24.1 圆的有关性质综合检测题（含解析）

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24.1 圆的有关性质综合检测题
一、填空题
1．如图,已知AB,CD是☉O的直径,弧AE=弧AC,∠AOE=32°,那么∠COE的度数为　 　度.
2．如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACB=　 　°．
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，则∠ABC的大小为　 　 度．
二、单选题
4．如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，则∠BOC=（　　）
A．30° B．40° C．80° D．60°
5．如图，点 ， ， 都在 上，若 ，则 为（　　）
A．34° B．56° C．60° D．68°
6．如图，A、B、C三点在⊙O上、且∠A＝50°，则∠BOC的度数为（　　）
A．40° B．50° C．80° D．100°
7．如图，A，B，C是 上的三点， ，则 的度数为（　　）
A．100° B．110° C．125° D．130°
8．如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（　　）
A． B． C． D．
9．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠OBC=55°，则∠A的度数是（　　）
A．30° B．35° C．40° D．55°
10．如图，已知是的外接圆，是的直径，是的弦，，则等于（）
A． B． C． D．
11．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（　　）
A．AC=AB B．∠C= ∠BOD
C．∠C=∠B D．∠A=∠B0D
12．如图，点A，B，C是⊙O上点，且∠AOB＝60°，则∠ACB等于（　　）
A．25° B．30° C．45° D．60°
13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（　　）
A．40° B．50° C．80° D．100°
14．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CDB=30°，BC=4.5，则AB的长度为（　　）
A．12 B．9 C．6 D．3
15．若四边形 是 的内接四边形，且 ，则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
三、解答题
16．如图，有一拱桥呈圆弧形，它的跨度（所对弦长AB）为60m，拱高18m，当水面涨至其跨度只有30m时，就要采取紧急措施．某次洪水来到时，拱顶离水面只有4m，问：是否要采取紧急措施？并说明理由．
四、作图题
17．如图，在中，，.
尺规作图：
（1）在线段上求作一点，使；②连接，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接.（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若，求的度数；
（3）在（1）的条件下，若，求的周长.
18．如图是一名考古学家发现的一块古代车轮碎片，你能帮他找到这个车轮的圆心吗？（保留作图痕迹）
五、综合题
19．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．
（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；
（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．
20．如图，AB为 的直径，CD是弦，且 于点E，连接AC、OC、BC.
（1）求证： .
（2）若 ， ，求 的直径.
答案解析部分
1．【答案】64
【解析】【解答】解：∵ ,(已知)
∴∠AOE=∠COA(等弧所对的圆心角相等)；
又∠AOE=32°，
∴∠COA=32°，
∴∠COE=∠AOE+∠COA=64°。
故答案是：64°。
【分析】根据等弧所对的圆心角相等得出∠AOE=∠COA=32°，进而根据∠COE=∠AOE+∠COA算出答案。
2．【答案】40
【解析】【解答】解：连接BD，如图，
∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠D=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°，
∴∠ACB=∠D=40°．
故答案为40．
【分析】连接BD，如图，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABD=90°，根据三角形的内角和得出∠D，根据同弧所对的圆周角相等得出∠ACB的度数。
3．【答案】30
【解析】【解答】解：连接OC，∵弦CD垂直平分半径OA，
∴OE=
OC，
∴∠OCD=30°，∠AOC=60°，
∴∠ABC=30°．
故答案为：30．
【分析】根据线段的特殊关系求角的大小，再运用圆周角定理求解．
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，
∴∠BOC=2∠A=80°．
故答案为：C．
【分析】利用圆周角的性质可得∠BOC=2∠A=80°。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠C=34°，
∴∠AOB=2∠C=68°．
故答案为：D．
【分析】由同弧所对得圆心角是圆周角的2倍， 可得答案.
6．【答案】D
【解析】【分析】在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半,由此可得∠BOC=2∠A=100°．
故选D．
7．【答案】A
【解析】【解答】解： 所对的圆心角为 ，所对的圆周角为 ， ，
，
故答案为： ．
【分析】根据圆周角的性质：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可。
8．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
∵∠ABC=19°，
∴∠AOC=2∠ABC=38°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=52°，
∴∠BAC=∠BOC=26°.
故答案为：D.
【分析】连接OC，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AOC=2∠ABC=38°，由角的和差可得∠BOC=52°，进而再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠BAC的度数.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=55°，
∴∠BOC=180° 55° 55°=70°，
∴ ；
故答案为：B.
【分析】由等边对等角和三角形的内角和定理，先求出∠BOC=70°，再由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，即可求出答案.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，根据直角三角形的两锐角互余得∠A=34°，进而根据同弧所对的圆周角相等即可得出∠BCD=∠A，从而即可得出答案.
11．【答案】B
【解析】【解答】解：∵直径CD⊥弦AB，
∴弧AD =弧BD，
∴∠C= ∠BOD.
故答案为：B.
【分析】先利用垂径定理得到弧AD=弧BD，然后根据圆周角定理得到∠C= ∠BOD，从而可对各选项进行判断.
12．【答案】B
【解析】【解答】解：∵点A，B，C是⊙O上点，且∠AOB＝60°，
∴∠ACB= ∠AOB＝30°，
故答案为：B．
【分析】根据题意求出∠ACB= ∠AOB＝30°，即可作答。
13．【答案】D
【解析】【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°．
故答案为：D．
【分析】由⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BOC的度数．
14．【答案】B
【解析】【解答】解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=∠CDB=30°，
∴AB=2BC=2×4.5=9.
故答案为：B.
【分析】连接AC，根据圆周角定理得出∠ACB=90°，∠A=∠CDB=30°，再根据直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半得出AB=2BC，即可得出答案.
15．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝180° ∠ABC＝180° 60°＝120°，
故答案为：B．
【分析】根据圆内接四边形的对角线互补计算得到答案。
16．【答案】解：连接OA′，OA．
设圆的半径是R米，则ON=（R﹣4）米，OM=（R﹣18）米．
根据垂径定理，得AM= AB=30米，
在Rt△AOM中，AO2=OM2+AM2，
即R2=（R﹣18）2+900，
解得：R=34．
在Rt△A′ON中，根据勾股定理得A′N= =16米，
根据垂径定理，得：A′B′=2A′N=32＞30．
∴不用采取紧急措施．
【解析】【分析】连接OA′，OA．设圆的半径是R，则ON=R﹣4，OM=R﹣18．根据垂径定理求得AM的长，在Rt△AOM中，根据勾股定理求得R的值，在Rt△A′ON中，根据勾股定理求得A′N的值，再根据垂径定理求得A′B′的长，从而作出判断．
17．【答案】（1）解：如图所示
（2）解：∵，
∴
∵在中，
∴
（3）解：∵，∴
∵由作图可知，
即
∴
∴的周长为
【解析】【分析】(1)根据题意作图即可。
（2）因为PA=PB，所以∠PAB=∠PBA，这里利用了两边相等，则该三角形为等边三角形，等腰三角形两底角相等，又因为三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以可以得出∠PAC=∠PAB+∠ABP=25°+25°，又∠ACB=90°，根据三角形的内角和为180°，所以∠CAB=180°-∠ACB-∠PAC=180°-90°-25°-25°=40°，故得出∠PAC=40°。
（3）因为BC=8，根据题中所给PA=PB，可以得到AP+PC=BC，因为AP，AQ都为圆的半径，一个圆的半径都相等，即可得到AQ=AP，又有AC⊥PQ，根据垂线上的点到线段两边的距离相等可以得出AC为PQ垂直平分线，所以可得CP=CQ，所以可以得到AQ+CQ=AP+PC，前面中我们得到AP+PC=BC，的周长=2（AP+CP)=2BC，故可得的周长为2BC.
18．【答案】解：如图所示：
点O即为车轮的圆心.
【解析】【分析】作圆的两条弦CD，DE，再作出弦CD，DE的垂直平分线，它们的交点就是圆心，即可求解．
19．【答案】（1）解：过点A作AD⊥ON于点D，
∵∠NOM=30°，AO=80m，
∴AD=40m，
即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米；
（2）解：由图可知：以50m为半径画圆，分别交ON于B，C两点，AD⊥BC，BD=CD= BC，OA=80m，
∵在Rt△AOD中，∠AOB=30°，
∴AD= OA= ×80=40m，
在Rt△ABD中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：BD= = =30m，
故BC=2×30=60米，即重型运输卡车在经过BC时对学校产生影响．
∵重型运输卡车的速度为18千米/小时，即 =300米/分钟，
∴重型运输卡车经过BC时需要60÷300=0.2（分钟）=12（秒）．
答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒
【解析】【分析】（1）直接利用直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半求出即可；（2）根据题意可知，图中AB=50m，AD⊥BC，且BD=CD，∠AOD=30°，OA=80m；再利用垂径定理及勾股定理解答即可．
20．【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
（2）解：设 的半径为 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
即， ，
解得， ，
所以直径为 .
【解析】【分析】(1)先根据圆周角定理得到
，再由等腰三角形性质得到∠OAC=∠ACO,进而得到
.
(2) 设 的半径为 ,由垂径定理得到
，再根据勾股定理得到
，求出r,进而求出直径.
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