2023-2024学年浙江省宁波市江北实验中学八年级（上）起始考数学试卷（含解析）

2023-2024学年浙江省宁波市江北实验中学八年级（上）起始考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列调查中，适合用抽样调查的是( )
A. 返校前每个班级学生健康码情况调查 B. 对乘坐高铁的乘客进行安检
C. 调查一批防疫口罩的质量情况 D. 对新研发导弹的零部件进行检查
2. 红细胞的平均直径是，这个数用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 若将分式中的和都扩大到原来的倍，则分式的值( )
A. 缩小到原来的 B. 不变 C. 扩大到原来的倍 D. 缩小到原来的
5. 若是二元一次方程组的解，则的值为( )
A. B. C. D.
6. 若的展开式中不含的二次项，则化简后的一次项系数是( )
A. B. C. D.
7. 如图，点为边的中点，为的中线，设的面积为，的面积为，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
8. 如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，若比大，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
9. 某校社团举行“母亲节”感恩活动，先用元购进第一批康乃馨，售完后又用元购进第二批康乃馨，已知第二批的单价比第一批的单价多元，所购数量是第一批数量的，设第一批康乃馨的单价是元，则下列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，正方形和长方形的面积相等，且四边形也是正方形，欧几里得在几何原本中利用该图得到了：设，若，则图中阴影部分的周长是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. ______ ．
12. 已知一个样本有个数据，把它分成组，第一组到第四组的频数分别是、、、，第五组的频率是，则的值为______．
13. 当时，代数式 ______ ．
14. 一同学在解关于的分式方程的过程中产生了增根，则的值为______ ．
15. 若关于，的的解是，则关于，的方程组的解是______ ．
16. 两块不同的三角板按如图所示摆放，边重合，，接着如图保持三角板不动，将三角板绕着点按顺时针以每秒的速度旋转后停止在此旋转过程中，当旋转时间 ______ 秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
三、解答题（本大题共7小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：；
解方程组：；
解方程：．
18. 本小题分
先化简，再求值：，并从，，，，中选取一个合适的数作为的值代入求值．
19. 本小题分
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，三角形的顶点均在格点上，将三角形向右平移格，再向上平移格，得到三角形点，，的对应点分别为，，．
请画出平移后的三角形，并标明对应字母；
若将三角形经过一次平移得到图中的三角形，则线段在平移过程中扫过区域的面积为______ ．
20. 本小题分
为发展学生的综合素养，某校积极开展“四点半课程”试点活动，某校根据实际，决定主要开设：乒乓球，：网球，：击剑，：游泳，四种运动项目，为了解学生最喜欢哪一种项目，采用抽样调查的方法对部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图，请你结合图中信息解答下列问题．
样本中最喜欢项目的人数百分比是______，其所在扇形图中的圆心角的度数是______；
随机抽查了多少学生？请把条形统计图补充完整；
已知该校有人，请统计全校最喜欢乒乓球的人数是多少？
21. 本小题分
已知直线，和，分别交于，点，点，分别在线，上，且位于的左侧，点在直线上，且不和点，重合．
如图，点在线段上，，，求的度数．
如图，当点在直线上运动时，试判断，，的数量关系，直接写出结果，不需要说明理由．
22. 本小题分
小江到某体育用品商店购物，他已选定需购买的篮球和羽毛球的种类，若购买个篮球和副羽毛球拍共需元；若购买个篮球和副羽毛球拍共需元．
每个篮球需______ 元，每副羽毛球拍______ 元；
“六一”儿童节，该体育用品商店举行让利促销活动，篮球和羽毛球拍均以相同折扣进行销售，小红发现用元购买篮球的个数比用元购买羽毛球拍的副数少．
商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行几折销售？
小江在这次让利促销活动中同时购买篮球和羽毛球拍，并正好用完所带的元，问他有几种购买方案，请说明理由．
23. 本小题分
如图，将三个边长，，的正方形分别放入长方形和长方形中，记阴影部分、、、的周长分别为，，，，面积分别为，，，．
若，，，求长方形的面积；
若长方形的周长为，长方形的周长为，能求出，，，中的哪些值？
若，，，求结果用含，，的代数式表示．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：返校前每个班级学生健康码情况调查，适合全面调查，此选项不符合题意；
B.对乘坐高铁的乘客进行安检，适合全面调查，此选项不符合题意；
C.调查一批防疫口罩的质量情况，适合抽样调查，此选项符合题意；
D.对新研发导弹的零部件进行检查，适合全面调查，此选项不符合题意；
故选：．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
3.【答案】
【解析】解：、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项正确；
D、，故本选项错误．
故选：．
根据同类项，幂的乘方，积的乘方和同底数幂的乘除法逐一判断即可．
此题考查的是合并同类项，幂的运算法则，掌握同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方和同底数幂的除法是解决此题的关键．
4.【答案】
【解析】解：设，将分式中的和都扩大到原来的倍为：
，
所以将分式中的和都扩大到原来的倍，则分式的值缩小到原来的，
故选：．
根据分式的性质进行解答即可．
本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是正确解答的关键．
5.【答案】
【解析】解：把代入二元一次方程组得，
，解得：，
，
故选：．
先把代入原方程组，再解关于、的二元一次方程组，代入要求的代数式即可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的解，先将，的值代入，再计算即可．
6.【答案】
【解析】解：原式
，
展开式中不含的二次项，
，
解得．
，
一次项系数为．
故选：．
【分析】根据多项式乘多项式计算法则展开后合并同类项，再根据展开式中不含的二次项求出的值即可．
本题考查多项式乘多项式，解题关键是熟练根据多项式乘多项式的计算法则将原式展开．
7.【答案】
【解析】解：作．
，
，
又为中边上的中线，
，
，
同理，
，
，
即，
，
故选：．
根据三角形中线的性质即可证明；由此解答即可．
考查了三角形的面积和三角形中线的性质，三角形中线将三角形分成面积相等的两部分．
8.【答案】
【解析】解：如图所示，由题意可得：，
，
，
，
由图可得，，
比大，
，
解得，
，
故选：．
根据平行线的性质、折叠的性质，可以计算出的度数，然后即可计算出的度数．
本题考查平行线的性质、折叠的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9.【答案】
【解析】解：设第一批康乃馨的单价是元，则第二批康乃馨的单价是元，
根据题意，得．
故选：．
设第一批康乃馨的单价是元，则第二批康乃馨的单价是元，根据第二批所购数量是第一批所购数量的三分之一列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
10.【答案】
【解析】解：四边形，四边形为正方形，，，
，，，
，
，
正方形和长方形的面积相等，
，
整理得：，
，
，
，
，
阴影部分的周长为：．
故选：．
首先根据正方形的性质及，，可得出，，，进而可求出，，据此可得，然后根据完全平方公式得，将代入可求出的值，进而可得出答案．
此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，正方形和矩形的面积，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握正方形和矩形的性质．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
根据零指数幂运算即可．
本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：第组的频数为：，
所以，
故答案为：．
根据频率可求出第组的频数，再根据频数之和等于样本容量进行计算即可．
本题考查频数与频率，掌握频率以及频数之和等于样本容量是正确计算的前提．
13.【答案】
【解析】解：因为，
所以
．
故答案为：．
首先利用完全平方公式进行分解，然后再代入计算即可．
本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是关键．
14.【答案】
【解析】解：去分母，得，
将增根代入，得，
解得，
故答案为：．
先去分母，再将增根代入求解即可．
本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程增根的含义是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：原方程组可变为，
关于，的的解是，
，
解得：．
故答案为：．
仿照已知方程组的解法求出所求方程组的解即可．
此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16.【答案】或或
【解析】解：分三种情况：
当时，如图：
，
，
．
当时，
，
，
．
当时，
，
，
．
综上所述，当旋转时间或或秒时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
故答案为：或或．
分三种情况，根据平行线的性质解答即可．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
17.【答案】解：
；
，
由，得，
，
由，得，
，
，得，
解得，
将代入，得，
解得，
原方程组的解为．
去分母，得，
整理，得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，
．
【解析】根据负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方运算求解即可；
根据加减消元法解二元一次方程组即可；
先去分母，化为整式方程，再解一元一次方程即可．
本题考查了解分式方程，解二元一次方程组，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握这些知识是解题的关键，解分式方程注意检验．
18.【答案】解：
，
，，，
，，，
当时，原式．
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：如图，即为所求；
如图，
线段在平移过程中扫过区域的面积为，
故答案为：．
利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
四边形面积看成矩形的面积减去周围的四个三角形面积即可．
本题考查作图平移变换，四边形的面积等知识，解题关键是掌握平移变换的性质，学会用割补法求四边形面积．
20.【答案】
【解析】解：样本中最喜欢项目的人数百分比是，其所在扇形图中的圆心角的度数是．
故答案为：；；
组人数人，画图如下：
人，
答：全校最喜欢乒乓球的人数大约是人．
分析统计图可知，样本中最喜欢项目的人数百分比可用减去其他项目所占的百分比求得，求出后再乘以度即可求出度数；
根据的计算结果补全图形；
用全校学生数选乒乓球的学生所占百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21.【答案】解：过点作如图，
又直线，
，
，
，
，
，
．
故的度数为．
如图，
过点作，
又直线，
，
，
，
，
，
，
即：．
【解析】作辅助线使，平行线的性质的灵活运用，两直线平行内错角相等，，进而作答．
本题考查平行线的性质的灵活运用，两直线平行内错角相等，有关平行线中相关角的等量关系．解题的关键是逢拐点作平行线．
22.【答案】
【解析】解：设篮球的单价为元，羽毛球拍的单价为元，
根据题意得：，
解得：，
篮球的单价为元，羽毛球拍的单价为元．
故答案为：，；
设商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行折销售，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行折销售；
小江共有种购买方案，理由如下：
设购买个篮球，副羽毛球拍，
根据题意得：，
，
又，均为正整数，
或或，
小江共有种购买方案．
设篮球的单价为元，羽毛球拍的单价为元，根据“购买个篮球和副羽毛球拍共需元；购买个篮球和副羽毛球拍共需元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行折销售，利用数量总价单价，结合用元购买篮球的个数比用元购买羽毛球拍的副数少，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
小江共有种购买方案，设购买个篮球，副羽毛球拍，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，再结合，均为正整数，即可得出小江共有种购买方案．
本题考查了二元一次方程组的应用、分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
23.【答案】解：长方形的长为：，
长方形的宽为：，
故长方形的面积为：，
，，代入得，
面积为：，
长方形的面积为；
长方形的周长为，
即，
，
同理，长方形的周长为，
即，
，
得，
如图，，
，
，
，
能求出，，的值；
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】根据三个边长，，的正方形，分别表示四个长方形的长和宽，进而表示出四个长方形的周长和面积，进而作答．
本题考查根据长方形和正方形的边长，表示周长和面积，解题的关键是代数式的变换和代入．
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