2023-2024学年安徽省六校教育研究会高一（上）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年安徽省六校教育研究会高一（上）入学数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 以下图形是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 爷爷快八十大寿了，小明想在日历上把这一天圈起来，但不知道是哪一天，于是便去问爸爸，爸爸笑笑说，“在日历上，那一天的上下左右个日期的和正好等于那天爷爷的年龄”则小明爷爷生日的日期是( )
A. B. C. D.
3. 如图是某超市年的销售额及其增长率的统计图，下面说法中正确的是( )
A. 这年中，销售额先增后减再增 B. 这年中，增长率先变大后变小
C. 这年中，年的增长率最大 D. 这年中，年销售额最大
4. 若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为( )
A. B. C. D.
5. 如图，在中，，以点圆心，任意长为半径画弧，分别交，点于，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点作射线交于点过点作，交点，若，则的周长等于( )
A. B. C. D.
6. 若关于的方程的解为正整数，且关于的不等式组有解，则满足条件的所有整数的值之和是( )
A. B. C. D.
7. 如图，现有边长为和的正方形纸片各一张，长和宽分别为，的长方形纸片一张，其中，把纸片Ⅰ，Ⅲ按图所示的方式放入纸片Ⅱ内，已知，满足，则图中阴影部分的面积满足的关系式为( )
A. B. C. D.
8. 抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：；当时，随增大而减小；；若方程没有实数根，则；，其中正确结论的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
9. 如图，将平行四边形绕点逆时针旋转到平行四边形的位置，使点落在上，与交于点，若，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图所示，为矩形的边上一点，动点、同时从点出发，点以秒的速度沿折线运动到点时停止，点以秒的速度沿运动到点时停止设、同时出发秒时，的面积为已知与的函数关系图象如图其中曲线为抛物线的一部分，其余各部分均为线段，则下列结论：
时，；
当秒时，；
；
当秒时，；
线段所在直线的函数关系式为：．
其中正确的是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11. 盒中有若干个白球和个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球次，其中次摸到黑球，估计盒中大约有白球______ 个
12. 如图，点是函数图象上一点，点是函数图象上一点，点在轴上，连接，，若轴，，则 ______ ．
13. 如图，在中，，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则 ______ ．
14. 如图，直线：与直线在轴上相交于点直线与轴交于点一动点从点出发，先沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，仍沿平行于轴的方向运动，一照此规律运动，动点依次经过点，，，，，，，则当动点到达处时，点的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 本小题分
因式分解：．
16. 本小题分
已知、．
画出线段，使、刚好是的三等分点，、、、依次排列，请直接写出点坐标______ ，点坐标______ ；
平移线段，使的对应点刚好落在轴上，的对应点刚好落在轴上，在图上画出四边形，并直接写出该四边形的面积为______ ；
在的条件下，若交轴于点，直接写出线段的长．
17. 本小题分
近日，教育部印发义务教育课程方案和课程标准年版，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动据了解，菜苗基地每捆种菜苗的价格是菜苗基地每捆种菜苗的价格的倍，用元购买种菜苗比购买的种菜苗少捆．
求菜苗基地每捆种菜苗的价格；
学校决定在菜苗基地购买、两种菜苗共捆，菜苗基地为支持该校活动，对、两种菜苗均提供九折优惠，且购买总费用不超过元，求本次购买种菜苗最少花费多少钱．
18. 本小题分
如图为的直径，且，点是弧上的一动点不与，重合，过点作的切线交的延长线于点，点是的中点，连接．
若，求线段的长度；
求证：是的切线；
当时，求图中阴影部分面积．
19. 本小题分
随着全民健身与全民健康深度融合，户外运动逐渐成为人民群众喜闻乐见的运动方式为让青少年以享受运动为前提，获取参与户外运动的知识与技能，某校开展了户外运动知识竞赛活动，并随机在八、九年级各抽取了名学生的成绩百分制，部分过程如下：
收集数据：八年级名学生的成绩如下：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
整理数据：八年级名学生成绩频数分布表：
等级
成绩分
人数人
分析数据：八、九年级名学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率如下表：
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
八年级
九年级
请根据上述信息，回答下列问题：
填空： ______ ， ______ ．
估计该校九年级参加竞赛的人中，成绩在分以上的人数；
随着年轻一代消费者逐渐成为消费主力，他们对“走出去”的渴望日益增长，露营、钓鱼、骑行、爬山等户外运动项目逐渐成为当代年轻人的热门娱乐方式之一，为进一步了解户外运动的参与群体，小宇和小强收集了印有这四种户外运动项目的图案的卡片依次记为，，，，除正面编号和内容外，其余完全相同现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是骑行和爬山的概率．
20. 本小题分
海口市为庆祝年元旦来临，在日月广场举行无人机表演，点、处各有一架无人机，它们在同一水平线上，与地面的距离为，此时，点到点处的俯角为，点到点处的俯角为，点到点处的俯角为，点到点处的仰角为．
求的长结果保留根号；
求两架无人机之间的距离的长结果保留根号．
21. 本小题分
如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点，二次函数的图象经过，两点，并与轴交于点点是线段上一个动点不与点、重合，过点作轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点和点，连接．
求这个二次函数的解析式；
求、的值用含的代数式表示；
当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值．
点是平面内一点，是否存在以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22. 本小题分
已知，在中，，，为线段上一点，连接，过点作，，连接，延长到点，连接，使得．
如图，若，求的长；
如图，点是线段上一点，连接，过点作，过点作，交于点，求证：；
如图，点为上一点，连接，若，，请直接写出的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：对于，是轴对称图形，但不是中心对称图形，
对于，不是轴对称图形，
对于，既是轴对称又是中心对称图形，
对于，既是轴对称又是中心对称图形，
故选：．
根据轴对称图形以及中心对称图形的定义即可求解．
本题考查轴对称图形以及中心对称图形的特点，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：设小明爷爷生日的日期是，
结合题意得，解得，
所以小明爷爷生日的日期是，
故选：．
根据题意，设爷爷生日的日期是，然后根据题意列出方程，进而解出答案．
本题主要考查了简单的合情推理、一元一次方程的解法及其应用等知识，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：选项，这年中，销售额单调递增，选项错误；
选项，这年中，增长率先变大后变小再变大，选项错误；
选项，这年中，年的增长率最大，选项错误；
选项，这年中，年销售额最大，选项正确．
故选：．
根据条形图和折线图进行分析，从而确定正确答案．
本题主要考查了统计图的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为关于的一元二次方程有一根为，
所以，
对于，当时，不一定为零，所以A错误，
对于，当时，不一定为零，所以B错误，
对于，当时，不一定为零，所以C错误，
对于，当时，，所以必为方程的一根．
故选：．
由题意可得代入，可得，再把各选项代入方程验证即可．
本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：依题意可知，≌，
即，
即是的角平分线，
由于，
所以，
所以，
所以，
又，
所以的周长等于．
故选：．
由题意可得，从而求得的周长．
本题考查了三角形全等，重点考查了三角形周长的求法，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：由，得，
所以方程有解，所以，所以，
因为方程的解为正整数，
所以，或，或，或，
解得，或，或，或，
由，得，
因为不等式组有解，所以，
所以，或，所以满足条件的所有整数的值之和是．
故选：．
先解方程，求出的值，再解不等式组求出的范围，从而可求出的值，进而可求得结果．
本题考查了函数的零点与方程根的关系和不等式的解法，考查了转化思想，属中档题．
7.【答案】
【解析】解：由题意得，，
因为，
所以，，
所以．
故选：．
根据图形分别用，表示出，即可得答案．
本题考查了数形结合思想及求正方形的面积，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：对于，因为二次函数的图象与轴有两个交点，所以，所以错误，
对于，由顶点坐标及图象知，当时，随的增在而减小，所以正确，
对于，因为抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，
所以抛物线与轴的另一个交点在和之间，
所以当时，，所以正确，
对于，因为抛物线的顶点为，
所以当时，抛物线与直线没有交点，
所以方程没有实数根，所以正确，
对于，因为对称轴为，
所以，
因为，
所以，所以错误，
所以正确的有个．
故选：．
根据图象结合二次函数的性质逐个分析判断即可．
本题考查二次函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：由于，，，
所以，
故，，
所以，
又，，
所以，故D，，在同一条直线上，故，
又，，
所以，
故，所以，
设，，所以，解得，
所以．
故选：．
利用三角形相似，根据相似比即可求解．
本题考查了空间中的线、面位置关系应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
10.【答案】
【解析】解：由图知，当时，运动到点，此时，
当时，点运动到点，即，
当时，点在上运动，故ED，
所以，
所以，
故当时，过点作，交于点，如图，
，
所以，故正确；
当时，，，如图，
此时，，，，所以，故正确；
由知，，所以错误，故错误；
当秒时，点在处，点在上，如图，
，所以，
所以，即，又，
所以，故正确；
设线段所在直线的函数关系式为，
因为，所以点由点运动到点需要秒，
所以，，代入，可得，，
即，故错误．
综上，正确的有个．
故选：．
结合图，图，可求出矩形的边长，及点所处位置与时间的关系，据此结合三角形面积公式、三角形全等、三角形相似的判定确定的正误，再由待定系数法判断．
本题考查了函数在实际生活中的应用，也考查了数形结合思想，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：设盒中大约有白球个，则由题意可得，
解得，
所以盒中大约有白球个．
故答案为：．
设盒中大约有白球个，然后根据题意列方程求解即可．
本题主要考查了简单随机抽样，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：设，，
则，，
因为轴，
所以，
因为，
所以，即，
所以，得．
故答案为：．
设，，由题意可得，，，从而可求得结果．
本题考查反比例函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：依题意，，、分别平分、，
所以，
所以，
所以，
因为、分别平分、，
所以，
所以，
所以，
因为、分别平分、，
所以，，
由于，，
所以，，
所以．
故答案为：．
根据角平分线的性质列方程，先求得，然后判断出，从而求得正确答案．
本题主要考查三角形中的几何计算，相似三角形的性质，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由题意可得，
当时，由可得，所以，
进而可得，故，故A，
又，故，即，
同理可得，即，，所以的坐标为，
故B的坐标为，
故答案为：
根据题意可得，因此成等比数列，进而利用等比数列的通项公式即可求解．
本题考查直线上点的坐标的求法，属于基础题．
15.【答案】解：
．
【解析】先提公因式，然后分解二次三项式求得正确答案．
本题主要考查因式分解定理，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：根据题意作图如下，点与点即为所求作的点：
由图可知：，；
点要平移到轴上需要向下平移个单位长度，点要平移到轴上需要向左平移个单位长度，
将线段向下平移个单位长度，向左平移个单位长度，
作图如下，四边形即为所求作的四边形：
如图所示，用粗线框的面积减去四个直角三角形的面积即可求出四边形的面积：
；
在图上作出点，如图所示：
，，点向上平移个单位，再右平移到点，
又点平移到轴需要向右平移个单位，
为保证点到点与点到点的方向一致，
点需要在向右平移个单位的基础上再向上平移个单位到点，
，又，．
根据题意画出图形可得答案；
根据题意画出四边形，从而可求出其面积；
根据平移求出点的坐标，从而可求出的长．
本题考查平面上两点的距离及平面图形的面积，属基础题．
17.【答案】解：设菜苗基地每捆种菜苗的价格是元，根据题意得：，
解得，经检验，是原方程的解，
故菜苗基地每捆种菜苗的价格是元；
菜苗基地每捆种菜苗的价格为元，
设购买种菜苗捆，则购买种菜苗捆，
则，
因为，所以，，
因为是正整数，
所以最小是，即菜苗基地购买种菜苗至少捆，
本次购买种菜苗最少花费元，
故本次购买种菜苗最少花费元．
【解析】设菜苗基地每捆种菜苗的价格是元，根据题中信息可得出关于的方程，解之即可；
设购买种菜苗捆，则购买种菜苗捆，根据题意可得出关于的不等式，解出的取值范围，根据是正整数，可得出的最小值，进而可求得本次购买种菜苗最少花费．
本题考查了函数的生活中的实际应用，也考查了分式方程的解法、不等式的性质，属于基础题．
18.【答案】解：如图所示，连接，因为是的切线，可得，
又因为，，所以，
因为为的直径，所以，所以，
所以．
证明：连接，，因为为的直径，所以，
在中，因为，所以，
又因为，，所以，所以，
因为是的切线，所以，所以，
又因为为半径，所以是的切线．
解：因为，，所以，，
又因为，所以，，所以，
因为，所以，所以，
所以四边形的面积为，
所以阴影部分面积为．
【解析】连接，由是的切线，得到，求得，结合，即可求解；
连接，，因为为的直径，证得，得到，由是的切线，得到，进而证得是的切线；
根据题意，求得四边形的面积为，结合，即可求解．
本题考查圆的切线的综合问题，属于中档题．
19.【答案】
【解析】解：八年级名学生的成绩中等级为，即成绩为的为，，，，
共个人，则，
八年级学生成绩从小到大排列如下：，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，处在中间位置的是，，
中位数；
由表知八年级名学生成绩的优秀率为，
八年级名学生中，成绩在以上的人数为人，所占百分比为，
可知成绩在分以上为优秀，
九年级成绩在分以上的人数为人；
画树状图如下；
由画树状图知，共有种等可能的结果，
其中抽到的两张卡片恰好是骑行和爬山的结果有种，
抽到的两张卡片恰好是骑行和爬山．
根据频数求得，根据中位数求得；
先判断出分以上是优秀，再根据九年级的优秀率求得人数；
利用列树状图的方法求得所求概率．
本题主要考查了平均数和百分位数的计算，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
20.【答案】解：过点作，垂足为，如图：
由题意知，，．
在中，，；
延长交的延长线于点，如图：
，在中，
，，
．
在中，，，
，．
在中，，．
．
【解析】过点作，垂足为，在中，利用正弦的定义可求得结果，
延长交的延长线于点，中可求出，，再在中可求得结果．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
21.【答案】解：将代入一次函数得：，
点坐标，
将代入一次函数得：，
点坐标，
将点、代入抛物线得，，解得，
抛物线．
设点，点，点，
，，
，；
，，，
将代入抛物线，解得，，
点坐标，
，
轴，
，
当时，，即，解得，
当时，，即，解得，
综合上述，当以，，为顶点的三角形与相似时，的值为或．
存在，以，，，为顶点的四边形为菱形时，需满足以下三种情况：
由可得，点，，，
，，，
当时，，解得，舍去，舍去
此时点的坐标为；
当时，，解得或舍去，
此时点的坐标为；
当时，，
解得舍去，，舍去，此时点的坐标为；
综合上述，存在，点的坐标为或或．
【解析】由一次函数求出，两点的坐标，代入二次函数中可求出，，从而可求出二次函数的解析式；
由的坐标结合一次函数和二次函数的解析式可表示出，两点的坐标，从而表示出、的值，由已知可得，然后分与两种情况求解即可；
当以，，，为顶点的四边形为菱形时，讨论画出所有的情况，再利用菱形的四边相等，求解对应的值，从而得到点的坐标．
本题考查二次函数的综合问题，考查待定系数法，考查一次函数和二次函数图象上的点的特点，考查菱形的性质，考查三角形相似，解题的关键是结合图形分情况讨论，考查计算能力和分类讨论的思想，属于较难题．
22.【答案】解：在中，，，，
，，，
，，，
，
，，是等腰直角三角形，．
证明：过点作交的延长线于点，交的延长线于点，
是等腰直角三角形，
，，，
是等腰直角三角形，，
，，，四边形为矩形，，
，
，，，
、、、、五点共圆，，是等腰直角三角形，
，，
，
是等腰直角三角形，，；
由得，，，
作交线段于点，则，，，
，，
，
在的下方作，过点作于点，
，
当、、在同一直线上时，有最小值，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
的最小值为．
【解析】由已知可证明出，从而可得，再由等腰直角三角形的性质可求得结果，
过点作交的延长线于点，交的延长线于点，可得是等腰直角三角形，可证得四边形为矩形，则可得、、、、五点共圆，再证得是等腰直角三角形，从而可得结论，
在的下方作，过点作于点，当、、在同一直线上时，有最小值，然后在直角三角形中求解即可．
此题考查等腰三角形的性质，考查直角三角形的性质，考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形，考查转化思想和计算能力，属于较难题．
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