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（总课时08）§1.3正方形的性质与判定 （2）
【学习目标】证明正方形的判定定理；应用正方形判定定理解决问题.
【学习重难点】正方形的判定定理及其应用；中点四边形的条件及结论．
【导学过程】
一.知识回顾
如图1，已知P是正方形ABCD对角线BD上的一点，且BP=BC，则∠ACP=_____°．
二.探究新知：
1．引入（1）如图，将一张长方形的纸对折两次，然后剪下一个角，
打开，怎样剪才能剪出一个正方形？______________.
（2）同学小组合作，做剪纸活动，老师展示同学们的成果：
2．归纳:正方形的判定方法：
（1）定义法：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
（2）定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形；（3）定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形；
（4）定理3：有一个角是直角的菱形是正方形；（5）定理4：对角线相等的菱形是正方形．
3.思考：__________________矩形是正方形；____________________菱形是正方形；
____________________平行四边形是正方形；______________________四边形是正方形.
三.典例与练习
例1.如图2，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF//CE，CF//BE．
求证：四边形BECF是正方形．
练习：
1.如图3，E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE得到四边形EFGH，我们把这种四边形叫做中点四边形．如图4，当ABCD是正方形时，中点四边形EFGH是什么图形？请说明理由．
2.(1)当ABCD是任意四边形时，中点四边形EFGH是什么图形？ ；
(2)当ABCD是平行四边形时，中点四边形EFGH是什么图形？ ；
(3)当ABCD是菱形时，中点四边形EFGH是什么图形？ ；
(4)当ABCD是矩形时，中点四边形EFGH是什么图形？ .
例2.四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作
EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
（1）如图5，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是35 时，求∠EFC的度数.
练习：3.如图6，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，CD的垂
直平分线分别交AC，CD，BC于点E，O，F.求证:四边形CEDF是正方形.
四.课堂小结：1.灵活运用正方形的性质定理和判定定理；
2.判定一个四边形是正方形：首先判定它是矩形（菱形），再判定它是菱形（矩形）；
3.正方形的中点四边形是： ；中点四边形是正方形的四边形是： 四边形。
五.分层过关：
1．下列说法不正确的是( )
A．一组邻边相等的矩形是正方形,B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形.
2．如图7，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB=AC；②∠ABC=90°；③AC=BD；
④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④
3．如图8．在边长为2的正方体ABCD中，M为边AD的中点，延长MD到点E，使ME=MC，以DE为边作正方形，点G在边CD上，则DG的长为（ ）A．-1 B．3- C．+1 D．-1
如图9，在正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，
FC交BD于O，则∠DOC的度数为 ．
如图10，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE=4，过点E作
EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点，若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为 ．
(2019.罗湖）如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，
E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AED=2∠EAD，AB=，求证四边形ABCD的面积．
思考题：1.(2019·江苏中考真题）如图，线段AB=8，射线BG⊥AB，
P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP
两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP=∠BAP，直线CE与线段AB相交
于点F（点F与点A、B不重合）．
（1）求证：△AEP≌△CEP；（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；
（3）求△AEF的周长．
2.在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限。（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标；
（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；
（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由.
B
C
A
D
P
图1
F
E
A
B
C
D
图2
A
D
B
E
H
F
G
C
图4
C
D
H
G
F
B
E
A
图3
解：_____________________________________
__________________________________________________________________________________
图5
图6
D
B
A
C
O
图7
E
A
B
C
D
F
G
M
图8
B
C
D
A
E
F
G
M
N
图10
图9
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（总课时08）§1.3正方形的性质与判定 (2)
一.选择题：
1．下列命题中正确的是( D )A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
2.已知在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90 ，下列可以判定四边形是正方形的是（ D ）
A．∠D=90 B．AB=CD C．AC=BD D．BC=CD
3．如图1，下列结论：①四边形ABCD是平行四边形，且AB⊥BC；②四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD；③四边形ABCD是矩形，且AC⊥BD；④四边形ABCD是菱形，且AC=BD．其中能推出四边形ABCD为正方形的有（C）A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④
4.在四边形ABCD中，若AD‖BC，AD=BC，AB=BC，∠B=90 ，则四边形ABCD的形状是（ D ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
5.如图2，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2=AF2+DE2．其中正确的是（ C ）
A.②③ B.②④ C.②③④ D.①③④
二.填空题：
6.在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=BC=CD，试补充一个条件AB∥CD，使四边形ABCD是正方形．
7．一个角是90°或对角线相等的菱形是正方形.
8.如图3，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再补充一个条件就能使矩形ABCD成为正方形，则这个条件是AB=BC（只需填一个条件即可）.
9.如图4，Rt△ABC中，∠ACB=90 ，D,E,,F分别是AB,AC,BC的中点，连接DE,DF,CD，如果AC=BC，那么四边形DECF是_正方形_．
10．如图5，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝2cm，点P从B点出发以1cm/s的速度沿CB延长线运动，运动时间为t秒．以AP为斜边在其上方构造等腰直角△APD．当t＝1秒时，则CD＝4cm，当D运动的路程为4cm时，则P运动时间t＝8秒．
三.解答题：
11.如图6，在中，，平分交于点，于点，于点．求证：四边形是正方形．
证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DFC=90°，∠DEC=90°，
又∵∠ACB=90°，∴四边形DECF是矩形，∵DE=DF，∴矩形DECF是正方形．
12.如图7，已知在中，∠ABC=90 ，先把△ABC绕点B顺时针旋转90 至△DBE后，再把△ABC沿射线AB平移至，DE，FG相交于点H.（1）判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由.（2）连接CG，求证：四边形CBEG是正方形.
解：（1）FG⊥ED．理由如下：∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，∴∠DEB=∠ACB，∵把△ABC沿射线平移至△FEG，∴∠GFE=∠A，∵∠ABC=90°，∴∠A+∠ACB=90°，∴∠DEB+∠GFE=90°，∴∠FHE=90°，∴FG⊥ED；
（2）证明：根据旋转和平移可得∠GEF=90°，∠CBE=90°，CG∥EB，CB=BE，∵CG∥EB，∴∠BCG=∠CBE=90°，∴四边形BCGE是矩形，∵CB=BE，∴四边形CBEG是正方形．
四.提高题：
13．如图，Rt△CEF中，∠C=90°，∠CEF,∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE、CF的垂线，B、D为垂足.(1)求证:四边形ABCD是正方形，(2)已知AB的长为6，求(BE+6)(DF+6)的值，(3)借助于上面问题的解题思路，解决下列问题:若三角形PQR中，∠QPR=45°，一条高是PH，长度为6,QH=2，则HR= .
解（1）证明：∵AD⊥CD，AB⊥CB，∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形，
如图1，过点A作AG⊥EF于点G，∵AF平分∠DFE，AD⊥CD，∴AG=AD，同理可得：AG=AB，∴AB=AD.∴矩形ABCD是正方形.
（2）易证Rt△ADF≌Rt△AGF（HL）.∴DF=GF，
同理可得BE=GE.∴EF=GE+GF=BE+DF.
设BE=EG=x，DF=FG=y，则CE=6－x，CF=6－y，如图2：
在Rt△CEF中，根据勾股定理得：CE2+CF2=EF2，即(6-x)2+(6-y)2=(x-y)2，整理得：xy+6(x+y)=36.∴(BE+6)(DF+6)=(x+6)(y+6)=72.
（3）如图3，作△PRH关于PR对称的△PRN，作△PQH关于PQ对称的△PQM，NR和MQ的延长线交于点K，则PN=PH=6，PM=PH=6，∠2=∠1，∠4=∠3，∠N=∠PHR=90°，∠M=∠PHQ=90°，MQ=HQ=2，NR=HR，∴PN=PM=6，∵∠1+∠3=45°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，即∠NPM=90°，∴四边形PNKM是正方形.∵RQ=RH+HQ=NR+QM，∴由（2）题的结论知：(NR+6)(MQ+6)=72，
即(NR+6)(2+6)=72，解得NR=3，即HR=3.故答案为3.
图5
图4
图1
图2
图3
图6
图7
图8
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（总课时08）§1.3正方形的性质与判定 （2）
【学习目标】证明正方形的判定定理；应用正方形判定定理解决问题.
【学习重难点】正方形的判定定理及其应用；中点四边形的条件及结论．
【导学过程】
一.知识回顾：
如图1，已知P是正方形ABCD对角线BD上的一点，且BP=BC，则∠ACP=_22.5_°
二.探究新知：
1．引入：（1）如图，将一张长方形的纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？剪下一个等腰三角形
（2）同学们小组合作，做剪纸活动，老师展示同学们的成果：
2．归纳：正方形的判定方法：
（1）定义法：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
（2）定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形；（3）定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形；
（4）定理3：有一个角是直角的菱形是正方形；（5）定理4：对角线相等的菱形是正方形．
3.思考：_①定理1，_②定理2_矩形是正方形；_①定理3__②定理4_菱形是正方形；
___定义___平行四边形是正方形；__既是矩形又是菱形的__四边形是正方形
三.典例与练习
例1.如图3，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF//CE，CF//BE．
求证：四边形BECF是正方形．
证：∵BF//CE,CF//BE∴四边形BECF为平行四边形∵矩形ABCD∴∠ABC=∠BCD=90°∵BE平分
∠ABC，CE平分∠BCD∴∠EBC＝45°=∠ECB∴∠E=90°，BE=CE∴平行四边形BECF为正方形
练习：
1.如图4，E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE得到四边形EFGH，我们把这种四边形叫做中点四边形．如图5，当ABCD是正方形时，中点四边形EFGH是什么图形？请说明理由．
2.(1)当ABCD是任意四边形时，中点四边形EFGH是什么图形？平行四边形 ；
(2)当ABCD是平行四边形时，中点四边形EFGH是什么图形？ 平行四边形 ；
(3)当ABCD是菱形时，中点四边形EFGH是什么图形？ 矩形 ；
(4)当ABCD是矩形时，中点四边形EFGH是什么图形？ 菱形 .
例2.四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.（1）如图6，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是35 时，求∠EFC的度数.
解：（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，如图所示∵∠DCA=∠BCA∴EQ=EP,∵∠QEF+∠FEP=90°，∠PED+∠FEP=90°，∴∠QEF=∠PED易证Rt△EQF≌Rt△EPD
∴EF=ED∴矩形DEFG是正方形；
（2）①当DE与AD的夹角为35°时，∠DEP=∠QEF=35°，∴∠EFQ==55°，∠EFC=125°；
②当DE与DC的夹角为35°时，∠DEP=∠QEF=55°，∴∠EFQ=90°-55°=35°，
∠EFC=180°-35°=145°；综上所述，∠EFC=125°或145°.
练习：
3.如图7，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，CD的垂直平分线分别交AC，CD，BC于点E，O，F.求证:四边形CEDF是正方形.
证：∵CD的垂直平分线分别交AC、CD、BC于点E、O、F.
∴EC= ED.FC=FD.∵∠ACB=90°，CD平分∠ACB.∴∠ACD=∠BCD=45°.
又CD⊥EF.∴CE=CF.∴ED=EC=CF= FD，∴四边形CEDF为菱形，
∵∠ACB=90°.∴四边形CEDF为正方形.
四.课堂小结：1.灵活运用正方形的性质定理和判定定理；
2.判定一个四边形是正方形：首先判定它是矩形（菱形），再判定它是菱形（矩形）；
3.正方形的中点四边形是：正方形；中点四边形是正方形的四边形是：对角线互相垂直且相等四边形。
五.分层过关：
1．下列说法不正确的是( D )A．一组邻边相等的矩形是正方形,B．对角线相等的菱形是
正方形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
2．如图8，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB=AC；②∠ABC=90°；③AC=BD；
④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ B ）A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④
3．如图9．在边长为2的正方体ABCD中，M为边AD的中点，延长MD到点E，使ME=MC，以DE为边作正方形，点G在边CD上，则DG的长为（ D ）A．-1 B．3- C．+1 D．-1
4．如图10，在正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为 60 ．
5．(2019.南岗区模拟)如图11，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE=4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点，若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为 ．
6．(2019.罗湖）如图12，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若∠AED=2∠EAD，AB=，求四边形ABCD的面积．
证：（1）∵AC、BD是□ABCD对角线，∴AO=CO∵△ACE是等边三角形，
EO是中线∴EO⊥AC，∴□ABCD是菱形.
（2）∵∠AED=2∠EAD∴∠EAD=15 ∴∠DAO=60 -15 =45 ∴∠DAB=90
∵ABCD是菱形∴ABCD是正方形∴四边形ABCD的面积=20
思考题：如图13，线段AB=8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP=∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．（1）求证：△AEP≌△CEP；（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；
（3）求△AEF的周长．
解（1）证明：∵四边形APCD正方形，∴DP平分∠APC，PC=PA，∴∠APD=∠CPD=45 ，∴△AEP≌△CEP；（2）CF⊥AB，理由如下：∵△AEP≌△CEP，∴∠EAP=∠ECP，
∵∠EAP=∠BAP，∴∠BAP=∠FCP，∵∠FCP+∠CMP=90 ，∠AMF=∠CMP，∴∠AMF+∠PAB=90 ，
∴∠AFM=90，∴CF⊥AB；
（3）如图，过点C作CN⊥PB．∵CF⊥AB，BG⊥AB，∴FC‖BN，
∴∠CPN=∠PCF=∠EAP=∠PAB，又AP=CP，∴△PCN≌△APB，∴CN=PB=BF，PN=AB，
∵△AEP≌△CEP，∴AE=CE，∴AE+EF+AF=CE+EF+AF=BN+AF=PN+PB+AF=AB+CN+AF
=AB+BF+AF=2AB=16．
2.在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限。（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标；
（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由.
解：（1）当∠BAO=45°时，∠PAO=90°，OA＝AB＝，在Rt△APB中，PA＝AB＝.∴点P的坐标为（，）.（2）过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，则有∠PMA=∠PNB=∠NPM=∠BPA=90°，∴∠MPA=∠NPB，又PA＝PB，∴△PAM≌△PBN，∴PM=PN，于是，点P在∠AOB的平分线上；（3）＜h≤.当点B与点O重合时，点P到AB的距离为，然后顶点A在x轴正半轴上向左运动，顶点B在y轴正半轴上向上运动时，点P到AB的距离逐渐增大，当∠BAO=45°时，PA⊥x轴，这时点P到AB的距离最大为，然后又逐渐减小到，∵x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O，∴点P到x轴的距离的取值范围是＜h≤.
B
C
A
D
P
图1
图2
F
E
A
B
C
D
图3
解：当ABCD是正方形时，中点四边形EFGH是正方形.∵正方形的对角线AC⊥BD且AC=BD，∴EH⊥EF且EH=EF，同理得EF=FG=GH，∴EFGH是菱形，∵EH⊥EF∴EFGH是正方形.
C
D
H
G
F
B
E
A
图4
A
D
B
E
H
F
G
C
图5
图6
图7
D
B
A
C
O
图8
E
A
B
C
D
F
G
M
图9
图10
B
C
D
A
E
F
G
M
N
图11
E
A
B
C
D
F
G
M
图9
图10
B
C
D
A
E
F
G
M
N
图11
图12
图13
图14
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（总课时08）§1.3正方形的性质与判定2
一.选择题：1．下列命题中正确的是( )
A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
2.已知在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90 ，下列可以判定四边形是正方形的是（ ）
A．∠D=90 B．AB=CD C．AC=BD D．BC=CD
3．如图1，下列结论：①四边形ABCD是平行四边形，且AB⊥BC；②四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD；③四边形ABCD是矩形，且AC⊥BD；④四边形ABCD是菱形，且AC=BD．其中能推出四边形ABCD为正方形的有（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④
4.在四边形ABCD中，若AD‖BC，AD=BC，AB=BC，∠B=90 ，则四边形ABCD的形状是（ ）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
5.如图2，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2=AF2+DE2．其中正确的是（ ）A.②③ B.②④ C.②③④ D.①③④
二.填空题：
6.在四边形中，，，试补充一个条件__________，使四边形是正方形．
7．___________________的菱形是正方形.
8.如图3，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再补充一个条件就能使矩形ABCD成为正方形，则这个条件是 （只需填一个条件即可）.
9.如图4，Rt△ABC中，∠ACB=90 ，D,E,,F分别是AB,AC,BC的中点，连接DE,DF,CD，如果AC=BC，那么四边形DECF是__________．
10．如图5，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝2cm，点P从B点出发以1cm/s的速度沿CB延长线运动，运动时间为t秒．以AP为斜边在其上方构造等腰直角△APD．当t＝1秒时，则CD＝_____cm，当D运动的路程为4cm时，则P运动时间t＝_____秒．
三.解答题：
11.如图，在中，，平分交于点，于点，于点．求证：四边形是正方形．
12．如图，已知在中，∠ABC=90 ，先把△ABC绕点B顺时针旋转90 至△DBE后，再把△ABC沿射线AB平移至，DE，FG相交于点H.
（1）判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由.
（2）连接CG，求证：四边形CBEG是正方形.
四.提高题：
13．如图8，Rt△CEF中，∠C=90°，∠CEF,∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE、CF的垂线，B、D为垂足.
(1)求证:四边形ABCD是正方形，(2)已知AB的长为6，求(BE+6)(DF+6)的值，
(3)借助于上面问题的解题思路，解决下列问题:若三角形PQR中，∠QPR=45°，一条高是PH，长度为6,QH=2，则HR= .
图3
图2
图1
图4
图5
图6
图7
图8
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