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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册，第十二章
课标要求 要求掌握全等三角形的概念，知道图形的特征、共性与区别，强调通过实验探究、直观发现、推理论证来研究图形，从基本事实出发推导图形的几何性质和定理，在用几何直观理解几何基本事实的基础上，经历得到和验证数学结论的过程，感悟具有传递性的数学逻辑，形成几何直观和推理能力;经历尺规作图的的过程，增强动手能力，能想象出通过尺规作图的操作所形成的的图形，理解和掌握尺规作图的基本原理和方法，发展空间观念和空间想象能力.【具体内容要求】1.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。2.掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。3.掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。4.掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等。5.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。6.证明定理:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。7.能用尺规作图:已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形;已知一直角边和斜边作直角三角形.会作一个角的角的平分线.8.理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等;反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
内容分析 中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似，本章以三角形为例研究两个图形间一种特殊的关系---全等，研究的内容主要包括全等三角形的性质和判定.对全等三角形研究的问题和研究方法将为后面相似的学习提供思路，而且全等是一种特殊的相似，全等三角形的内容是学生学习相似三角形的重要基础.本章还借助全等三角形进一步培养学生的推理论证能力，主要包括用分析法分析条件与结论的关系，用综合法书写证明格式，以及掌握证明几何命题的一般过程.
学情分析 学生已学过线段、角、相交线、平行线以及三角形的有关知识，初步掌握了简单说理的方法,为学习全等三角形的有关内容作了准备。已初步具备一定的归纳、猜想能力，但个别学生在理解、应用上还须借助老师、同学的帮助，通过教师的指导和同伴的帮助，也会有所收获。对于一小部分基础薄弱、自学能力稍差的学生要提供赏识性评价教学策略，给予个别关照以及适当的精神激励，让他们逐步树立自尊心与自信心，从而完成自己的学习任务。
单元目标 教学目标知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；能找出两个全等三角形的对应角、
对应边；
2.知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；能够运用全等三角形的性质解决简单的问题；
3.经历全等三角形概念的建构过程，经历观察、操作、探究、归纳、总结等过程，获得全等三角形的性质和寻找对应边和对应角的方法；4.掌握全等三角形的判定方法，应用判定方法证明三角形全等及解决简单的实际问题；5.让学生在观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验；在探究运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣。6.掌握角平分线的画法:应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理:能够记住并证明角平分线的性质；初步会应用角平分线的性质解决问题，并了解这类题的辅助线的作法.通过对证明方法与思路的探究，进一步激发学生对数学证明的兴趣和掌握综合法的信心，养成独立思考，合作交流的良好学习习惯；
7.在图形变换的实际操作过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉；教学重点、难点教学重点：(1)三角形全等的性质和判定以及角平分线的性质.(2)使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式.教学难点：(1)掌握用综合法证明的格式.(2)选用合适的判定证明两个三角形全等.(3)初步理解图形的全等变换，从而恰当添加辅助线.
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数12.1全等三角形112.2 全等三角形的判定412.3角平分线的性质2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务12.1全等三角形1.理解并掌握全等三角形的概念及其基本性质. 2.能找准全等三角形的对应边，理解全等三角形的对应角相等. 3.能进行简单的推理和计算，并解决一些实际问题.学生知道通过变换后三角形全等，并利用全等三角形的性质解题任务1：学生通过观察图片理解全等三角形的概念.任务2：通过平移，旋转，对称变换知道全等三角形对应边，对应角.任务3：思考全等三角形的性质.12.2全等三角形的判定1.掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.2.掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.3.掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等.4.证明定理:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.5.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.会利用定理判定三角形全等任务1：通过学生动手操作得出三角形全等的判定定理SSS任务2：通过学生画图得出三角形全等判定定理SAS任务3：通过学生动手画三角形得出三角形全等判定定理ASA,AAS.任务4：对直角三角形进行研究得出直角三角形的判定定理HL.12.3角平分线的性质1.理解角平分线的概念(新增)，探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等;2.角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上.学生能根据角平分线的性质解决实际问题任务1：学生利用已学知识证明角平分线的性质.任务2：根据实际问题思考得出角平分线性质定理的逆定理.
《第十二章 全等三角形》单元教学设计
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分课时教学设计
12.3.2角平分线的判定 教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的教学内容主要是探索并证明角平分线的判定定理，会用角平分线的判定定理解决问题．本节课是在已经学习了证明直角三角形全等和角平分线的性质基础上进行教学的．角平分线的性质和判定为证明线段及角相等开辟了新的途径，简化了证明过程，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面的学习奠定基础．因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律．
学习者分析 本节课教材在学生已探索过的角平分线的基础上，让学生回顾这一性质及探究过程，尝试让学生完成性质定理的证明，并类比研究线段垂直平分线性质定理的逆定理过程，通过让学生构造角平分线性质定理的逆命题引导学生验证这个命题的真假——即证明，再次印证证明的必要性.同时角平分线的性质定理和判定定理又分别是证明线段相等和角相等的方法，对学生后续学习几何有非常大的作用.通过“做一做”，力图使学生掌握尺规作角平分线这一基本作图.并使学生巩固作图的方法和要求，即：写已知、求作、作法，说明理由。
教学目标 1.理解角平分线的判定定理. 2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题. 3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
教学重点 角的平分线的判定定理的证明及应用.
教学难点 角的平分线的判定.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等. 几何符号语言： ∵ 点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB.
∴ PD=PE 学生活动1： 学生思考，回答问题 活动意图说明：复习旧知识，为学习新课做准备环节二：新知探究教师活动2： 问题1：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500 m，这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1∶20 000) 角的平分线上的点到角的两边距离相等。那么，到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？请你试着证明一下。 教师归纳总结并板书：角平分线判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 已知，如图，P为∠AOB内部一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上. 证明：经过点P作射线OC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB , ∴∠PDO=∠PEO=90°, 在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO (HL) , ∴∠POD=∠POE即点P在∠AOB的平分线上. 几何语言： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 归纳： 角的平分线的性质与判定定理的关系： (1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备． (2)点在角的平分线上点到这个角两边的距离相等． (3)性质反映只要是角平分线上的点，到角两边的距离就一定相等；判定定理反映只要是到角两边距离相等的点，都应在角的平分线上． 学生活动2： 学生根据自学要求独立操作，然后互相交流各自的结论．教师可以抽一小组进行展讲，其他各小组认真倾听，积极补充、质疑提问，对展示小组进行评价． 师生共同总结归纳 活动意图说明：经历角平分线的判定定理的探索过程，让学生感受知识的产生可以来自于数学自身．结合推理证明，进一步感受数学知识的系统性和逻辑性.环节三：问题解决教师活动3： 如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米. 这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1:20000)？ 解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm ，D即为所求. 根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.学生活动3： 学生分小组讨论并完成课前的问题 活动意图说明： 用学过的知识解决实际问题，让学生体会数学的用处，进一步感受数学知识的系统性和逻辑性环节四：典例精析教师活动4： 例1.如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为D，E，F.
∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴ PD=PE，
同理，PE=PF，
∴ PD=PE=PF，
即P到三边AB，BC，CA的距离相等. 学生活动4： 有思路的同学独立解答，没有思路的同学小组讨论。并请一位同学汇报结果。 活动意图说明：通过训练，巩固新知加深对角平分线的判定的运用和理解.
板书设计 角平分线的判定 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若 ∠A＝40°，则∠BOC的度数为( ) A．110° B．120° C．130° D．140° 2.若△ABC内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为△ABC( )的交点． A．角平分线 B．高线 C．中线 D．边的垂线 3.如图，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=6cm，当PE=____cm时,点P在∠AOB的平分线上. 4.如图,已知PA⊥ON于A,PB⊥OM于B,且PA=PB,∠MON=50°,∠OPC=30°, 则∠PCA=______. 选做题： 5.如图，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A、B不与点O重合），在∠MON的内部，△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°. 求证：点P在∠MON的平分线上. 【综合拓展类作业】 6.如图，有一块三角形的闲地，其三边长分别为30m、40m、50m，现要把它分成面积比为3:4:5的三部分，分别种植不同的花，请你设计一种方案，并简要说明理由.
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，P是△ABC外部一点，PD⊥AB，交AB的延长线于点D，PE⊥AC，交AC的延长线于点E，PF⊥BC于点F，且PD=PE=PF.关于点P有下列三种说法：
①点P在∠DBC的平分线上；
②点P在∠BCE的平分线上；
③点P在∠BAC的平分线上.
其中说法正确的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 2.如图，直线l1，l2，l3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有____处. 3.如图所示，已知△ABC的周长是10，OC、OB分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=1，则△ABC的面积是_______. 选做题： 4. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由． 【综合拓展类作业】 5. 如图，电信部门要在 S 区修建一座发射塔 P. 按照设计要求，发射塔 P 到两个城镇 A、B 的距离必须相等，到两条高速公路 m 和 n 的距离也必须相等，发射塔 P 应建在什么位置 在图上标出它的位置. (尺规作图：只保留作图痕迹，不写作图过程).
教学反思 本节课开头设计的探究活动,旨在丰富学生对角平分线性质的感知,有利于学生借助直观图从而准确地用文字语言揭示角平分线的性质.由于部分学生常常把“过角平分线上一点向角两边画垂线段”与“过角平分线上一点画角平分线的垂线”混为一谈,因此学生赢正确画出符合要求的图形,从直观上以及三角板的正确使用上都作了恰当的铺垫,同时也为定理的推理论证作准备.通过学生自己动后操作、自己推导、自己发现,从而得到角平分线的性质定理及其逆定理,充分发挥学生的探究意识,使学生在学习中体验并掌握合作交流的学习方法,同时进一步锻炼学生的数学语言表达能力,能写出规范的证明过程.
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12.3.2角平分线的判定
人教版八年级上册
本节课的教学内容主要是探索并证明角平分线的判定定理，会用角平分线的判定定理解决问题．本节课是在已经学习了证明直角三角形全等和角平分线的性质基础上进行教学的．角平分线的性质和判定为证明线段及角相等开辟了新的途径，简化了证明过程，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面的学习奠定基础．因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律．
教学目标
1.理解角平分线的判定定理.
2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.
3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
新知导入
性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
(1) 点在角的平分线上；
(2) 到角两边的距离(垂直).
证明线段相等.
应用格式：
∵ OP 是∠AOB 的平分线，
∴ PD = PE.
PD⊥OA，PE⊥OB，
定理的作用：
新知讲解
如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？
S
角的平分线上的点到角的两边距离相等。那么，到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？请你试着证明一下。
新知讲解
已知，如图，P为∠AOB内部一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上.
猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
证明：经过点P作射线OC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB ,
∴∠PDO=∠PEO=90°,
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
∴Rt△PDO ≌Rt△PEO (HL) ,
∴∠POD=∠POE ,即点P在∠AOB的角平分线上.
归纳总结
角平分线的判定定理
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
判断点是否在角的平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，
∴ 点 P 在∠AOB 的角平分线上.
定理的作用：
新知讲解
角的平分线的性质与判定定理的关系：
(1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备．
(2)点在角的平分线上 点到这个角两边的距离相等．
(3)性质反映只要是角平分线上的点，到角两边的距离就一定相等；
判定定理反映只要是到角两边距离相等的点，都应在角的平分线上．
解决问题
如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米. 这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1:20000)？
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ，D即为所求.
【点睛】根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
D
C
典例精析
D
E
F
A
B
C
P
N
M
例、 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P，
求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.
证明：过点 P 作 PD，PE，PF 分别垂直于 AB，BC，CA，垂足分别为 D，E，F.
∵ BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，
∴ PD = PE.
同理，PE = PF.
∴ PD = PE = PF.
即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( )
A．110° B．120° C．130° D．140°
2.若△ABC内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为△ABC( )的交点．
A．角平分线 B．高线
C．中线 D．边的垂线
A
A
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=6cm，当PE=____cm时,点P在∠AOB的平分线上.
4.如图,已知PA⊥ON于A,PB⊥OM于B,且PA=PB,∠MON=50°,∠OPC=30°,
则∠PCA=______.
6
55°
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A、B不与点O重合），在∠MON的内部，△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°.
求证：点P在∠MON的平分线上.
C
D
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
证明：过点P分别作PC⊥OM，PD⊥ON，垂足分别为C，D，
则∠ACP=∠BDP=90°.
在四边形OCPD中， ∠CPD=360°-∠OCP-∠COD-∠ODP=120°，
∴∠APB=∠CPD. ∴∠APB-∠APD =∠CPD-∠APD，即∠APC=∠BPD.
在△APC和△BPD中，
∴△APC≌△BPD（AAS）.
∴PC=PD，即点P在∠MON的平分线上.
课堂练习
【综合拓展类作业】
6.如图，有一块三角形的闲地，其三边长分别为30m、40m、50m，现要把它分成面积比为3:4:5的三部分，分别种植不同的花，请你设计一种方案，并简要说明理由.
解:点P即为所求，即△ABC分为△ABP、△ACP、△BCP三个小三角形，即可符合面积比为3:4:5.
课堂总结
结论
作用
三角形的角平分线相交于内部一点，
该点到三角形三边的距离相等
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
角平分线的判定
判断一个点是否在角的平分线上
内容
板书设计
角平分线的判定
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，P是△ABC外部一点，PD⊥AB，交AB的延长线于点D，PE⊥AC，交AC的延长线于点E，PF⊥BC于点F，且PD=PE=PF.
关于点P有下列三种说法：
①点P在∠DBC的平分线上；
②点P在∠BCE的平分线上；
③点P在∠BAC的平分线上.
其中说法正确的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
D
C
A
E
B
D
F
P
┐
┐
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2.如图，直线l1，l2，l3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有____处.
3.如图所示，已知△ABC的周长是10，OC、OB分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=1，则△ABC的面积是_______.
4
5
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF 的距离相等，
∴点D在∠EPF 的平分线上．
∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
3
4
1
2
P
作业布置
【综合拓展类作业】
5. 如图，电信部门要在 S 区修建一座发射塔 P. 按照设计要求，发射塔 P 到两个城镇 A、B 的距离必须相等，到两条高速公路 m 和 n 的距离也必须相等，发射塔 P 应建在什么位置 在图上标出它的位置.
(尺规作图：只保留作图痕迹，不写作图过程).
B
A
O
S
P
解：如右图所示.
谢谢
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