第二十四章 圆综合知识测试题（含解析）

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第二十四章 圆综合知识测试题
一、填空题
1．如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=120°，则∠BDC=　 　.
2．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ACD=25°，则∠BOD的度数为　 　．
二、单选题
3．如图，点A、B、C都在 上，若∠AOB＝72°，则∠ACB的度数为（）
A．18° B．30° C．36° D．72°
4．若圆的半径是5，点P到圆心的距离为5，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内
C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O外或⊙O上
5． 正n边形的一个外角为30°，则n的值为（　　）.
A．6 B．8 C．10 D．12
6．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．π﹣2 B． C．π﹣4 D．
7．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=3，AC=4，则sin∠ABD的值是（　　）
A． B． C． D．
8．下列说法正确的是（　　）
A．等弧所对的圆周角相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴
9．如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
10．下列说法正确的是（　　）
A．弦是直径
B．平分弦的直径垂直弦
C．过三点A，B，C的圆有且只有一个
D．三角形的外心是三角形三边中垂线的交点
11．一条水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC的的长是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
12．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不大于60°”，首先应假设这个三角形中（　　）
A．没有一个角不小于60° B．没有一个角不大于60°
C．所有内角不大于60° D．所有内角不小于60°
13．如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径为（　　）
A． B． C． D．
14．下列说法不正确的是（　　）
A．各边都相等的多边形是正多边形
B．正多形的各边都相等
C．正三角形就是等边三角形
D．各内角相等的多边形不一定是正多边形
15．下列各图形中，各个顶点一定在同一个圆上的是（　　）
A．正方形 B．菱形
C．平行四边形 D．梯形
16．如图，大小不同的两个磁块，其截面都是等边三角形，小三角形边长是大三角形边长的一半，点O是小三角形的内心，现将小三角形沿着大三角形的边缘顺时针滚动，当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是（　　）
A．240° B．360° C．480° D．540°
17．下列说法正确的是（　　）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．各角相等的多边形是正多边形
C．各边相等的圆内接多边形是正多边形
D．各角相等的圆内接多边形是正多边形
18．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，以BC为斜边在矩形所在平面作直角三角形BEC，F为CD的中点，则EF的最小值为（　　）
A． B． C． D．
三、解答题
19．如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD=160°，求∠BCD的度数.
四、作图题
20．如图，正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），在平面直角坐标系内， 的顶点 、 分别为 ， ．
（1）画出 绕点 逆时针旋转 后的△ ；
（2）在（1）的条件下，求出旋转过程中点 所经过的路径长（结果保留 ．
五、综合题
21．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=60°，连接PO并延长与⊙O交于C点，连接AC，BC．
（1）求证：四边形ACBP是菱形；
（2）若⊙O半径为1，求菱形ACBP的面积．
六、实践探究题
22．操作探究题
（1）已知是半圆的直径，（是正整数，且不是3的倍数）是半圆的一个圆心角．
操作：如图1，分别将半圆的圆心角（取1、4、5、10）所对的弧三等分（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
交流：当时，可以仅用圆规将半圆的圆心角所对的弧三等分吗？
探究：你认为当满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆的圆心角所对的弧三等分？说说你的理由．
（2）如图2，的圆周角．为了将这个圆的圆周14等分，请作出它的一条14等分弧（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
答案解析部分
1．【答案】30°
【解析】【解答】根据题意可得：∠BOC=180°－120°=60°，则∠BDC=60°÷2=30°.
【分析】根据平角的定义可以求出∠BOC的度数，再根据同弧所对的圆心角的度数等于圆周角度数的2倍.即可得出答案。
2．【答案】130°
【解析】【解答】解：∵∠ACD=25 ，
∴∠AOD=50 ，
∴∠BOD=180 -∠AOD=130 .
故答案为130 .
【分析】先根据在同圆或等圆当中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠AOD=50 ，再利用临补角求出答案即可。
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠AOB=72°，
∴∠ACB= ∠AOB=36°，
故答案为：C．
【分析】根据一条弧所对的的圆周角等于它所对圆心角的一半进行解答即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵圆的半径是5，点P到圆心的距离为5，
∴d＝r，
∴点P在⊙O上.
故答案为：C.
【分析】设⊙O的半径为r，点到圆心O的距离为d，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上，当d＞r时，点在圆外，据此判断即可.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：n=360°÷30°=12.
故答案为：D.
【分析】由于正多边形的每一个外角都相等，故用多边形的外角和除以一个外角的度数即可求出多边形的边数.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∵OB＝2，
∴S阴影＝S扇形OBC﹣S△OBC＝ π×22﹣ ×2×2＝π﹣2．
故答案为：A
【分析】先证得△OBC是等腰直角三角形，然后根据S阴影＝S扇形OBC﹣S△OBC即可求得
7．【答案】D
【解析】【解答】∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴弧AC=弧AD，
∴∠ABD=∠ABC.
根据勾股定理求得AB=5，
∴sin∠ABD=sin∠ABC= .
故答案为：D.
【分析】由垂径定理和圆周角定理可证∠ABD=∠ABC，再根据勾股定理求得AB=5，即可求sin∠ABD的值.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：A. 同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A选项正确；
B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误；
C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C选项错误；
D.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以D选项错误.
故答案为：A.
【分析】A. 同弧或等弧所对的圆周角相等,据此判断即可；
B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，据此判断即可；
C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，据此判断即可；
D.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，据此判断即可.
9．【答案】D
【解析】【解答】解：∵直线AB是⊙O的切线，C为切点，
∴∠OCB=90°，
∵OD∥AB，
∴∠COD=90°，
∴∠CED= ∠COD=45°，
故答案为：D．
【分析】根据切线的性质得出∠OCB=90°根据二直线平行，同旁内角互补得出∠COD=90°，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出答案。
10．【答案】D
【解析】【分析】利用弦的定义、垂径定理以及不在同一直线上的三点确定一个圆即可作出判断．
【解答】A、弦是圆上任意两点的连线，而圆是过圆心的弦，故弦不一定是直径，故选项错误；
B、平分弦（弦不是直径)的直径垂直于弦，故选项错误；
C、过不在一条直线上的三点的圆有且只有一个，故选项错误；
D、正确．
故选D．
【点评】本题考查了弦的定义、垂径定理以及不在同一直线上的三点确定一个圆，要注意到垂径定理叙述中：被平分的弦必须不是直径
11．【答案】C
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，
∴BC= ，
在Rt△OBC中，OC= .
故答案为：C.
【分析】由OC⊥AB，符合垂径定理，即经过O，C的直径平分弦AB，即BC= ，再由勾股定理算出OC即可.
12．【答案】B
【解析】【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都大于60°.
故答案为：B.
【分析】反证法的第一步是假设命题的结论不成立，据此可以得到答案.
13．【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA，OB，
∵∠C=30°，
∴∠OAB=60°，
∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=2，
∴圆O的半径为2，
故答案为：B．
【分析】连接OA，OB，根据圆周角的性质可得∠OAB=2∠C=60°，所以△OAB是等边三角形，即可得到OA=AB=2。
14．【答案】A
【解析】【解答】正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形；各边都相等的多边形不一定是正多边形.
【分析】此题考查正多边形的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
15．【答案】A
【解析】【解答】∵正方形对角线相等且互相平分，∴四个顶点到对角线交点距离相等，∴正方形四个顶点定可在同一个圆上．故选：A．
【分析】四个顶点可在同一个圆上的四边形，一定有一点到它的四个顶点的距离都相等，因而B、C、D都是错误的；正方形的四个顶点到对角线的交点的距离都相同，因而正方形的四个顶点一定可以在同一个圆上．
16．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得：第一次AO顺时针转动了120°，第二次AO顺时针转动了240°，第三次AO顺时针转动了120°，
故当由①位置滚动到④位置时，线段OA绕点O顺时针转过的角度是：120°+240°+120°=480°．
故选：C．
【分析】根据正三角形的性质分别得出点O转动的角度，进而得出答案．
17．【答案】C
【解析】【解答】∵各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，∴A、B错误；∵各边相等的圆内接多边形的各角一定相等，∴C正确；∵各角相等的圆内接多边形的边不一定相同，∴D错误．故选C．
【分析】根据正多边形的定义对各选项进行逐一分析即可．
18．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，当F、E、O三点在一条直线上时，EF最短，
这时OF2=FC2+OC2=32+42=25，
∴OF=5，
∴EF=OF-OE=5-4=1.
故答案为：B.
【分析】过BC的中点O作圆，连接OF交圆于点E，这时EF为最短，在Rt△OCF中，运用勾股定理求出OF的长，则EF等于OF于OE的长度之差.
19．【答案】解：∵∠BOD=160°∴∠BAD=
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∴∠BCD=100°.
【解析】【分析】由圆周角定理得∠BAD=∠BOD，再根据圆内接四边形的对角互补可求得∠BCD的度数。
20．【答案】（1）解：如图所示：△ ，即为所求
（2）解：旋转过程中点 所经过分路径长为： ．
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用弧长求法得出答案
21．【答案】（1）解：连接AO，BO，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO= ∠APB=30°，
∴∠AOP=60°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠AOP=∠CAO+∠ACO，
∴∠ACO=30°，
∴∠ACO=∠APO，
∴AC=AP，
同理BC=PB，
∴AC=BC=BP=AP，
∴四边形ACBP是菱形；
（2）解：连接AB交PC于D，
∴AD⊥PC，
∴OA=1，∠AOP=60°，
∴AD= OA= ，
∴PD= ，
∴PC=3，AB= ，
∴菱形ACBP的面积= AB PC=
【解析】【分析】（1）连接AO，BO，根据PA、PB是⊙O的切线，得到∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO= ∠APB=30°，由三角形的内角和得到∠AOP=60°，根据三角形外角的性质得到∠ACO=30°，得到AC=AP，同理BC=PB，于是得到结论；（2）连接AB交PC于D，根据菱形的性质得到AD⊥PC，解直角三角形即可得到结论．
22．【答案】（1）解：操作：
交流： ，或 ；
探究：设 ，解得 （ 为非负整数）．
或设 ，解得 （ 为正整数）．
所以对于正整数 （ 不是3的倍数），都可以仅用圆规将半圆 的圆心角 所对的弧三等分；
（2）解：如图
【解析】【分析】（1）操作：分别构造60°弧、15°弧、12°弧、6°弧即可解决问题；
交流：当n=28时，三者之间的数量关系为；
探究：设 或设，用含k的式子表示出n即可；
（2）以P为端点，用半径去截圆，与圆交于一点，再以该点为端点，重复上述步骤，得到点D，以Q为圆心，QP为半径画弧，与圆交于一点C，则弧即为所作.
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