数学人教A版（2019）必修第一册3.2.2奇偶性（共36张ppt）

(共36张PPT)
人教A版2019必修第一册
第三章 函数的概念与性质
3.2.2 奇偶性
目 录
1 学习目标
2 新课讲解
3 课本例题
4 课本练习
5 题型分类讲解
6 随堂检测
7 课后作业
学习目标
1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义(难点).
2、掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系(重点).
3、会利用函数的奇偶性解决简单问题(重点).
在我们的日常生活中，随时随处可以看到许许多多对称的现象，例如，六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影等等.
【探究1】上述提到的图形对称指的是“整个图形对称”还是“图形的部分对称”？
【提示】整个图形对称.
【探究2】哪个图形是轴对称图形？哪个图形是中心对称图形？
【提示】①是中心对称图形，②是轴对称图形.
新课引入
在平面直角坐标系中，利用描点法作出函数 和 的图象
并观察这两个函数图象，总结出它们的共同特征。
x
y
o
1
2
3
4
5
-1
1
2
3
-1
-2
-3
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
f(x)=x2 … …
9 4 1 0 1 4 9
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
f(x)=|x| … …
-1 0 1 2 1 0 -1
x
y
o
1
2
3
4
5
-1
1
2
3
-1
-2
-3
图象关于y轴对称
f(-1)
f(1)
f(-2)
f(2)
f(-3)
f(3)
=
=
=
-x
x
(x.f(x))
(-x,f(-x))
f(-x)
f(x)
=
任意一点
1. 偶函数的概念和性质
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)= x2
g(x)=2-|x|
不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表：
可以发现，当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)相等.
9 4 1 0 1 4 9
-1 0 1 2 1 0 -1
观类比函数的单调性,你能用符号语言精确描述“函数图像关于y轴对称”的这种特征吗？（自变量与函数值之间的变化关系？）
函数f(x)=x2, x∈[-2,2]是偶函数吗？
函数g(x)=x2, x∈[-1,2]是偶函数吗？
是偶函数
不是 偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，
且f(－x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
观察函数 和 的图象，并完成下面的两个函数值对应表，你能发现这两个函数有什么共同特征吗？
图象关于原点对称
这两个函数的图像都关于原点成中心对称.
2. 奇函数的概念和性质
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)= x
为了用数学符号语言描述这一特征，不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表：
可以发现，当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)也是一对相反数.
-3 -2 -1 0 1 2 3
函数f(x)=x, x∈[-2,2]是奇函数吗？
是奇函数
函数g(x)=x, x∈[-1,3]是奇函数吗？
不是 奇函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
例6.判断下列函数的奇偶性.
(1)
(2)
(3)
(4)
解：（1）函数的定义域为
∵,都有,且,
∴函数为偶函数.
（2）函数的定义域为
∵,都有,且,
∴函数为奇函数.
3.判断函数的奇偶性
解：（3）函数的定义域为
∵,都有,
且,
∴函数为奇函数.
（4）函数的定义域为
∵,都有,
且,
∴函数为偶函数.
求定义域并判断是否关于原点对称
判断的关系
下结论
例6.判断下列函数的奇偶性.
(3)
(4)
【探究】（1）如何判断函数 的奇偶性？
【解】(1)利用函数奇偶性定义来判断，函数
的定义域为R，且有
所以此
函数是奇函数.
（2）已知函数 图像的一部分，如何画出剩余部分？
(2)由奇函数的图像关于原点成中心对称可以画出函数 在
y轴左侧对的图像，将y轴右侧的图像沿着原点旋转180°即可，画出的
图像如图所示.
4.奇偶性的性质与应用
【拓展】
（1）奇偶函数的单调性：
①奇函数：奇函数在y轴左右两边的单调性是完全相同的.如果
奇函数在区间[a,b]上的单调增函数，那么在区间[-a,-b]上就
是单调增函数.
②偶函数：奇函数在y轴左右两边的单调性是完全相反的.如果
偶函数在区间[a,b]上的单调增函数，那么在区间[-a,-b]上就
是单调减函数.
【拓展】（2）奇偶函数的运算性质及符合函数的奇偶性：
设 ， 的定义域分别是A和B，在公共定义域上有：
【注】上表中不考虑 和 的情况；
中需 ， .
偶
偶
偶
偶
奇
奇
奇
奇
偶
奇
偶
奇
偶
奇
偶
奇
偶
偶
偶
奇
1. 已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整.
课本练习
2. 判断下列函数的奇偶性.
解：
为偶函数.
常用结论：函数解析式为多项式时，奇偶性与奇次项和偶次项的系数有关.
如， ，若 为奇函数，则a=c=e=0，若 为偶函数，则b=d=0
为奇函数.
练习
3. （1）从偶函数的定义出发，证明函数 y=f(x) 是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；
（2）从奇函数的定义出发，证明函数 y=f(x) 是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称.
解：
（1）充分性：若 y=f(x) 的图象关于y轴对称，设 为图象上任意一点，则M关于y轴的对称点 仍在该图象上，即 ，所以 y=f(x)为偶函数；
必要性：若 y=f(x) 为偶函数，设 为 f（x）图象上任意一点，M关于y轴的对称点为 . 由于 f（x）为偶函数，所以 所以 在函数的图象上，所以 f（x）的图象关于 y 轴对称.
练习
3. （1）从偶函数的定义出发，证明函数 y=f(x) 是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；
（2）从奇函数的定义出发，证明函数 y=f(x) 是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称.
解：
（2）充分性：若 y=f(x) 的图象关于原点对称，设 为图象上任意一点，则M关于原点的对称点 仍在该图象上，即
，所以 y=f(x)为奇函数；
必要性：若 y=f(x) 为奇函数，设 为 f（x）图象上任意一点，则M关于原点的对称点为 ，由于 f（x）为奇函数，所以
，所以 在函数 y=f(x) 的图象上，所以 f（x）的图象关于原点对称.
例1.若函数是偶函数，定义域为,,的值.
解：∵偶函数的定义域关于原点对称
∴=0，= .
又∵为偶函数
∴.
∴= ，即=0.
题型一：利用函数奇偶性求参数
题型分类讲解
例2.已知函数为上的偶函数，且当时，,则当时,求此时的解析式.
解：当时，,则
∵为上的偶函数
∴当时，.
题型二：利用函数奇偶性求分段函数的解析式
例3.若对于任意实数总有,且在区间上是增函数，则（ ）
题型三：比较大小（奇偶性与单调性的综合）
解：据题意得：为偶函数，且在区间上是增函数.
∴.
又∵
∴，即.
故选B.
题型四：解不等式问题（奇偶性与单调性的综合）
例4.已知定义在的奇函数在区间上是减函数，若,求实数的取值范围.
解：∵是定义在上的奇函数，且在区间上是减函数
∴函数在区间上为减函数.
若,
则有
解得：.
即实数的取值范围是：.
B
C
C
随堂检测
0
0
6.已知函数的定义域为
(1)求函数的定义域；
(2)若为奇函数，当时，，求的解析式.
6.已知函数的定义域为
(1)求函数的定义域；
(2)若为奇函数，当时，，求的解析式.
7.已知是定义在上的奇函数，当时，，
（1）求的解析式；
（2）求不等式 的解集.
7.已知是定义在上的奇函数，当时，，
（1）求的解析式；
（2）求不等式 的解集.
课堂小结：函数的奇偶性是函数的整体性质，体现图象的对称性
偶函数 奇函数
定义 一般地,设函数f(x)有的定义域为I,如果x∈I,都有-x∈I,即定义域关于原点对称 f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数
函数的定义域关于原点对称，是这个函数具有奇偶性的前提条件. 几何 特征 偶函数的图象关于y轴对称，即如果点(x,y)在函数的图象上，那么点(-x, y)也在函数的图像上. 奇函数的图象关于原点对称,即如果点(x,y)在函数的图象上,那么点(-x, -y)也在函数的图像上.
变形
与单调性关系 偶函数在两个关于原点对称的区间上的单调性相反. 奇函数在关于两个原点对称的区间上的单调性相同.
拓展 偶函数对于定义域内的任意x值，都有 f(x)=f(|x|) 奇函数如果在x=0处有定义，则图象必过原点，即f(0)=0.