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（总课时09）§1.4特殊平行四边形(复习课)
一.选择题：
1.如图1，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（ B ）A． B． C． D．
2．如图2，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（ B ）A． B． C． D．
3.如图3，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至
△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．有下列结论：①点G是BC的中点；②FG=FC；③∠GAE =45°．其中正确的是（D ）①② B．①③ C．②③ D．①②③
4.如图4，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上任意一点，则PK+QK的最小值为（ B）A．1 B． C．2 D．+1[x#k．COM]
5.如图5，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，有下列结论：①; ②;③，其中正确的是（ B ）
A．①③ B．①②③ C．①② D．②③
二.填空题：
6.如图6，在正方形ABCD中，CN⊥DM，给出以下结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③．其中正确的是 ①②③ ．（填写正确的序号）
7.如图7，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 ．
8.如图8，将正方形ABCD沿EF折叠，使得AD的中点落在点C处，若正方形边长为2，则折痕EF的长为____．
9.如图9，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若DE=5，则GE的长为___．
10.如图10，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB=6，则FG的长为3．
三.解答题：11.如图11，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF=BE．求证：AF=CE．
解∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=90°，AD=BC，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF=CE．
12．如图12，四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD．求证：四边形ABCD是矩形．
解∵四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO，BD=2OD，∵OA=OD，∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．
13.如图13，矩形ABCD中，点E在边CD上，将 BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG‖CD交BE于点G，连接CG.（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB=6,AD=10，求四边形CEFG的面积．
解（1）由题意可得，，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴四边形是平行四边形，又∵∴四边形是菱形；
（2）∵矩形中， ，∴，
∴，∴，设，则，
∵，∴，解得，∴，
∴四边形的面积是：．
四.提高题：14.如图14，已知在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过O点的射线OM、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF=90°，BO、EF交于点P，下列结论：
①图形中全等的三角形只有三对；②△EOF是等腰直角三角形；③正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；④BE+BF=OA；⑤AE2+BE2=2OP·OB．其中正确的个数为(B)
A．4 B．3 C．2 D．1
解①不正确；图形中全等的三角形有四对：△ABC≌△ADC，△AOB≌△COB，
△AOE≌△BOF，△BOE≌△COF；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，∠BAO=∠BCO=45°，
∴△ABC≌△ADC；∵点O为对角线AC的中点，∴OA=OC，∴△AOB≌△COB；
∵AB=CB，OA=OC，∠ABC=90°，∴∠AOB=90°，∠OBC=45°，又∵∠EOF=90°，
∴∠AOE=∠BOF，∴△AOE≌△BOF；同理：△BOE≌△COF；
②正确；理由如下：∵△AOE≌△BOF，∴OE=OF，∴△EOF是等腰直角三角形；
③正确．理由如下：∵△AOE≌△BOF，∴四边形OEBF的面积=△ABO的面积=0.25正方形ABCD的面积；④不正确．理由如下：∵△BOE≌△COF，∴BE=CF，∴BE+BF=CF+BF=BC=AB=OA；⑤正确．理由如下：∵△AOE≌△BOF，∴AE=BF，∴AE2+CF2=BE2+BF2=EF2=2OF2，在△OPF与△OFB中，∠OBF=∠OFP=45°，∠POF=∠FOB，∴△OPF∽△OFB，∴OP∶OF=OF∶OB，∴OF2=OP·OB，∴AE2+CF2=2OP·OB．正确结论的个数有3个，故选B．
B
E
C
D
F
A
图1
C
B
D
A
P
Q
K
图4
B
E
C
D
F
A
G
图3
A
B
E
C
D
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C
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A
F
E
图2
D
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A
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O
M
C
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（总课时09）第一章 特殊平行四边形 §1.4复习课
【复习目标】梳理平行四边形与特殊平行四边形之间的关系；运用相关知识和方法解决问题．
【复习重难点】运用菱形、矩形和正方形的相关知识和方法解决问题．
【导学过程】
一.知识点回顾：
平行四边形 菱 形 矩 形 正方形
图形
性质 边 对边平行且相等 对边平行，四边相等 对边平行且相等 对边平行，四边相等
角 对角相等 对角相等 四角都相等 四角都相等
对角线 互相平分 互相垂直平分且每条对角线平分一组对角 互相平分且相等 互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
判定 文字语言 几何语言 文字语言 几何语言 文字语言 几何语言 文字语言 几何语言
①用定义②两组对边相等③一组对边平行且相等④两组对角相等⑤对角线互相平分 ①∵AB‖CD，AD‖BC∴四边形ABCD是∽②∵AB=CD,AD=BC∴四边形ABCD是∽③∵AB‖CD且AB=CD∴四边形ABCD是∽④∵∠A=∠C∠B=∠D∴四边形ABCD是∽⑤∵QO=CO，BO=DO∴四边形ABCD是∽ ①用定义②四条边都相等的四边形③对角线互相垂直的平行四边形 ①∵ABCD是平行四边形且AB=AD∴四边形ABCD是∽②∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是∽③∵ABCD是平行四边形且AC⊥BD∴四边形ABCD是∽ ①用定义②有三个角是直角③对角线相等的平行四边形 ①∵四边形ABCD是平行四边形且∠A=90 ∴四边形ABCD是∽.②∠A=∠B=∠C=90 ∴四边形ABCD是∽③∵四边形ABCD是平行四边形且AC=BD∴四边形ABCD是∽ ①有一组邻边相等的矩形②对角线互相垂直的矩形③有一角是直角的菱形④对角线相等的菱形 ①∵四边形ABCD是矩形且AB=AD∴四边形ABCD是∽②∵四边形ABCD是矩形且AC=BD∴四边形ABCD是∽③∵四边形ABCD是菱形且A=90 ∴四边形是∽④∵四边形ABCD是菱形且AC=BD∴四边形ABCD是∽
对称性 中心对称图形 既是中心对称图形又是轴对称图形
二.知识网络图：借助框架图梳理平行四边形与特殊平行四边形之间的关系．
三.典例与练习:
例1.判定举例：中点四边形问题:(1)顺次连接四边形各边中点所得到的四边形一定是 平行四边形 ;
(2)顺次连接平行四边形各边中点所得到的四边形一定是 平行四边形 ;
(3)顺次连接菱形各边中点所得到的四边形一定是 矩形 ;顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是矩形.
(4)顺次连接矩形各边中点所得到的四边形一定是 菱形 ;顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是菱形.
(5)顺次连接正方形各边中点所得到的四边形一定是 正方形;顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得到的四边形是正方形.
规律:顺次连接各类四边形各边中点所得到的四边形的形状主要取决于两条对角线的关系.
练习：1.在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是平行四边形、菱形、矩形、正方形各边的中点，则下列各图中四边形EFGH的形状依次分别是 平行四边形 ； 矩形 ； 菱形 ； 正方形 ；
例2．如图2，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DP‖OC，且DP=OC，连接CP，
试判断四边形CODP的形状；答：菱形.∵DP‖OC且DP=OC∴是平行四边形，又OD=OC∴∽
如果题目中的矩形ABCD变为菱形，如图3，结论变成什么图形，请说明理由；
如果题目中的矩形变为正方形呢？如图4，请说明理由．
(2）矩形.易知四边形ODPC是平行四边形，由DO⊥CO得四边形ODPC是矩形.
练习：2.如图5，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，
点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是（ D ）
A．0 B．4 C．6 D．8
四.课堂小结：
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系是（填图）：_________________________；
2.求中点四边形形状的规律是：_主要取决于两条对角线的关系._；
五.分层过关：
1．给出以下三个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直的矩形是正方形；④菱形对角线的平方和等于边长平方的4倍，其中是真命题的是（ D）
A．③ B．①② C．②③ D．③④
2.如图6，菱形ABCD的周长为28，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，则OH的长等于_3.5_．
3.如图7，矩形ABCD对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，则CE的长__．
4.（2019桂林）将矩形ABCD按如图8所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则AD：AB的值为（ B ）
A.. B.. C.1.5 .D
5.如图9，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点，将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP,BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动（不与点A、点D重合）时，△PDH的周长是否发生变化？请证明你的结论．解（1）由折叠的性质，得∠EPH=90°，PE=BE，∴∠EBP=∠EPB，∴∠BPH=90°-∠EPB=90°-∠PBA=∠APB.
△PDH的周长不变．证明：过点B作BQ⊥PH，垂足为Q．由（1）知∠APB=∠BPH．
易证△ABP≌△QBP，∴AP=QP，AB=QB．∵AB=BC，∴BC=BQ．易证Rt△BCH≌Rt△BQH，∴CH=QH．
∴△PDH的周长为PD+DH+PH=AD+CD=8．故△PDH的周长不发生变化．
6.如图10，在平行四边形ABCD中，AD⊥DB，垂足为点D，将平行四边形ABCD折叠，使点B落在点D的位置，点C落在点G的位置，折痕为EF，EF交对角线BD于点P．
（1）连接CG，请判断四边形DBCG的形状，并说明理由；
（2）若AE=BD，求∠EDF的度数．
解（1）四边形BCGD是矩形，理由如下，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，即BC∥DG，
由折叠可知，BC=DG，∴四边形BCGD是平行四边形，∵AD⊥BD，∴∠CBD=90°，∴四边形BCGD是矩形．
（2）由折叠可知：EF垂直平分BD，∴BD⊥EF，DP=BP，
∵AD⊥BD，∴EF∥AD∥BC，∴AE=BE，∴DE是Rt△ADB斜边上的中线，∴DE=AE=BE，
∵AE=BD，∴DE=BD=BE，∴△DBE是等边三角形，∴∠EDB=∠DBE=60°，
∵AB∥DC，∴∠DBC=∠DBE=60°，∴∠EDF=120°．
思考题：（2019·安徽）如图11，点E在□ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE.
（1）求证：△BCE≌△ADF；（2）设□ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值.
解（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴，，
又，，，，同理可得：，∴△BCE≌△ADF；
（2）连接EF，∵△BCE≌△ADF，，又，∴四边形ABEF，四边形CDFE为平行四边形，
∴，∴，
设点E到AB的距离为h1，到CD的距离为h2，线段AB到CD的距离为h，
则h=h1+h2，∴，即=2.
A
B
图1
图4
D
P
C
A
B
O
图1
O
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P
C
A
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（3）正方形.由AC⊥BD且AC=BD知OD⊥OC且OD=OC，∴□ODPC是正方形
图3
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D
P
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A
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图5
图8
图6
D
C
A
H
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图9
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图11
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（总课时09）§1.4特殊平行四边形复习课
一.选择题：
1．如图1，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（ ）A． B． C． D．
2．如图2，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（ ）A． B． C． D．
3．如图3，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至
△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．有下列结论：①点G是BC的中点；②FG=FC；③∠GAE =．其中正确的是（ ）①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．(2017 华县）如图4，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）A．1 B． C．2 D．+1[x#k．COM]
5.如图5，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，有下列结论：①;②;③，其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．①② D．②③
二.填空题：
6.如图6，在正方形ABCD中，CN⊥DM，给出以下结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；
③．其中正确的是 _________．（填写正确的序号）
7.如图7，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为 ．
8.如图8，将正方形ABCD沿EF折叠，使得AD的中点落在点C处，若正方形边长为2，则折痕EF的长为______．
9.如图9，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若DE=5，则GE的长为___．
10.如图10，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB=6，则FG的长为______．
三.解答题：
11.如图11，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF=BE．求证：AF=CE．
12．如图12，四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD．求证：四边形ABCD是矩形．
13.如图13，矩形ABCD中，点E在边CD上，将 BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG‖CD交BE于点G，连接CG．
（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB=6,AD=10，求四边形CEFG的面积．
四.提高题：
14.如图14，已知在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过O点的射线OM、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF=90°，BO、EF交于点P，下列结论：
①图形中全等的三角形只有三对；②△EOF是等腰直角三角形；③正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；④BE+BF=OA；⑤AE2+BE2=2OP·OB．其中正确的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
B
E
C
D
F
A
图1
C
B
D
A
P
Q
K
图4
B
E
C
D
F
A
G
图3
A
B
E
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图2
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（总课时09）第一章 特殊平行四边形 §1.4复习课
【复习目标】梳理平行四边形与特殊平行四边形之间的关系；运用相关知识和方法解决问题．
【复习重难点】运用菱形、矩形和正方形的相关知识和方法解决问题．
【导学过程】
一.知识点回顾：
平行四边形 菱形 矩形 正方形
图形
性质 边 _________________ ____________________ ______________ _________________
角 对角相等 对角相等 四角都相等 四角都相等
对角线 ________ ______________________________________ ______________ __________________________________________________
判定 文字语言 几何语言 文字语言 几何语言 文字语言 几何语言 文字语言 几何语言
①用定义②两组对边相等③一组对边平行且相等④两组对角相等⑤对角线互相平分 ①_____________________________________________________②____________________________________________________③__________________________________________④_______________________________⑤__________________________________________. ①用定义②四条边都相等的四边形③对角线互相垂直的平行四边形 ①_______②______________________________________③___________________________________________. ①用定义②有三个角是直角③对角线相等的平行四边形 ①_______________________________________________________②____________________________③________________________________________________ ①有一组邻边相等的矩形②对角线互相垂直的矩形③有一角是直角的菱形④对角线相等的菱形 ①____________________________________________________②__________________________________________.③____________________________________________________④__________________________________
对称性 中心对称图形 __________________________
二.知识网络图：借助框架图梳理平行四边形与特殊平行四边形之间的关系．
三.典例与练习
例1.判定举例：中点四边形问题
(1)顺次连接四边形各边中点所得到的四边形一定是_____________;
(2)顺次连接平行四边形各边中点所得到的四边形一定是______________;
(3)顺次连接菱形各边中点所得到的四边形一定是______;
顺次连接_________的四边形各边中点所得到的四边形是矩形.
(4)顺次连接矩形各边中点所得到的四边形一定是_____;
顺次连接________的四边形各边中点所得到的四边形是菱形.
(5)顺次连接正方形各边中点所得到的四边形一定是 ;
顺次连接 的四边形各边中点所得到的四边形是正方形.
规律:顺次连接各类四边形各边中点所得到的四边形的形状主要取决于两条对角线的关系.
练习：1.在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是平行四边形、菱形、矩形、正方形各边的中点，则下列各图中四边形EFGH的形状依次分别是 ； ； ； ；
例2.如图1，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DP‖OC，且DP=OC，连接CP，
(1)试判断四边形CODP的形状；____________________.
(2)如果题目中的矩形ABCD变为菱形，如图2，结论变成什么图形，请说明理由；
(3)如果题目中的矩形变为正方形呢？如图3，请说明理由．
(2)________________________________________________________________________.
(3)________________________________________________________________________
练习：如图4，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且
AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是（ ）
A．0 B．4 C．6 D．8
四.课堂小结：
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系是（填图）：______________________；
2.求中点四边形形状的规律是：__________________________；
五.分层过关：1．给出以下三个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直的矩形是正方形；④菱形对角线的平方和等于边长平方的4倍，其中是真命题的是（ ）A．③ B．①② C．②③ D．③④
2．如图5，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于____．
3．如图6，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连接CE，则CE的长____．
4.（2019桂林）将矩形ABCD按如图7所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则AD：AB的值为（ ）
A.. B.. C.1.5 .D
5.如图8，现有一张边长为4的正方形纸片，点为边上的一点，将正方形纸片折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，折痕为，连接．
（1）求证：；
（2）当点在边上移动（不与点、点重合）时，的周长是否发生变化？请证明你的结论．
6.如图9，在平行四边形ABCD中，AD⊥DB，垂足为点D，将平行四边形ABCD折叠，使点B落在点D的位置，点C落在点G的位置，折痕为EF，EF交对角线BD于点P．
（1）连接CG，请判断四边形DBCG的形状，并说明理由；
（2）若AE=BD，求∠EDF的度数．
思考题：如图10，点E在ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE.
（1）求证：△BCE≌△ADF；
（2）设ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值.
A
B
图3
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图1
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