知源学校 2023 年下学期新生入学考试试卷答案
【答案】
1. C 2. C 3. B 4. D 5. C 6. A 7. D 8. C
9. 1.2 × 104
10. ( + )( )
11. ≠ 3
12. 6
13. 5 1
14. 13
15. a<1 或 a>3
16. ②③
17. 解：原式= 1 4 × 32 + 4 + 3 1 = 1 2 3 + 4 + 3 1 = 4 3.
（任化简对一个得 1 分）
18. 解：由 a2 ab bc 2a 2c ca 得 a a+b 2 c a+b 2 0
即 a c a+b 2 0
（分组分解正确得 3 分）
因为a+b 2 0， 所以a c 0 即 a c,
所以三角形 ABC是等腰三角形
19. 解：(1)把 (1,2) 代入双曲线 = ，可得 = 2，
∴ = 2双曲线的解析式为 ； ………………2 分
把 (1,2)代入直线 = + ，可得 = 1，
∴直线的解析式为 = + 1； ………………4分
(2)设 P点的坐标为( , 0)，
在 = + 1 中，令 = 0，则 = 1；令 = 0，则 = 1，
∴ ( 1,0)， (0,1)，即 = 1 = ， ………………6分
∵△ 的面积等于 2，
∴ 1 × = 2 1，即 | ( 1)| × 1 = 2，
2 2
解得 = 3 或 5，
∴ 点的坐标为(3,0)或( 5,0)． ………………8分
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20. 解：(1)50；108 ………………2分
（2）C 等级人数为 50 (4 + 13 + 15) = 18(名)，
补全图形如下：
………………4 分
（3）画树状图为：
共有 12 种等可能的结果数，其中恰好同时选中甲、乙两名同学的结果数为 2，
2 1
所以恰好同时选中甲、乙两名同学的概率 = ． ………………8 分
12 6
21. 解：解：设一次性医用外科口罩的单价是 x元，则 N95 口罩的单价是( + 10)元，依题意有
1600 = 9600， （列出方程给 4分）
+10
解得 = 2，
经检验， = 2 是原方程的解，
+ 10 = 2 + 10 = 12．
故一次性医用外科口罩的单价是 2 元，N95 口罩的单价是 12 元；
22. 解：延长 DC交 EA的延长线于点 F，则 ⊥ ，
∵山坡 AC上坡度 = 1：2.4，
∴令 = ，则 = 2.4 ，
在 △ 中，由勾股定理得，
2 + 2 = 2，
∴ 2 + (2.4 )2 = 262，
解得 = 10，
∴ = 24， = 10，∴ = 30， ………………4分
在 △ 中， = ，
∴ = = 30 × 48° = 30 × 1.11 = 33.3，………………6 分
∴ = = 23.3，因此，古树 CD的高度约为 23.3 ．………………8分
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23. (1)证明：在正方形 ABCD中，
∵ ⊥ ，∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 90 ，∴ ∠ = ∠ ，
又∵ ∠ = ∠ = 90 ， = ，∴△ ≌△ ( )，∴ = ；………………5 分
(2)解：作 ⊥ 于 N，作 ⊥ 的延长线于 M，如图，
(1) 2由 可得△ ∽△ ，∴ = = 3，∴ = 3 10，………………7分
∵ ∠ = ∠ = ∠ ∴ 3， = = tan∠ = 4，∴ ：BF： = 3：4：5，
设 = = 5 ，则 = 3 ， = 4 ，
∴ ： = 3 ：9 = 1：3，∴ = 10 = 3，∴ = 9， = = = 6，
∵ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，∴△ ∽△ ∴ = 24， 5， =
18
5，
又∵ = 3，∴ = 95，∴ =
9 5，∴ = 3 10， = 9 5 . ………………10 分5 5
24. 1 5 5 5 1 5解：设抛物线解析式为 = ( 2 )( 2 )，把 (0, 4 )代入，得：4 = (0 2 )(0 2 )，
解得： = 1，∴ = ( 12 )(
5
2 ) =
2 3 + 54，
5
故该抛物线的解析式为 = 2 3 + 4；………………3分
(2)把抛物线 = 2 3 + 5 3 24 = ( 2 ) 1在 x轴下方图象
沿 x轴翻折得到新图象，如图 1，
3 1 5
则翻折后的图象的解析式为 = ( )22 + 1( 2 < < 2 )，
5
5 5 2 + = 0 =
1
把 ( , 0)， (0, )代入 = + 2 4 ，得： ，解得：
2
= 5 = 5
，
4 4
∴ BC = 1直线 解析式为 2 +
5
4，
1
直线 BC平移后的解析式为 = 2 + ，与 = (
3
2 )
2 + 1 联立，得 ( 32 )
2 + 1 = 12 + ，
整理得： 2 72 + +
5
4 = 0，
3 1 5 7
当直线 BC平移后与抛物线 = ( 22 ) + 1( 2 < < 2 )相切时， = ( )
2
2 4 × 1 × ( +
5
4 ) = 0，
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= 29 5 29解得： 16，∴当直线 = + 与新图象有四个公共点时，n的取值范围为4 < < 16；…6分
(3) ∵ = 2 3 + 54 = (
3
2 )
2 1，
∴ 3抛物线的顶点为 ( 2 , 1)，
( 3 , 1) 1 1 3把 2 代入 = 2 + ，得 1 = 2 × 2 + ，
解得： = 14，
∴ 1 1直线 DM的解析式为 = 2 4，
令 = 0，得 0 = 12
1
4，
解得： = 12，
∴ ( 12 , 0)，
如图 2，过点 E作 ⊥ 于 F，过点 M作 ⊥ 轴于 H，
( 3则 2 , 0)，
∴ = 1 3 1， = 2 ( 2 ) = 2，
在 △ 中， = 2 + 2 = 22 + 12 = 5，
∵ ( 76 , 0)，
∴ = 76 (
1
2 ) =
5
3，
∵ sin∠ = = ，
∴ 15 = 5，
3
∴ = 5，3
∵ tan∠ = = ，
5
1，∴ = 2 5∴ 3 =
，
2 3
∴ = = 5 2 5 = 5，∴ = ，3 3
△ tan∠ = 在 中， = 1，
∴ ∠ = 45 ，即∠ = 45 ，
∵ ∠ = ∠ + ∠ ，
∴ ∠ ∠ = ∠ = 45 ，
故∠ ∠ = 45 . ………………10 分
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{#{QQABJQwAgggAAhAAAQgCQQFgCkKQkACACIoGAAAMoAIAQQFABCA=}#}知源学校 2023 年下学期新生入学考试
高一年级 数学科试卷
满分：120 分 考试时量：90 分钟
一、选择题（本大题共 8 小题，共 24 分）
5. 用描述法表示函数y 3x 1 图象上的所有点的集合是( )
A. x y 3x 1 B. y y 3x 1 C. x, y y 3x 1 D. y 3x 1
6. x 1 2x >0的解集为( )
A. x x<0或01
B. x x<
1
C. x x>
1
D. x 01
2 2 2 2
7.下列命题中，是真命题的为( )
A.同位角相等
B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查的方式
D. 同弧所对的圆周角相等
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二、填空题（本大题共 8 小题，共 32 分）
16.如图，⊙O为等腰三角形 ABC的外接圆，AB是⊙O的
直径，AB＝12，P为 上任意一点（不与点 B，C重合），
直线 CP交 AB的延长线于点 Q，⊙O在点 P处的切线 PD
交 BQ于点 D，则下列结论：①若∠PAB＝30°，则 的
长为π；②若 PD∥BC，则 AP平分∠CAB；③若 PB＝BD，则 PD＝6 ；
④无论点 P在 上的位置如何变化，CP CQ＝108．其中正确结论的序号为 ．
三、解答题（共 8 小题，17、18 各 6 分，19-22 各 8 分，23、24 各 10 分，共 64 分）
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18.三角形 ABC三边 a，b，c 满足a2 ab bc 2a 2c ca,
试判定三角形ABC的形状．
19.如图，直线 = + 与双曲线 = ( 为常数， ≠ 0)在第一
象限内交于点 (1,2)，且与 x轴、y轴分别交于 B，C两点．
(1)求直线和双曲线的解析式；
(2)点 P在 x轴上，且△ 的面积等于 2，求 P点的坐标．
20.为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主
题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外
阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为 x小时，将它分为 4 个
等级： (0 ≤ < 2)， (2 ≤ < 4)， (4 ≤ < 6)， ( ≥ 6)，并根据调查结果
绘制了如图两幅不完整的统计图：
请你根据统计图的信息，解决下列问题：
(1)本次共调查了______名学生；等级 D
所对应的扇形的圆心角为_____
(2)请补全条形统计图；
(3)在等级 D中有甲、乙、丙、丁 4 人表
现最为优秀，现从 4 人中先后任选 2 人
作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概
率．
21.某药店在今年 3 月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩
和 N95 口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费 1600 元，
N95 口罩花费 9600 元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比 N95 口罩的单价少
10 元．求该药店购进的一次性医用外科口罩和 N95 口罩的单价各是多少元？
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22.为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活
动．如图，在一个坡度(或坡比) = 1：2.4的山坡 AB上发现有一棵古树 .测得古树
底端 C到山脚点 A的距离 = 26米，在距山脚点 A水
平距离 6 米的点 E处，测得古树顶端 D的仰角∠ =
48°(古树 CD与山坡 AB的剖面、点 E在同一平面上，古
树 CD与直线 AE垂直)，则古树 CD的高度约为多少米？
(参考数据： 48° ≈ 0.73， 48° ≈ 0.67， 48° ≈ 1.11)
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