湖南省长沙市梅溪湖中学2023-2024学年九年级上学期数学入学考试试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023九上·长沙开学考）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·长沙开学考）点在正比例函数的图象上，则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
3．（2023九上·长沙开学考）在中，若，则的度数是（ ）
A．70° B．110° C．120° D．140°
4．（2023九上·长沙开学考）将直线向下平移1个单位得到的直线是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·长沙开学考）某企业参加“科技创新企业百强”评选，创新能力、创新价值、创新影响三项得分分别为8分，9分，7分，若将三项得分依次按5：3：2的比例计算总成绩，则该企业的总成绩为（ ）
A．8分 B．8.1分 C．8.2分 D．8.3分
6．（2023九上·长沙开学考）已知关于的方程有两个相等实数根，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
7．（2023九上·长沙开学考）在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，则（ ）
A． B．
C． D．以上都有可能
8．（2023九上·长沙开学考）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023九上·长沙开学考）某商店购进一种商品，单价为元．试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足关系：．若商店在试销期间每天销售这种商品获得元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023九上·长沙开学考）如图，在中，，，点为上一点，点为的中点，连接.若，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2023九上·长沙开学考）函数中，自变量的取值范围是 .
12．（2023九上·长沙开学考）已知是方程的一个实数根，则的值是 ．
13．（2023九上·长沙开学考）如图，矩形的对角线，相交于点，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是 （写出一个条件即可）.
14．（2023九上·长沙开学考）如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和面积分别为，的两个正方形所拼成的.若直角三角形的斜边长为2，则的值为 .
15．（2023九上·长沙开学考）如图，中，，，，为的角平分线，则的长度为 .
16．（2023九上·长沙开学考）如图，，，点是射线上的一个动点，，垂足为点，点为的中点，则线段的长的最小值为 .
三、解答题（共9小题，其中17、18、19每小题6分，20、21每小题8分，22、23每小题9分，24、25每小题10分，共72分）
17．（2023九上·长沙开学考）解方程：
18．（2023九上·长沙开学考）如图，在中，，的平分线，分别与线段交于点，，与交于点.
（1）求证：；
（2）求证：.
19．（2023九上·长沙开学考）如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点.
（1）求点和点的坐标；
（2）求点到直线的距离.
20．（2023九上·长沙开学考）某校为了解全校1500名学生的视力情况，随机抽取了名学生调查，将抽取的学生视力情况绘制成不完整的频数分布表和扇形统计图.
组别 视力 人数
12
18
21
6
请你根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）填空， ， ，组所在扇形的圆心角等于 °；
（2）此次抽样调查中，视力的中位数在 组别，众数在 组别；
（3）如果视力在第，两组范围内（4.9及以上）均属视力良好.请估计该校视力良好的学生有多少名？
21．（2023九上·长沙开学考）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，.
（1）求实数的取值范围；
（2）若方程的两实数根，满足，求的值.
22．（2023九上·长沙开学考）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2016年利润为2亿元，2018年利润为2.88亿元.
（1）求该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率；
（2）若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2019年的利润能否超过3.4亿元？
23．（2023九上·长沙开学考）如图，在中，，点，，分别为，，的中点.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积.
24．（2023九上·长沙开学考）著名数学家高斯曾说过：“如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现”，我们向伟人看齐，将这种勤思善学、砺能笃行的精神运用于日常的数学学习中来，尝试发现新的惊喜.
【提出问题】
我们曾探究过一元二次方程根与系数的关系，如果一元二次方程的系数按照某种规律发生变化，原方程的根与新方程的根是否也会产生某种联系？
【构造关系】
将一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项按照的比例放大或缩小，其中，我们称新方程为原方程的“系变方程”，系变倍数为.
（1）当系变倍数为3时，求解一元二次方程的“系变方程”.
（2）【自能探究】已知某一元二次方程有两个实数根，，当时，其“系变方程”也有两个实数根、，且，求的最小值.
（3）已知关于的方程有四个实数根、、、，问是否存在定值，对于任意实数，都满足，若存在，请求出的值.若不存在，请说明理由.
25．（2023九上·长沙开学考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形中点的坐标为，点坐标为，与轴交于点，点是射线上一动点，点是的中点，连接交轴于点，过点作交延长线于点，交于点，连接.
（1）若，求的长.
（2）若，求的长.
（3）①连接，问直线是否经过一定点，若经过，请求出该定点；若不经过，请说明理由；
②连接，，若，求的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】
A：整理为， 等号左边的代数式中含有分式，∴不是一元二次方程。A不符合；
B：整理为，含有两个未知数，不是一元二次方程，B不符合；
C：等号左边的整式中含有一个未知数，且最高次数是二次，是一元二次方程，C符合；
D：方程化简后为x=2，是一元一次方程，D不符合。
故答案为：C
【分析】
整理各方程为一般式，再根据一元二次方程的定义进行判断。
2．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵点P在正比例函数的图象上 ，
∴3=k×1，
∴k=1.
故答案为：C。
【分析】直接把点P（1，3）代入中，即可求得k的值。
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝140°，
∴∠A＝70°
∴∠B＝180°-70°＝110°
故答案为：B
【分析】
平行四边形内对角相等，同旁内角互补。
4．【答案】D
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】保存进入下一题
将直线向下平移1个单位得到的直线是 y=2x-1，
故答案为：D
【分析】
根据图像平移的规律写出解析式.规律：上加下减，左加右减。
5．【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：总成绩为：（分）
故答案为：B。
【分析】根据加权平均数的计算方法，即可求得该企业的总成绩。
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】
∵原方程有两个相等的实数根，
∴△＝0，即
∴m=1
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程中根与系数的关系列方程进行求解。原方程有两个相等的实数根，则根的判别式为0，
7．【答案】A
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】
由y=-3x+b可知，k=-3<0
∴y随x的增大而减小，
比较A、B的横坐标，2＜3
∴
故答案为：A
【分析】
k<0时，y随x的增大而减小，通过比较横坐标可比较纵坐标的大小
8．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；菱形的性质
【解析】【解答】
∵四边形ABCD是菱形，AC⊥BD，
∴BD平分∠ABC，∴∠ABO＝120°÷2＝60°，
∴OA＝OB，
由B的坐标可知OB＝3
∴OA＝
∴A（-，0）
故答案为：A
【分析】
根据菱形的性质得出∠ABO＝60°，再根据含有60°的直角三角形中的边间关系求出OA，得到点A坐标。
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】设每件商品的售价应定为x元，每天要销售这种商品p件．
根据题意得：（x-30）（100-2x）=200，
整理得：x2-80x+1600=0.
故答案为：A
【分析】由题意可知每一件的利润为（x-30），然后根据总利润=每一件的利润×销售量，可得到关于x的方程.
10．【答案】D
【知识点】等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】
∵∠ABC＝90°，∠C＝67.5°
∴∠A＝180°-90°-67.5°＝22.5°，
∵∠AED＝∠A，∴∠AED＝22.5°，
∴∠EDB＝∠A+∠AED＝45°，
过E作EF⊥AB于F，则△EDF是等腰直角三角形，
∴DE＝EF。
易知EF∥BC，又E是AC中点，∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝BC
∴DE＝×BC
∴
故答案为：D
【分析】过E作EF⊥AB于F，则EF是△ABC的中位线，为BC的一半，再结合DE与EF的关系推导出DE与BC的比。
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】
分式中分母不能为0，∴x-2≠0，∴x≠2 。
故答案为：x≠2
【分析】
考查等号右边部分，根据分式中分母不能为0可求出x的范围。
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】根据题意，m是方程的一个实数根，则代入得
故填：2026
【分析】所求代数式的形式与方程左边很相似，就是常数项不同，我们代入m就可以得到m2-4m-3=0，移项得m2-4m=3，把代数式中的未知项整体用3来代替，就得到2026.
13．【答案】
【知识点】矩形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】
可添加的条件有：AB＝AD；或AC⊥BD；或AC平分∠BAD等。
故答案为：AB＝AD（或AC⊥BD或AC平分∠BAD等）
【分析】
邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；对角线平分内角的矩形是正方形。
14．【答案】4
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】
故答案为：4
【分析】
两个小正方形的面积分别为△ABC两条直角边的平方，根据勾股定理可计算出面积和。
15．【答案】
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】
∵
∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，即BC⊥AC，
过D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∴DE＝CD，AE＝AC＝4，∴BE＝AB-AE＝5-4＝1，
设CD＝x，则DE＝x，BD＝BC-CD＝3-x
∵
∴
解得，x=
故答案为：
【分析】过D作DE⊥AB于E，先证明∠C＝90°，再结合角平分线的性质得出DE＝CD，根据勾股定理列方程求出X。
16．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【解答】
∵CD⊥AB，∴△BCD是直角三角形，
∵E是BD的中点，∴CE＝BD，
当BD⊥AF时，BD最短，此时CE也最短。
当BD⊥AF时，∵∠A＝45°，∴BD＝
∴CE＝
故答案为：
【分析】
根据直角三角形斜边中线的性质可知CE＝BD，当BD⊥AF时，BD最短，此时CE也最短。根据等腰直角三角形中边间关系求出BD可得结果。
17．【答案】解：
∵ ， ，
∴ >0
∴
∴ ,
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】先找出方程二次项的系数、一次项的系数及常数项，然后算出根的判别式的值，由判别式的值大于0得出方程有两个不相等的实数根，进而利用公式即可求出方程的根.
18．【答案】（1）证明：∵平分，∴.
∵平分，∴.
∵四边形平行四边形，∴，，，，
∴，即，∴，
∴.∴；
（2）证明：∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，∵，∴；
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】
（1）根据对边平行可得同旁内角互补，再结合角平分线推导出∠AGD＝90°即可。
（2）结合对边平行可推导出∠BAF＝∠AFB，得AB＝BF，同理可得CE＝CD，进而推导出结论。
19．【答案】（1）解：当时，，当时，，∴，
（2）解：∵，，∴，，∴，
设点到直线的距离为，∴，
∵，∴，∴点到直线的距离为.
【知识点】三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】
（1）分别求出当x=0和y=0时，另一变量的值，可得与坐标轴交点的坐标。
（2）运用三角形面积公式求出O到AB的距离。
20．【答案】（1）60；3；108
（2）；D
（3）解：（人）；
答：全校良好及以上的学生人数为675人.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：
（1）由图表可知，E组有6人占抽取的总人数的10%，
所以抽取的总人数是：6÷10%＝60（人）
即m=60 .
∴n=60-12-18-21-6=3
C 所在扇形的圆心角 的度数为：18÷60×360°＝108°
故答案为：60， 3， 108
（2）
因为3+12＝15，15+18＝33，抽取的总人数是60，
所以第30个和第31个数一定在C组中，所以中位数在C组，
各组中人数D组有21人，是最多的，所以众数在D组。
故答案为：C，D
【分析】
（1）观察图表，E组有6人占抽取的总人数的10%，据此可求出抽取的总人数，然后再求n。
（2）按视力的高低顺序排列计算人数并确定第29和第30这两个数所在组。即中位数所在组。根据最多人数所在组确定众数所在组。
（3）根据视力良好人数占比求出学生人数。
21．【答案】（1）解：根据题意得，解得；
（2）解：，，∵，∴，
整理得，解得，，而，∴.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】
（1）考查根的判别式，列不等式进行求解即可。
（2）根据根与系数的关系得出两根的和与积，再代入等式求出k值。
22．【答案】（1）解：设这两年该企业年利润平均增长率为.根据题意得，
解得，（不合题意，舍去）.
答：这两年该企业年利润平均增长率为20%.
（2）解：如果2019年仍保持相同的年平均增长率，那么2019年该企业年利润为：，
答：该企业2019年的利润能超过3.4亿元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】
（1） 设这两年该企业年利润平均增长率为x，列方程进行求解。特别要注意所求得的解是否符合题意。
（2）按（1）中求得的增长率计算2019年的利润即可。
23．【答案】（1）证明：∵，分别是，的中点，
∴且.同理且.
又∵，∴，∴四边形是菱形.
（2）解：∵，，点，，分别为，，的中点，
∴，，∴，
∴菱形的面积为.
【知识点】勾股定理的应用；菱形的判定与性质
【解析】【分析】
（1）根据三角形中位线的性质推导出DE＝DF＝AE＝AF可得结论。
（2）运用勾股定理求出AD，三角形中位线的性质求出EF，再计算菱形面积。
24．【答案】（1）解：当系变倍数为3时，系变方程为：，解得：，.
（2）解：设原方程，当时，系变方程为：，
∵，∴，
∴原式
∴当，时，原式取到最小值.
（3）解：令，，
∵，∴，∴，
即，∴，
∴或，设方程：①，
则系变方程为：②，系变方程两边同时乘，变形得：，
∴若原方程有解，则系变方程必有解，且解存在倍数关系，
∵和互为系变方程，
且无论取何实数，两个方程都有实数解∴，或.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】
（1）根据系变方程的特点写出结果。
（2）先写出原方程的系变方程，再根据根与系数的关系列式，配方求出最小值。
（3）变形原方程推导出两方程互为系变方程，根据解间关系求出比值。
25．【答案】（1）解：∵，是的中点∴
∵∴直线的解析式为：
∵交延长线于点∴当时，∴∴
（2）
解：延长，过点作于点
∵，∴
∵∴∴平分
∵∴设，，则，
∵∴∴
∵∴，，
∵平分∴∴
∴∴∴
∵直线的解析式为：∴∴
（3）解：
①∵直线的解析式为：∴
∴直线的解析式为：∴
∴∴当，即，时，等式成立
∴直线经过定点
②记∴点和点关于轴对称∴
∵∴作关于的对称图形∴
过点作设，则∵∴
∵∴∴
∵∴∴∴
【知识点】角平分线的性质；勾股定理的应用；平行四边形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】
（1）根据OD的长写出E点坐标，结合A点坐标求出AE的解析式，求出G点坐标，得出DG，再运用勾股定理求出OG。
（2）过G作GI⊥AO，结合已知条件推导出OD平分∠IOE和∠IGD，GI＝GD，OI＝OD，结合勾股定理和AE的解析式求出G点坐标，得OD的长。
（3）①根据D、F的坐标写出DF的解析式，再确定所经过的定点。
②过F作FN⊥BF'，则∠FBF'＝30°，结合勾股定理求出FN，进而求出OD
1 / 1湖南省长沙市梅溪湖中学2023-2024学年九年级上学期数学入学考试试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023九上·长沙开学考）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】
A：整理为， 等号左边的代数式中含有分式，∴不是一元二次方程。A不符合；
B：整理为，含有两个未知数，不是一元二次方程，B不符合；
C：等号左边的整式中含有一个未知数，且最高次数是二次，是一元二次方程，C符合；
D：方程化简后为x=2，是一元一次方程，D不符合。
故答案为：C
【分析】
整理各方程为一般式，再根据一元二次方程的定义进行判断。
2．（2023九上·长沙开学考）点在正比例函数的图象上，则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵点P在正比例函数的图象上 ，
∴3=k×1，
∴k=1.
故答案为：C。
【分析】直接把点P（1，3）代入中，即可求得k的值。
3．（2023九上·长沙开学考）在中，若，则的度数是（ ）
A．70° B．110° C．120° D．140°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝140°，
∴∠A＝70°
∴∠B＝180°-70°＝110°
故答案为：B
【分析】
平行四边形内对角相等，同旁内角互补。
4．（2023九上·长沙开学考）将直线向下平移1个单位得到的直线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】保存进入下一题
将直线向下平移1个单位得到的直线是 y=2x-1，
故答案为：D
【分析】
根据图像平移的规律写出解析式.规律：上加下减，左加右减。
5．（2023九上·长沙开学考）某企业参加“科技创新企业百强”评选，创新能力、创新价值、创新影响三项得分分别为8分，9分，7分，若将三项得分依次按5：3：2的比例计算总成绩，则该企业的总成绩为（ ）
A．8分 B．8.1分 C．8.2分 D．8.3分
【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：总成绩为：（分）
故答案为：B。
【分析】根据加权平均数的计算方法，即可求得该企业的总成绩。
6．（2023九上·长沙开学考）已知关于的方程有两个相等实数根，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】
∵原方程有两个相等的实数根，
∴△＝0，即
∴m=1
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程中根与系数的关系列方程进行求解。原方程有两个相等的实数根，则根的判别式为0，
7．（2023九上·长沙开学考）在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，则（ ）
A． B．
C． D．以上都有可能
【答案】A
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】
由y=-3x+b可知，k=-3<0
∴y随x的增大而减小，
比较A、B的横坐标，2＜3
∴
故答案为：A
【分析】
k<0时，y随x的增大而减小，通过比较横坐标可比较纵坐标的大小
8．（2023九上·长沙开学考）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；菱形的性质
【解析】【解答】
∵四边形ABCD是菱形，AC⊥BD，
∴BD平分∠ABC，∴∠ABO＝120°÷2＝60°，
∴OA＝OB，
由B的坐标可知OB＝3
∴OA＝
∴A（-，0）
故答案为：A
【分析】
根据菱形的性质得出∠ABO＝60°，再根据含有60°的直角三角形中的边间关系求出OA，得到点A坐标。
9．（2023九上·长沙开学考）某商店购进一种商品，单价为元．试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足关系：．若商店在试销期间每天销售这种商品获得元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】设每件商品的售价应定为x元，每天要销售这种商品p件．
根据题意得：（x-30）（100-2x）=200，
整理得：x2-80x+1600=0.
故答案为：A
【分析】由题意可知每一件的利润为（x-30），然后根据总利润=每一件的利润×销售量，可得到关于x的方程.
10．（2023九上·长沙开学考）如图，在中，，，点为上一点，点为的中点，连接.若，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】
∵∠ABC＝90°，∠C＝67.5°
∴∠A＝180°-90°-67.5°＝22.5°，
∵∠AED＝∠A，∴∠AED＝22.5°，
∴∠EDB＝∠A+∠AED＝45°，
过E作EF⊥AB于F，则△EDF是等腰直角三角形，
∴DE＝EF。
易知EF∥BC，又E是AC中点，∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝BC
∴DE＝×BC
∴
故答案为：D
【分析】过E作EF⊥AB于F，则EF是△ABC的中位线，为BC的一半，再结合DE与EF的关系推导出DE与BC的比。
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2023九上·长沙开学考）函数中，自变量的取值范围是 .
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】
分式中分母不能为0，∴x-2≠0，∴x≠2 。
故答案为：x≠2
【分析】
考查等号右边部分，根据分式中分母不能为0可求出x的范围。
12．（2023九上·长沙开学考）已知是方程的一个实数根，则的值是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】根据题意，m是方程的一个实数根，则代入得
故填：2026
【分析】所求代数式的形式与方程左边很相似，就是常数项不同，我们代入m就可以得到m2-4m-3=0，移项得m2-4m=3，把代数式中的未知项整体用3来代替，就得到2026.
13．（2023九上·长沙开学考）如图，矩形的对角线，相交于点，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是 （写出一个条件即可）.
【答案】
【知识点】矩形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】
可添加的条件有：AB＝AD；或AC⊥BD；或AC平分∠BAD等。
故答案为：AB＝AD（或AC⊥BD或AC平分∠BAD等）
【分析】
邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；对角线平分内角的矩形是正方形。
14．（2023九上·长沙开学考）如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和面积分别为，的两个正方形所拼成的.若直角三角形的斜边长为2，则的值为 .
【答案】4
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】
故答案为：4
【分析】
两个小正方形的面积分别为△ABC两条直角边的平方，根据勾股定理可计算出面积和。
15．（2023九上·长沙开学考）如图，中，，，，为的角平分线，则的长度为 .
【答案】
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】
∵
∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，即BC⊥AC，
过D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∴DE＝CD，AE＝AC＝4，∴BE＝AB-AE＝5-4＝1，
设CD＝x，则DE＝x，BD＝BC-CD＝3-x
∵
∴
解得，x=
故答案为：
【分析】过D作DE⊥AB于E，先证明∠C＝90°，再结合角平分线的性质得出DE＝CD，根据勾股定理列方程求出X。
16．（2023九上·长沙开学考）如图，，，点是射线上的一个动点，，垂足为点，点为的中点，则线段的长的最小值为 .
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰直角三角形；直角三角形的性质
【解析】【解答】
∵CD⊥AB，∴△BCD是直角三角形，
∵E是BD的中点，∴CE＝BD，
当BD⊥AF时，BD最短，此时CE也最短。
当BD⊥AF时，∵∠A＝45°，∴BD＝
∴CE＝
故答案为：
【分析】
根据直角三角形斜边中线的性质可知CE＝BD，当BD⊥AF时，BD最短，此时CE也最短。根据等腰直角三角形中边间关系求出BD可得结果。
三、解答题（共9小题，其中17、18、19每小题6分，20、21每小题8分，22、23每小题9分，24、25每小题10分，共72分）
17．（2023九上·长沙开学考）解方程：
【答案】解：
∵ ， ，
∴ >0
∴
∴ ,
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】先找出方程二次项的系数、一次项的系数及常数项，然后算出根的判别式的值，由判别式的值大于0得出方程有两个不相等的实数根，进而利用公式即可求出方程的根.
18．（2023九上·长沙开学考）如图，在中，，的平分线，分别与线段交于点，，与交于点.
（1）求证：；
（2）求证：.
【答案】（1）证明：∵平分，∴.
∵平分，∴.
∵四边形平行四边形，∴，，，，
∴，即，∴，
∴.∴；
（2）证明：∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，∵，∴；
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】
（1）根据对边平行可得同旁内角互补，再结合角平分线推导出∠AGD＝90°即可。
（2）结合对边平行可推导出∠BAF＝∠AFB，得AB＝BF，同理可得CE＝CD，进而推导出结论。
19．（2023九上·长沙开学考）如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点.
（1）求点和点的坐标；
（2）求点到直线的距离.
【答案】（1）解：当时，，当时，，∴，
（2）解：∵，，∴，，∴，
设点到直线的距离为，∴，
∵，∴，∴点到直线的距离为.
【知识点】三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】
（1）分别求出当x=0和y=0时，另一变量的值，可得与坐标轴交点的坐标。
（2）运用三角形面积公式求出O到AB的距离。
20．（2023九上·长沙开学考）某校为了解全校1500名学生的视力情况，随机抽取了名学生调查，将抽取的学生视力情况绘制成不完整的频数分布表和扇形统计图.
组别 视力 人数
12
18
21
6
请你根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）填空， ， ，组所在扇形的圆心角等于 °；
（2）此次抽样调查中，视力的中位数在 组别，众数在 组别；
（3）如果视力在第，两组范围内（4.9及以上）均属视力良好.请估计该校视力良好的学生有多少名？
【答案】（1）60；3；108
（2）；D
（3）解：（人）；
答：全校良好及以上的学生人数为675人.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：
（1）由图表可知，E组有6人占抽取的总人数的10%，
所以抽取的总人数是：6÷10%＝60（人）
即m=60 .
∴n=60-12-18-21-6=3
C 所在扇形的圆心角 的度数为：18÷60×360°＝108°
故答案为：60， 3， 108
（2）
因为3+12＝15，15+18＝33，抽取的总人数是60，
所以第30个和第31个数一定在C组中，所以中位数在C组，
各组中人数D组有21人，是最多的，所以众数在D组。
故答案为：C，D
【分析】
（1）观察图表，E组有6人占抽取的总人数的10%，据此可求出抽取的总人数，然后再求n。
（2）按视力的高低顺序排列计算人数并确定第29和第30这两个数所在组。即中位数所在组。根据最多人数所在组确定众数所在组。
（3）根据视力良好人数占比求出学生人数。
21．（2023九上·长沙开学考）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，.
（1）求实数的取值范围；
（2）若方程的两实数根，满足，求的值.
【答案】（1）解：根据题意得，解得；
（2）解：，，∵，∴，
整理得，解得，，而，∴.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】
（1）考查根的判别式，列不等式进行求解即可。
（2）根据根与系数的关系得出两根的和与积，再代入等式求出k值。
22．（2023九上·长沙开学考）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2016年利润为2亿元，2018年利润为2.88亿元.
（1）求该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率；
（2）若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2019年的利润能否超过3.4亿元？
【答案】（1）解：设这两年该企业年利润平均增长率为.根据题意得，
解得，（不合题意，舍去）.
答：这两年该企业年利润平均增长率为20%.
（2）解：如果2019年仍保持相同的年平均增长率，那么2019年该企业年利润为：，
答：该企业2019年的利润能超过3.4亿元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】
（1） 设这两年该企业年利润平均增长率为x，列方程进行求解。特别要注意所求得的解是否符合题意。
（2）按（1）中求得的增长率计算2019年的利润即可。
23．（2023九上·长沙开学考）如图，在中，，点，，分别为，，的中点.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积.
【答案】（1）证明：∵，分别是，的中点，
∴且.同理且.
又∵，∴，∴四边形是菱形.
（2）解：∵，，点，，分别为，，的中点，
∴，，∴，
∴菱形的面积为.
【知识点】勾股定理的应用；菱形的判定与性质
【解析】【分析】
（1）根据三角形中位线的性质推导出DE＝DF＝AE＝AF可得结论。
（2）运用勾股定理求出AD，三角形中位线的性质求出EF，再计算菱形面积。
24．（2023九上·长沙开学考）著名数学家高斯曾说过：“如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现”，我们向伟人看齐，将这种勤思善学、砺能笃行的精神运用于日常的数学学习中来，尝试发现新的惊喜.
【提出问题】
我们曾探究过一元二次方程根与系数的关系，如果一元二次方程的系数按照某种规律发生变化，原方程的根与新方程的根是否也会产生某种联系？
【构造关系】
将一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项按照的比例放大或缩小，其中，我们称新方程为原方程的“系变方程”，系变倍数为.
（1）当系变倍数为3时，求解一元二次方程的“系变方程”.
（2）【自能探究】已知某一元二次方程有两个实数根，，当时，其“系变方程”也有两个实数根、，且，求的最小值.
（3）已知关于的方程有四个实数根、、、，问是否存在定值，对于任意实数，都满足，若存在，请求出的值.若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：当系变倍数为3时，系变方程为：，解得：，.
（2）解：设原方程，当时，系变方程为：，
∵，∴，
∴原式
∴当，时，原式取到最小值.
（3）解：令，，
∵，∴，∴，
即，∴，
∴或，设方程：①，
则系变方程为：②，系变方程两边同时乘，变形得：，
∴若原方程有解，则系变方程必有解，且解存在倍数关系，
∵和互为系变方程，
且无论取何实数，两个方程都有实数解∴，或.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】
（1）根据系变方程的特点写出结果。
（2）先写出原方程的系变方程，再根据根与系数的关系列式，配方求出最小值。
（3）变形原方程推导出两方程互为系变方程，根据解间关系求出比值。
25．（2023九上·长沙开学考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形中点的坐标为，点坐标为，与轴交于点，点是射线上一动点，点是的中点，连接交轴于点，过点作交延长线于点，交于点，连接.
（1）若，求的长.
（2）若，求的长.
（3）①连接，问直线是否经过一定点，若经过，请求出该定点；若不经过，请说明理由；
②连接，，若，求的长.
【答案】（1）解：∵，是的中点∴
∵∴直线的解析式为：
∵交延长线于点∴当时，∴∴
（2）
解：延长，过点作于点
∵，∴
∵∴∴平分
∵∴设，，则，
∵∴∴
∵∴，，
∵平分∴∴
∴∴∴
∵直线的解析式为：∴∴
（3）解：
①∵直线的解析式为：∴
∴直线的解析式为：∴
∴∴当，即，时，等式成立
∴直线经过定点
②记∴点和点关于轴对称∴
∵∴作关于的对称图形∴
过点作设，则∵∴
∵∴∴
∵∴∴∴
【知识点】角平分线的性质；勾股定理的应用；平行四边形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】
（1）根据OD的长写出E点坐标，结合A点坐标求出AE的解析式，求出G点坐标，得出DG，再运用勾股定理求出OG。
（2）过G作GI⊥AO，结合已知条件推导出OD平分∠IOE和∠IGD，GI＝GD，OI＝OD，结合勾股定理和AE的解析式求出G点坐标，得OD的长。
（3）①根据D、F的坐标写出DF的解析式，再确定所经过的定点。
②过F作FN⊥BF'，则∠FBF'＝30°，结合勾股定理求出FN，进而求出OD
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