浙江省部分学校联考2023-2024学年九年级数学上册开学摸底试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（2023八下·东海期末）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此逐项判断即可.
2．（2023九上·浙江开学考）二次根式中，字母a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得a+2≥0，
解得a≥-2.
故答案为：A.
【分析】由二次根式的被开方数不能为负数，建立不等式，求解即可.
3．（2021八下·合肥期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、 ，故此选项不符合题意；
B、 ，故此选项不符合题意；
C、 ，故此选项不符合题意；
D、 ，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的性质计算求解即可。
4．（2023九上·浙江开学考）下列说法正确的是（ ）
A．为了解全国中学生的课外阅读情况，应采取全面调查的方式
B．为了解九年级1200名学生模拟考试的数学成绩，从中抽取200名学生的数学成绩进行调查，这个问题中样本容量为1200
C．投掷一枚硬币100次，一定有50次“正面朝上”
D．甲、乙两名学生参加“国学小名士”知识竞赛选拔赛成绩的平均数均为94，方差分别为5.3和4.8，则乙学生的成绩稳定
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；概率的意义；方差
【解析】【解答】解：A、 为了解全国中学生的课外阅读情况，应采取抽样调查的方式，故此选项错误，不符合题意；
B、 为了解九年级1200名学生模拟考试的数学成绩，从中抽取200名学生的数学成绩进行调查，这个问题中样本容量为200 ，故此选项错误，不符合题意；
C、投掷一枚硬币100次，可能有50次“正面朝上”，也可能没有或超过50次“正面朝上”，故此选项错误，不符合题意；
D、∵甲、乙两名学生参加“国学小名士”知识竞赛选拔赛成绩的平均数均为94，方差分别为5.3和4.8，而5.3＞4.8，∴乙学生的成绩稳定，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】全面调查数据准确，但耗时费力；抽样调查省时省力，但数据不够准确；一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此判断A选项；总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，据此可判断B选项；投掷一枚硬币正面朝上的可能性是，故投掷一枚硬币100次，可能有50次“正面朝上”而不是一定有50次，据此可判断C选项；在平均数一样的情况下，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定，据此可判断D选项.
5．（2023九上·浙江开学考）点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A．（2，4） B．（﹣1，﹣8）
C．（﹣2，﹣4） D．（4，﹣2）
【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点（2，-4） 在反比例函数的图象上，
∴k=2×（-4）=-8，
A、∵2×4=8≠-8，∴此选项中的点没有在该函数的图象上，故此选项错误，不符合题意；
B、∵-1×（-8）=8≠-8，∴此选项中的点没有在该函数的图象上，故此选项错误，不符合题意；
C、∵-2×（-4）=8≠-8，∴此选项中的点没有在该函数的图象上，故此选项错误，不符合题意；
D、∵4×（-2）=-8，∴此选项中的点在该函数的图象上，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由点（2，-4） 在反比例函数的图象上，可求出k的值，进而根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积都等于比例系数k的值，从而即可一 一判断得出答案.
6．（2021·南充）据统计，某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5，5，6，6，6，7，7，下列说法错误的是（ ）
A．该组数据的中位数是6 B．该组数据的众数是6
C．该组数据的平均数是6 D．该组数据的方差是6
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、把这些数从小到大排列为：5，5，6，6，6，7，7，则中位数是6，故本选项说法正确，不符合题意；
B、∵6出现了3次，出现的次数最多，∴众数是6，故本选项说法正确，不符合题意；
C、平均数是（5+5+6+6+6+7+7）÷7＝6，故本选项说法正确，不符合题意；
D、方差= ×[2×（5 6）2＋3×（6 6）2＋2×（7 6）2]＝ ，故本选项说法错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此可对A，B作出判断；利用平均数公式求出这组数据的平均数，可对C作出判断；利用方差公式求出该组数据的方差，可对D作出判断.
7．（2023九上·浙江开学考）如图，在矩形中，、相交于点O，平分交于点E，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠BAD=90°，OB=OA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=BAD=45°，
∵∠CAE=15°，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴OB=AB，∠ABO=60°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=30°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=45°，
∴∠BAE=∠AEB=45°，
∴AB=BE，
∴OB=BE，
∴∠BOE=（180°-∠OBE）÷2=75°.
故答案为：B.
【分析】由矩形性质得AD∥BC，∠BAD=90°，OB=OA，由角平分线性质及角的和差可得∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，进而根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△OAB是等边三角形，由等边三角形性质得OB=AB，∠ABO=60°，再由角的和差算出∠OBC的度数，接着利用平行线的性质及角平分线定义可推出∠BAE=∠AEB=45°，由等角对等边及等量代换可得OB=BE，进而根据等边对等角及三角形内角和定理可求出∠BOE的度数.
8．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=的图象上，若点A的坐标为（﹣2，﹣3），则k的值为（ ）
A．1 B．﹣5 C．4 D．1或﹣5
【答案】D
【知识点】矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】根据矩形的对角线将矩形分成面积相等的两个直角三角形，找到图中的所有矩形及相等的三角形，即可推出S四边形CEOF=S四边形HAGO，根据反比例函数比例系数的几何意义即可求出k2+4k+1=6，再解出k的值即可。
【解答】如图：
∵四边形ABCD、HBEO、OECF、GOFD为矩形，
又∵BO为四边形HBEO的对角线，OD为四边形OGDF的对角线，
∴S△BEO=S△BHO，S△OFD=S△OGD，S△CBD=S△ADB，
∴S△CBD﹣S△BEO﹣S△OFD=S△ADB﹣S△BHO﹣S△OGD，
∴S四边形CEOF=S四边形HAGO=2×3=6，
∴xy=k2+4k+1=6，
解得，k=1或k=﹣5．
故选D．
【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义、矩形的性质、一元二次方程的解法，关键是判断出S四边形CEOF=S四边形HAGO．
9．（2023九上·浙江开学考）若点与分别是两个函数图象与上的任一点．当时，有-1≤y1-y2≤1成立，则称这两个函数在上是“相邻函数”．例如，点与分别是两个函数与图象上的任一点，当时，，它在上，-1≤y1-y2≤1成立，因此这两个函数在上是“相邻函数”．若函数与在上是“相邻函数”，求a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵函数y=x2-x与y=ax在0≤x≤2上是“相邻函数”，
∴函数y=x2-(a+1)x在0≤x≤2上-1≤y≤1，
根据抛物线y=x2-(a+1)x的对称轴位置不同，分四种情况：
①当，即a≤-1时，y最小=0，y最大=4-2（a+1）≤1，解得a≥，∴此种情况无解；
②当0≤≤1，即-1≤a≤1时，y最小=，y最大=4-2（a+1）≤1，解得≤a≤1；
③当1≤≤2，即1＜a≤-3时，y最小=，y最大=0，解得-3≤a≤1，∴此种情况无解；
④当2＜，即a＞3时，y最小=4-2（a+1）≥-1，y最大=0，解得a≤，∴此种情况无解，
综上可知，函数y=x2-x与y=ax在0≤x≤2上是“相邻函数”，则a的取值范围为：≤a≤1.
故答案为：B.
【分析】由函数y=x2-x与y=ax在0≤x≤2上是“相邻函数”，构造函数y=x2-(a+1)x，根据抛物线的对称轴位置不同，令其最大值≤1，最大值≥-1，解关于字母a的不等式组，即可求出答案.
10．（2021·顺平模拟）如图，在矩形内画了一些直线，已知△ADH，△BEF，四边形HGFC的面积分别是12、32、96，那么图中阴影部分的面积是（ ）
A．48 B．52 C．60 D．108
【答案】B
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：设矩形的面积为S，作EM⊥CD，AN⊥BC
∵S△CDE= ，S△ABC =
又∵四边形为矩形
∴AN=CD，EM=BC
则S△CDE=S△ABC= S，
S＋96=S△CDE+S△ABC＋12＋32＋S阴影
∴S阴影= S- S△CDE- S△ABC-12-32+96
∴S阴影= S- S - S -12-32+96
S阴影=96-32-12=52．
故答案为：B
【分析】设矩形的面积为S，作EM⊥CD，AN⊥BC，可求出S△CDE=S△ABC= S，由图形可得S＋96=S△CDE+S△ABC＋12＋32＋S阴影，据此可求出阴影部分的面积.
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2023九上·浙江开学考）“七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．如图，一只小虫在七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在阴影部分的概率是 .
【答案】
【知识点】七巧板；几何概率
【解析】【解答】解：由图可知：阴影部分的面积是整个图形面积的，
∴ 一只小虫在七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在阴影部分的概率是
故答案为：.
【分析】根据七巧板对应图形的面积，找出阴影部分面积占整个图形面积的比例即可得出答案.
12．（2023八下·浦江月考）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为242万元，如果每月比上月增长的百分数相同，设平均每月的增长率为x，则可列方程 ．
【答案】200（1+x）2＝242
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得：200（1+x）2=242；
故填：200（1+x）2=242.
【分析】根据题目条件即可得出关于x的一元二次方程.
13．（2023九上·浙江开学考）在一个不透明的口袋中，装有4个红球和若干个白球，这些球除颜色外其余都相同，如果摸到红球的概率是，那么口袋中有白球 个.
【答案】8
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：设袋子中有白色小球x个，则，
解得x=8，
经检验x=8是原方程的解，
∴口袋中白色小球的个数为8个.
故答案为：8.
【分析】设袋子中有白色小球x个，根据口袋中红色小球的个数比上口袋中小球的总个数等于从袋子中随机摸出一个小球是红色小球的概率列出方程，求解即可.
14．（2023九上·浙江开学考）已知一次函数和的图象交于点，则二元一次方程组的解是 ．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵一次函数y=4x-1与y=2x+3的图象交于点P（2，7），
∴二元一次方程组 的解是.
故答案为：.
【分析】根据两一次函数图象交点的坐标，就是两一次函数解析式组成方程组的解，可直接得出答案.
15．（2023九上·浙江开学考）如图，的顶点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，点C，点D在轴上，AD与y轴交于点E，若，则的值为 ．
【答案】10
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图，过点A作AF⊥x轴于点F，易得四边形ABOF是矩形，
∵S△BCE=5，
∴平行四边形ABCD的面积=2S△BCE=10，
∵平行四边形ABCD的面积=矩形ABOF的面积，
∴矩形ABOF的面积为10，
∴|k|=10，
∴k=±10，
∵反比例函数图象在第一象限，
∴k=10.
故答案为：10.
【分析】由平行四边形及三角形的面积计算公式及同底同高的三角形面积等于平行四边形面积的一半可得平行四边形ABCD的面积=2S△BCE=10，根据等底等高的平行四边形与矩形的面积相等可得平行四边形ABCD的面积=矩形ABOF的面积，进而根据反比例函数k的几何意义可得|k|=10，最后结合反比例函数图象所在的象限即可得出k的值.
16．（2019八下·乌兰浩特期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，将纸片沿过点C的直线翻折，使点B恰好落在x轴上的点B′处，折痕交AB于点D．若OC=9， ，则折痕CD所在直线的解析式为 ．
【答案】y= x+9
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵OC=9， ，
∴BC=15，
∵四边形OABC是矩形，
∴AB=OC=9，OA=BC=15，∠COA=∠OAB=90°，
∴C(0，9)，
∵折叠，
∴B′C=BC=15，B′D=BD，
在Rt△COB′中，OB′= =12，
∴AB′=15-12=3，
设AD=m，则B′D=BD=9-m，
Rt△AB′D中，AD2+B′A2=B′D2，
即m2+32=(9-m)2，
解得m=4，
∴D(15，4)
设CD所在直线解析式为y=kx+b，
把C、D两点坐标分别代入得： ，
解得： ，
∴CD所在直线解析式为y= x+9，
故答案为：y= x+9.
【分析】根据OC=9， 先求出BC的长，继而根据折叠的性质以及勾股定理的性质求出OB′的长，求得AB′的长，设AD=m，则B′D=BD=9-m，在Rt△AB′D中利用勾股定理求出x的长，进而求得点D的坐标，再利用待定系数法进行求解即可.
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题要求写出必要的解答过程）
17．（2021八下·杭州期末）
（1）计算： ；
（2）解方程： .
【答案】（1）解：原式
= ；
（2）解：配方得： ，即 ，
开方得： ，
解得： ， .
【知识点】二次根式的加减法；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将各个根式化为最简二次根式可得：原式=，据此计算；
（2）对原方程进行配方，可得(x+3)2=10，然后开方计算即可.
18．（2023九上·浙江开学考）先化简，再求值，；其中a=
【答案】解：原式
，
当时，
原式.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】将被除式的分子、分母分别分解因式，同时将除法转变为乘法，进而计算分式乘法，然后根据同分母分式减法法则计算出最简结果，最后将a的值代入化简后的结果计算可得答案.
19．（2023九上·浙江开学考）如图，设反比例函数的解析式为y＝（k＞0）．
（1）若反比例函数与正比例函数y＝2x的图象有一个交点的纵坐标为2，求k的值；
（2）若反比例函数的图象与过点M（﹣2，0）的直线l：y＝kx+b的图象交于A、B两点，如图，当△ABO的面积为12时，求直线l的解析式．
【答案】（1）解：∵反比例函数与正比例函数y＝2x的图象有一个交点的纵坐标为2，
把y＝2代入y＝2x求得x＝1，
∴反比例函数与正比例函数y＝2x的图象交点的坐标为（1，2），
把（1，2）代入y＝（k＞0），得到3k＝2，
∴k＝；
（2）解：把M（﹣2，0）代入y＝kx+b，可得b＝2k，
∴y＝kx+2k，
解，
得或，
∴B（﹣3，﹣k），A（1，3k），
∵△ABO的面积为12，
∴ 2 3k+ 2 k＝12，
解得k＝3，
∴直线l的解析式为y＝3x+6．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）把y＝2代入y＝2x求得x的值，从而可得正比例函数与反比例函数交点的坐标，将交点的坐标代入y＝（k＞0）即可求出k的值；
（2）把M（﹣2，0）代入y＝kx+b，可得b＝2k，则直线l为y＝kx+2k，联立直线l与反比例函数的解析式组成方程组，求解可得A、B的坐标，进而根据三角形面积计算公式，由S△AOB=S△AOM+S△BOM建立方程，求解可得k的值，从而即可得出直线l的解析式.
20．（2023九上·浙江开学考）在平面直角坐标系中按要求画图：
（1）画出平移后的图形，使点的对应点坐标为．
（2）画出关于原点成中心对称的．
【答案】（1）解：结合图形可知：，
根据点的对应点坐标为，作图，
如图所示：
，即为所求；
（2）解：如图所示：
，即为所求．
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）读出A点坐标，观察A与A1的坐标得出平移方式：将△ABC向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，据此分别找出B、C平移后的对应点B1、C1，再连接即可得出所求的△A1B1C1；
（2）利用方格纸的特点，分别作出点A、B、C关于点O的对称点A2、B2、C2，再连接即可.
21．（2023九上·浙江开学考）某电视台为了解本地区电视节目的收视情况，对部分广州开展了“你最喜爱的电视节目”的问卷调查（每人只填写一项），根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图，根据要求回答下列问题：
（1）本次问卷调查共调查了 名观众；
（2）图②中最喜爱“新闻节目”的人数占调查总人数的百分比为 ，“综艺节目”在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为 ；
（3）补全图①中的条形统计图；
（4）现有最喜爱“新闻节目”（记为A），“体育节目”（记为B），“综艺节目”（记为C），“科普节目”（记为D）的观众各一名，电视台要从四人中随机抽取两人参加联谊活动，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的概率．
【答案】（1）200
（2）25%；63°
（3）解：最喜爱“体育节目”的人数为200﹣50﹣35﹣45=70（人），如图：
（4）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，恰好抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的结果数为2，所以恰好抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的概率==．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1） 本次问卷调查共调查共调查的人数为：45÷22.5％=100（人）；
故答案为：200；
（2）最喜爱“新闻节目”的人数占调查总人数的百分比为：；
“综艺节目”在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为：360°×=63°；
故答案为：25％，63°；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用喜欢科普类节目的人数除以其所占的百分比即可求出本次问卷调查共调查的人数；
（2）用最喜爱“新闻节目”的人数除以本次调查的总人数即可求出最喜爱“新闻节目”的人数所占的百分比；用360°×喜欢“综艺节目”的人数所占的百分比即可求出“综艺节目”在扇形统计图中所对应的圆心角的度数；
（3）根据喜欢四类节目的人数之和等于本次调查的总人数可求出最喜欢“体育节目”的人数，从而即可补全条形统计图；
（4）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知：共有12种等可能的结果数，恰好抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的结果数为2，从而根据概率公式即可算出答案.
22．（2023·营口）如图．点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，．．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
∴．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由已知条件可知∠A=∠B，∠ACE=∠BDF，AE=BF，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得BD=AC=2，然后根据CD=AB-AC-BD进行计算.
23．（2023九上·浙江开学考）你的班级正在开展“如何设计拱桥景观灯的悬挂方案”这一数学主题研究活动，请你参加。据以下素材，探索完成任务．
素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决：
（1）任务1：确定桥拱形状，在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
（2）任务2：探究悬挂范围，在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
（3）任务3：拟定设计方案，给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
【答案】（1）解：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，
则顶点为（0，0），且经过点（10，-5）．
设该抛物线函数表达式为，
则，
∴，
∴该抛物线的函数表达式是；
（2）解：∵水位再上涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面至少1m，灯笼长0.4m，
∴悬挂点的纵坐标，
∴悬挂点的纵坐标的最小值是．
当时，，解得或，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是．
（3）解：有两种设计方案
方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼．
∵，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为，
∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则，
若顶点一侧挂3盏灯笼，则，
∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．
方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，
∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则，
若顶点一侧挂4盏灯笼，则，
∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）以拱顶为原点，过该点的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，向右及向上的方向为正方向，建立如图1所示的直角坐标系，
由于此题的定义坐标为（0，0），故设抛物线的解析式为y=ax2，再将点（10，-5）代入即可求出二次项系数a的值，从而即可求出抛物线的解析式；
（2）由水位再上涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面至少1m，灯笼长0.4m，可计算出悬挂点的纵坐标的最小值为-1.8m，进而将y=-1.8m代入（1）所求的函数解析式算出对应的自变量x的值，从而即可求出横坐标的最值范围；
（3）两种方案，方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼；方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为0.8m，分别根据相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，且挂满后成轴对称分布分别介绍即可.
24．（2023九上·浙江开学考）综合与实践：
如图1，已知，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．
（1）观察猜想：
在图1中，线段与的数量关系是 ；
探究证明：
（2）当，把绕点顺时针方向旋转到图2的位置，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：
当，，，再连接，再取的中点，把绕点在平面内自由旋转，如图3．
①请你判断四边形的形状，并说明理由；
②四边形面积的最大值为 ▲ ．
【答案】（1）
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
连接、，如图：
把绕点顺时针方向旋转，
，
在和中，
，
，
，
点、、分别为、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，
，
是等腰三角形；
（3）解：①四边形PMQN是正方形，理由如下：
连接CE、BD，如图：
把绕点旋转，
，
在和中，
，
，
，，
点、、分别为、、的中点，为中点，
是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
，，，，
，
四边形PMQN是菱形，
，，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形PMQN是正方形；
②16．
【知识点】菱形的判定；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）∵AB=AC，AD=AE，
∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE，
在△CDE中，∵P、M分别是DC与DE的中点，
∴PM=CE，
同理MQ=DB，
∴PM=MQ；
故答案为：PM=MQ；
（3）如图，
②由①知四边形PMQN是正方形，PM=CE，
∴要使四边形PMQN面积最大，只需要CE最大，而AC=6，AE=2，
∴点E在CA的延长线上时，CE最大，此时CE=AC+AE=8，
∴PM=4，
∴正方形PMQN面积的最大值为PM2=16.
故答案为：16.
【分析】（1）首先根据线段的和差和等式的性质得出BD=CE，进而根据三角形的中位线定理得PM=CE，MQ=DB，从而即可得出结论；
（2）△PMQ是等腰三角形，理由如下：连接CE、BD，由旋转的性质得∠CAE=∠BAD，从而用SAS判断△CAE≌△BAD，由全等三角形的对应边相等得CE=BD，根据三角形的中位线定理得PM=CE，MQ=DB，从而即可得出PM=QM，据此可得结论；
（3）①四边形PMQN是正方形，理由如下：连接CE、BD，由旋转的性质得∠CAE=∠BAD，从而用SAS判断△CAE≌△BAD，由全等三角形的性质得CE=BD，∠AEC=∠ADB，根据三角形中位线定理得PM=CE=QN，MQ=DB=PN，PN∥BD，QN∥CE，则PM=QN=QM=PN，根据四边相等的四边形是菱形得四边形PMQN是菱形；进而利用周角定义、等腰直角三角形性质、三角形外角性质及平行线性质可推出∠PNQ=90°，从而根据有一个内角为90°的菱形是正方形可得结论；
②由①知四边形PMQN是正方形，PM=CE，故要使四边形PMQN面积最大，只需要CE最大，而AC=6，AE=2，点E在CA的延长线上时，CE最大，此时CE=AC+AE=8，据此即可解决此题了.
1 / 1浙江省部分学校联考2023-2024学年九年级数学上册开学摸底试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（2023八下·东海期末）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023九上·浙江开学考）二次根式中，字母a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八下·合肥期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·浙江开学考）下列说法正确的是（ ）
A．为了解全国中学生的课外阅读情况，应采取全面调查的方式
B．为了解九年级1200名学生模拟考试的数学成绩，从中抽取200名学生的数学成绩进行调查，这个问题中样本容量为1200
C．投掷一枚硬币100次，一定有50次“正面朝上”
D．甲、乙两名学生参加“国学小名士”知识竞赛选拔赛成绩的平均数均为94，方差分别为5.3和4.8，则乙学生的成绩稳定
5．（2023九上·浙江开学考）点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A．（2，4） B．（﹣1，﹣8）
C．（﹣2，﹣4） D．（4，﹣2）
6．（2021·南充）据统计，某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5，5，6，6，6，7，7，下列说法错误的是（ ）
A．该组数据的中位数是6 B．该组数据的众数是6
C．该组数据的平均数是6 D．该组数据的方差是6
7．（2023九上·浙江开学考）如图，在矩形中，、相交于点O，平分交于点E，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=的图象上，若点A的坐标为（﹣2，﹣3），则k的值为（ ）
A．1 B．﹣5 C．4 D．1或﹣5
9．（2023九上·浙江开学考）若点与分别是两个函数图象与上的任一点．当时，有-1≤y1-y2≤1成立，则称这两个函数在上是“相邻函数”．例如，点与分别是两个函数与图象上的任一点，当时，，它在上，-1≤y1-y2≤1成立，因此这两个函数在上是“相邻函数”．若函数与在上是“相邻函数”，求a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·顺平模拟）如图，在矩形内画了一些直线，已知△ADH，△BEF，四边形HGFC的面积分别是12、32、96，那么图中阴影部分的面积是（ ）
A．48 B．52 C．60 D．108
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2023九上·浙江开学考）“七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．如图，一只小虫在七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在阴影部分的概率是 .
12．（2023八下·浦江月考）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为242万元，如果每月比上月增长的百分数相同，设平均每月的增长率为x，则可列方程 ．
13．（2023九上·浙江开学考）在一个不透明的口袋中，装有4个红球和若干个白球，这些球除颜色外其余都相同，如果摸到红球的概率是，那么口袋中有白球 个.
14．（2023九上·浙江开学考）已知一次函数和的图象交于点，则二元一次方程组的解是 ．
15．（2023九上·浙江开学考）如图，的顶点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，点C，点D在轴上，AD与y轴交于点E，若，则的值为 ．
16．（2019八下·乌兰浩特期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，将纸片沿过点C的直线翻折，使点B恰好落在x轴上的点B′处，折痕交AB于点D．若OC=9， ，则折痕CD所在直线的解析式为 ．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题要求写出必要的解答过程）
17．（2021八下·杭州期末）
（1）计算： ；
（2）解方程： .
18．（2023九上·浙江开学考）先化简，再求值，；其中a=
19．（2023九上·浙江开学考）如图，设反比例函数的解析式为y＝（k＞0）．
（1）若反比例函数与正比例函数y＝2x的图象有一个交点的纵坐标为2，求k的值；
（2）若反比例函数的图象与过点M（﹣2，0）的直线l：y＝kx+b的图象交于A、B两点，如图，当△ABO的面积为12时，求直线l的解析式．
20．（2023九上·浙江开学考）在平面直角坐标系中按要求画图：
（1）画出平移后的图形，使点的对应点坐标为．
（2）画出关于原点成中心对称的．
21．（2023九上·浙江开学考）某电视台为了解本地区电视节目的收视情况，对部分广州开展了“你最喜爱的电视节目”的问卷调查（每人只填写一项），根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图，根据要求回答下列问题：
（1）本次问卷调查共调查了 名观众；
（2）图②中最喜爱“新闻节目”的人数占调查总人数的百分比为 ，“综艺节目”在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为 ；
（3）补全图①中的条形统计图；
（4）现有最喜爱“新闻节目”（记为A），“体育节目”（记为B），“综艺节目”（记为C），“科普节目”（记为D）的观众各一名，电视台要从四人中随机抽取两人参加联谊活动，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的概率．
22．（2023·营口）如图．点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，．．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
23．（2023九上·浙江开学考）你的班级正在开展“如何设计拱桥景观灯的悬挂方案”这一数学主题研究活动，请你参加。据以下素材，探索完成任务．
素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决：
（1）任务1：确定桥拱形状，在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
（2）任务2：探究悬挂范围，在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
（3）任务3：拟定设计方案，给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
24．（2023九上·浙江开学考）综合与实践：
如图1，已知，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．
（1）观察猜想：
在图1中，线段与的数量关系是 ；
探究证明：
（2）当，把绕点顺时针方向旋转到图2的位置，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：
当，，，再连接，再取的中点，把绕点在平面内自由旋转，如图3．
①请你判断四边形的形状，并说明理由；
②四边形面积的最大值为 ▲ ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此逐项判断即可.
2．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得a+2≥0，
解得a≥-2.
故答案为：A.
【分析】由二次根式的被开方数不能为负数，建立不等式，求解即可.
3．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A、 ，故此选项不符合题意；
B、 ，故此选项不符合题意；
C、 ，故此选项不符合题意；
D、 ，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的性质计算求解即可。
4．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；概率的意义；方差
【解析】【解答】解：A、 为了解全国中学生的课外阅读情况，应采取抽样调查的方式，故此选项错误，不符合题意；
B、 为了解九年级1200名学生模拟考试的数学成绩，从中抽取200名学生的数学成绩进行调查，这个问题中样本容量为200 ，故此选项错误，不符合题意；
C、投掷一枚硬币100次，可能有50次“正面朝上”，也可能没有或超过50次“正面朝上”，故此选项错误，不符合题意；
D、∵甲、乙两名学生参加“国学小名士”知识竞赛选拔赛成绩的平均数均为94，方差分别为5.3和4.8，而5.3＞4.8，∴乙学生的成绩稳定，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】全面调查数据准确，但耗时费力；抽样调查省时省力，但数据不够准确；一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此判断A选项；总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，据此可判断B选项；投掷一枚硬币正面朝上的可能性是，故投掷一枚硬币100次，可能有50次“正面朝上”而不是一定有50次，据此可判断C选项；在平均数一样的情况下，方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定，据此可判断D选项.
5．【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点（2，-4） 在反比例函数的图象上，
∴k=2×（-4）=-8，
A、∵2×4=8≠-8，∴此选项中的点没有在该函数的图象上，故此选项错误，不符合题意；
B、∵-1×（-8）=8≠-8，∴此选项中的点没有在该函数的图象上，故此选项错误，不符合题意；
C、∵-2×（-4）=8≠-8，∴此选项中的点没有在该函数的图象上，故此选项错误，不符合题意；
D、∵4×（-2）=-8，∴此选项中的点在该函数的图象上，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由点（2，-4） 在反比例函数的图象上，可求出k的值，进而根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积都等于比例系数k的值，从而即可一 一判断得出答案.
6．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、把这些数从小到大排列为：5，5，6，6，6，7，7，则中位数是6，故本选项说法正确，不符合题意；
B、∵6出现了3次，出现的次数最多，∴众数是6，故本选项说法正确，不符合题意；
C、平均数是（5+5+6+6+6+7+7）÷7＝6，故本选项说法正确，不符合题意；
D、方差= ×[2×（5 6）2＋3×（6 6）2＋2×（7 6）2]＝ ，故本选项说法错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此可对A，B作出判断；利用平均数公式求出这组数据的平均数，可对C作出判断；利用方差公式求出该组数据的方差，可对D作出判断.
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠BAD=90°，OB=OA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=BAD=45°，
∵∠CAE=15°，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴OB=AB，∠ABO=60°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=30°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=45°，
∴∠BAE=∠AEB=45°，
∴AB=BE，
∴OB=BE，
∴∠BOE=（180°-∠OBE）÷2=75°.
故答案为：B.
【分析】由矩形性质得AD∥BC，∠BAD=90°，OB=OA，由角平分线性质及角的和差可得∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，进而根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△OAB是等边三角形，由等边三角形性质得OB=AB，∠ABO=60°，再由角的和差算出∠OBC的度数，接着利用平行线的性质及角平分线定义可推出∠BAE=∠AEB=45°，由等角对等边及等量代换可得OB=BE，进而根据等边对等角及三角形内角和定理可求出∠BOE的度数.
8．【答案】D
【知识点】矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】根据矩形的对角线将矩形分成面积相等的两个直角三角形，找到图中的所有矩形及相等的三角形，即可推出S四边形CEOF=S四边形HAGO，根据反比例函数比例系数的几何意义即可求出k2+4k+1=6，再解出k的值即可。
【解答】如图：
∵四边形ABCD、HBEO、OECF、GOFD为矩形，
又∵BO为四边形HBEO的对角线，OD为四边形OGDF的对角线，
∴S△BEO=S△BHO，S△OFD=S△OGD，S△CBD=S△ADB，
∴S△CBD﹣S△BEO﹣S△OFD=S△ADB﹣S△BHO﹣S△OGD，
∴S四边形CEOF=S四边形HAGO=2×3=6，
∴xy=k2+4k+1=6，
解得，k=1或k=﹣5．
故选D．
【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义、矩形的性质、一元二次方程的解法，关键是判断出S四边形CEOF=S四边形HAGO．
9．【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵函数y=x2-x与y=ax在0≤x≤2上是“相邻函数”，
∴函数y=x2-(a+1)x在0≤x≤2上-1≤y≤1，
根据抛物线y=x2-(a+1)x的对称轴位置不同，分四种情况：
①当，即a≤-1时，y最小=0，y最大=4-2（a+1）≤1，解得a≥，∴此种情况无解；
②当0≤≤1，即-1≤a≤1时，y最小=，y最大=4-2（a+1）≤1，解得≤a≤1；
③当1≤≤2，即1＜a≤-3时，y最小=，y最大=0，解得-3≤a≤1，∴此种情况无解；
④当2＜，即a＞3时，y最小=4-2（a+1）≥-1，y最大=0，解得a≤，∴此种情况无解，
综上可知，函数y=x2-x与y=ax在0≤x≤2上是“相邻函数”，则a的取值范围为：≤a≤1.
故答案为：B.
【分析】由函数y=x2-x与y=ax在0≤x≤2上是“相邻函数”，构造函数y=x2-(a+1)x，根据抛物线的对称轴位置不同，令其最大值≤1，最大值≥-1，解关于字母a的不等式组，即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：设矩形的面积为S，作EM⊥CD，AN⊥BC
∵S△CDE= ，S△ABC =
又∵四边形为矩形
∴AN=CD，EM=BC
则S△CDE=S△ABC= S，
S＋96=S△CDE+S△ABC＋12＋32＋S阴影
∴S阴影= S- S△CDE- S△ABC-12-32+96
∴S阴影= S- S - S -12-32+96
S阴影=96-32-12=52．
故答案为：B
【分析】设矩形的面积为S，作EM⊥CD，AN⊥BC，可求出S△CDE=S△ABC= S，由图形可得S＋96=S△CDE+S△ABC＋12＋32＋S阴影，据此可求出阴影部分的面积.
11．【答案】
【知识点】七巧板；几何概率
【解析】【解答】解：由图可知：阴影部分的面积是整个图形面积的，
∴ 一只小虫在七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在阴影部分的概率是
故答案为：.
【分析】根据七巧板对应图形的面积，找出阴影部分面积占整个图形面积的比例即可得出答案.
12．【答案】200（1+x）2＝242
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得：200（1+x）2=242；
故填：200（1+x）2=242.
【分析】根据题目条件即可得出关于x的一元二次方程.
13．【答案】8
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：设袋子中有白色小球x个，则，
解得x=8，
经检验x=8是原方程的解，
∴口袋中白色小球的个数为8个.
故答案为：8.
【分析】设袋子中有白色小球x个，根据口袋中红色小球的个数比上口袋中小球的总个数等于从袋子中随机摸出一个小球是红色小球的概率列出方程，求解即可.
14．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵一次函数y=4x-1与y=2x+3的图象交于点P（2，7），
∴二元一次方程组 的解是.
故答案为：.
【分析】根据两一次函数图象交点的坐标，就是两一次函数解析式组成方程组的解，可直接得出答案.
15．【答案】10
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图，过点A作AF⊥x轴于点F，易得四边形ABOF是矩形，
∵S△BCE=5，
∴平行四边形ABCD的面积=2S△BCE=10，
∵平行四边形ABCD的面积=矩形ABOF的面积，
∴矩形ABOF的面积为10，
∴|k|=10，
∴k=±10，
∵反比例函数图象在第一象限，
∴k=10.
故答案为：10.
【分析】由平行四边形及三角形的面积计算公式及同底同高的三角形面积等于平行四边形面积的一半可得平行四边形ABCD的面积=2S△BCE=10，根据等底等高的平行四边形与矩形的面积相等可得平行四边形ABCD的面积=矩形ABOF的面积，进而根据反比例函数k的几何意义可得|k|=10，最后结合反比例函数图象所在的象限即可得出k的值.
16．【答案】y= x+9
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵OC=9， ，
∴BC=15，
∵四边形OABC是矩形，
∴AB=OC=9，OA=BC=15，∠COA=∠OAB=90°，
∴C(0，9)，
∵折叠，
∴B′C=BC=15，B′D=BD，
在Rt△COB′中，OB′= =12，
∴AB′=15-12=3，
设AD=m，则B′D=BD=9-m，
Rt△AB′D中，AD2+B′A2=B′D2，
即m2+32=(9-m)2，
解得m=4，
∴D(15，4)
设CD所在直线解析式为y=kx+b，
把C、D两点坐标分别代入得： ，
解得： ，
∴CD所在直线解析式为y= x+9，
故答案为：y= x+9.
【分析】根据OC=9， 先求出BC的长，继而根据折叠的性质以及勾股定理的性质求出OB′的长，求得AB′的长，设AD=m，则B′D=BD=9-m，在Rt△AB′D中利用勾股定理求出x的长，进而求得点D的坐标，再利用待定系数法进行求解即可.
17．【答案】（1）解：原式
= ；
（2）解：配方得： ，即 ，
开方得： ，
解得： ， .
【知识点】二次根式的加减法；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将各个根式化为最简二次根式可得：原式=，据此计算；
（2）对原方程进行配方，可得(x+3)2=10，然后开方计算即可.
18．【答案】解：原式
，
当时，
原式.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】将被除式的分子、分母分别分解因式，同时将除法转变为乘法，进而计算分式乘法，然后根据同分母分式减法法则计算出最简结果，最后将a的值代入化简后的结果计算可得答案.
19．【答案】（1）解：∵反比例函数与正比例函数y＝2x的图象有一个交点的纵坐标为2，
把y＝2代入y＝2x求得x＝1，
∴反比例函数与正比例函数y＝2x的图象交点的坐标为（1，2），
把（1，2）代入y＝（k＞0），得到3k＝2，
∴k＝；
（2）解：把M（﹣2，0）代入y＝kx+b，可得b＝2k，
∴y＝kx+2k，
解，
得或，
∴B（﹣3，﹣k），A（1，3k），
∵△ABO的面积为12，
∴ 2 3k+ 2 k＝12，
解得k＝3，
∴直线l的解析式为y＝3x+6．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）把y＝2代入y＝2x求得x的值，从而可得正比例函数与反比例函数交点的坐标，将交点的坐标代入y＝（k＞0）即可求出k的值；
（2）把M（﹣2，0）代入y＝kx+b，可得b＝2k，则直线l为y＝kx+2k，联立直线l与反比例函数的解析式组成方程组，求解可得A、B的坐标，进而根据三角形面积计算公式，由S△AOB=S△AOM+S△BOM建立方程，求解可得k的值，从而即可得出直线l的解析式.
20．【答案】（1）解：结合图形可知：，
根据点的对应点坐标为，作图，
如图所示：
，即为所求；
（2）解：如图所示：
，即为所求．
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）读出A点坐标，观察A与A1的坐标得出平移方式：将△ABC向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，据此分别找出B、C平移后的对应点B1、C1，再连接即可得出所求的△A1B1C1；
（2）利用方格纸的特点，分别作出点A、B、C关于点O的对称点A2、B2、C2，再连接即可.
21．【答案】（1）200
（2）25%；63°
（3）解：最喜爱“体育节目”的人数为200﹣50﹣35﹣45=70（人），如图：
（4）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，恰好抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的结果数为2，所以恰好抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的概率==．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1） 本次问卷调查共调查共调查的人数为：45÷22.5％=100（人）；
故答案为：200；
（2）最喜爱“新闻节目”的人数占调查总人数的百分比为：；
“综艺节目”在扇形统计图中所对应的圆心角的度数为：360°×=63°；
故答案为：25％，63°；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用喜欢科普类节目的人数除以其所占的百分比即可求出本次问卷调查共调查的人数；
（2）用最喜爱“新闻节目”的人数除以本次调查的总人数即可求出最喜爱“新闻节目”的人数所占的百分比；用360°×喜欢“综艺节目”的人数所占的百分比即可求出“综艺节目”在扇形统计图中所对应的圆心角的度数；
（3）根据喜欢四类节目的人数之和等于本次调查的总人数可求出最喜欢“体育节目”的人数，从而即可补全条形统计图；
（4）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知：共有12种等可能的结果数，恰好抽到最喜爱“B”和“C”两位观众的结果数为2，从而根据概率公式即可算出答案.
22．【答案】（1）证明：在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
∴．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由已知条件可知∠A=∠B，∠ACE=∠BDF，AE=BF，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得BD=AC=2，然后根据CD=AB-AC-BD进行计算.
23．【答案】（1）解：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，
则顶点为（0，0），且经过点（10，-5）．
设该抛物线函数表达式为，
则，
∴，
∴该抛物线的函数表达式是；
（2）解：∵水位再上涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面至少1m，灯笼长0.4m，
∴悬挂点的纵坐标，
∴悬挂点的纵坐标的最小值是．
当时，，解得或，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是．
（3）解：有两种设计方案
方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼．
∵，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为，
∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则，
若顶点一侧挂3盏灯笼，则，
∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．
方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，
∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则，
若顶点一侧挂4盏灯笼，则，
∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）以拱顶为原点，过该点的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，向右及向上的方向为正方向，建立如图1所示的直角坐标系，
由于此题的定义坐标为（0，0），故设抛物线的解析式为y=ax2，再将点（10，-5）代入即可求出二次项系数a的值，从而即可求出抛物线的解析式；
（2）由水位再上涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面至少1m，灯笼长0.4m，可计算出悬挂点的纵坐标的最小值为-1.8m，进而将y=-1.8m代入（1）所求的函数解析式算出对应的自变量x的值，从而即可求出横坐标的最值范围；
（3）两种方案，方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼；方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为0.8m，分别根据相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，且挂满后成轴对称分布分别介绍即可.
24．【答案】（1）
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
连接、，如图：
把绕点顺时针方向旋转，
，
在和中，
，
，
，
点、、分别为、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，
，
是等腰三角形；
（3）解：①四边形PMQN是正方形，理由如下：
连接CE、BD，如图：
把绕点旋转，
，
在和中，
，
，
，，
点、、分别为、、的中点，为中点，
是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
，，，，
，
四边形PMQN是菱形，
，，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形PMQN是正方形；
②16．
【知识点】菱形的判定；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）∵AB=AC，AD=AE，
∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE，
在△CDE中，∵P、M分别是DC与DE的中点，
∴PM=CE，
同理MQ=DB，
∴PM=MQ；
故答案为：PM=MQ；
（3）如图，
②由①知四边形PMQN是正方形，PM=CE，
∴要使四边形PMQN面积最大，只需要CE最大，而AC=6，AE=2，
∴点E在CA的延长线上时，CE最大，此时CE=AC+AE=8，
∴PM=4，
∴正方形PMQN面积的最大值为PM2=16.
故答案为：16.
【分析】（1）首先根据线段的和差和等式的性质得出BD=CE，进而根据三角形的中位线定理得PM=CE，MQ=DB，从而即可得出结论；
（2）△PMQ是等腰三角形，理由如下：连接CE、BD，由旋转的性质得∠CAE=∠BAD，从而用SAS判断△CAE≌△BAD，由全等三角形的对应边相等得CE=BD，根据三角形的中位线定理得PM=CE，MQ=DB，从而即可得出PM=QM，据此可得结论；
（3）①四边形PMQN是正方形，理由如下：连接CE、BD，由旋转的性质得∠CAE=∠BAD，从而用SAS判断△CAE≌△BAD，由全等三角形的性质得CE=BD，∠AEC=∠ADB，根据三角形中位线定理得PM=CE=QN，MQ=DB=PN，PN∥BD，QN∥CE，则PM=QN=QM=PN，根据四边相等的四边形是菱形得四边形PMQN是菱形；进而利用周角定义、等腰直角三角形性质、三角形外角性质及平行线性质可推出∠PNQ=90°，从而根据有一个内角为90°的菱形是正方形可得结论；
②由①知四边形PMQN是正方形，PM=CE，故要使四边形PMQN面积最大，只需要CE最大，而AC=6，AE=2，点E在CA的延长线上时，CE最大，此时CE=AC+AE=8，据此即可解决此题了.
1 / 1
