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12.3.1角平分线的性质
人教版八年级上册
教材分析
角平分线的性质是在学习了“全等三角形的性质和判定”后，通过一些实际问题讨论角的平分线的性质．教材中通过实际问题来引入本节内容，这样设计是能更好的体现角的平分线的实际背景，反映数学与实际的关系，即数学理论来源于实际又服务于实际．通过本节的学习可以为后继研究几何图形打下良好的铺垫．同时，可以锻炼学生的观察、分析、归纳能力，培养学生的探究精神和创新意识。
教学目标
1. 会用尺规作图：作一个角的平分线.
2. 探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
3. 会用角平分线的性质解决实际问题.
新知导入
1.角平分线的概念
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.
∵ ∠1=∠2
∴ BD是∠ABC的平分线
2.通过折纸的方法做一个角的平分线
新知讲解
下面是利用角平分仪平分一个角的演示过程.你能说明它的道理吗？
其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE为∠α的角平分线.
你能用学过的知识说明为什么吗？
证明：在△ABC与△ADC中，
∴△ABC≌△ADC (SSS)
∴∠BAC=∠DAC
即 AE是∠α的角平分线
新知讲解
上述平分角的方法告诉了我们一种作已知角的平分线的方法.
已知：∠AOB
求作：∠AOB 的平分线.
A
O
B
M
作法:
(1)以点 O 为圆心，适当长为半径作弧，交 OA 于 M，交 OB 于点 N；
N
新知讲解
(2) 分别以 M，N 为圆心，大于 MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部相交于点 C；
(3) 作射线 OC. 则射线 OC 即为所求.
A
O
B
M
N
C
为什么要大于MN呢？
作角平分线是最基本的尺规作图，大家一定要掌握!
新知讲解
任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过点P画出OA和OB的垂线，分别记垂足为D，E，PD和PE有什么关系？
D
P
E
A
O
B
C
猜想：PD=PE
你能结合三角形全等的知识证明这个结论吗？
新知讲解
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E.求证：PD=PE
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）
D
P
E
A
O
B
C
归纳总结
文字语言：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
※角平分线的性质
几何语言：
∵点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB.
∴PD=PE
定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离。
定理的作用：
证明线段相等。
新知讲解
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
典例精析
例1 已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC.
A
B
C
D
E
F
证明：∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB， DF⊥AC，
∴ DE = DF，∠DEB =∠DFC = 90°.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，
DE = DF，
BD = CD，
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL).
∴ EB = FC.
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点 A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于点D.如果∠A＝30°，AE＝6 cm，那么CE等于( )
A.1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
B
C
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= .
4.△ABC中, ∠C=90°, AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距是 .
60
BF
3
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，在 Rt△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC＝m，AB＝14.
(1) 求△APB 的面积 (用含 m 的式子表示)；
解：如图，过点P作PD⊥AB于点D，
∵AP 平分∠BAC ，PC⊥AC,
∴ PD = PC = m，
∴AB · PD = 7m.
A
B
C
P
D
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
A
B
C
P
D
(2) 求△PDB 的周长.
解：在Rt△ACP和Rt△ADP中，
PD = PC
AP = AP
∴△ACP≌△ADP，
∴ AC = AD.
∴PD+PB+DB=PC+PB+DB
=BC+DB=AC+DB=AD+DB=AB=14
课堂练习
【综合拓展类作业】
6.如图，在四边形ABCD 中，∠B＝90°，AB∥CD，M 为BC边上的一点，且AM 平分∠BAD，DM 平分∠ADC.
求证：M 为BC的中点．
课堂练习
【综合拓展类作业】
证明：如图，过点M作MN⊥AD于点N.
∵∠B＝90°，AB∥CD，
∴BM⊥AB，CM⊥CD.
又∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴BM＝MN，MN＝CM.
∴BM＝CM，
即M为BC的中点．
课堂总结
角平分线的性质
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
过角平分线上一点向两边作垂线段
辅助线
添加
角平分线的画法
板书设计
角平分线的性质
性质：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,下列结论中错误的是( )
A.PC＝PD B.OC＝OD
C.∠CPO＝∠DPO D.OC＝PC
2.如图，AD是△ABC的角平分线，若AB＝10，AC＝8，则S△ABD∶S△ADC＝( )
A．1∶1 B．4∶5
C．5∶4 D．16∶25
D
C
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3.求DE的长；
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90 °，
∴AC⊥CD.
又∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DE＝CD，
又∵CD＝3，
∴DE＝3.
作业布置
【综合拓展类作业】
4.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，
且PE=3，求AD与BC之间的距离.
解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.
∵ AD∥BC，
∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间
的距离.
∵ AP平分∠BAD, PM⊥AD , PE⊥AB，
∴ PM=PE.
同理， PN=PE.
∴ PM= PN= PE=3.
∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6.
谢谢
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册，第十二章
课标要求 要求掌握全等三角形的概念，知道图形的特征、共性与区别，强调通过实验探究、直观发现、推理论证来研究图形，从基本事实出发推导图形的几何性质和定理，在用几何直观理解几何基本事实的基础上，经历得到和验证数学结论的过程，感悟具有传递性的数学逻辑，形成几何直观和推理能力;经历尺规作图的的过程，增强动手能力，能想象出通过尺规作图的操作所形成的的图形，理解和掌握尺规作图的基本原理和方法，发展空间观念和空间想象能力.【具体内容要求】1.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。2.掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。3.掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。4.掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等。5.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。6.证明定理:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。7.能用尺规作图:已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形;已知一直角边和斜边作直角三角形.会作一个角的角的平分线.8.理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等;反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
内容分析 中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似，本章以三角形为例研究两个图形间一种特殊的关系---全等，研究的内容主要包括全等三角形的性质和判定.对全等三角形研究的问题和研究方法将为后面相似的学习提供思路，而且全等是一种特殊的相似，全等三角形的内容是学生学习相似三角形的重要基础.本章还借助全等三角形进一步培养学生的推理论证能力，主要包括用分析法分析条件与结论的关系，用综合法书写证明格式，以及掌握证明几何命题的一般过程.
学情分析 学生已学过线段、角、相交线、平行线以及三角形的有关知识，初步掌握了简单说理的方法,为学习全等三角形的有关内容作了准备。已初步具备一定的归纳、猜想能力，但个别学生在理解、应用上还须借助老师、同学的帮助，通过教师的指导和同伴的帮助，也会有所收获。对于一小部分基础薄弱、自学能力稍差的学生要提供赏识性评价教学策略，给予个别关照以及适当的精神激励，让他们逐步树立自尊心与自信心，从而完成自己的学习任务。
单元目标 教学目标知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；能找出两个全等三角形的对应角、
对应边；
2.知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；能够运用全等三角形的性质解决简单的问题；
3.经历全等三角形概念的建构过程，经历观察、操作、探究、归纳、总结等过程，获得全等三角形的性质和寻找对应边和对应角的方法；4.掌握全等三角形的判定方法，应用判定方法证明三角形全等及解决简单的实际问题；5.让学生在观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验；在探究运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣。6.掌握角平分线的画法:应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理:能够记住并证明角平分线的性质；初步会应用角平分线的性质解决问题，并了解这类题的辅助线的作法.通过对证明方法与思路的探究，进一步激发学生对数学证明的兴趣和掌握综合法的信心，养成独立思考，合作交流的良好学习习惯；
7.在图形变换的实际操作过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉；教学重点、难点教学重点：(1)三角形全等的性质和判定以及角平分线的性质.(2)使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式.教学难点：(1)掌握用综合法证明的格式.(2)选用合适的判定证明两个三角形全等.(3)初步理解图形的全等变换，从而恰当添加辅助线.
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数12.1全等三角形112.2 全等三角形的判定412.3角平分线的性质2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务12.1全等三角形1.理解并掌握全等三角形的概念及其基本性质. 2.能找准全等三角形的对应边，理解全等三角形的对应角相等. 3.能进行简单的推理和计算，并解决一些实际问题.学生知道通过变换后三角形全等，并利用全等三角形的性质解题任务1：学生通过观察图片理解全等三角形的概念.任务2：通过平移，旋转，对称变换知道全等三角形对应边，对应角.任务3：思考全等三角形的性质.12.2全等三角形的判定1.掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.2.掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.3.掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等.4.证明定理:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.5.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.会利用定理判定三角形全等任务1：通过学生动手操作得出三角形全等的判定定理SSS任务2：通过学生画图得出三角形全等判定定理SAS任务3：通过学生动手画三角形得出三角形全等判定定理ASA,AAS.任务4：对直角三角形进行研究得出直角三角形的判定定理HL.12.3角平分线的性质1.理解角平分线的概念(新增)，探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等;2.角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上.学生能根据角平分线的性质解决实际问题任务1：学生利用已学知识证明角平分线的性质.任务2：根据实际问题思考得出角平分线性质定理的逆定理.
《第十二章 全等三角形》单元教学设计
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分课时教学设计
12.3.1角平分线的性质 教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 角平分线的性质是在学习了“全等三角形的性质和判定”后，通过一些实际问题讨论角的平分线的性质．教材中通过实际问题来引入本节内容，这样设计是能更好的体现角的平分线的实际背景，反映数学与实际的关系，即数学理论来源于实际又服务于实际．通过本节的学习可以为后继研究几何图形打下良好的铺垫．同时，可以锻炼学生的观察、分析、归纳能力，培养学生的探究精神和创新意识
学习者分析 学生的知识技能基础：在本节之前，学生已学习了三角形全等的判定方法，能运用全等三角形的 知识解决一些线段相等、角相等的问题，为接下来的学习奠定了知识和技能基础。 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了探索验证数学结论的活动，解决了 一些简单的现实问题， 获得了一些数学活动经验的基础； 同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多 合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
教学目标 1. 会用尺规作图：作一个角的平分线. 2. 探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 3. 会用角平分线的性质解决实际问题.
教学重点 角的平分线的性质的证明及应用
教学难点 角的平分线的性质的探究.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 1.角平分线的概念 2.通过折纸的方法做一个角的平分线学生活动1： 学生思考，回答问题 活动意图说明：复习旧知识，为学习新课做准备环节二：新知探究教师活动2： 如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？ 证明：在△ABC与△ADC中， ∴△ABC≌△ADC (SSS) ∴∠BAC=∠DAC 即 AE是∠A的角平分线 通过上述问题，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得． 作已知角的平分线的方法： 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线． 作法： (1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N. (2)分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. (3)画射线OC，射线OC即为所求(如下图)． 探究：在∠AOB的平分线OC上任取一点P,过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D,E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论 在OC上再取几个点试一试.通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质 点P在∠AOB的平分线OC上. 角平分线上的点到角的两边的距离相等. 你能利用三角形全等证明这个性质吗？ 如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E. 求证PD=PE. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴ ∠PDO=∠PEO=90°
在△PDO和△PEO中， ∴ △PDO≌△PEO (AAS)
∴ PD=PE学生活动2： 学生思考，得出答案 认真观察，主动参与，动手操作 学生动手操作，分组讨论，尝试得出结论．教师适时引导，肯定学生． 让学生动手操作，观察，猜想证明活动意图说明：通过小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论，从实践中学习知识，运用三角形全等的有关知识，归纳、证明角的平分线的性质.环节三：归纳总结教师活动3： ※角平分线的性质 文字语言：角平分线上的点到角的两边的距离相等. 几何语言： ∵ 点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB.
∴ PD=PE 归纳：一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 学生活动3： 学生分小组讨论并完成归纳 活动意图说明：在动手操作-猜想-验证-归纳出角平分线的性质后，引导学生学会证明以文字形式给出的命题的证明思路。从而突破难点，突出重点。得到角的平分线的性质定理。强调：在应用角平分线的性质是，角平分线和垂直两个条件缺一不可。让学生概括证明几何命题的一般步骤，发展他们的归纳概括能力，进一步反思性质，让学生进一步体会到证明两条线段相等时利用角的平分线的性质比证两个三角形全等更简捷。环节四：典例精析教师活动4： 例1 已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC. 证明:∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE=DF ∵ D是BC的中点 ∴BD=CD 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL) ∴BE=CF学生活动4： 有思路的同学独立解答，没有思路的同学小组讨论。并请一位同学汇报结果。 活动意图说明：通过训练，加深对角的平分线的性质的运用和理解.
板书设计 角平分线的性质 性质：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点 A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于点D.如果∠A＝30°，AE＝6 cm，那么CE等于( ) A.1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm 3.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= . 4.△ABC中, ∠C=90°, AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距是 . 选做题： 5.如图，在 Rt△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC＝m，AB＝14. (1) 求△APB 的面积 (用含 m 的式子表示)； (2) 求△PDB 的周长 【综合拓展类作业】 6.如图，在四边形ABCD 中，∠B＝90°，AB∥CD，M 为BC边上的一点，且AM 平分∠BAD，DM 平分∠ADC. 求证：M 为BC的中点．
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,下列结论中错误的是( ) A.PC＝PD B.OC＝OD C.∠CPO＝∠DPO D.OC＝PC 2.如图，AD是△ABC的角平分线，若AB＝10，AC＝8，则S△ABD∶S△ADC＝( ) A．1∶1 B．4∶5 C．5∶4 D．16∶25 选做题： 3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3.求DE的长； 【综合拓展类作业】 4.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E， 且PE=3，求AD与BC之间的距离.
教学反思 绝大部分学生能在课前按老师的要求进行课前预习，参与学习的积极性高；在教学中，我注重让学生在数学活动中学习。在讲角平分线的作法时，让学生观察平分角的仪器的原理，理解作图依据，并留给学生足够的时间进行说理证明。收到了较好的教学效果。在讲角平分线的性质时，我充分让学生参与，自己画图，通过度量猜想、证明结论、归纳总结等环节，让学生学得轻松，学得愉快，课堂效果好。教学中注重将学生的思维与动手操作结合起来，由易到难，循序渐进，符合学生的思维习惯，符合学生认知规律，学生学得有兴趣，产生了较好效果。要合理分配讲练时间，把更多地时间留给学生思考和练习，让他们在课堂上巩固知识、应用知识，提高能力。要转变教学观念，真正实现学生的课堂主体地位，要因学定教，因疑定教，让学生学会学习。
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