24.3 正多边形和圆一课一练（含解析）

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24.3 正多边形和圆一课一练
一、填空题
1．已知四边形内接于，若，则的度数为　 　.
2．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，则∠1+∠2+∠3 的度数为　 　．
二、单选题
3．如果一个多边形的每个内角都是120°，那么这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
4．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠C＝110°，则∠BOD的度数为（　　）
A．140° B．70° C．80° D．60°
5．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是 上的任意一点，则∠APB的大小是（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
6．如图，小明从点A出发沿直线前进 米到达点B，向左转 后又沿直线前进 米到达点C，再向左转 后沿直线前进 米到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（　　）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
7．如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接作，垂足为F，连接.则长的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．
三、解答题
8．已知一个正多边形的每个内角比它的每个外角多60°，求这个多边形的边数．
四、综合题
9．如图，四边形内接于，分别延长，，使它们相交于点，，且.
（1）求证：.
（2）若，点为的中点，求的半径.
五、实践探究题
10．探究题：
（1）　 　都相等，　 　都相等的多边形叫做正多边形；
（2）如图，格点长方形MNPQ的各点分布在边长均为1的等边三角形组成的网格上， 请在格点长方形MNPQ内画出一个面积最大的格点正六边形ABCDEF，并简要说明它是正六边形的理由；
（3）正六边形有　 　条对角线，它的外角和为　 　度．
答案解析部分
1．【答案】50°
【解析】【解答】解：∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：50°.
【分析】根据圆内接四边形对角互补可得∠A+∠C=180°，据此计算.
2．【答案】150°
【解析】【解答】如图，
在△ABC中，
∴
∴
故答案为：
【分析】根据等边三角形的性质及正方形的性质，由平角的定义即可分别表示出∠BAC，∠ABC，∠ACB，又根据三角形的内角和知∠BAC+∠ABC+∠ACB =180 ， 从而建立方程即可得出答案。
3．【答案】B
【解析】【解答】一个多边形的每个内角都是120°，可知每一个外角为60°，所以这个多边形的边数为=6。
故答案为：B.
【分析】多边形的外角和是360°.
4．【答案】A
【解析】【解答】∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠C＝110°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝70°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝140°，
故答案为：A．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求出∠A的度数，根据圆周角定理得到答案．
5．【答案】B
【解析】【解答】解：连接OA、OB、如图所示：
∵∠AOB＝ ＝60°，
∴∠APC＝ ∠AOC＝30°.
故答案为：B.
【分析】由正六边形的性质得出∠AOB＝120°，由圆周角定理求出∠APC＝30°.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵小明每次都是沿直线前进9米后向左转45度，
∴他走过的图形是正多边形，
∴边数n=360°÷45°=8，
∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×9=72（m）.
故答案为：A.
【分析】 根据题意，小明走过的路程是正多边形，且该正多边形每一个外角都等于45°，故用360°除以45°求出边数，然后再乘以10米即可求解．
7．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接，取的中点K，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵正方形的外接圆的半径为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴CF的最小值为.
故答案为：A.
【分析】连接，取的中点K，连接，由直角三角形斜边中线的性质及 半径为 ，可得KF=AK=BK=1，由勾股定理求出CK=，根据即可求解.
8．【答案】解：设内角为x°，则外角为（x﹣60）°，由题意得：
x+x﹣60＝180，
解得：x＝120，
则外角为120°﹣60°＝60°，
多边形的边数：360°÷60°＝6．
【解析】【分析】设内角为x°，则外角为（x﹣60）°，根据题意列出方程x+x﹣60＝180，求出x的值，再利用多边形的边数=外角和÷一个外角的度数可得答案。
9．【答案】（1）证明：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴
（2）解：如图，连接
∵，
∴是的直径，
∴，
∵
∴
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
在中，，
∴的半径为
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD=180°，由邻补角的性质可得∠BCD+∠DCE=180°，则∠A=∠DCE，由等腰三角形的性质可得∠E=∠DCE，据此证明；
（2）连接AC，则AC为直径，由圆周角定理可得∠ABC=90°，根据∠A=∠AEB可得AB=BE=8，由中点的概念可得BC的值，然后利用勾股定理进行计算即可.
10．【答案】（1）各个角；各条边
（2）解：如图，
∵AB=2，BC=2，CD=2，DE=2，EF=2，FA=2，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，
∵网格是等边三角形的网格，
∴∠FAB=2×60°=120°，
同理：∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=120°，
∴∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=120°，
∴六边形ABCDEFA是正六边形．
最大面积为24×=；
（3）9；360°
【解析】【解答】解：（1）由正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形；
故答案为：各个角；各条边；
（3）正六边形的对角线条数为=9，
∵多边形的外角和是360°，
∴正六边形的外角和为360°，
故答案为：9；360°．
【分析】（1）根据正多边形的定义求解即可；
（2）先求出 AB=BC=CD=DE=EF=FA， 再求出 六边形ABCDEFA是正六边形，最后求解即可；
（3）先求出正六边形的对角线条数为9，再求解即可。
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