案】解：设OA=OB=x尺，
∵EC=BD=5尺，AC=1尺.
∴EA=EC-AC=5-1=4(尺)，
OE=OA-AE=(x-4)尺，
在Rt△OEB中，OE=(x-4)尺，OB=x尺，EB=10尺.
根据勾股定理得：x2=﹙x-4﹚2+102，
整理得：8x=116，
即2x=29，
解得：x=14.5，
答：秋千绳索的长度是l4.5尺.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设OA=OB=x尺，根据已知条件，表示出OE，在Rt△OEB中，根据勾股定理列方程，解方程即可.
21．（2023八上·郑州开学考）阅读下面问题：
试求：
（1）
（2）当n为正整数时， ；
（3）求的值.
【答案】（1）
（2）
（3）解：
=1-
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：.
（2）
故答案为：.
【分析】（1）根据分母有理化的运算，计算即可；
（2）根据已知条件总结规律，计算即可；
（3）根据总结的规律，将原式变形计算即可.
22．（2023八上·郑州开学考）如图，长方体的长BE=15cm，宽AB=10cm，高AD=20cm，点M在CH上.且CM=5cm
（1）求线段DM的长
（2）一只蚂蚁如果耍沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少
【答案】（1）解：AB=CD，DM=
（2）解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图
∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm
要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
只要把长方体的上表面剪开与左面所在的平面形成一个长方形，如第3个图
∴蚂蚁爬行的最短距离是25cm，
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【分析】（1）根据长方体的性质得：，再根据勾股定理直接计算即可；
（2）将立体图形展开成平面图形分情况讨论：①长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形；②长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形；③长方体的上表面剪开与左面所在的平面形成一个长方形，再根据两点间线段最短，利用勾股定理计算即可.
23．（2023八上·郑州开学考）公元3世纪初，我国学家赵爽证明勾定理的图形称为“弦图”.1876年类国总统Garfeild用图1(点C、点B、点C'三点共线)进行了勾股定理的证明.△ACB与△BC'B'是一样的直角三角板，两直角边长为a，b，斜边是c.
（1）请用此图1证明勾股定理.
（2）扩展应用1：
如图2，以△ABC的边AB和边AC为边长分别向外作正方形ABFH和正方形CED，过点F、E分别作BC的垂线段FM、EN，那么FM、EN、BC的数量关系是怎样 ：说明理由.
（3）扩展应用2：
如图3，在两平行线m、n之间有一正方形ABCD，已知点A和点C分别在直m、n上，过点D作直线l∥n∥m，已知l、n之间距离为l，l、m之间距离为2.直接出正方形的面积是 .
【答案】（1）解：∵点C、点B、点三点共线，.∴四边形是直角梯形，
∵△ACB与'是一样的直角三角板，
是等腰直角三角形，
所以S梯形
所以
a +2ab+b =ab+ab+c .
∴a +b =c ；
（2）
拓展1.过A作AP⊥BC于点P，
则∠BMF=∠APB=90°，
∵∠ABF=90°，
∴∠BFM+∠MBF=∠MBF+∠ABP，
∴∠BFM=∠ABP，
在△BMF和△ABP中，
∴△BMF≌△ABP(AAS)，
∴FM=BP，
同理，EN=CP，
∴FM+EN=BP+CP，
即FM+EN=BC，
故答案为：FM+EN=BC；
（3）5
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理的应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：（3）过点D作PQ⊥m，分别交m于点P，交n于点Q，如下图：
则，
∴，
∴，
在△APD和△DQC中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴正方形的面积为5，
故答案为：5.
【分析】（1）用a，b，c表示三角形的面积，再根据梯形的面积等于两个直角三角形的面积之和即可求解；
（2）过A作AP⊥BC于点P，结合已知条件，利用“AAS”证明全等即可解答；
（3）过点D作PQ⊥m，分别交m于点P，交n于点Q，利用“AAS”证明，得到再根据勾股定理即可求解.
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