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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册，第十二章
课标要求 要求掌握全等三角形的概念，知道图形的特征、共性与区别，强调通过实验探究、直观发现、推理论证来研究图形，从基本事实出发推导图形的几何性质和定理，在用几何直观理解几何基本事实的基础上，经历得到和验证数学结论的过程，感悟具有传递性的数学逻辑，形成几何直观和推理能力;经历尺规作图的的过程，增强动手能力，能想象出通过尺规作图的操作所形成的的图形，理解和掌握尺规作图的基本原理和方法，发展空间观念和空间想象能力.【具体内容要求】1.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。2.掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。3.掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。4.掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等。5.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。6.证明定理:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。7.能用尺规作图:已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形;已知一直角边和斜边作直角三角形.会作一个角的角的平分线.8.理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等;反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
内容分析 中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似，本章以三角形为例研究两个图形间一种特殊的关系---全等，研究的内容主要包括全等三角形的性质和判定.对全等三角形研究的问题和研究方法将为后面相似的学习提供思路，而且全等是一种特殊的相似，全等三角形的内容是学生学习相似三角形的重要基础.本章还借助全等三角形进一步培养学生的推理论证能力，主要包括用分析法分析条件与结论的关系，用综合法书写证明格式，以及掌握证明几何命题的一般过程.
学情分析 学生已学过线段、角、相交线、平行线以及三角形的有关知识，初步掌握了简单说理的方法,为学习全等三角形的有关内容作了准备。已初步具备一定的归纳、猜想能力，但个别学生在理解、应用上还须借助老师、同学的帮助，通过教师的指导和同伴的帮助，也会有所收获。对于一小部分基础薄弱、自学能力稍差的学生要提供赏识性评价教学策略，给予个别关照以及适当的精神激励，让他们逐步树立自尊心与自信心，从而完成自己的学习任务。
单元目标 教学目标知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；能找出两个全等三角形的对应角、
对应边；
2.知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；能够运用全等三角形的性质解决简单的问题；
3.经历全等三角形概念的建构过程，经历观察、操作、探究、归纳、总结等过程，获得全等三角形的性质和寻找对应边和对应角的方法；4.掌握全等三角形的判定方法，应用判定方法证明三角形全等及解决简单的实际问题；5.让学生在观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验；在探究运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣。6.掌握角平分线的画法:应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理:能够记住并证明角平分线的性质；初步会应用角平分线的性质解决问题，并了解这类题的辅助线的作法.通过对证明方法与思路的探究，进一步激发学生对数学证明的兴趣和掌握综合法的信心，养成独立思考，合作交流的良好学习习惯；
7.在图形变换的实际操作过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉；教学重点、难点教学重点：(1)三角形全等的性质和判定以及角平分线的性质.(2)使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式.教学难点：(1)掌握用综合法证明的格式.(2)选用合适的判定证明两个三角形全等.(3)初步理解图形的全等变换，从而恰当添加辅助线.
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数12.1全等三角形112.2 全等三角形的判定412.3角平分线的性质2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务12.1全等三角形1.理解并掌握全等三角形的概念及其基本性质. 2.能找准全等三角形的对应边，理解全等三角形的对应角相等. 3.能进行简单的推理和计算，并解决一些实际问题.学生知道通过变换后三角形全等，并利用全等三角形的性质解题任务1：学生通过观察图片理解全等三角形的概念.任务2：通过平移，旋转，对称变换知道全等三角形对应边，对应角.任务3：思考全等三角形的性质.12.2全等三角形的判定1.掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.2.掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.3.掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等.4.证明定理:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.5.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.会利用定理判定三角形全等任务1：通过学生动手操作得出三角形全等的判定定理SSS任务2：通过学生画图得出三角形全等判定定理SAS任务3：通过学生动手画三角形得出三角形全等判定定理ASA,AAS.任务4：对直角三角形进行研究得出直角三角形的判定定理HL.12.3角平分线的性质1.理解角平分线的概念(新增)，探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等;2.角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上.学生能根据角平分线的性质解决实际问题任务1：学生利用已学知识证明角平分线的性质.任务2：根据实际问题思考得出角平分线性质定理的逆定理.
《第十二章 全等三角形》单元教学设计
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分课时教学设计
12.2.4全等三角形的判定 教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课探索的是直角三角形全等的条件．通过探究活动，使学生在实践中学习，是培养学生自主学习，合作交流的好素材．三角形全等是贯穿这一章的主线，是初中阶段证明线段及角相等的主要工具．而探索斜边与直角边长度之比则是以后学习三角函数的基础．因此，这节课有利于学生形成完整的数学知识结构，有利于培养学生的能力，是学习后续几何课程的基础．
学习者分析 学生在本章已经学习了一些证三角形全等的有关知识，和尺规作图法。这些知识是学生学习这节课的基本条件。本节课让学生经历探索直角三角形全等条件的实践过程，体会利用操作、归纳获得数学结论，以自主探究和小组合作为主要手段，培养学生的观察和分析问题能力，发散思维以及归纳概括能力。
教学目标 1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”． 2．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等.
教学重点 “斜边、直角边”判定方法的使用
教学难点 分析问题，探索直角三角形全等的条件
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 判定三角形全等的方法有哪些？ 除了上面的方法，还有其他方法能判定两个三角形全等吗？ 学生活动1： 学生思考，回答问题 活动意图说明：复习巩固旧知识，为新知识的学习做基础.环节二：新知探究教师活动2： 思考：在两个直角三角形中，已经有一对相等的直角，还需要满足几个条件就可以说明两个三角形全等？ （1）一边一锐角分别相等的两个直角三角形全等．（利用“ASA”或“AAS”） （2）两直角边分别相等的两个直角三角形全等．（利用“SAS”） 如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？ 任意画出一个Rt△ABC，使∠C＝90°.再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB.把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们全等吗？ 作法： (1)画∠MC′N＝90°； (2)在射线C′M上截取B′C′＝BC； (3)以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′； (4)连接A′B′. 则△A′B′C′即为所求作的三角形(如下图)． 教师引导学生共同总结： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)学生活动2： 学生思考，得出答案 先让学生画图分析，寻找规律．教师适时引导．活动意图说明：操作探究活动的设计不仅让学生直观地感受了“斜边、直角边”可以确定一个直角三角形的大小和形状，而且也让学生较好地感悟到了“斜边、直角边”可以判定两个直角三角形全等，培养学生的识图能力，并规范证明过程的书写格式。环节三：典例精析教师活动3： 例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD.求证：BC＝AD. 证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C与∠D都是直角． 在Rt△ABC和Rt△BAD中， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)． ∴BC＝AD. 学生活动3： 学生分小组讨论并完成作答 活动意图说明：培养学生逻辑思维能力，学会用“HL”条件判断三角形全等，规范使用“HL”判定方法证明三角形全等的书写格式．在证明两个直角三角形全等时，要防止学生使用“SSA”来证明.环节四：新知讲解教师活动4： 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证△ABC≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由. (1) AD = BC 理由: HL (2) AC = BD 理由: HL (3) ∠DBA =∠CAB 理由: AAS (4) ∠DAB =∠CBA 理由: AAS 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？ 解：在Rt△ABC和Rt△DEF中, ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠B=∠DEF (全等三角形对应角相等). 证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 学生活动4： 有思路的同学独立解答，没有思路的同学小组讨论。并请一位同学汇报结果。 活动意图说明：让学生表述，培养归纳、表达能力，并能进一步理解“HL”这一条件，自己读题、审题，先独自证明，培养学生独自面对围难的勇气和信心.
板书设计 全等三角形的判定定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. ( 简写为“斜边、直角边”或“HL”).
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是( ) A．SSS B．ASA C．SSA D．HL 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若AC＝6 cm，则AE＋DE等于( ) A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm 3.如图，∠ADC=∠ABC=90°，AD=AB，有下列结论：①DC=BC；②AC⊥BD；③DE=BE;④∠ACD=∠ACB.其中正确的是__________________.（填序号） 4.如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点，已知OM=3,ON=4，点D为OA上一点，若满足PD=PM，则OD的长度为 。 选做题： 5、如图，AC⊥AD，BC⊥BD，AC=BD，求证：AD=BC. 【综合拓展类作业】 6、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于E，点F在边AC上，连接DF． （1）求证：AC＝AE； （2）若DF＝DB，试说明∠B与∠AFD的数量关系； （3）在（2）的条件下，若AB＝m，AF＝n，求BE的长（用含m，n的代数式表示）．
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.判定两个直角三角形全等的方法有________________________________. 2.如图，已知∠C=∠D=90°，要使△ABC≌△BAD还需增加一个什么条件 把增加的条件填在横线上，并在后面相应括号内填上判定它们全等的理由. (1)_________________( )(2)________________( ) (3)_________________( )(4)________________( ) 3.如图，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D,若BC=10cm，则BD=______cm. 选做题： 4.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，CE=BF.求证AE=DF. 【综合拓展类作业】 5. 如图，有一直角三角形 ABC，∠C ＝ 90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，一条线段 PQ＝AB，P、Q 两点分别在 AC 上和过 A 点且垂直于 AC 的射线 AQ 上运动，问 P 点运动到 AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？
教学反思 本节数学课教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定（除了定义外，已经学了四种方法：SSS、SAS、ASA、AAS、）的基础上，进一步研究特殊的三角形全等的判定的方法，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深他们对公理的多层次的理解.探索“HL公理”中，要求学生用文字语言、图形语言、符号语言来表达自己的所思所想，强调从情景中获得数学感悟，注重让学生经历观察、操作、推理的过程.数学教学应努力体现“从问题情景出发，建立模型、寻求结论、解决问题”. 纵观整个教学，不足的方面：第一，启发性、激趣性不足，导致学生的学习兴趣不易集中，课堂气氛不能很快达到高潮，延误了学生学习的最佳时机；第二，在学生的自主探究与合作交流中，时机控制不好，导致部分学生不能有所收获；第三，在评价学生表现时，不够及时，没有让他们获得成功的体验，丧失激起学生继续学习的很多机会.这些我在今后的教学中会争取改进.
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12.2.4全等三角形的判定
人教版八年级上册
教材分析
本节课探索的是直角三角形全等的条件．通过探究活动，使学生在实践中学习，是培养学生自主学习，合作交流的好素材．三角形全等是贯穿这一章的主线，是初中阶段证明线段及角相等的主要工具．而探索斜边与直角边长度之比则是以后学习三角函数的基础．因此，这节课有利于学生形成完整的数学知识结构，有利于培养学生的能力，是学习后续几何课程的基础．
教学目标
1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．
2．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．
新知导入
2.除了上面的方法，还有其他方法能判定两个三角形全等吗？
1.我们已经学过的判定三角形全等的方法有哪些呢？
1.边边边(SSS)
3.角边角(ASA)
4.角角边(AAS)
2.边角边(SAS)
新知讲解
思考：在两个直角三角形中，已经有一对相等的直角，还需要满足几个条件就可以说明两个三角形全等？
（1）一边一锐角分别相等的两个直角三角形全等．（利用“ASA”或“AAS”）
（2）两直角边分别相等的两个直角三角形全等．（利用“SAS”）
如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？
新知讲解
任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′，使得∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB. 把画好的Rt△A′B′C′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们全等吗？
画法：（1）画∠MC′N=90°；
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC；
（3）以B′为圆心、AB为半径画
弧，交射线C′N于点A′；
（4）连接A′B′， A′C′ ．
A
B
C
A′
N
M
C′
B′
现象：两个直角三角形能重合．
说明：这两个直角三角形全等．
归纳总结
文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
AB=A′B′
BC=B′C′
几何语言：
【注意】 (1)“HL”定理是仅适用于Rt△的特殊方法. 因此，判定两个直角三角形全等的方法除了可以使用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”外还可以使用“HL”. (2)应用HL定理时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△.
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL ）
典例精析
例5 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD.
求证：BC=AD.
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C与∠D都是直角.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）.
∴BC=AD.
应用“HL”的前提条件是在直角三角形中.
这是应用“HL”判定方法的书写格式.
利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路.
变式训练
如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证△ABC≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由.
(1) AD = BC 理由: HL
(2) AC = BD 理由: HL
(3) ∠DBA =∠CAB 理由: AAS
(4) ∠DAB =∠CBA 理由: AAS
练一练
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,
BC=EF,
AC=DF .
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠B=∠DEF
(全等三角形对应角相等).
∵ ∠DEF+∠F=90°,
∴∠B+∠F=90°.
归纳总结
证明线段相等可通过证明三角形全等解决，因为“HL”公理是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是( )
A．SSS B．ASA
C．SSA D．HL
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若AC＝6 cm，则AE＋DE等于( )
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．7 cm
D
C
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，∠ADC=∠ABC=90°，AD=AB，有下列结论：①DC=BC；②AC⊥BD；③DE=BE;④∠ACD=∠ACB.其中正确的是__________________.（填序号）
4.如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点，已知OM=3,ON=4，点D为OA上一点，若满足PD=PM，则OD的长度为 。
①,②,③,④
3或5
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，AC⊥AD，BC⊥BD，AC=BD，求证：AD=BC.
证明:连接DC.
∵AC⊥AD，BC⊥BD，
∴∠A=∠B=90°，
在Rt△ADC和Rt△BCD中，
∴Rt△ADC≌Rt△BCD (HL)，
∴AD=BC.
课堂练习
【综合拓展类作业】
6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于E，点F在边AC上，连接DF．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若DF＝DB，试说明∠B与∠AFD的数量关系；
（3）在（2）的条件下，若AB＝m，AF＝n，求BE的长（用含m，n的代数式表示）．
课堂练习
【综合拓展类作业】
（1）证明：∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴∠C＝∠AED＝90°，
在△ACD和△AED中，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC＝AE.
课堂练习
【综合拓展类作业】
（2）解：∠B+∠AFD＝180°，理由如下：
由（1）得：△ACD≌△AED，
∴DC＝DE，
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴∠CFD＝∠B，
∵∠CFD+∠AFD＝180°，
∴∠B+∠AFD＝180°.
（3）解：由（2）知，Rt△CDF≌Rt△EDB，
∴CF＝BE，
由（1）知AC＝AE，
∵AB＝AE+BE，
∴AB＝AC+BE，
∵AC＝AF+CF，
∴AB＝AF+2BE，
∵AB＝m，AF＝n，
∴BE＝（m﹣n）．
课堂总结
“斜边、直角边”
内容
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
前提条件
在直角三角形中
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）
板书设计
全等三角形判定定理
全等三角形的判定定理
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. ( 简写为“斜边、直角边”或“HL”).
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.判定两个直角三角形全等的方法有________________________________.
2.如图，已知∠C=∠D=90°，要使△ABC≌△BAD还需增加一个什么条件 把增加的条件填在横线上，并在后面相应括号内填上判定它们全等的理由.
(1)________________( )(2)________________( ) (3)________________( )(4)________________( )
3.如图，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D,若BC=10cm，则BD=______cm.
SSS、SAS、ASA、AAS、HL
BC=AD
AC=BD
HL
∠CAB=∠DBA
HL
AAS
AAS
∠CBA=∠DAB
5
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，CE=BF.求证AE=DF.
证明:∵BF=CE，
∴BF-EF=CE-EF，
即BE=CF，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中,
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，
∴AE=DF.
作业布置
【综合拓展类作业】
5. 如图，有一直角三角形 ABC，∠C ＝ 90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，一条线段 PQ＝AB，P、Q 两点分别在 AC 上和过 A 点且垂直于 AC 的射线 AQ 上运动，问 P 点运动到 AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？
解：∵PQ＝AB，∠C＝∠QAP＝90°.
∴△ABC 和△APQ 全等有2种情况：
①Rt△ABC≌Rt△QPA；②Rt△ABC≌Rt△PQA
作业布置
【综合拓展类作业】
①当 P 运动到 AP＝BC 时，
∵∠C＝∠QAP＝90°.
在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△QPA (HL).
∴ AP＝BC＝5 cm；
②当 P 运动到与 C 点重合时，AP＝AC.
在 Rt△ABC 与 Rt△PQA 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△PQA (HL).
∴ AP＝AC＝10 cm.
综上， 当 AP＝5 cm 或 10 cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等.
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