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专项4 几何图形初步
【知识导图】
【考点梳理】
考点1 常见几何体的三视图
几何体
主视图
左视图
俯视图
考点2 正方体的展开图
1．正方体的11种展开图
2．口诀：中间四个一随意；二三错开一随意；两两相连各错一；三三两排各错二；凹田不能有．
3．求对面口诀：同层隔一面，异层隔两面，剩下两相对．
考点3 直线，射线与线段
考点4 线段的中点及运算
线段中点 线段和差 线段倍分
图形
关系式
考点4 角的表示及计算
1．角的表示
2．角的单位及计算
角的单位 度、分、秒
角的单位进制 1°=60′，1′=60″
角的单位 换算 由度化为度分秒的形式（即从高级单位向低级单位转化）时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度（即低级单位向高级单位转化）时用除法逐级进行．
角的单位计算 同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一成60．
考点4 角平分线及角的计算
1．角平分线及角的和差倍分中的关系式
角平分线 角的和差 角的倍分
基本图形
关系
2．特殊的双角平分线
考点4 余角和补角
余角 补角
图形
关系式
性质 同角（或等角）的余角相等 同角（或等角）的补角相等
【基础百练】
1．如图所示几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据三视图中主视图的确定去判断即可．
【详解】A、是几何体从上面看到的图形，不正确；
B、是几何体从正面看到的图形，故正确；
C、不是几何体从正面看到的图形，故不正确；
D、不是几何体从正面看到的图形，故不正确．
故选：B
【点睛】本题考查了几何体三视图中的主视图，考查了学生的空间想象力，主视图是从正面看到的视图．
2．2023年10月1日是中华人民共和国成立74周年，如图是一个立方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“乐”字一面的相对面上的字是（ ）
A．祖 B．国 C．日 D．快
【答案】B
【分析】正方体的表面展开图，相对二代面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答即可．
【详解】解：根据题意可得：
“祖”与“日”是相对面，
“生”与“快”是相对面，
“乐”与“国”是相对面，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方体的表面展开图，熟练掌握正方体的表面展开图，相对二代面之间一定相隔一个正方形，是解题的关键．
3．生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（ ）
A．均用两点之间线段最短来解释
B．均用经过两点有且只有一条直线来解释
C．现象1用两点之间线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释
D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用两点之间线段最短来解释
【答案】D
【分析】直接利用线段的性质以及直线的性质分别分析得出答案．
【详解】解：现象1：木板上弹墨线，可用“两点确定一条直线”来解释；
现象2：把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释，
故选：D．
【点睛】本题考查了两点确定一条直线，两点之间线段最短，熟练运用以上知识是解题的关键．
4．如图，C、D是线段AB上两点，若CB=4cm，DB=7cm，且D是AC的中点，则AB的长等于（ ）
A．9cm B．10cm C．12cm D．14cm
【答案】B
【分析】首先求出线段CD，根据AC=2CD，求出AC即可解决问题．
【详解】解：∵BD=7cm，BC=4cm，
∴CD=BD-BC=3cm，
∵D是AC的中点，
∴AC=2CD=6cm，
∴AB=AC+BC=10cm，
故选B．
【点睛】本题考查线段的和差定义，线段的中点等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．
5．如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分和．若，则的度数为（ ）
A．145° B．120° C．90° D．75°
【答案】C
【分析】根据OD，OE分别平分和，得出，，从而得出．
【详解】解：∵OD，OE分别平分和，
∴，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，根据得，是解题的关键．
1．如图，已知点C为线段上一点，，，分别是、的中点．求：
(1)求的长度；
(2)求的长度；
(3)若M在直线上，且，求的长度．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）直接根据是的中点可得答案；
（2）先求出的长，然后根据是的中点求出，做好应即为的长；
（3）分M在点B的右侧、M在点B的左侧两种情况进行计算即可．
【详解】（1）解： 由线段中点的性质，
；
（2）由线段的和差，
得，
由线段中点的性质，
得，
由线段的和差，得
；
（3）当M在点B的右侧时，
；
当M在点B的左侧时，
，
∴的长度为或．
【点睛】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解本题的关键．
1．已知，点为直线上一点，，是的平分线．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，是的平分线，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，是的一条三等分线，，若，请直接写出的度数．（不用写过程）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由互余得∠DOE度数，进而由角平分线得到∠AOD度数，根据BOD=180°-∠AOD可得∠BOD度数；
（2）由角平分线得出∠AOE=∠AOD=(∠AOC+90°)，∠BOF=(∠BOD+90°)，继而由∠EOF=180°-∠AOE-∠BOF得出结论．
（3）∠DOF=45°-∠BOD，结合已知∠AOC+∠DOF=∠EOF和∠AOC+∠BOD=90°可求∠BOD=60°，再由∠FOP=∠DOF+∠DOP即可解答．
【详解】（1）∵∠COD=90°，∠COE=63°，
∴∠DOE=∠COD-∠COE=27°，
∵OE是∠AOD的平分线，
∴∠AOD=2∠DOE=54°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-54°=126°；
答：∠BOD的度数为126°；
（2）∵OE是∠AOD的平分线，
∴
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
答：的度数为；
（3）由（2）得∠EOF=45°，
∵∠AOC+∠DOF=∠EOF=45°，
∴∠DOF=45°-∠AOC，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、余角和补角的计算、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键．
【阶段突破练】
一、选择题
1．下面几何体中，是圆柱的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据各个选项中的几何体的形体特征进行判断即可．
【详解】解：A．选项中的几何体是圆锥体，因此选项A不符合题意；
B．选项中的几何体是球体，因此选项B不符合题意；
C．选项中的几何体是圆柱体，因此选项C符合题意；
D．选项中的几何体是四棱柱，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查认识立体图形，掌握圆柱体，圆锥体，棱柱，球的形体特征是正确判断的前提．
2．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图所示的是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“诚”字所在面相对面上的汉字是（ ）
A．自 B．信 C．阳 D．光
【答案】B
【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．
【详解】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，
∴在此正方体上与“诚”字相对的面上的汉字是“信”．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方体的展开图形，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题．
3．如图1，A，B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座桥，使它到A、B两个村庄的距离之和最小，图2中所示的P点即为所求的桥的位置，那么这样做的理由是（ ）
A．两直线相交只有一个交点 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短
【答案】D
【分析】根据两点之间，线段最短，即可求解．
【详解】解：根据题意得：当A、P、B三点共线时，它到A、B两个村庄的距离之和最小，
这样做的理由是两点之间，线段最短．
故选：D
【点睛】本题主要考查了线段的基本事实，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键．
4．如图，已知点位于点的南偏东方向上，若，在的左侧，则点位于点的方向是（ ）
A．北偏东 B．北偏西 C．南偏西 D．南偏东
【答案】C
【分析】先计算与正南方向的夹角大小，后用方位角描述即可．
【详解】设正南方向为，
∵，，
∴，
∴B处位于O处的方向是南偏西，
故选：C．
【点睛】本题考查了方位角，正确理解方位角的意义是解题的关键．
5．如图，点是线段上一点，有下列等式：①；②；③；④．其中能说明点是线段中点的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】根据线段中点的定义，对选项进行一一分析，即可得到结论．
【详解】解：①,点C是线段AB的中点，故正确；
②，则点C是线段AB的中点；故正确；
③,不能确定点C是线段AB的中点，故错误；
④，则点C是线段AB的中点，故正确；
故选B．
【点睛】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
6．将一副三角板按如图所示摆放，使其中一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题目的已知可求出的度数，再利用减去的度数即可解答．
【详解】解：∵，，
∴ ，
∵，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了角的和差运算，理解、、之间的关系是解决问题的关键．
7．如果线段，，且A、B、C在同一条直线上，那么A、C两点的距离是（ ）
A． B． C．或 D．以上答案都不正确
【答案】C
【分析】没有给出图形，在画图时，应考虑到、、三点之间的位置关系的多种可能，再根据正确画出的图形解题．当点在之间时，；当点在点的右侧时，．
【详解】解：如图，
当点在之间时，；
当点在点的右侧时，．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了两点之间的距离问题，在未画图类问题中，正确画图很重要．本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性．在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
8．如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线．通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用角平分线的定义求出即可解决问题．
【详解】解：平分，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查角的和差定义，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二、填空题
9．如图，射线OC在∠AOB内部，要使OC是∠AOB的平分线，需要添加的一个条件是： ．
【答案】或或（答案不唯一）
【分析】根据角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线）即可得．
【详解】解：根据题意可得：射线OC在内部，使OC是的平分线，
∴，，，
故答案为：或或（答案不唯一）．
【点睛】题目主要考查角平分线的定义，深刻理解角平分线的定义是解题关键．
10．如图，数轴上有三个点A，B，C，，若点A，B表示的数互为相反数，且，则点C表示的数是 ．
【答案】4
【分析】设数轴的原点为O，首先根据点A，B表示的数互为相反数，且，可得，再根据，可得，，据此即可求解．
【详解】解：设数轴的原点为O，
点A，B表示的数互为相反数，且，
，
，
，，
，
故点C表示的数是4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了数轴与有理数，线段的和差，求得线段的长是解决本题的关键．
11．如图，，是线段的三等分点，是线段的中点，若，则 ．
【答案】6
【分析】根据题意，可得，，然后由即可获得答案．
【详解】解：∵，是线段的三等分点，
∴，
∵是线段的中点，
∴，
∵，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了两点之间的距离、线段中点及线段之间的数量关系等知识，理解题意，结合图形进行分析是解题关键．
12．如图，点在直线上，，，将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转一周（如图），当旋转到第秒时，所在的直线平分，则的值为 ．
【答案】或
【分析】根据平角的定义得到，进行分类讨论，求出旋转的度数即可求解．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
如图，当逆时针旋转到时，
∵平分，
∴，
则逆时针旋转了，
∴，
如图，当逆时针旋转到时，
由得：，，
∴，
∴，
则逆时针旋转了，
∴，
综上可知：的值为或秒，
故答案为：或秒．
【点睛】此题考查了考查了角平分线定义，平角的定义，根据旋转后画出图形是解题的关键．
三、解答题
13．如图，已知平面内有四个点．根据下列语句按要求画图．
(1)作线段；
(2)作射线，并在线段的延长线上用圆规截取；
(3)作直线，与射线交于点．
观察图形发现，线段，得出这个结论的依据是：______．
（温馨提醒：截取用圆规，并保留痕迹；画完图后要一一下结论．）
【答案】(1)作图见详解
(2)作图见详解
(3)作图见详解，两点之间，线段最短
【分析】（1）连接点，根据线段的特点，有两个端点的线段；
（2）根据射线的特点，点是端点，以点为圆心，以为半径画弧，交于点，即可求解；
（3）过点的直线，根据直线的特点，向两边无限延伸，交射线交于点，由此即可求解．
【详解】（1）解：连接，如图所示，
线段即为所求线段．
（2）解：以点为端点，过点的射线，以点为圆心，以为半径画弧，交于点，如图所示，
射线即为所求，如图所示．
（3）解：过点的直线，向两边无限延伸，交射线交于点，
直线即为所求；点如图所示；
线段，得出这个结论的依据是两点之间，线段最短，
故答案为：两点之间，线段最短．
【点睛】本题主要考查线段，射线，直线的特点，理解并掌握线段，射线，直线的特点，线段的基本事实是解题的关键．
14．如图，为线段上一点，点为的中点，且，．
(1)图中共有______条线段．
(2)求的长．
(3)若点E在直线上，且，求的长．
【答案】(1)6
(2)
(3)或
【分析】（1）根据线段的定义数出结果即可；
（2）先求，再求即可；
（3）分两种情况讨论：①点在线段上，根据；②点在线段延长线上，根据进行计算即可．
【详解】（1）解：图中共有，共6条线段，
故答案为：6；
（2）点为的中点，
，
，，
，即，
；
（3）分两种情况讨论：
①点在线段上，
；
②点在线段延长线上，
．
综上：或．
【点睛】本题考查了两点间的距离公式，掌握线段的计算方法是解题的关键．
15．点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处．
(1)将三角板按图1位置摆放，此时是的角平分线，求的度数；
(2)将三角板按图2位置摆放，此时，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据补角的定义可得，再根据角平分线的定义可得，再结合垂直的定义运用平角的定义列式计算即可；
（2）由可设，则；再结合、运用平角的性质可得，最后根据即可解答．
【详解】（1）解：，
，
是的角平分线，
，
，
．
（2）解：∵，
设，则，
，，
，
．
，
．
【点睛】本题主要考查了考余角和补角、角平分线的定义、三角板等知识点，明确题意、弄清角之间的关系是解答本题的关键．
16．如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，点，分别是和的中点．
(1)若点恰好是中点，则______，若，则______；
(2)试利用“字母代替数”的方法，说明不论取何值（不超过），的长不变；
(3)知识迁移：如图②，已知，过角的内部任一点画射线，若，分别平分和，试说明与射线的位置无关．
【答案】(1)6；6
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）由中点的定义推出；由，，即可推出，然后根据中点的定义即可推出，，即可推出的长度；
（2）设，则，然后通过中点的定义推出，即可推出结论；
（3）由角平分线的定义可得，即可得出结论．
【详解】（1）解：，点，分别是和的中点，点为的中点，
，
，
；
，
，
点，分别是和的中点，
，，
；
故答案为：6，6；
（2）解：设，则，
点、分别是和的中点，
，，
，
不论取何值（不超过），的长不变．
（3）解：、分别平分和，
，
，
，
的度数与射线的位置无关．
【点睛】本题主要考查角平分线和线段的中点的性质，关键在于认真的进行计算，熟练运用相关的性质定理．
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专项4 几何图形初步
【知识导图】
【考点梳理】
考点1 常见几何体的三视图
几何体
主视图
左视图
俯视图
考点2 正方体的展开图
1．正方体的11种展开图
2．口诀：中间四个一随意；二三错开一随意；两两相连各错一；三三两排各错二；凹田不能有．
3．求对面口诀：同层隔一面，异层隔两面，剩下两相对．
考点3 直线，射线与线段
考点4 线段的中点及运算
线段中点 线段和差 线段倍分
图形
关系式
考点5 角的表示及计算
1．角的表示
2．角的单位及计算
角的单位 度、分、秒
角的单位进制 1°=60′，1′=60″
角的单位 换算 由度化为度分秒的形式（即从高级单位向低级单位转化）时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度（即低级单位向高级单位转化）时用除法逐级进行．
角的单位计算 同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一成60．
考点6 角平分线及角的计算
1．角平分线及角的和差倍分中的关系式
角平分线 角的和差 角的倍分
基本图形
关系
2．特殊的双角平分线
考点7 余角和补角
余角 补角
图形
关系式
性质 同角（或等角）的余角相等 同角（或等角）的补角相等
【基础百练】
1．如图所示几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
2．2023年10月1日是中华人民共和国成立74周年，如图是一个立方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“乐”字一面的相对面上的字是（ ）
A．祖
B．国
C．日
D．快
3．生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（ ）
A．均用两点之间线段最短来解释
B．均用经过两点有且只有一条直线来解释
C．现象1用两点之间线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释
D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用两点之间线段最短来解释
4．如图，C、D是线段AB上两点，若CB=4cm，DB=7cm，且D是AC的中点，则AB的长等于（ ）
A．9cm B．10cm C．12cm D．14cm
5．如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分和．若，则的度数为（ ）
A．145° B．120° C．90° D．75°
【典例精讲】
1．如图，已知点C为线段上一点，，，分别是、的中点．求：
(1)求的长度；
(2)求的长度；
(3)若M在直线上，且，求的长度．
2．已知，点为直线上一点，，是的平分线．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，是的平分线，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，是的一条三等分线，，若，请直接写出的度数．（不用写过程）
【阶段突破练】
一、选择题
1．下面几何体中，是圆柱的为（ ）
A． B． C． D．
2．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图所示的是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“诚”字所在面相对面上的汉字是（ ）
A．自 B．信 C．阳 D．光
3．如图1，A，B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座桥，使它到A、B两个村庄的距离之和最小，图2中所示的P点即为所求的桥的位置，那么这样做的理由是（ ）
A．两直线相交只有一个交点 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短
4．如图，已知点位于点的南偏东方向上，若，在的左侧，则点位于点的方向是（ ）
A．北偏东 B．北偏西 C．南偏西 D．南偏东
5．如图，点是线段上一点，有下列等式：①；②；③；④．其中能说明点是线段中点的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
6．将一副三角板按如图所示摆放，使其中一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如果线段，，且A、B、C在同一条直线上，那么A、C两点的距离是（ ）
A． B． C．或 D．以上答案都不正确
8．如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线．通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，射线OC在∠AOB内部，要使OC是∠AOB的平分线，需要添加的一个条件是： ．
10．如图，数轴上有三个点A，B，C，，若点A，B表示的数互为相反数，且，则点C表示的数是 ．
11．如图，，是线段的三等分点，是线段的中点，若，则 ．
12．如图，点在直线上，，，将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转一周（如图），当旋转到第秒时，所在的直线平分，则的值为 ．
三、解答题
13．如图，已知平面内有四个点．根据下列语句按要求画图．
(1)作线段；
(2)作射线，并在线段的延长线上用圆规截取；
(3)作直线，与射线交于点．
观察图形发现，线段，得出这个结论的依据是：______．
（温馨提醒：截取用圆规，并保留痕迹；画完图后要一一下结论．）
14．如图，为线段上一点，点为的中点，且，．
(1)图中共有______条线段．
(2)求的长．
(3)若点E在直线上，且，求的长．
15．点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处．
(1)将三角板按图1位置摆放，此时是的角平分线，求的度数；
(2)将三角板按图2位置摆放，此时，求的度数．
16．如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，点，分别是和的中点．
(1)若点恰好是中点，则______，若，则______；
(2)试利用“字母代替数”的方法，说明不论取何值（不超过），的长不变；
(3)知识迁移：如图②，已知，过角的内部任一点画射线，若，分别平分和，试说明与射线的位置无关．
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