3.1.1函数的概念（两个课时） 课件（共51张PPT）

(共51张PPT)
章节：第三章 函数的概念与性质
标题：
3.1函数的概念及其表示
课时：4课时
章节：第三章 函数的概念与性质
标题：3.1.1函数的概念
第一课时
目
录
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1.教学目标
2.新课讲授
3.新课小结
4.作业巩固
PART 01
教学目标
环节1：教学目标分解
教学目标 素养目标
1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则，明确函数的三种表示方法 数学抽象数学运算
逻辑推理
直观想象
2.掌握判定函数和函数相等的方法，学会求函数的定义域与函数值。
3.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
环节2：教学重难点
重点：
1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则，明确函数的三种表示方法
2.掌握判定函数和函数相等的方法，学会求函数的定义域与函数值
难点：掌握判定函数和函数相等的方法，学会求函数的定义域与函数值
PART 02
新课讲授
回忆数学初中所学的知识，什么是函数？
在一个变化过程中（函数的表达式中）有两个变量与，则称是自变量，是因变量.在的取值范围内每一个确定的值，都有唯一确定的
它对应。
例如：正方形的周长与边长的关系：
追问1 初中，我们学习了哪些函数？
一次函数、二次函数、反比例函数...
追问2 是函数吗？与是同一个函数吗？
是
不是
你能用所以学的知识解释吗？
初中对于函数的定义并不完善，这也正是我们今天研究函数定义的必要性。新的定义将在与原定义不相违背的基础上从更高的观点，将它完善与深化．
1.函数的相关概念
问题1 请同学们观察下列的情景，思考并回答对应的问题。
情境一：
某“复兴号”高速列车加速到后保持匀速运行半小时．
这段时间内，列车行进的路程(单位：)与运行时间(单位：)的关系该如何表示？
追问1：变量和变量的取值集合分别是什么？
追问2：变量是变量的函数吗？
追问3：试从集合的观点描述变量和变量之间的对应关系.
因为列车行进的路程与运行时间的对应关系是．　　　　　　　　　　　　　
（1） 的变化范围是数集
变化范围是数集．
（2）（3）对于数集中任一时刻 ，按照对应关系，在数集中都有唯一确定的路程 和它对应．变量是变量的函数
情境二：
某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资.
那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？
若用（单位：元）表示一个工人的工资，用表示一个工人每周工作的天数（单位：天），是的函数吗？
的函数：w=350d
追问1： 变量d和w变量的取值集合分别是什么？
追问2：试从集合的观点描述变量w和变量d之间的对应关系.
是的函数：w=350d
（1）的变化范围是数集，（正整数）
的变化范围是数集.
（2）对于数集中的任一个工作天数，按照对应关系②，在数集中都有唯一确定的工资与它对应.
情境三：
如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图。如何根据该图确定这一天内任一时刻的空气质量指数的值？你认为这里的是的函数吗？
在这个情境中，两个变量的对应关系由图象的形式给出，每一个横坐标上的时间都对应着一个具体的空气质量指数值.
追问1：变量和变量的取值集合分别是什么？
追问2：变量是变量的函数吗？
追问3：试从集合的观点描述变量和变量之间的对应关系.
（1）从图中曲线可知，的变化范围是数集，的值都在数集中.
（2）（3）对于数集中的任一时刻，按照图中曲线所给定的对应关系，在数集中都有唯一确定的值与之对应.因此，这里的是的函数.
国际上常用恩格尔系数 反映一个地区人民生活质量的高低恩格尔系数越低，生活质量越高。下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高。你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数是年份的函数吗？
情境四：
对于数集中的任何一个年份，按照表中所给的对应关系，在数集中都有唯一确定的系数和它对应．
所以，是的函数.
问题2 上述情境一到情境四中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？
情境一
情境二
情境四
情境三
解析式
图像
表格
上述问题的共同特征有：
(1)都包含两个非空数集，用，来表示；
(2)都有一个对应关系；（解析式、图像、表格）
(3)尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集中的任意一个数，按照对应关系，在数集中都有唯一确定的数和它对应.
概念1：
事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法.
为了表示方便，我们引进符号统一表示对应关系.
一般地， 设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：为从集合到集合的一个函数.
记作：
其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域;
与的值相对应的值叫做函数值；
函数值的集合叫做函数的值域.
函数的三要素：定义域，对应关系，值域
问题3 结合初中学过的一次函数、二次函数、反比例函数，请大家运用函数的定义重新表述它们。
定义域
值域
问题4 下面，我们运用函数的知识解释开头的问题：
（1）是函数吗？（2）与是同一个函数吗？
（1）是函数
（2）的定义域是全体实数；
的定义域是不等于0（分母不为0）；
所以，它两不是同一个函数。
课堂例题
例1 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律. 例如，正比例函数可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关 系、圆的周长与半径的关系等.
试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述.
解: 把看成二次函数，那么它的定义域是，
值域是.
对应关系把中的任意一个数，对应到中唯一确定的数.
如果对的取值范围作出限制
例如,那么可以构建如下情境:长方形的周长为20，设一边长为，面积为，那么，其中的取值范围是，y的取值范围是.
对应关系 把每一个长方形的边长，对应到唯一确定的面积.
PART 03
新课小结
一般地， 设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：为从集合到集合的一个函数.
记作：
其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域;
与的值相对应的值叫做函数值；
函数值的集合叫做函数的值域.
函数的三要素：定义域，对应关系，值域
函数的概念
PART 04
作业巩固
课本P63 练习
函数的本质是两个非空数集间的一种确定的对应关系，这种对应关系为数与数之间的一对一或多对一对应
章节：第三章 函数的概念与性质
标题：3.1.1函数的概念
第二课时
2.区间的表示
数学是有简洁美的！
研究函数时常会用到区间的概念.设是两个实数，而且.
（1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间
表示：相应的数轴表示是：
（2）满足不等式的实数的集合叫做开区间
表示:相应的数轴表示是：
（3）满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间,分别表示：．相应的数轴表示分别是：
概念1：
设是两个实数，而且.
(1)满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为；
(2)满足不等 式的实数的集合叫做开区间，表示为；
(3)满足不等式或实数的集合叫做半开半闭区间，分别表示为.
(4)实数集可以用区间表示为,“”读作“无穷大”,“”读作“负无穷大”,“”读作“正无穷大”．
注意：（1）数形结合
（2）“取到等号”数轴用实心，区间表示中括号
（3）“取不到等号”数轴用空心，区间表示小括号
问题1 我们该如何用区间表示的实数的集合
情景一：
(1)，可以用区间分别表示为
(2)，可以用区间分别表示为
(3)，可以用区间分别表示为
(4)，可以用区间分别表示为
3.求函数的按定义域（值域）与函数值
例2 已知函数
（1）求函数的定义域；
（2）求的值
（3）当时，求的值。
课堂例题
解(1)：使根式有意义的实数的集合是，使分式有意义的实数的集合是.
所以，这个函数的定义域是
即
(2)将与带入解析式，有；
（3）,有意义，
;
.
由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.
因为值域是由定义域和对应关系决定的.
(1)两个函数如果仅有对应关系相同但定义域不相同（有对应关系不同但定义域相同），那么它们不是同一个函数．
(2)两个函数如果有对应关系相同且定义域相同，那么它们是同一个函数．
例如上节课所讲的：与不是同一个函数
问题3 函数
与它们是同一个函数吗？
虽然表示它们的字母不同，但因为它们的对应关系和定义域相同，所以它们是同一个函数．
从对应关系、定义域、值域去观察！
课堂例题
例1 下列函数中哪个函数与函数是同一个函数？
（1）； （2）；
（3）； （4）
解(1)：，它与函数虽然对应关系相同，但是定义域不同，所以这个函数与函数不是同一个函数.
(2)，它与函数不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数是同一个函数.
(3)：它与函数的定义域都是实数集，但是当时，它的对应关系与函数不相同.所以这个函数与函数不是同一个函数.
(4)，它与函数的对应关系相同但定义域不相同.所以这个函数与函数不是同一个函数.
新课小结
一般地， 设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：为从集合到集合的一个函数.
记作：
其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域;
与的值相对应的值叫做函数值；
函数值的集合叫做函数的值域.
函数的三要素：定义域，对应关系，值域
1.函数的概念
设是两个实数，而且.
(1)满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为；
(2)满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为；
(3)满足不等式或实数的集合叫做半开半闭区间，分别表示为.
(4)实数集可以用区间表示为,“”读作“无穷大”,“”读作“负无穷大”,“”读作“正无穷大”．
2.区间的含义
因为值域是由定义域和对应关系决定的.
(1)两个函数如果仅有对应关系相同但定义域不相同（有对应关系不同但定义域相同），那么它们不是同一个函数．
(2)两个函数如果有对应关系相同且定义域相同，那么它们是同一个函数．
例如上节课所讲的：与不是同一个函数
3.函数相等
作业巩固
课本P67练习
课本P67练习
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